디오판토스 기하학

2. 배경

세르주 랑은 1962년에 ''디오판토스 기하학''이라는 책을 출판하여 이 분야의 용어를 만들었다.^[1] 디오판토스 방정식에 대한 전통적인 구성은 차수와 변수의 수에 따라 이루어졌는데, 이는 루이스 모델의 ''디오판토스 방정식'' (1969)에서 볼 수 있다. 모델의 책은 C. F. 가우스에게서 비롯된 동차 방정식 ''f'' = 0에 대한 언급으로 시작한다. 여기서 유리수체에 대한 0이 아닌 해는 0이 아닌 유리수 해가 있다면 존재하고, 이는 정수에서의 해(원시 격자점조차도)로 이어진다. L. E. 딕슨의 매개변수 해에 대한 주의사항도 언급된다.

1890년 힐베르트–후르비츠의 결과는 종수 0의 곡선에 대한 디오판토스 기하학을 1차 및 2차(원뿔 곡선)로 축소하며, 제17장에 있다. 모델의 추측도 마찬가지이다. 적분점 에 관한 지겔의 정리는 제28장에 있다. 타원 곡선 위의 유리점 그룹의 유한 생성에 관한 모델의 정리는 제16장에 있으며, 모델 곡선 위의 정수점은 제26장에 있다.

랑의 책에 대한 비판적인 서평에서 모델은 다음과 같이 썼다.

그는 책의 내용이 대체로 모델-베유 정리, 투에-지겔-로스 정리, 지겔의 정리의 변형이며, 힐베르트의 기약성 정리와 응용(지겔의 스타일)을 다루고 있음을 지적한다. 일반성의 문제와 완전히 다른 스타일을 제외하고, 두 책의 주요 수학적 차이점은 랑이 아벨 다양체를 사용하고 지겔의 정리에 대한 증명을 제공한 반면, 모델은 그 증명이 "매우 진보된 특성을 가지고 있다"(263쪽)고 언급했다는 것이다.

초기에 좋지 않은 평가에도 불구하고, 랑의 개념은 2006년의 기념 논문에서 이 책을 "선구적인"이라고 부를 정도로 널리 받아들여졌다.^[2] 더 큰 분야는 때때로 아벨 다양체의 산술이라고 불리며, 현재 디오판토스 기하학과 함께 류수론, 복소 곱셈, 국소 제타 함수 및 L-함수를 포함한다.^[3] 폴 보이타는 다음과 같이 썼다.

:당시 다른 사람들도 이러한 관점을 공유했지만(예: 베유, 테이트, 세르), 모델의 ''디오판토스 기하학''에 대한 서평에서 알 수 있듯이 다른 사람들은 그렇지 않았다는 것을 잊기 쉽다.^[4]