미분학

3. 미분의 역사

접선 개념은 고대 그리스의 유클리드(기원전 300년경), 아르키메데스(기원전 287–212년경), 페르가 아폴로니우스(기원전 262–190년경) 등이 알고 있었던 오래된 개념이다. 아르키메데스는 무한소를 사용했지만, 주로 면적과 부피 연구에 활용했다.

바스카라 2세(1114–1185)는 변화율 계산에 무한소를 사용하여 롤의 정리와 같은 미분학의 핵심 개념을 발전시켰다는 주장이 있다.

샤라프 알딘 알-투시(1135–1213)는 ''방정식 논문''에서 3차 방정식 해의 조건을 연구했다. 로쉬디 라셰드는 알-투시가 3차 함수 도함수를 사용했다고 주장했지만, 다른 학자들은 다른 방법을 사용했을 가능성을 제시한다.

아이작 뉴턴(1643–1727)과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠(1646–1716)는 미분과 도함수에 대한 독립적이고 통일된 접근을 제공하며 현대 미분학을 발전시켰다.^[16] 이들은 미적분학의 기본 정리를 통해 미분과 적분을 연결하여 이전의 면적, 부피 계산 방법을 대체했다. 뉴턴과 라이프니츠는 피에르 드 페르마(1607-1665), 아이작 배로(1630–1677) 등의 연구를 바탕으로 했다. 뉴턴은 미분을 이론 물리학에 처음 적용했고, 라이프니츠는 현대적 표기법을 체계화하여 미분학 발전에 핵심적 역할을 했다.

17세기 이후 오귀스탱 루이 코시(1789–1857), 베른하르트 리만(1826–1866), 카를 바이어슈트라스(1815–1897) 등 많은 수학자들이 미분 이론을 더욱 엄밀하게 정립했다. 19세기에는 미분이 유클리드 공간과 복소 평면으로 일반화되었다.

20세기에는 르베그 적분과 분포 이론을 통해 미분에 대한 이해가 더욱 확장되었다.

3. 1. 한국 수학사에서의 미분

4. 미분의 응용

미분은 최적화 문제 해결, 뉴턴 역학에서 물체의 운동 분석, 미분 방정식을 통한 자연 현상 모델링, 평균값 정리를 이용한 함수 분석, 테일러 급수를 통한 함수 근사, 음함수 정리를 통한 도형 분석 등 다양한 분야에 응용된다.^[1]

4. 1. 최적화 문제

• 이계도함수가 양수이면, 그 점은 극소점이다.
• 이계도함수가 음수이면, 그 점은 극대점이다.
• 이계도함수가 0이면, 그 점은 극소점, 극대점, 또는 둘 다 아닐 수 있다.

4. 1. 1. 변분법

4. 2. 물리학

미분학은 물리학에서 매우 중요하다. 많은 물리적 과정은 미분 방정식으로 설명된다. 물리학은 특히 양이 시간에 따라 변화하고 발전하는 방식에 관심을 가지며, "'''시간 미분'''"(시간에 따른 변화율) 개념은 여러 중요한 개념을 정확하게 정의하는 데 필수적이다. 특히, 뉴턴 역학에서 물체의 위치에 대한 시간 미분은 중요하다.

4. 2. 1. 뉴턴 역학

미분 방정식을 포함하는 방정식을 통해 많은 물리적 과정이 설명되는데, 이는 물리학에서 미분학이 매우 중요한 이유이다. 물리학은 특히 양이 시간에 따라 변화하고 발전하는 방식에 관심을 가지며, "'''시간 미분'''"(시간에 따른 변화율)의 개념은 여러 중요한 개념을 정확하게 정의하는 데 필수적이다. 특히, 뉴턴 역학에서 물체의 위치에 대한 시간 미분은 중요하다.

• 속도는 물체의 변위(원점으로부터의 거리)에 대한 미분(시간에 대한)이다.
• 가속도는 물체의 속도에 대한 미분(시간에 대한), 즉 물체의 위치에 대한 이계도함수(시간에 대한)이다.

예를 들어, 직선 상의 물체의 위치가 다음과 같이 주어지는 경우:

:$x(t)\; =\; -16t^2\; +\; 16t\; +\; 32\; ,\; \backslash ,\backslash !$

물체의 속도는 다음과 같다.

:$\backslash dot\; x(t)\; =\; x\text{'}(t)\; =\; -32t\; +\; 16,\; \backslash ,\backslash !$

그리고 물체의 가속도는 다음과 같다.

:$\backslash ddot\; x(t)\; =\; x\text{'}\text{'}(t)\; =\; -32,\; \backslash ,\backslash !$

이는 상수이다.

4. 2. 2. 열 방정식

주어진 소스에는 열 방정식에 대한 내용이 없으므로, 섹션 내용을 작성할 수 없다.

4. 3. 미분 방정식

미분 방정식은 함수와 그 도함수 간의 관계를 나타내는 방정식으로, 자연 현상, 사회 현상 등 다양한 분야의 모델링에 사용된다. 미분 방정식은 크게 상미분 방정식과 편미분 방정식으로 나뉜다. 상미분 방정식은 하나의 독립 변수에 대한 함수와 그 도함수들의 관계를 나타내는 반면, 편미분 방정식은 여러 개의 독립 변수에 대한 함수와 그 편도함수들의 관계를 나타낸다.

예를 들어, 뉴턴의 운동 제2법칙은 가속도와 힘의 관계를 설명하는 상미분 방정식으로 표현될 수 있다.

:$F(t)\; =\; m\backslash frac\{d^2x\}\{dt^2\}.$

또한, 열 방정식은 곧은 막대기를 통해 열이 확산되는 현상을 설명하는 편미분 방정식의 한 예시이다.

:$\backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; t\}\; =\; \backslash alpha\backslash frac\{\backslash partial^2\; u\}\{\backslash partial\; x^2\}.$

여기서 u(x,t)|u(x,t)^영어는 위치 x|x^영어와 시간 t|t^영어에서 막대의 온도이며, α|α^영어는 막대를 통해 열이 얼마나 빨리 확산되는지에 따라 달라지는 상수이다.

4. 3. 1. 상미분 방정식

상미분 방정식은 하나의 독립 변수에 대한 함수와 그 도함수들의 관계를 나타내는 미분 방정식이다. 예를 들어, 가속도와 힘의 관계를 설명하는 뉴턴의 운동 제2법칙은 상미분 방정식으로 표현될 수 있다.

4. 3. 2. 편미분 방정식

편미분 방정식은 여러 개의 독립 변수에 대한 함수와 그 편도함수들의 관계를 나타내는 방정식이다. 예를 들어, 곧은 막대기를 통해 열이 어떻게 확산되는지를 설명하는, 한 공간 변수의 열 방정식은 다음과 같은 편미분 방정식이다.

:$\backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; t\}\; =\; \backslash alpha\backslash frac\{\backslash partial^2\; u\}\{\backslash partial\; x^2\}.$

여기서 u(x,t)|u(x,t)^영어는 위치 x|x^영어와 시간 t|t^영어에서 막대의 온도이며, α|α^영어는 막대를 통해 열이 얼마나 빨리 확산되는지에 따라 달라지는 상수이다.

4. 4. 평균값 정리

평균값 정리는 도함수의 값과 원래 함수의 값 사이의 관계를 설명한다. 만약 $f(x)$가 실수 값을 갖는 함수이고, $a$와 $b$가 를 만족하는 수일 때, 평균값 정리는 두 점 $(a,\; f(a))$와 $(b,\; f(b))$ 사이의 기울기가 $a$와 $b$ 사이의 어떤 점 $c$에서 $f$의 접선의 기울기와 같다고 말한다. 즉, 다음이 성립한다.

:$f\text{'}(c)\; =\; \backslash frac\{f(b)\; -\; f(a)\}\{b\; -\; a\}.$

실제로 평균값 정리는 도함수를 통해 함수를 제어한다. 예를 들어, $f$가 각 점에서 0과 같은 도함수를 갖는다고 가정하면, 이는 접선이 모든 점에서 수평임을 의미하므로 함수도 수평이어야 한다. 평균값 정리는 이것이 사실임을 증명한다. $f$ 그래프 위의 임의의 두 점 사이의 기울기는 $f$의 접선 중 하나의 기울기와 같아야 하며, 그것은 모두 0이므로, 그래프 위의 한 점에서 다른 임의의 점으로 그은 임의의 직선도 기울기가 0이어야 한다. 그리고 그런 함수는 상승하거나 하강할 수 없으므로 수평선일 뿐이다. 도함수에 대해 더 복잡한 조건을 주면, 정확성은 떨어지지만 더 유효한 원래 함수에 대한 정보를 얻을 수 있다.

4. 5. 테일러 급수

테일러 다항식의 극한은 '''테일러 급수'''라고 하는 무한 급수이다. 테일러 급수는 원래 함수에 대한 매우 좋은 근사치가 되는 경우가 많다. 테일러 급수는 함수를 특정 점에서의 미분값들을 이용하여 나타낸다.^[1]

함수를 근사하는 방법으로, 주어진 점에서 함수의 최상의 선형 근사를 제공하는 도함수가 있다. 하지만, 이는 원래 함수와 매우 다를 수 있다. 근사를 향상시키는 한 가지 방법은 2차 근사를 사용하는 것이다. 점 $x_0$에서의 실수 값 함수 $f(x)$의 선형화는 선형 다항식 $a + b(x - x_0)$이며, 2차 다항식 $a + b(x - x_0) + c(x - x_0)^2$를 고려하여 더 나은 근사를 얻을 수 있다.

더 나아가 3차 다항식 $a + b(x - x_0) + c(x - x_0)^2 + d(x - x_0)^3$을 생각할 수 있으며, 이 아이디어는 임의로 높은 차수의 다항식으로 확장될 수 있다. 이러한 각 다항식에 대해 근사를 가능한 한 좋게 만드는 최상의 계수 $a$, $b$, $c$, $d$를 선택해야 한다. $x_0$의 근방에서, $a$에 대한 최상의 선택은 항상 $f(x_0)$이고, $b$에 대한 최상의 선택은 항상 $f'(x_0)$이다. $c$, $d$ 및 고차 계수의 경우, 이러한 계수는 $f$의 고차 도함수에 의해 결정된다. $c$는 항상 $\frac{f''(x_0)}{2}$이고, $d$는 항상 $\frac{f'''(x_0)}{3!}$이다. 이러한 계수를 사용하면 $f$의 '''테일러 다항식'''이 된다.

차수 $d$의 테일러 다항식은 $f$를 가장 잘 근사하는 차수 $d$의 다항식이며, 그 계수는 위의 공식의 일반화를 통해 찾을 수 있다. 테일러 정리는 근사가 얼마나 좋은지에 대한 정확한 경계를 제공한다. $f$가 $d$ 이하의 차수를 갖는 다항식인 경우, 차수 $d$의 테일러 다항식은 $f$와 같다.^[1]

자신의 테일러 급수와 동일한 함수를 해석 함수라고 한다. 불연속점이나 날카로운 모서리가 있는 함수는 해석적일 수 없다. 또한, 해석적이지 않은 매끄러운 함수도 존재한다.^[1]

4. 6. 음함수 정리

원과 같은 자연스러운 기하학적 도형은 함수의 그래프로 그릴 수 없다. 예를 들어, 인 경우, 원은 을 만족하는 모든 쌍 의 집합이다. 이 집합은 의 영점 집합이라고 하며, 포물면인 의 그래프와는 다르다. 음함수 정리는 과 같은 관계를 함수로 변환한다. 이 정리는 가 연속 미분 가능하면, 대부분의 점 주위에서 의 영점 집합은 함수 그래프를 붙여 놓은 것처럼 보인다고 말한다. 이 조건이 성립하지 않는 점은 의 도함수에 대한 조건에 의해 결정된다. 예를 들어, 원은 두 함수 의 그래프를 붙여서 만들 수 있다. 과 을 제외한 원의 모든 점의 근방에서 이 두 함수 중 하나는 원과 같은 그래프를 갖는다. (이 두 함수는 과 에서도 만나지만, 이는 음함수 정리에 의해 보장되는 것은 아니다.)

음함수 정리는 함수가 가역 함수의 그래프를 붙여 놓은 것처럼 보이는 경우를 나타내는 역함수 정리와 밀접한 관련이 있다.

참조

_[1] 웹사이트 Definition of DIFFERENTIAL CALCULUS https://www.merriam-[...] 2020-05-09
_[2] 웹사이트 Definition of INTEGRAL CALCULUS https://www.merriam-[...] 2020-05-09
_[3] 서적 How to Think about Analysis Oxford University Press
_[4] 웹사이트 Derivative https://mathworld.wo[...] 2020-07-26
_[5] 문서 Euclid's Elements, The Archimedes Palimpsest and Apollonius of Perga
_[6] 웹사이트 Bhaskaracharya II. http://turnbull.mcs.[...] 2016-09-01
_[7] 간행물 "Reviewed work(s): ''The History of Ancient Indian Mathematics'' by C. N. Srinivasiengar" 1968-10
_[8] 서적 Theories of Light: From Descartes to Newton Cambridge University Press
_[9] 문서
_[10] 문서 ユークリッド原論、アルキメデス・パリンプセストおよび Apollonius of Perga
_[11] MacTutor Biography Aryabhata the Elder
_[12] 간행물 "Reviewed work(s): ''The History of Ancient Indian Mathematics'' by C. N. Srinivasiengar" 1968-10
_[13] 웹사이트 Bhaskaracharya II. http://turnbull.mcs.[...]
_[14] 간행물 Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat
_[15] MacTutor Biography Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi
_[16] 문서 ニュートンの研究は1666年に始まり、ライプニッツは1676年に始まる。が、ライプニッツが最初の論文を出すのが1684年で、1693年に出版のニュートンに先んじている。ライプニッツがニュートンの1673年か1676年の研究ドラフトを目にしたことや、あるいはニュートンがライプニッツの研究を自分の研究の洗練に用いたことなどは、可能性としてはあり得ることである。両者は互いに相手が自分の仕事を盗作したと主張した。この顛末は誰が微分積分学の創始者であるかを巡って両者の苦い論争となり、18世紀初頭の数学界に大きな衝撃を与えた。
_[17] 간행물 Ideas of Calculus in Islam and India
_[18] 문서 限定された特定の場合に関してはジェームス・グレゴリー (1638–1675) がすでに証明しており、いくつか重要な例に関してはピエール・ド・フェルマー (1601–1665) の仕事に見つけることができるとはいえ、これは記念碑的な到達点であった。
_[19] 서적 An Introduction to the History of Mathematics Saunders College Publishing
_[20] 웹인용 Definition of DIFFERENTIAL CALCULUS https://www.merriam-[...] 2020-05-09
_[21] 웹인용 Definition of INTEGRAL CALCULUS https://www.merriam-[...] 2020-05-09