리 대수 아이디얼

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 함의 관계
- 3.2. 다른 성질과의 관계
4. 예
참조

1. 개요

리 대수 아이디얼은 가환환 K 위의 리 대수 g의 부분 집합으로, 특정 조건을 만족하는 경우를 의미한다. g의 부분 리 대수, K-부분 가군, 덧셈 부분군, 부분 집합 관계를 가지며, 모든 리 대수 아이디얼은 부분 리 대수이지만 그 역은 성립하지 않는다. 리 대수 아이디얼을 통해 몫 리 대수를 정의할 수 있으며, 단순 리 대수, 반단순 리 대수, 아벨 리 대수 등의 성질을 정의하는 데 사용된다. 또한, 자명한 아이디얼, 직합 성분, 리 대수 중심, 유도 리 대수, 리 대수 근기 등이 리 대수 아이디얼의 예시로 제시된다.

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리 대수 아이디얼
정의
정의	리 대수 g의 부분 공간 h가 g의 모든 원소 x에 대해 [x, h]가 h에 포함되면 h는 g의 아이디얼이다.
성질
성질	아이디얼은 항상 부분 대수이다. 0과 g는 자명한 아이디얼이다. 만약 h가 g의 아이디얼이면, 몫 공간 g/h는 자연스러운 리 대수 구조를 갖는다.
예시
예시	아벨 리 대수의 모든 부분 공간은 아이디얼이다. sl(n, F)의 중심은 자명한 아이디얼이다.
관련 개념
관련 개념	부분 대수 리 대수 준동형 사상 몫 대수

2. 정의

가환환 $K$ 위의 리 대수 $(\mathfrak g,[-,-])$ 의 '''부분 리 대수'''(Lie subalgebra^영어) $\mathfrak h$ 는 리 괄호에 대하여 닫혀 있는 $K$ -부분 가군이다. 즉, $\mathfrak h\subset\mathfrak g$ 이며 $[\mathfrak h,\mathfrak h]\subset\mathfrak h$ 이다.

가환환 $K$ 위의 리 대수 $\mathfrak g$ 의 부분 집합 $I\subseteq\mathfrak g$ 가 다음 두 조건을 만족시키면 '''리 대수 아이디얼'''(Lie algebra ideal^영어)이라고 한다.

$K$ -부분 가군이며, $[\mathfrak g,I]\subseteq I$ 이다.
$\ker \phi = I$ 인 리 대수 준동형 $\phi \colon\mathfrak g\to\mathfrak h$ 가 존재한다.

리 대수 아이디얼이 존재하면, '''몫 리 대수'''(quotient Lie algebra^영어)

\mathfrak g/I

를 정의할 수 있다.

2. 1. 리 대수의 부분 대수와 아이디얼

가환환 K 위의 리 대수 (\mathfrak g,[-,-])의 부분 리 대수 \mathfrak h는 리 괄호에 대하여 닫힌 K-부분 가군이다. 즉, \mathfrak h\subset\mathfrak g이며 [\mathfrak h,\mathfrak h]\subset\mathfrak h이다.

가환환 K 위의 리 대수 \mathfrak g의 부분 집합 I\subseteq\mathfrak g가 다음 두 조건을 만족시키면 리 대수 아이디얼이라고 한다.

K-부분 가군이며, [\mathfrak g,I]\subseteq I이다.
\ker \phi = I 인 리 대수 준동형 \phi \colon\mathfrak g\to\mathfrak h가 존재한다.

리 대수 아이디얼에 대하여, 몫 리 대수 \mathfrak g/I를 정의할 수 있다.

2. 2. 리 초대수의 부분 대수와 아이디얼

가환환 K 위의 리 초대수 (\mathfrak{g}, [-, -])의 부분 리 초대수 (Lie sub-superalgebra^영어) \mathfrak{h} ⊆ \mathfrak{g}는 리 초괄호에 대하여 닫힌 K-부분 가군이다. 즉, 다음이 성립한다.

[\mathfrak{h}, \mathfrak{h}] ⊆ \mathfrak{h}

가환환 K 위의 리 초대수 (\mathfrak{g}, [-, -])의 아이디얼 (ideal^영어) \mathfrak{h} ⊆ \mathfrak{g}는 다음 조건을 만족시키는 K-부분 가군이다.

[\mathfrak{g}, \mathfrak{h}] ⊆ \mathfrak{h}

즉, \mathfrak{g} = \mathfrak{g}_0 ⊕ \mathfrak{g}_1이라고 할 때, 다음이 성립한다.

\mathfrak{h}_0 ⊆ \mathfrak{g}_0는 리 대수 \mathfrak{g}_0의 아이디얼이다.
\mathfrak{h}_1 ⊆ \mathfrak{g}_1는 \mathfrak{g}_0의 표현을 이루며 ([\mathfrak{g}_0, \mathfrak{h}_1] ∈ \mathfrak{h}_1), 또한 {\mathfrak{g}_1, \mathfrak{h}_1} ⊆ \mathfrak{h}_1을 만족시킨다.

2. 3. L∞-대수의 부분 대수와 아이디얼

가환환

K

위의 L∞-대수

\mathfrak g

의 '''부분 L∞-대수'''(部分L∞-代數, L∞-subalgebra^영어)

\mathfrak h\subseteq\mathfrak g

는 모든 항수의 괄호에 대하여 닫혀 있는, 동차

K

-부분 가군이다. 즉, 다음과 같다.

:

[\overbrace{\mathfrak h,\mathfrak h,\dotsc,\mathfrak h}^k]_k \subseteq\mathfrak h\qquad(k\in\mathbb Z^+)

:

\operatorname{proj}_n (\mathfrak h) \subseteq\mathfrak h\qquad(n\in\mathbb N)

여기서

\operatorname{proj}_n

은 등급

n

의 성분을 취하는 사영 함수이다.

가환환

K

위의 L∞-대수

\mathfrak g

의 '''아이디얼'''(ideal^영어)

\mathfrak h\subseteq\mathfrak g

는 다음 조건을 만족시키는

K

-부분 가군이다.

:

[\mathfrak h,\overbrace{\mathfrak g,\mathfrak g,\dotsc,\mathfrak g}^k]_k \subseteq\mathfrak h\qquad(k\in\mathbb Z^+)

:

\operatorname{proj}_n (\mathfrak h) \subseteq\mathfrak h\qquad(n\in\mathbb N)

특히,

k=1

일 때 이 조건은 다음과 같다.

:

\mathrm d\mathfrak h \subseteq\mathfrak h

즉,

\mathfrak h

는

\mathfrak g

의 부분 공사슬 복합체를 이룬다.

3. 성질

리 대수 아이디얼은 항상 부분 리 대수이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 표수 0의 체 위의 유한 차원 리 대수에 대하여, 단순 리 대수, 반단순 리 대수, 아벨 리 대수 등의 성질은 아이디얼을 통해 정의된다.

3. 1. 함의 관계

가환환 $K$ 위의 리 대수 $\mathfrak g$의 부분 집합에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

: 리 대수 아이디얼 ⊆ 부분 리 대수 ⊆ $K$-부분 가군 ⊆ 덧셈 부분군 ⊆ 부분 집합

3. 2. 다른 성질과의 관계

표수 0의 체 위의 유한 차원 리 대수

\mathfrak g

에 대하여, 다음과 같은 성질들이 아이디얼로서 정의된다.

리 대수의 종류	리 대수 아이디얼을 통한 정의
단순 리 대수	정확히 두 개의 아이디얼 (즉, $\{0\} \ne \mathfrak g$ )을 가지며, 아벨 리 대수가 아님
반단순 리 대수	아벨 아이디얼은 $\{0\}$ 밖에 없음
아벨 리 대수	모든 $K$ -부분 가군이 리 대수 아이디얼임
$\{0\}$	정확히 한 개의 아이디얼을 가짐

4. 예

리 대수에는 자명한 리 대수 아이디얼이 존재한다. 리 대수의 직합에서 각 성분은 아이디얼을 이룬다. 리 대수의 중심은 항상 리 대수 아이디얼을 이룬다.

4. 1. 자명한 리 대수 아이디얼

모든 리 대수

\mathfrak g

에 대하여,

\{0\}\subseteq\mathfrak g

과

\mathfrak g\subseteq\mathfrak g

는 (자명하게)

\mathfrak g

의 리 대수 아이디얼이다. 이들에 대한 몫 리 대수는 각각 다음과 같다.

:

\mathfrak g/\{0\} \cong \mathfrak g

:

\mathfrak g/\mathfrak g \cong \{0\}

4. 2. 직합 성분

같은 가환환 위의 두 리 대수 ${\mathfrak {g}}$, ${\mathfrak {h}}$의 직합 ${\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}$에서, ${\mathfrak {g}}\oplus 0,0\oplus {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}$는 각각 ${\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}$의 리 대수 아이디얼을 이루며, 이에 대한 몫 리 대수는 각각 다음과 같다.

${\frac \oplus {\mathfrak {h}}}{\mathfrak {g}}}\cong {\mathfrak {h}}$
${\frac \oplus {\mathfrak {h}}}{\mathfrak {h}}}\cong {\mathfrak {g}}$

4. 3. 리 대수 중심

가환환 K 위의 리 대수

\mathfrak g

의 '''중심'''(center^영어)

\operatorname Z(\mathfrak g)

는 모든 원소와 가환하는 원소들로 구성된 부분 리 대수이다.

:

\operatorname Z(\mathfrak g)=\{x\in\mathfrak g\colon[x,\mathfrak g]=0\}

이는 아벨 리 대수를 이루며, 항상 리 대수 아이디얼을 이룬다. 이는 군론에서의 군의 중심 개념에 대응한다.

4. 4. 유도 리 대수

가환환 K 위의 리 대수 \mathfrak g가 주어졌을 때, 부분 공간

:

[\mathfrak g,\mathfrak g] = \left\{[x_1,y_1]+\dotsb+[x_n,y_n] \colon n \in \mathbb N,\,x_1,x_2,\dotsc,x_n,y_1,y_2,\dotsc,y_n\in\mathfrak g\right\}\subseteq\mathfrak g

는 \mathfrak g의 리 대수 아이디얼을 이룬다. 이를 \mathfrak g의 '''유도 리 대수'''(derived Lie algebra^영어)라고 한다.

4. 5. 리 대수 근기

리 대수 근기는 리 대수의 최대 가해 아이디얼이다.

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