리 대수의 표현

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1. 개요

리 대수의 표현은 리 대수와 가군 사이의 관계를 설명하는 개념으로, 리 대수 준동형을 통해 가군에 리 대수 원소를 대응시킨다. 표현은 가환환 위의 리 대수와 가군으로 구성되며, 쌍선형성 및 리 괄호의 보존과 같은 조건을 만족해야 한다. 표현의 예시로는 자명한 표현, 딸림표현, 아벨 리 대수의 표현 등이 있으며, 텐서곱, 쌍대 표현, 선형 사상 공간을 이용한 표현 등 다양한 연산과 구성이 가능하다. 반단순 리 대수의 표현은 기약 표현의 직합으로 나타낼 수 있으며, 보편 포락 대수를 통해 연구된다. 또한, 유도 표현과 무한 차원 표현, (g, K)-가군, 대수 위의 표현 등 다양한 확장된 개념들이 존재한다.

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리 대수의 표현
리 대수 표현
분야	수학, 물리학
하위 분야	표현론, 리 대수
정의
정의	리 대수에서 다른 대수로의 준동형 사상

2. 정의

리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 '''표현'''은 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$에서 벡터 공간 V 위의 준동형 사상(Lie algebra homomorphism)인 리 대수의 준동형 사상

: $\rho\colon \mathfrak g \to \mathfrak{gl}(V)$

이며, 교환자를 리 괄호로 가지며, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 원소 x를 ${\displaystyle \mathfrak{gl}(V)}$의 원소 ρ_x로 사상한다. 이는 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 안의 모든 x, y에 대해,

: $\rho_{[x,y]} = [\rho_x,\rho_y] = \rho_x\rho_y - \rho_y\rho_x$

임을 의미한다. 벡터 공간 V는 표현 ρ와 함께, '''${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$''-가군'''이라고 불린다(용어를 생략하고, V를 표현이라고 하는 경우도 많다).

표현 ${\displaystyle \rho }$가 단사일 때, '''충실'''(faithful)하다고 불린다.

리 대수의 표현은 추상적인 리 대수의 원소들을 선형 변환으로 나타내어 그 구조를 연구하는 방법이다.

리 대수의 표현은 자연스럽게 발생한다. φ: G → H를 (실수 또는 복소수) 리 군의 준동형 사상이라고 하고, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$와 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$를 각각 G와 H의 리 대수라고 하면, 항등원에서의 접공간 위의 미분 ${\displaystyle d\phi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$는 리 대수의 준동형 사상이다. 특히, 유한 차원 벡터 공간 V에 대해, 리 군의 표현

: $\phi: G\to \mathrm{GL}(V)$

는, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$에서 일반 선형군 GL(V), 즉 V의 자기 준동형 사상의 대수로의 리 대수의 준동형 사상

: $d_e \phi: \mathfrak g \to \mathfrak{gl}(V)$

를 결정한다.

예를 들어, ${\displaystyle c_{g}(x)=gxg^{-1}}$라고 하면, ${\displaystyle c_{g}\colon G\to G}$의 항등원에서의 미분은 ${\displaystyle \mathrm {GL} ({\mathfrak {g}})}$의 원소이다. 이것을 ${\displaystyle \operatorname {Ad} (g)}$로 표기하면, 벡터 공간 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 위의 G의 표현 ${\displaystyle \operatorname {Ad} }$를 얻는다. 선행 적용하면, 리 대수의 표현 ${\displaystyle d\operatorname {Ad} }$를 얻는다. 이로부터 ${\displaystyle d_{e}\operatorname {Ad} =\operatorname {ad} }$임을 보일 수 있다.

이상의 명제의 부분적인 역은, 모든 유한 차원 (실수, 복소수) 리 대수의 표현은, 유일하게 수반 단일 연결 리 군의 표현으로 올릴 수 있다는 것을 의미한다. 따라서, 단일 연결 리 군의 표현과, 그 리 대수의 표현은 1대1로 대응한다.

2. 1. 기본 정의

가환환 R 위의 리 대수

\mathfrak g

의 '''표현'''

(M,\phi)

은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

$M$ 은 $R$ 위의 가군이다.
$\phi\colon\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(M;R)$ 는 리 대수 준동형이다. 여기서 $\mathfrak{gl}(M;R)$ 는 $M$ 의 $R$ -가군 자기 사상들로 구성된 단위 결합 대수의 리 대수이다.

이는

\mathfrak g

의 보편 포락 대수

\mathcal U(\mathfrak g)

위의 가군과 같은 개념이다.

위 정의를 풀어 쓰면, 함수

\phi\colon\mathfrak g\times M\to M

는 다음 조건들을 모두 만족시켜야 한다.

(쌍선형성) $\phi$ 는 쌍선형 함수이다. 즉, 다음이 성립한다.
* (스칼라곱) 임의의 $r\in R$ 및 $x\in\mathfrak g$ 및 $m\in M$ 에 대하여 $\phi(rx,m)=\phi(x,rm)=r\phi(x,m)$
* ( $\mathfrak g$ 에 대한 선형성) 임의의 $x,y\in\mathfrak g$ 및 $m\in M$ 에 대하여 $\phi(x+y,m)=\phi(x,m)+\phi(y,m)$
* ( $M$ 에 대한 선형성) 임의의 $x\in\mathfrak g$ 및 $m,n\in M$ 에 대하여 $\phi(x,m+n)=\phi(x,m)+\phi(x,n)$
(리 괄호의 보존) 임의의 $x,y\in\mathfrak g$ 에 대하여, $\phi([x,y],m)=\phi(x,\phi(y,m))-\phi(y,\phi(x,m))$

\mathfrak g

를 리 대수라고 하고,

V

를 벡터 공간이라고 하자.

\mathfrak{gl}(V)

는

V

의 자기 준동형 사상들의 공간, 즉

V

에서 자신으로의 모든 선형 사상들의 공간을 나타낸다. 여기서, 결합 대수

\mathfrak{gl}(V)

는 교환자를 사용하여 리 대수로 변환된다:

[s,t]=s \circ t-t \circ s

for all ''s,t'' in

\mathfrak{gl}(V)

. 그러면

\mathfrak g

의

V

에 대한 '''표현'''은 다음의 리 대수 준동형 사상이다.

:

\rho\colon \mathfrak g \to \mathfrak{gl}(V)

.

명시적으로, 이것은

\rho

가 선형 사상이어야 하고 다음을 만족해야 함을 의미한다.

:

\rho([X,Y])=\rho(X)\rho(Y)-\rho(Y)\rho(X)

for all ''X, Y'' in

\mathfrak g

. 벡터 공간 ''V''는 표현 ''ρ''와 함께 '''

\mathfrak g

-가군'''이라고 한다. (많은 저자들은 용어를 남용하여 ''V'' 자체를 표현이라고 한다.)

표현

\rho

가 주입적이면 '''충실'''하다고 한다.

동등하게,

\mathfrak g

-가군은

\mathfrak g \times V\to V

의 쌍선형 사상과 함께 벡터 공간 ''V''로 정의할 수 있다.

:

[X,Y]\cdot v = X\cdot(Y\cdot v) - Y\cdot(X\cdot v)

for all ''X,Y'' in

\mathfrak g

and ''v'' in ''V''. 이것은 ''X'' ⋅ ''v'' = ''ρ''(''X'')(''v'')를 설정하여 이전 정의와 관련이 있다.

모든 체(field) ''k''에 대한 리 대수

\mathfrak{g}

에 대해,

U(\mathfrak{g})

로 표기되는 보편 포락 대수라고 불리는 특정 환을 연관시킬 수 있다. 보편 포락 대수의 보편성은

\mathfrak{g}

의 모든 표현이

U(\mathfrak{g})

의 표현을 발생시킨다는 것을 보장한다. 반대로, PBW 정리는

\mathfrak{g}

가

U(\mathfrak{g})

내부에 위치하므로

U(\mathfrak{g})

의 모든 표현을

\mathfrak{g}

로 제한할 수 있음을 알려준다. 따라서

\mathfrak{g}

의 표현과

U(\mathfrak{g})

의 표현 사이에는 일대일 대응이 존재한다.

U(\mathfrak{g})

의 구성은 다음과 같다.^[7] ''T''를 벡터 공간

\mathfrak{g}

의 텐서 대수라고 하자. 따라서 정의에 의해,

T = \oplus_{n=0}^\infty \otimes_1^n \mathfrak{g}

이고, 곱셈은

\otimes

에 의해 주어진다.

U(\mathfrak{g})

를 다음과 같은 형태의 원소들에 의해 생성된 아이디얼로 ''T''를 나눈 몫환이라고 하자.

:

[X, Y] - (X \otimes Y - Y \otimes X)

.

T \to U(\mathfrak{g})

의 몫 사상을 차수 1 부분으로 제한하여 얻은,

\mathfrak{g}

에서

U(\mathfrak{g})

로의 자연스러운 선형 사상이 존재한다. PBW 정리는 이 정규 사상이 실제로 단사임을 의미한다. 따라서, 모든 리 대수

\mathfrak{g}

는 괄호가

A

에서

[X,Y]=XY-YX

에 의해 주어지는 연관 대수

A=U(\mathfrak{g})

에 포함될 수 있다.

만약

\mathfrak{g}

가 아벨이면,

U(\mathfrak{g})

는 벡터 공간

\mathfrak{g}

의 대칭 대수이다.

2. 2. 무게

표현 ${\displaystyle \rho \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$의 '''무게'''(weight^영어)는 카르탕 부분대수의 (표현에 따른 행렬로서의) 어느 한 공통적 고유벡터의 고윳값들의 모임이다. 즉, 카르탕 부분대수를 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$로 쓰면, 그 대수적 쌍대공간의 원소인 ${\displaystyle \rho }$의 무게 ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$는 적어도 하나의 0이 아닌 ${\displaystyle v\in V}$가 모든 ${\displaystyle \xi \in {\mathfrak {h}}}$에 대하여 ${\displaystyle \rho (\xi )v=\lambda (\xi )v}$를 만족한다.

딸림표현의 무게의 집합은 근계를 이룬다. 통상적으로 "리 대수의 근"이라는 것은 그 딸림표현의 근계의 원소를 일컫는다.

3. 연산

리 대수의 표현들에 대한 연산을 정의하여 새로운 표현을 얻을 수 있다. 이러한 연산에는 직합, 텐서곱, 쌍대 표현 등이 있으며, 이를 통해 기존의 표현을 결합하거나 변형할 수 있다.

3. 1. 직합

가환환

R

위의 리 대수

\mathfrak g

위의 두 표현

(M,\phi)

,

(M',\phi')

이 주어졌다고 하자. 가군의 직합

M\oplus M'

위에

\mathfrak g

-표현의 구조가 자연스럽게 존재한다. 이를 두 표현의 '''직합'''이라고 한다.

3. 2. 텐서곱

가환환

R

위의 리 대수

\mathfrak g

위의 두 표현

(M,\phi)

,

(M',\phi')

이 주어졌을 때, 가군의 텐서곱

M\otimes_RM'

위에는 자연스럽게

\mathfrak g

-표현의 구조가 존재한다. 이를 두 표현의 '''텐서곱'''이라고 한다.

리 대수

\mathfrak{g}

의 표현이 두 개 있고, 그 기저 벡터 공간이 각각 ''V''₁과 ''V''₂라고 하면, 표현의 텐서곱은 ''V''₁ ⊗ ''V''₂를 기저 벡터 공간으로 가지며,

\mathfrak{g}

의 작용은 다음의 가정에 의해 유일하게 결정된다.^[5]

:

X\cdot(v_1\otimes v_2)=(X\cdot v_1)\otimes v_2+v_1\otimes (X\cdot v_2) .

(여기서 모든

v_1\in V_1

및

v_2\in V_2

에 대해 성립한다.)

준동형 사상의 언어로 표현하면, 이는

\rho_1\otimes\rho_2:\mathfrak{g}\rightarrow\mathfrak{gl}(V_1\otimes V_2)

를 다음과 같이 정의하는 것을 의미한다.^[5]

:

(\rho_1\otimes\rho_2)(X)=\rho_1(X)\otimes \mathrm{I}+\mathrm{I}\otimes\rho_2(X)

.

이는 행렬 덧셈#크로네커_합 및 크로네커 곱#성질에서 정의된

\rho_1

과

\rho_2

의 크로네커 합이라고 불린다.

물리학 문헌에서는 항등 연산자와의 텐서곱이 종종 표기에서 생략되어, 다음과 같은 식으로 표현된다.^[5]

:

(\rho_1\otimes\rho_2)(X)=\rho_1(X)+\rho_2(X)

,

여기서

\rho_1(x)

는 텐서곱의 첫 번째 인자에 작용하고

\rho_2(x)

는 텐서곱의 두 번째 인자에 작용한다는 것을 의미한다. 리 대수 su(2)의 표현의 맥락에서, 표현의 텐서곱은 "각운동량의 덧셈"이라는 이름으로 불린다. 이 맥락에서

\rho_1(X)

는 예를 들어 궤도 각운동량일 수 있고

\rho_2(X)

는 스핀 각운동량일 수 있다.

기초가 되는 벡터 공간을 V₁과 V₂로 하고, 표현을 ·[·]₁과 ·[·]₂로 하는 두 개의 표현이 있을 때, 이들 표현의 곱은 V₁ ⊗ V₂를 기초 벡터 공간으로 가지며, 표현은 다음과 같다.

:

x[v_1\otimes v_2]=x[v_1]\otimes v_2+v_1\otimes x[v_2]

3. 3. 쌍대 표현

\mathfrak{g}

를 리 대수,

\rho:\mathfrak{g}\rightarrow\mathfrak{gl}(V)

를

\mathfrak{g}

의 표현이라고 하자.

V^*

를 쌍대 공간, 즉

V

위의 선형 범함수의 공간이라고 하면, 다음 공식에 따라 표현

\rho^*:\mathfrak{g}\rightarrow\mathfrak{gl}(V^*)

를 정의할 수 있다.

:

\rho^*(X)=-(\rho(X))^\operatorname{tr},

여기서 임의의 연산자

A:V\rightarrow V

에 대해 전치 연산자

A^\operatorname{tr}:V^*\rightarrow V^*

는 "

A

와의 합성" 연산자로 정의된다.

:

(A^\operatorname{tr}\phi)(v)=\phi(Av)

\rho^*

의 정의에 있는 음수 부호는 항등식

(AB)^\operatorname{tr}=B^\operatorname{tr}A^\operatorname{tr}

에 비추어 볼 때

\rho^*

가 실제로

\mathfrak{g}

의 표현임을 보장하기 위해 필요하다.

기저를 사용하면 위의 정의에서 전치는 일반적인 행렬 전치로 해석할 수 있다.

L을 실수 리 군, ρ: L × V → V를 L의 복소수 상한으로 할 때, 다음과 같이 그 쌍대 표현이라고 불리는 L의 또 다른 표현을 구성할 수 있다.

V^∗를 V의 쌍대 벡터 공간이라고 한다. 다시 말해, V^∗는 V에서 '''C'''로의 모든 선형 사상의 집합이며, 보통의 방법으로 정의되지만, 스칼라 곱의 정의는, '''C'''의 임의의 z와 V^∗의 원소 ω와 V의 원소 X에 대해

(z\omega)[X]=\bar{z}\omega[X]

이다. 이것은 보통 반쌍선형 형식 ⟨·,·⟩ 즉, ω[X]로 정의된 ⟨ω,X⟩로 다시 쓸 수 있다.

\bar{\rho}

는 다음과 같이 정의된다. L의 임의의 A, V^∗의 ω, V 안의 X에 대해

:

(\bar{\rho}(A)[\omega],X) + (\omega, \rho A[X]) = 0

으로 한다. 이것은

\bar{\rho}

를 유일하게 정의한다.

V, W

를

\mathfrak{g}

-가군,

\mathfrak{g}

를 리 대수라고 할 때,

\operatorname{Hom}(V, W)

는

(x \cdot f)(v) = x f(v) - f (x v)

로 둠으로써

\mathfrak{g}

-가군이 된다. 특히,

\operatorname{Hom}_\mathfrak{g}(V, W) = \operatorname{Hom}(V, W)^\mathfrak{g}

이다. 임의의 체는 자명한 작용에 의해

\mathfrak{g}

-가군이 되므로, W를 기초 체로 하면, 쌍대 벡터 공간

V^*

는

\mathfrak{g}

-가군이 된다.

4. 예

리 대수 표현의 가장 기본적인 예는 리 대수 $\mathfrak{g}$ 자체에 대한 딸림표현이다.

: $\textrm{ad}:\mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(\mathfrak{g}), \quad x \mapsto \operatorname{ad}_x, \quad \operatorname{ad}_x(y) = [x, y].$

야코비 항등식에 의해, $\operatorname{ad}$ 는 리 대수 준동형사상이다.^[1]

4. 1. 자명한 표현

가환환

R

위의 리 대수

\mathfrak g

및

R

-가군

M

이 주어졌을 때, 상수 함수

:

\phi\colon\mathfrak g\times M\to M

:

\phi\colon(x,m)\to0

는

\mathfrak g

의 표현을 이룬다. 이를 '''자명한 표현'''(trivial representation^영어)이라고 한다.

4. 2. 딸림표현

가환환

R

위의 리 대수

\mathfrak g

가 주어졌을 때, 다음과 같이 정의되는 표현을 '''딸림표현'''이라고 한다.

:

\operatorname{ad}\colon\mathfrak g\to\operatorname{gl}(\mathfrak g;R)

:

\operatorname{ad}\colon x\mapsto[x,-]

이 경우

\mathfrak g

는 스스로의 표현을 이룬다. 이는 리 군

G

의, 스스로의 리 대수

\operatorname{Lie}(G)

위의 군의 표현인 딸림표현의 무한소 형태이다.^[1]

딸림표현은 다음과 같이 정의된다.

:

\textrm{ad}:\mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(\mathfrak{g}), \quad X \mapsto \operatorname{ad}_X, \quad \operatorname{ad}_X(Y) = [X, Y].

야코비 항등식에 의해

\operatorname{ad}

는 리 대수 준동형사상이다.

만약

\phi

: ''G'' → ''H''가 (실수 또는 복소수) 리 군의 준동형 사상이고,

\mathfrak g

와

\mathfrak h

가 각각 ''G''와 ''H''의 리 대수라면, 항등원에서 접선 공간에서의 미분

d_e \phi: \mathfrak g \to \mathfrak h

는 리 대수 준동형 사상이다.

특히, 유한 차원 벡터 공간 ''V''에 대해, 리 군의 표현

:

\phi: G\to \operatorname{GL}(V)\,

은 리 대수 준동형 사상을 결정한다.

:

d \phi: \mathfrak g \to \mathfrak{gl}(V)

여기서

\mathfrak g

는 일반 선형 군 GL(''V'')의 리 대수, 즉 ''V''의 자기 사상 대수이다.

예를 들어,

c_g(x) = gxg^{-1}

라고 하면, 항등원에서

c_g: G \to G

의 미분은

\operatorname{GL}(\mathfrak{g})

의 원소이다. 이를

\operatorname{Ad}(g)

로 표시하면, 벡터 공간

\mathfrak{g}

에 대한 ''G''의 표현

\operatorname{Ad}

를 얻는다. 이것이 ''G''의 수반 표현이다. 앞의 과정을 적용하면, 리 대수 표현

d\operatorname{Ad}

를 얻는다.

d_e\operatorname{Ad} = \operatorname{ad}

로,

\mathfrak g

의 수반 표현임을 보일 수 있다.^[1]

4. 3. 아벨 리 대수

가환환

R

위의 가군

M

을 아벨 리 대수로 생각할 수 있다. 임의의

R

-가군 준동형

f\colon M\to R

가 주어졌을 때,

:

\phi\colon M\times R\to R

:

\phi\colon (m,r)\mapsto f(m)r

로 정의하면 이는

M

의 표현을 이룬다.^[1]

5. 기본 개념

$\mathfrak{g}$ 를 리 대수라 하고, V와 W를 $\mathfrak{g}$ -가군(加群)이라고 하자. 선형 사상 $f: V \to W$ 가 $\mathfrak{g}$ -동변이라는 것은 임의의 $x \in \mathfrak{g}$ 와 $v \in V$ 에 대해 $f(xv) = xf(v)$ 가 성립하는 것을 의미한다. 이때 이 선형 사상을 $\mathfrak{g}$ -선형이라고 한다. f가 전단사이면 $V$ 와 $W$ 는 '''동변'''이라고 한다. 가군 이론에서 부분 가군, 몫, 부분 몫, 직합, 조르당-홀더 열 등 여러 추상 대수학적 구성이 이 개념에서 파생된다.

$\mathfrak{g}$ -가군 V가 다음 조건들과 동치 조건을 만족하면 V를 '''반단순''' 또는 '''완전 가약'''이라고 한다. (반단순 가군 참조)

# V는 단순 가군의 직합이다.

# V는 단순 부분 가군의 합이다.

# V의 모든 부분 가군은 직합이며, V의 모든 부분 가군 W에 대해 $V = W \oplus P$ 를 만족하는 보완 가군 P가 존재한다.

$\mathfrak{g}$ 가 표수가 0인 체 위의 유한 차원 반단순 리 대수이면 V는 반단순이다. (Weyl's complete reducibility theorem|바일의 완전 가약 정리^영어)^[8] 리 대수는 수반 표현이 반단순일 때 Reductive Lie algebra|가약^영어이라고 부른다. 따라서 반단순 리 대수는 가약이다. V의 원소 v가 모든 $x \in \mathfrak{g}$ 에 대해 $xv = 0$ 이면 $\mathfrak{g}$ -불변이라고 한다. 모든 불변 원소의 집합은 $V^\mathfrak{g}$ 로 표기한다. $V \mapsto V^\mathfrak{g}$ 는 좌완전 함자이다.

Quillen's lemma|퀼린의 보조정리^영어 - 슈어의 보조정리와 유사하며, 체 k 위의 유한 차원 리 대수의 포락환 상의 단순 가군의 자기 준동형은 k 상에서 대수적이라는 정리이다.
Verma module|바르마 가군^영어
Geometric quantization|기하학적 양자화^영어
카즈단-루스틱 추측
Representation of a Lie superalgebra|초 리 대수의 표현^영어
Whitehead's lemma (Lie algebras)|화이트헤드의 보조정리|label=화이트헤드의 보조정리^영어

5. 1. 불변 부분 공간과 기약성

리 대수

\mathfrak{g}

의 표현

\rho:\mathfrak{g}\rightarrow\operatorname{End}(V)

가 주어졌을 때,

V

의 부분 공간

W

가 모든

w\in W

와

X\in\mathfrak{g}

에 대해

\rho(X)w\in W

이면 '''불변'''이라고 한다. 영이 아닌 표현은 유일한 불변 부분 공간이

V

자신과 영 공간

\{0\}

일 때 '''기약'''이라고 한다. '''단순 가군'''이라는 용어도 기약 표현에 사용된다.^[8]

5. 2. 준동형 사상

\mathfrak{g}

를 리 대수라고 하고, ''V'', ''W''를

\mathfrak{g}

-가군이라고 하자. 선형 사상

f: V \to W

가

\mathfrak{g}

-가군의 '''준동형 사상'''이 되려면

\mathfrak{g}

-동변량이어야 한다. 즉, 모든

X \in \mathfrak{g},\, v \in V

에 대해

f(X\cdot v) = X\cdot f(v)

이다. 만약 ''f''가 전단사이면,

V, W

는 '''동치'''라고 한다. 이러한 사상은 '''상호 얽힘 사상''' 또는 '''사상'''이라고도 한다.

추상대수학의 가군 이론에서 파생된 많은 다른 구성 요소들이 이 설정으로 옮겨진다. 예를 들어 부분가군, 몫가군, 부분 몫가군, 직합, 조르당-횔더 정리 등이 있다.

5. 3. 슈어 보조정리

슈어 보조정리(Schur's lemma)는 기약 표현을 연구하는 데 유용한 도구로, 두 부분으로 구성되어 있다.^[3]

만약 ''V'', ''W''가 기약 $\mathfrak{g}$ -가군이고 $f: V \to W$ 가 준동형사상이라면, $f$ 는 영사상이거나 동형사상이다.
만약 ''V''가 대수적으로 닫힌 체 위의 기약 $\mathfrak{g}$ -가군이고 $f: V \to V$ 가 준동형사상이라면, $f$ 는 항등사상의 스칼라 배수이다.

\mathfrak{g}

를 리 대수, V, W를

\mathfrak{g}

-가군(加群)이라고 하자. 선형 사상

f: V \to W

가

\mathfrak{g}

-동변이라는 것은, 즉 임의의

x \in \mathfrak{g}, v \in V

에 대해

f(xv) = xf(v)

가 성립할 때 이 선형 사상을

\mathfrak{g}

-선형이라고 한다. f가 전단사이면

V, W

는 동변이라고 한다.

5. 4. 완전 가약성

표현 ''V''가 기약 표현들의 직합과 동형일 경우 완전 가약(또는 반단순)이라고 한다. (반단순 가군 참고). ''V''가 유한 차원인 경우, ''V''는 ''V''의 모든 불변 부분 공간이 불변 여공간을 가질 때 완전 가약이다. 즉, ''W''가 불변 부분 공간이면, ''V''가 ''W''와 ''P''의 직합이 되도록 하는 또 다른 불변 부분 공간 ''P''가 존재한다.

\mathfrak{g}

가 표수가 0인 체 위의 유한 차원 반단순 리 대수이고 ''V''가 유한 차원인 경우, ''V''는 반단순이다. 이것이 바일의 완전 가약성 정리이다.^[4] 따라서 반단순 리 대수의 경우, 기약 표현의 분류는 즉시 모든 표현의 분류로 이어진다. 이러한 특성을 갖지 않는 다른 리 대수의 경우, 기약 표현을 분류하는 것이 일반적인 표현을 분류하는 데 큰 도움이 되지 않을 수 있다.

V를

\mathfrak{g}

-가군이라고 할 때, V가 다음의 동치인 조건을 만족하면 V를 '''반단순''' 또는 '''완전 가약'''이라고 한다. (반단순 가군 참조)

# V는 단순 가군의 직합

# V는 단순 부분 가군의 합

# V의 모든 부분 가군은 직합이며, V의 모든 부분 가군 W에 대해, 보완 가군 P가 존재하여 V = W ⊕ P가 된다.

\mathfrak{g}

가 표수 0의 체 위의 유한 차원 반단순 리 대수이면 V는 반단순이다. (Weyl's complete reducibility theorem|바일의 완전 가약 정리^영어).^[8]

5. 5. 불변 원소

리 대수

\mathfrak{g}

의 원소

x \in \mathfrak{g}

에 대해

x\cdot v = 0

일 경우,

V

의 원소 ''v''는

\mathfrak{g}

-불변이라고 한다. 모든 불변 원소의 집합은

V^\mathfrak{g}

로 표기한다.^[8]

6. 기본 구성

리 대수의 표현은 주어진 표현으로부터 새로운 표현을 구성하는 방법을 제공한다. 여기에는 텐서곱 표현, 쌍대 표현, 선형 사상 공간 위의 표현 등이 있다.

6. 1. 텐서곱 표현

리 대수

\mathfrak{g}

의 두 표현이 있고, 그 기저 벡터 공간이 각각 ''V''₁과 ''V''₂라고 할 때, 표현의 텐서곱은 ''V''₁ ⊗ ''V''₂를 기저 벡터 공간으로 가지며,

\mathfrak{g}

의 작용은 다음 가정에 의해 유일하게 결정된다.

:

X\cdot(v_1\otimes v_2)=(X\cdot v_1)\otimes v_2+v_1\otimes (X\cdot v_2) .

(여기서 모든

v_1\in V_1

및

v_2\in V_2

에 대해 성립한다.)

준동형 사상의 언어로 표현하면, 이는

\rho_1\otimes\rho_2:\mathfrak{g}\rightarrow\mathfrak{gl}(V_1\otimes V_2)

를 다음과 같이 정의하는 것을 의미한다.

:

(\rho_1\otimes\rho_2)(X)=\rho_1(X)\otimes \mathrm{I}+\mathrm{I}\otimes\rho_2(X)

.^[5] 이는 행렬 덧셈#크로네커_합 및 크로네커 곱#성질에서 정의된

\rho_1

과

\rho_2

의 크로네커 합이라고 불린다.

물리학 문헌에서는 항등 연산자와의 텐서곱을 생략하여, 다음과 같이 표현하기도 한다.

:

(\rho_1\otimes\rho_2)(X)=\rho_1(X)+\rho_2(X)

(여기서

\rho_1(x)

는 텐서곱의 첫 번째 인자에,

\rho_2(x)

는 텐서곱의 두 번째 인자에 작용한다.) 리 대수 su(2)의 표현의 맥락에서, 표현의 텐서곱은 "각운동량의 덧셈"이라고 불린다. 이 때

\rho_1(X)

는 궤도 각운동량,

\rho_2(X)

는 스핀 각운동량일 수 있다.

기초 벡터 공간을 V₁과 V₂로 하고, 표현을 ·[·]₁과 ·[·]₂로 하는 두 표현의 곱은 V₁ ⊗ V₂를 기초 벡터 공간으로 가지며, 표현은 다음과 같다.

:

x[v_1\otimes v_2]=x[v_1]\otimes v_2+v_1\otimes x[v_2]

6. 2. 쌍대 표현

\mathfrak{g}

를 리 대수,

\rho:\mathfrak{g}\rightarrow\mathfrak{gl}(V)

를

\mathfrak{g}

의 표현이라고 하자.

V^*

를 쌍대 공간, 즉

V

위의 선형 범함수의 공간이라고 하자. 그러면 다음 공식에 따라 표현

\rho^*:\mathfrak{g}\rightarrow\mathfrak{gl}(V^*)

를 정의할 수 있다.

:

\rho^*(X)=-(\rho(X))^\operatorname{tr},

여기서 임의의 연산자

A:V\rightarrow V

에 대해 전치 연산자

A^\operatorname{tr}:V^*\rightarrow V^*

는 "

A

와의 합성" 연산자로 정의된다.

:

(A^\operatorname{tr}\phi)(v)=\phi(Av)

\rho^*

의 정의에 있는 음수 부호는 항등식

(AB)^\operatorname{tr}=B^\operatorname{tr}A^\operatorname{tr}

에 비추어 볼 때

\rho^*

가 실제로

\mathfrak{g}

의 표현임을 보장하기 위해 필요하다.

기저를 사용하면 위의 정의에서 전치는 일반적인 행렬 전치로 해석할 수 있다.

L을 실수 리 군(Lie group), ρ: L × V → V를 L의 복소수 상한으로 할 때, 다음과 같이 그 쌍대 표현이라고 불리는 L의 또 다른 표현을 구성할 수 있다.

V^∗를 V의 쌍대 벡터 공간이라고 한다. 다시 말해, V^∗는 V에서 '''C'''로의 모든 선형 사상의 집합이며, 보통의 방법으로 정의되지만, 스칼라 곱의 정의는, '''C'''의 임의의 z와 V^∗의 원소 ω와 V의 원소 X에 대해

(z\omega)[X]=\bar{z}\omega[X]

이다. 이것은 보통 반쌍선형 형식 ⟨·,·⟩ 즉, ω[X]로 정의된 ⟨ω,X⟩로 다시 쓸 수 있다.

\bar{\rho}

는 다음과 같이 정의된다. L의 임의의 A, V^∗의 ω, V 안의 X에 대해

:

(\bar{\rho}(A)[\omega],X) + (\omega, \rho A[X]) = 0

으로 한다. 이것은

\bar{\rho}

를 유일하게 정의한다.

V, W

를

\mathfrak{g}

-가군,

\mathfrak{g}

를 리 대수(Lie algebra)라고 할 때,

\operatorname{Hom}(V, W)

는

(x \cdot f)(v) = x f(v) - f (x v)

로 둠으로써

\mathfrak{g}

-가군이 된다. 특히,

\operatorname{Hom}_\mathfrak{g}(V, W) = \operatorname{Hom}(V, W)^\mathfrak{g}

이다. 임의의 체(field)는 자명한 작용에 의해

\mathfrak{g}

-가군이 되므로, W를 기초 체로 하면, 쌍대 벡터 공간

V^*

는

\mathfrak{g}

-가군이 된다.

6. 3. 선형 사상 공간 위의 표현

V

와

W

를 리 대수

\mathfrak{g}

의 가군이라고 하면,

\operatorname{Hom}(V, W)

는

(X \cdot f)(v) = X f(v) - f (X v)

로 정의되어

\mathfrak{g}

-가군이 된다. 특히,

\operatorname{Hom}_\mathfrak{g}(V, W) = \operatorname{Hom}(V, W)^\mathfrak{g}

인데, 이는

V

에서

W

로 가는

\mathfrak{g}

-가군 준동형사상이

\operatorname{Hom}(V, W)

의 원소 중

\mathfrak{g}

의 작용에 의해 불변인 것들임을 의미한다.

W

를 기저체로 잡으면,

V^*

에 대한

\mathfrak{g}

의 작용을 얻게 된다.

7. 반단순 리 대수의 표현론

반단순 리 대수의 표현론은 그 중요성과 아름다움으로 인해 널리 연구되는 분야이다. 유한 차원 기약 표현은 최고 무게를 통해 분류할 수 있다.

반단순 리 대수의 유한 차원 표현은 완전 가약이며, 따라서 기약(단순) 표현으로 분류하는 것이 충분히 가능하다. 반단순 리 대수는 수반 표현의 무게, 즉 근계로 분류된다. 이와 유사한 방법으로, 모든 유한 차원 기약 표현은 무게라는 용어로 이해할 수 있다.

8. 포락 대수

모든 체 ''k''에 대한 리 대수 $\mathfrak{g}$ 에 대해, $U(\mathfrak{g})$ 로 표기되는 보편 포락 대수라고 불리는 특정 환을 연관시킬 수 있다. 보편 포락 대수의 보편성은 $\mathfrak{g}$ 의 모든 표현이 $U(\mathfrak{g})$ 의 표현을 발생시킨다는 것을 보장한다. 반대로, PBW 정리는 $\mathfrak{g}$ 가 $U(\mathfrak{g})$ 내부에 위치하므로 $U(\mathfrak{g})$ 의 모든 표현을 $\mathfrak{g}$ 로 제한할 수 있음을 알려준다. 따라서 $\mathfrak{g}$ 의 표현과 $U(\mathfrak{g})$ 의 표현 사이에는 일대일 대응이 존재한다.^[6]

보편 포락 대수는 반 단순 리 대수의 표현론에서 중요한 역할을 한다. 특히, 유한 차원 기약 표현은 베르마 가군의 몫으로 구성되며, 베르마 가군은 보편 포락 대수의 몫으로 구성된다.

$U(\mathfrak{g})$ 의 구성은 다음과 같다.^[7] ''T''를 벡터 공간 $\mathfrak{g}$ 의 텐서 대수라고 하자. 따라서 정의에 의해, $T = \oplus_{n=0}^\infty \otimes_1^n \mathfrak{g}$ 이고, 곱셈은 $\otimes$ 에 의해 주어진다. $U(\mathfrak{g})$ 를 다음과 같은 형태의 원소들에 의해 생성된 아이디얼로 ''T''를 나눈 몫환이라고 하자.

: $[X, Y] - (X \otimes Y - Y \otimes X)$ .

$T \to U(\mathfrak{g})$ 의 몫 사상을 차수 1 부분으로 제한하여 얻은, $\mathfrak{g}$ 에서 $U(\mathfrak{g})$ 로의 자연스러운 선형 사상이 존재한다. PBW 정리는 이 정규 사상이 실제로 단사임을 의미한다. 따라서, 모든 리 대수 $\mathfrak{g}$ 는 괄호가 $A$ 에서 $[X,Y]=XY-YX$ 에 의해 주어지는 연관 대수 $A=U(\mathfrak{g})$ 에 포함될 수 있다.

만약 $\mathfrak{g}$ 가 아벨이면, $U(\mathfrak{g})$ 는 벡터 공간 $\mathfrak{g}$ 의 대칭 대수이다.

$\mathfrak{g}$ 는 수반 표현을 통해 자체적으로 모듈이므로, 포락 대수 $U(\mathfrak{g})$ 는 수반 표현을 확장하여 $\mathfrak{g}$ -모듈이 된다. 그러나 왼쪽 및 오른쪽 정규 표현을 사용하여 포락 대수를 $\mathfrak{g}$ -모듈로 만들 수도 있다. 즉, 표기법 $l_X(Y) = XY, X \in \mathfrak{g}, Y \in U(\mathfrak{g})$ 을 사용하여 매핑 $X \mapsto l_X$ 는 $U(\mathfrak{g})$ 에서 $\mathfrak{g}$ 의 표현을 정의한다. 오른쪽 정규 표현도 유사하게 정의된다.

9. 유도 표현

표수가 0인 체 위의 유한 차원 리 대수 $\mathfrak{g}$ 와 그 부분 대수 $\mathfrak{h} \subset \mathfrak{g}$ 가 주어졌을 때, 부분 대수의 표현으로부터 전체 대수의 표현을 유도할 수 있다. $U(\mathfrak{h})$ 는 $U(\mathfrak{g})$ 에 오른쪽에서 작용하며, 임의의 $\mathfrak{h}$ -모듈 ''W''에 대해 왼쪽 $U(\mathfrak{g})$ -모듈 $U(\mathfrak{g}) \otimes_{U(\mathfrak{h})} W$ 를 구성할 수 있다. 이를 $\operatorname{Ind}_\mathfrak{h}^\mathfrak{g} W$ 로 표기하며, ''W''에 의해 유도된 $\mathfrak{g}$ -모듈이라고 한다.

이 유도 표현은 다음의 보편적 성질을 만족하며, 실제로 이 성질로 특징지어진다. 임의의 $\mathfrak{g}$ -모듈 ''E''에 대해,

: $\operatorname{Hom}_\mathfrak{g}(\operatorname{Ind}_\mathfrak{h}^\mathfrak{g} W, E) \simeq \operatorname{Hom}_\mathfrak{h}(W, \operatorname{Res}^\mathfrak{g}_\mathfrak{h} E)$ .

이는 프로베니우스 상호 법칙을 통해 부분 대수의 표현과 전체 대수의 표현 사이의 관계를 설명한다.

또한, $\operatorname{Ind}_\mathfrak{h}^\mathfrak{g}$ 는 $\mathfrak{h}$ -모듈의 범주에서 $\mathfrak{g}$ -모듈의 범주로 가는 완전 함자이다. 이는 $U(\mathfrak{g})$ 가 $U(\mathfrak{h})$ 위에 자유 오른쪽 모듈이라는 사실을 사용한다. 특히, $\operatorname{Ind}_\mathfrak{h}^\mathfrak{g} W$ 가 단순하면 ''W''는 단순하다.

유도 표현은 다음과 같은 성질을 갖는다.

추이성: $\mathfrak{h} \subset \mathfrak{h}' \subset \mathfrak{g}$ 인 리 부분 대수들에 대해, $\operatorname{Ind}_\mathfrak{h}^\mathfrak{g} \simeq \operatorname{Ind}_\mathfrak{h'}^\mathfrak{g} \circ \operatorname{Ind}_\mathfrak{h}^\mathfrak{h'}$ 이다.
제한과의 교환: $\mathfrak{h} \subset \mathfrak{g}$ 가 부분 대수이고, $\mathfrak{n}$ 이 $\mathfrak{h}$ 에 포함된 $\mathfrak{g}$ 의 아이디얼일 때, $\mathfrak{g}_1 = \mathfrak{g}/\mathfrak{n}$ , $\mathfrak{h}_1 = \mathfrak{h}/\mathfrak{n}$ 이면, $\operatorname{Ind}^\mathfrak{g}_\mathfrak{h} \circ \operatorname{Res}_\mathfrak{h} \simeq \operatorname{Res}_\mathfrak{g} \circ \operatorname{Ind}^\mathfrak{g_1}_\mathfrak{h_1}$ 이다.

10. 무한 차원 표현과 "범주 O"

무한 차원 반단순 리 대수의 표현은 유한 차원 표현과는 다른 특징을 가지며, 이를 연구하기 위한 도구로 "범주 O"가 사용된다. 범주 O는 표수 0인 반단순 리 대수의 표현론을 연구하기에 적합하며, 예를 들어 번스타인-겔판트-겔판트(BGG) 상반성을 공식화하는 데 사용된다.^[1]

11. (g, K)-가군

리 대수 표현의 가장 중요한 응용 중 하나는 실수 리 군의 표현 이론이다. 만약 $\pi$ 가 연결된 실수 반단순 선형 리 군 ''G''의 힐베르트 공간 표현이라면, 복소화 $\mathfrak{g}$ 와 연결된 최대 콤팩트 부분군 ''K''의 두 가지 자연스러운 작용을 가진다. $\pi$ 의 $\mathfrak{g}$ -가군 구조는 대수적, 특히 호몰로지 방법을 적용할 수 있게 하고, $K$ -가군 구조는 연결된 콤팩트 반단순 리 군에서와 유사한 방식으로 조화 분석을 수행할 수 있게 한다.

(g,K)-가군 Harish-Chandra module|하리쉬-찬드라 가군^영어

$\pi$ 를 연결된 실수 반단순 선형 리 군 G의 힐베르트 공간 위의 표현이라고 하면, 복소화된 $\mathfrak{g}$ 와 연결된 최대 콤팩트 부분군 K의 두 가지 자연스러운 작용을 가진다. $\pi$ 의 $\mathfrak{g}$ -가군 구조는 대수적 호몰로지 방법을 적용할 수 있으며, 특히 $K$ -가군 구조는 조화 해석을 적용할 수 있으며, 여기서 연결된 콤팩트 반단순 리 군과 같은 방법을 사용할 수 있다.

12. 대수 위의 표현

리 초대수 ''L''이 주어졌을 때, 대수 ''A''에 대한 ''L''의 표현은 (꼭 결합적일 필요는 없는) '''Z'''₂ 차수 대수이며, '''Z'''₂ 차수 벡터 공간으로서 ''L''의 표현이다. 또한 ''L''의 원소는 ''A''에서 미분 또는 반미분으로 작용한다.

좀 더 구체적으로, ''H''가 ''L''의 순수 원소이고, ''x''와 ''y''가 ''A''의 순수 원소일 때, 다음이 성립한다.

:''H''[''xy''] = (''H''[''x''])''y'' + (−1)^''xH''''x''(''H''[''y''])

또한, ''A''가 단위적이라면, 다음이 성립한다.

:''H''[1] = 0

리 대수의 표현의 경우, 모든 차수와 (−1)의 거듭제곱 인수를 제거하면 된다.

리 (초)대수는 대수이며, 자체에 대한 수반 표현을 가진다. 이것은 대수에 대한 표현이다: (반)미분 성질은 슈퍼야코비 항등식이다.

만약 벡터 공간이 결합 대수이면서 리 대수이고, 리 대수 자체에 대한 수반 표현이 대수에 대한 표현(즉, 결합 대수 구조에 대한 미분으로 작용)이라면, 이는 푸아송 대수이다. 리 초대수에 대한 유사한 관찰은 푸아송 초대수의 개념을 이끌어 낸다.

13. 추가 주제

슈어의 보조정리와 유사하며, 체 k 위의 유한 차원 리 대수의 포락환 상의 단순 가군의 자기 준동형은 k 상 대수적임을 말하는 Quillen's lemma|퀼린의 보조정리^영어이다.
Verma module|바르마 가군^영어
Geometric quantization|기하학적 양자화^영어
카즈단-루스틱 추측
Representation of a Lie superalgebra|초 리 대수의 표현^영어
Whitehead's lemma (Lie algebras)|화이트헤드의 보조정리^영어

참조

_[1] 서적
_[2] 서적
_[3] 서적
_[4] 서적
_[5] 서적
_[6] 서적
_[7] 서적
_[8] 서적
_[9] 서적

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