베르트랑의 역설 (확률)

3. 세 가지 해법 상세 설명

문제의 고전적인 해법은 현을 "임의로" 선택하는 방법에 따라 달라진다.^[6] 이 주장은 무작위 선택 방법을 명시하면 문제에 잘 정의된 해법이 있을 것이라는 점을 보여준다(무차별성의 원칙에 의해 결정됨). 베르트랑이 제시한 세 가지 해법은 서로 다른 선택 방법에 해당하며, 추가 정보가 없는 한 어느 쪽을 다른 쪽보다 선호할 이유가 없다. 따라서 명시된 문제는 고유한 해법을 갖지 않는다.^[4]

이 문제에 대한 고전적인 해답은 앞서 언급했듯이 "무작위로" 현을 선택하는 방법에 달려 있다. 즉, 무작위 선택 방법이 확정되면, 그리고 그 때에만 이 문제는 정의된 문제로서의 해를 갖는다. 선택 방법은 유일하지 않으므로, 유일한 해는 존재할 수 없다. 베르트랑이 제시한 3가지 해는 서로 다른 선택 방법에 대응하며, 하나를 다른 것보다 더 좋다고 할 이유가 없다. 이 문제와 같은, 확률의 고전적 해석이 안고 있는 역설은 빈도주의나 베이즈 확률과 같은 보다 엄밀한 공식화를 정당화하는 요인이 되었다.

=== 첫 번째 해법 (무작위 끝점) ===

현의 종점을 무작위로 놓는(random endpoint) 해법이다.

3. 1. 첫 번째 해법 (무작위 끝점)

3. 2. 두 번째 해법 (무작위 반지름)

3. 3. 세 번째 해법 (무작위 중점)

4. 고전적 해법과 논쟁

베르트랑은 이 역설이 '무작위'라는 용어의 모호성 때문에 발생한다고 지적했다.^[16] 각 해법은 서로 다른 '무작위' 선택 방식을 전제하고 있으며, 어떤 방법이 더 타당한지에 대한 합의가 없었다.^[4][6][18]

5. 에드윈 제인스의 "최대 무지" 해결법

에드윈 톰슨 제인스는 1973년 논문 "우량 조건 문제"(The Well-Posed Problem)^[19][5][11]에서 "최대 무지 원칙"에 기반해 베르트랑의 역설에 대한 해법을 제시했다. 최대 무지 원칙이란 문제에서 설명하지 않은 추가 정보를 사용해서 풀어서는 안 된다는 원칙이다.^[19] 제인스는 베르트랑이 처음 제시한 문제가 원의 위치나 크기를 전혀 명시하지 않았다고 지적하면서, 명확하고 객관적인 정답은 원의 위치나 크기와는 전혀 "상관이 없어야" 한다고 주장하였다. 즉 문제의 정답은 원의 크기 변환이나 평행 이동 변환에 대해 불변량이어야 한다는 것이다.

예를 들어, 빨대를 멀리서 지름이 2인 원 위에 던지고 원 위에 걸쳐진 빨대 선을 현으로 변환해서 확률을 측정한다고 가정할 때, 지름이 2인 원 안에 지름이 더 작은 1의 원을 둔다면, 작은 원 안에 있는 현의 분포는 큰 원 안에 있는 현의 분포와 같아야 한다. 또한 평행 이동 변환에 대해서도 불변해야 하므로 작은 원이 큰 원 안 어디든지 이동하더라도 내부의 현 분포는 변하지 말아야 한다. 방법 3의 경우에는 두 변환에 대해 현의 밀도가 불변하지 않고 변한다는 사실을 볼 수 있는데, 아래 사진의 경우 작은 빨강 원 내부의 현 분포는 큰 원의 현 분포와 완전히 다르다.

6. 실제 실험과 현대적 발전

베르트랑의 역설은 실제 물리적 실험을 통해서도 검증될 수 있다.^[20] 이러한 실험들은 '무작위' 선택 방식에 따라 결과가 달라짐을 실제로 보여준다.^[22][23][16] 예를 들어 원 중앙에 둘레 위의 한 점을 가리키는 회전기를 단 후 서로 다른 두 회전기의 서로 독립된 회전 결과 점을 이은 현을 표시하면 첫 번째 방법의 확률이 구해진다.^[21] 또한 원 전체를 끈적한 당밀로 덮은 후 파리를 날려보내 처음에 원 위에 앉은 점을 현의 중점으로 두도록 계산하면 세 번째 방법의 확률이 구해진다.^[21]

중력이 작용하는 실험의 경우, 통계역학과 유체역학과 같은 특정 물리계에 존재하는 변환 불변량을 만족하는 방법은 두 번째 방법만이 정답으로 인정되며 실제 실험에서도 1/2로 측정된다.^[20]

2007년 저서 《베르트랑의 역설과 무관심의 원리》에서 니콜라스 샤켈은 1세기가 넘도록 이 역설은 여전히 해결되지 않고 있으며, 무차별성의 원리에 대한 반박을 계속하고 있다고 주장했다.^[17] 샤켈은 베르트랑의 역설을 해결하기 위해 일반적으로 두 가지 다른 접근법, 즉 ''distinction'' 전략과 ''well-posed'' 전략이 채택되었다고 강조하며, 루이 마리노프를 ''distinction'' 전략의 대표자로, 에드윈 제인스를 ''well-posed'' 전략의 대표자로 소개한다.^[17][18][19]

7. 대한민국 교육과정 및 사회적 함의

참조

_[1] 서적 Calcul des probabilités http://gallica.bnf.f[...] Gauthier-Villars
_[2] 간행물 Bertrand's Paradox and the Principle of Indifference http://orca.cf.ac.uk[...]
_[3] 학술지 Note Concerning Two Problems in Geometrical Probability https://www.jstor.or[...] 1934
_[4] 간행물 A resolution of Bertrand's paradox
_[5] 간행물 The Well-Posed Problem http://bayes.wustl.e[...]
_[6] 간행물 Failure and Uses of Jaynes' Principle of Transformation Groups
_[7] 간행물 The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions https://archive.org/[...] University of Chicago Press
_[8] 간행물 Bertrand's Paradox The Mathematical Association 1984-03
_[9] 간행물 Marginalia: more on randomness 1984-05
_[10] 서적 数学チュートリアル やさしく語る確率統計 オーム社
_[11] 간행물 The Well-Posed Problem http://bayes.wustl.e[...]
_[12] 간행물 The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions The University of Chicago Press
_[13] 간행물 Bertrand's Paradox The Mathematical Association 1984-03
_[14] 간행물 Marginalia: more on randomness 1984-05
_[15] 서적 Calcul des probabilités http://gallica.bnf.f[...] Gauthier-Villars
_[16] 저널 Failure and Uses of Jaynes' Principle of Transformation Groups
_[17] 저널 Bertrand's Paradox and the Principle of Indifference http://orca.cf.ac.uk[...]
_[18] 저널 A resolution of Bertrand's paradox https://archive.org/[...]
_[19] 저널 The Well-Posed Problem http://bayes.wustl.e[...]
_[20] 저널 Bertrand's paradox의 분석을 통한 기하학적 확률에 관한 연구 https://www.dbpia.co[...] 대한수학교육학회 2021-07-12
_[21] 저널 The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions https://archive.org/[...] University of Chicago Press
_[22] 저널 Bertrand's Paradox https://archive.org/[...] The Mathematical Association 1984-03
_[23] 저널 Marginalia: more on randomness 1984-06