무차별 원리
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
1. 개요
무차별 원리는 여러 가능성 중 어떤 것도 선호할 이유가 없을 때 모든 가능성에 동일한 확률을 할당하는 원리이다. 동전, 주사위, 카드와 같은 예시에 적용되며, 거시적 시스템에서는 물리 법칙을 정확히 알지 못하기 때문에 불확실성을 다루기 위해 사용된다. 이 원리는 확률 계산, 통계 물리학, 특히 열역학적 평형에서의 미시 상태 등에서 활용된다. 그러나 연속 변수에 잘못 적용하면 비논리적인 결과를 초래할 수 있으며, 통계역학의 본질을 벗어난다는 비판도 존재한다. 역사적으로는 에피쿠로스의 다중 설명 원리에서 유래되었으며, 라플라스, 케인스, 제인스 등 여러 학자들에 의해 발전되었다.
더 읽어볼만한 페이지
- 확률론 - 확률 밀도 함수
확률 밀도 함수는 연속 확률 변수의 확률 분포를 나타내는 함수로, 특정 구간에서 확률 변수가 값을 가질 확률은 해당 구간에 대한 함수의 적분으로 계산되며, 통계적 특성 계산 및 변수 변환 등에 활용되어 불확실성 모델링 및 분석에 중요한 역할을 한다. - 확률론 - 체비쇼프 부등식
체비쇼프 부등식은 확률 변수가 평균에서 얼마나 멀리 떨어져 있는지에 대한 확률의 상한을 제공하는 부등식으로, 이레네-쥘 비네메가 처음 공식화하고 체비쇼프와 안드레이 마르코프에 의해 일반화 및 증명되었으며, 확률론적 표현 외에도 측도 공간에 대한 명제로 확장될 수 있다.
| 무차별 원리 | |
|---|---|
| 일반 정보 | |
| 이름 | 무차별 원리 |
| 다른 이름 | 등확률의 원리 동일 가중치의 원리 |
| 영어 이름 | Principle of indifference Principle of equal probabilities Principle of equal weights |
| 설명 | 확률론에서 인식적 확률을 할당하는 규칙 |
2. 예시
무차별 원리의 대표적인 예시는 동전, 주사위, 카드 등이 있다.[2] 이러한 예시들은 시스템을 지배하는 물리 법칙을 완벽하게 알지 못한다는 가정 하에 무작위성을 설명한다. 존 아버스노트는 수 세기 전에 "결정된 힘과 방향으로 주사위가 특정 면으로 떨어지지 않는 것은 불가능하다. 단지, 주사위가 특정 면으로 떨어지게 하는 힘과 방향을 알지 못하기 때문에, 이것을 운이라고 부른다. 운은 단지 기술의 부족일 뿐이다."라고 언급했다.
충분한 시간과 자원이 주어진다면, 동전, 주사위, 카드의 결과를 높은 정확도로 예측할 수 있다는 것을 보여주는 사례로 퍼시 다이코니스의 동전 던지기 기계 연구가 있다.
2. 1. 동전
대칭형 동전은 두 개의 면을 가지며, 임의로 '앞면'(많은 동전에 한 면에는 사람 머리가 그려져 있음)과 '뒷면'으로 표시된다. 동전이 앞면이나 뒷면 중 하나에 놓여야 한다고 가정할 때, 동전 던지기의 결과는 상호 배타적이고, 전체적이며, 상호 교환 가능하다. 무차별 원리에 따르면, 가능한 각 결과에 1/2의 확률을 할당한다.[2]이 분석에서는 동전에 작용하는 힘이 정확하게 알려져 있지 않다는 것이 암시되어 있다. 동전을 던질 때 동전에 가해지는 운동량이 충분히 정확하게 알려진다면, 역학 법칙에 따라 동전의 비행을 예측할 수 있다. 따라서 동전 던지기 결과의 불확실성은 (대부분) 초기 조건에 대한 불확실성에서 파생된다.
이는 한국의 전통 놀이인 윷놀이에서도 중요한 역할을 한다. 윷가락 4개를 던져 나오는 결과(도, 개, 걸, 윷, 모)에 따라 말이 이동하는 방식은 무작위성을 기반으로 한다.
2. 2. 주사위
대칭형 주사위는 1부터 ''n''까지 임의로 숫자가 매겨진 ''n''개의 면을 가지고 있다. 일반적인 정육면체 주사위는 ''n'' = 6개의 면을 가지고 있지만, 다른 개수의 면을 가진 대칭 주사위도 만들 수 있다. (주사위 참조) 주사위는 한 면이 위로 향하게 떨어지며 다른 결과는 없다고 가정한다. 무차별 원리를 적용하여, 가능한 각 결과에 1/''n''의 확률을 할당한다. 동전과 마찬가지로, 주사위를 던지는 초기 조건은 역학 법칙에 따라 결과를 예측할 수 있을 만큼 충분히 정확하게 알려져 있지 않다고 가정한다.여기서 대칭성 가정이 중요하다. "6"의 결과에 대해 베팅하라는 요청을 받았다고 가정해 보자. 우리는 여기에는 "6" 또는 "6이 아님"의 두 가지 관련 결과가 있으며, 이것이 상호 배타적이고 완전하다고 추론할 수 있다. 흔한 오류는 "6이 아님"이 "6"보다 5배 더 가능할 때, 두 결과 각각에 1/2의 확률을 할당하는 것이다.
2. 3. 카드
표준 카드 한 벌은 52장의 카드로 구성되어 있으며, 각 카드에는 임의의 방식으로 고유한 라벨이 지정된다. 즉, 임의로 정렬된다. 덱에서 카드를 한 장 뽑을 때, 무차별 원리를 적용하여 가능한 각 결과에 1/52의 확률을 할당한다.[2]이 예시는 다른 예시보다 실제로 무차별 원리를 실제 상황에 적용하는 어려움을 보여준다. "임의로 정렬된"이라는 문구는 특정 카드를 선호하도록 이끄는 정보가 없다는 것을 의미한다. 실제로는 이런 경우가 드물다. 새 카드 덱은 분명히 임의의 순서가 아니며, 카드 한 벌을 낸 직후의 덱도 마찬가지이다. 따라서 실제로는 카드를 섞는다. 이는 우리가 가진 정보를 파괴하지 않지만, 대신 (바라는 대로) 정보를 실제로 사용할 수 없게 만든다. 비록 원리적으로는 여전히 사용할 수 있지만 말이다. 실제로, 일부 블랙잭 전문가들은 덱을 통해 에이스를 추적할 수 있다. 그들에게는 무차별 원리를 적용하기 위한 조건이 충족되지 않는다.
3. 연속 변수에의 적용
무차별 원칙을 연속 변수에 잘못 적용하면, 특히 다변량 연속 변수의 경우, 비논리적인 결과를 쉽게 초래할 수 있다. 변수 중 하나에 대한 균일 분포는 다른 변수에 대한 불균일 분포를 의미하기 때문이다. 일반적으로 무차별 원리는 어떤 변수가 균등한 인식적 확률 분포를 가져야 하는지 나타내지 않는다.
이러한 오용의 예시는 다음과 같다:
- 베르트랑의 역설: 고전적인 예시이다.
- 상자 속 정육면체 문제:
- 상자 겉면에 정육면체의 변의 길이가 3~5cm 사이라는 정보가 적혀있다.
- 변의 길이에 대한 중간값 4cm를 선택한다.
- 표면적은 54~150cm2 사이이며, 중간값 102cm2를 선택한다.
- 부피는 27~125cm3 사이이며, 중간값 76cm3를 선택한다.
- 이는 불가능한 결론(변의 길이 4cm, 표면적 102cm2, 부피 76cm3)을 도출한다.
- 와인/물 역설: 연결된 변수와 어떤 변수를 선택해야 하는지에 대한 딜레마를 보여준다.
에드윈 T. 제인스는 변환군 원리를 도입하여 이 문제를 해결하고자 했다. 이는 "동등한 문제" 간의 무차별성을 통해 무차별 원리를 일반화한다.
통계 물리학의 기본 가설은 동일한 총 에너지를 가진 시스템의 두 미시 상태가 열역학적 평형에서 동일하게 확률적이라는 것이다. 이는 일종의 무차별 원리이다. 리우빌의 정리는 위치와 켤레 운동량과 같은 정준 켤레 변수의 사용을 정당화한다.
4. 통계 물리학에서의 적용과 비판
무차별 원칙을 잘못 적용하면, 특히 다변량 연속 변수의 경우 무의미한 결과를 낳을 수 있다. 변수 중 하나에 대한 균일 분포는 다른 변수에 대한 균일하지 않은 분포를 의미하기 때문이다. 일반적으로 무차별 원리는 어떤 변수가 균일한 인식 확률 분포를 가져야 하는지를 나타내지 않는다. 베르트랑의 역설은 이러한 무차별 원칙 오용의 예시 중 하나이다. 제인스는 이 문제에 대한 인식 확률 분포를 산출할 수 있는 변환 그룹의 원리를 도입하기도 했다. 포도주/물 역설은 연결된 변수와 어떤 것을 선택해야 하는 딜레마를 보여준다.
4. 1. 통계 물리학에서의 적용
통계 물리학에서 동일한 총 에너지를 가진 시스템의 두 미시 상태가 평형 상태에서 동일한 확률을 가진다는 기본 가설은 어떤 의미에서는 무차별 원칙의 한 예이다.[12] 그러나 미시 상태가 연속 변수(예: 위치 및 운동량)로 설명될 때 확률 밀도가 균일할 매개변수화를 설명하기 위해 추가적인 물리적 기반이 필요하다. Liouville의 정리는 위치 및 켤레 운동량과 같은 표준 켤레 변수의 사용을 정당화한다.등확률 원리는 일부 물리학자들 사이에서 통계역학의 본질을 벗어나 있다는 지적을 받는다. 본질은 등확률로 섞이는 엄청난 개수의 양자 상태의 거의 모든 것이 동일한 열역학적 평형 상태를 나타낸다는 점에 있다. 즉, 각각의 양자 상태 하나하나가 이미 평형 상태를 나타내고 있으며, 섞어서 처음으로 평형 상태를 나타낼 수 있는 것은 아니다. 최근에 이 사실이 명시적으로 언급된 해설이나 교과서가 등장하고 있다. 예를 들어, 컴퓨터 시뮬레이션 결과 평형 상태에 도달한 후에는, 어느 시점의 어느 순간을 보더라도 입자의 속도 분포는 맥스웰 분포를 따른다. 이는 각 순간순간의 상태가 (다수의 미시 상태를 섞은 것이 아니라) 단 하나의 미시 상태이며, 평형 상태에 있다는 증거 중 하나이다.
그럼에도 불구하고 등확률 원리가 잘못된 결과를 주지 않는 이유는, "빨간 것을 많이 모아서 섞어도 역시 빨갛다"는 것과 같다. 등확률로 나타나는 엄청난 개수의 양자 상태 각각에 대해 거시적인 물리량을 계산하면, 대부분의 상태가 같은 값을 갖는다. 따라서, 이러한 양자 상태를 섞은 후 거시적인 물리량을 계산해도 역시 동일한 물리량 값을 갖게 된다. 즉, 등확률 원리를 채택해도 계산 결과는 틀리지 않지만, 본질은 벗어나고 있는 것이다.
등확률 원리에 기반한 확률 모델은, 어디까지나 평형 상태의 거시적인 성질을 기술하기 위한 이론적인 방편에 지나지 않는다. 현실의 평형 상태가 "확률에 의해 준비되어 있다"거나 "등확률 원리를 정확히 따른다"고 생각해서는 안 된다. 우리는 평형 상태를 "거시적인 물리량에 대해 정해진 값을 대응시키는 장치"로 간주하지만, 등확률 원리에 기반한 확률 모델은 평형 상태의 그러한 측면만을 재현하도록 설계된 "(이론적) 장치"로 보아야 한다.
등확률 원리에 따라 고립된 평형계의 에너지 고유 상태의 확률 분포, 즉 미시적 정준 분포가 정의되며, 미시적 정준 분포로부터 정준 분포가 유도된다.
평형 통계역학에서 등확률의 원리는 가정 또는 선험적인 공리로 설정된다. 옛날에는 등확률의 원리를 뒷받침하는 근거로 에르고딕 가설이 언급되었다.[13] 이 가설에 따르면, 분자 상태에 상관관계가 없는 분자적 혼돈 상태를 가정하면, 충분히 긴 시간 규모에 대해, 계의 시간적 발전에 따라 가능한 모든 미시적 상태를 취한다고 생각할 수 있다. 에르고딕 가설에 의해, 동일한 역학계를 무수히 모은 앙상블은, 하나의 역학계를 반복해서 관측하는 것과 동등하다고 생각할 수 있다.[14][15]
에르고딕 가설이 등확률의 원리를 뒷받침한다고 여겨졌지만,[16] 이 가설은 본질을 벗어나 불필요하다는 주장이 있다. 타자키에 의한 설명에서는 다음과 같이 에르고딕 가설이 부정되고 있다.[17]
- 에르고딕 가설에서는 시간 평균이 위상 평균과 같아지는 것(에르고딕성)이 등확률의 원리를 사용하는 근거로 여겨지지만, 현실의 관측 시간에서는 에르고딕성이 성립하지 않는다.
- 에르고딕성이 성립하는 확률 척도는 등확률적인 척도에 한정되지 않는다.
- 에르고딕 가설은 거시적인 계라는 점을 사용하지 않으므로, 통계역학의 정당화로서 빗나갔다.
4. 2. 비판 (일본어 위키백과)
일부 물리학자들은 통계역학의 본질이 등확률 원리가 아니라, 엄청난 수의 양자 상태가 거의 모두 동일한 열역학적 평형 상태를 나타낸다는 데 있다고 지적한다. 즉, 각각의 양자 상태 하나하나가 이미 평형 상태를 나타내며, 섞어서 처음으로 평형 상태를 나타낼 수 있는 것은 아니다. 등확률 원리가 잘못된 결과를 주지 않는 이유는 "빨간 것을 많이 모아서 섞어도 역시 빨갛다"는 비유처럼, 대부분의 상태가 같은 값을 갖기 때문이다.[13]평형 통계역학에서 등확률 원리는 가정 또는 선험적인 공리로 설정된다. 과거에는 등확률 원리를 뒷받침하는 근거로 에르고딕 가설이 언급되었다.[13] 이 가설에 따르면, 분자 상태에 상관관계가 없는 분자적 혼돈 상태를 가정하면, 충분히 긴 시간 규모에 대해, 계의 시간적 발전에 따라 가능한 모든 미시적 상태를 취한다고 생각할 수 있다. 에르고딕 가설에 의해, 동일한 역학계를 무수히 모은 앙상블은 하나의 역학계를 반복해서 관측하는 것과 동등하다고 생각할 수 있다.[14][15]
하지만 에르고딕 가설이 등확률 원리를 뒷받침한다는 생각은 본질을 벗어나 불필요하다는 주장이 있다. 타자키는 다음과 같은 이유로 에르고딕 가설을 부정한다.[17]
- 에르고딕 가설에서는 시간 평균이 위상 평균과 같아지는 것(에르고딕성)이 등확률 원리를 사용하는 근거로 여겨지지만, 현실의 관측 시간에서는 에르고딕성이 성립하지 않는다.
- 에르고딕성이 성립하는 확률 척도는 등확률적인 척도에 한정되지 않는다.
- 에르고딕 가설은 거시적인 계라는 점을 사용하지 않으므로, 통계역학의 정당화로서 빗나갔다.
5. 역사
이 원리는 에피쿠로스의 "다중 설명" 원리(pleonachos tropos)에서 유래되었으며,[3] 이에 따르면 "데이터와 일치하는 이론이 여러 개 있는 경우, 그 모든 것을 유지하라"는 것이다. 에피쿠로스 학파의 루크레티우스는 시체의 죽음에 대한 여러 원인에 대한 비유로 이 점을 발전시켰다.[4]
확률에 관해 최초로 글을 쓴 야코프 베르누이와 피에르시몽 라플라스는 무차별 원리를 직관적으로 명백한 것으로 여겼다. 라플라스는 다음과 같이 적었다.
:확률 이론은 모든 종류의 사건을 동일하게 가능한 특정 수의 경우로 줄이는 것으로 구성되는데, 즉, 그 존재에 대해 우리 모두가 동등하게 결정되지 않은 경우로, 그리고 확률이 탐구되는 사건에 유리한 경우의 수를 결정하는 것으로 구성된다. 이 수와 가능한 모든 경우의 수의 비율은 이 확률의 척도이며, 이는 단순히 분자가 유리한 경우의 수이고 분모가 가능한 모든 경우의 수인 분수이다.
이전의 저자들, 특히 라플라스는 무차별 원리를 연속 매개변수의 경우로 순진하게 일반화하여 소위 "균등 사전 확률 분포", 즉 모든 실수에 대해 일정한 함수를 제공했다. 그는 이 함수를 사용하여 매개변수 값에 대한 지식이 전혀 없음을 표현했다. 스티글러(135페이지)에 따르면 라플라스의 균등 사전 확률에 대한 가정은 형이상학적 가정이 아니었다.[5] 이는 분석의 편의를 위해 이루어진 암묵적인 가정이었다.
요하네스 폰 크라이스는 고트프리트 라이프니츠의 충분한 이유의 원리를 이용한 말장난으로 보이는 '''불충분한 이유의 원리'''라는 이름을 처음 붙였다.[6]
존 메이너드 케인스는 "불충분한 이유의 원리"를 "무차별 원리"로 이름을 변경하였으며,[7] 불평등한 확률을 나타내는 지식이 없을 때만 적용된다는 점을 주의 깊게 언급했다.
무차별 원리는 동등한 지식 상태에 동등한 인식론적 확률을 할당해야 한다는 점에 주목함으로써 더 깊은 논리적 정당성을 부여할 수 있다. 이러한 주장은 에드윈 톰슨 제인스에 의해 제기되었으며, 이는 제프리스 사전확률에서와 같은 변환군 원리와 최대 엔트로피 원리의 두 가지 일반화로 이어진다.[8]
참조
[1]
Preprint
Principles of Indifference
http://philsci-archi[...]
2019-04-30
[2]
학술지
Fair Dice
[3]
서적
Lucretius Poet and Philosopher
De Gruyter
2020-07-06
[4]
학술지
A Philosophical Treatise of Universal Induction
2011-06-03
[5]
서적
The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty Before 1900
https://archive.org/[...]
Belknap Press of Harvard University Press
[6]
서적
Scientific Reasoning : The Bayesian Approach
Open Court
[7]
서적
A Treatise on Probability
Macmillan and Co.
[8]
서적
Probability Theory: The Logic of Science
https://books.google[...]
Cambridge University Press
[9]
문서
田崎 『統計力学 Ⅰ』pp.92-93
[10]
문서
このことは、系の巨視的な状態量を固定しても微視的な状態量については[[自由度]]が残ることから理解できる。
[11]
문서
ただしこの場合の測定とは、測定[[誤差]]のない理想的な測定である。
[12]
문서
つまり{{仮リンク|外界 (システム)|en|Environment_(systems)|label=外界}}との[[相互作用#物理学|相互作用]]が無視できる系。
[13]
문서
[[#kubo|久保『熱学・統計力学』]]p.199 では、エルゴード定理が"等重率の原理を根拠づける望みがある"としつつ、"本当に等重率の原理の証明になるかどうかについてはいろいろ議論がある"としている。
[14]
문서
[[統計集団#ichimura|市村『統計力学』pp]].64-66, §12.2
[15]
문서
[[統計集団#kubo|久保『熱学・統計力学』p]].199,
[16]
문서
[[統計集団#ichimura|市村『統計力学』pp]].64-66, §12.2
[17]
문서
田崎『統計力学1』pp.98-100
[18]
웹인용
Principles of Indifference
http://philsci-archi[...]
2019-09-30
본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.
문의하기 : help@durumis.com