바이어슈트라스의 곱 정리

4. 바이어슈트라스 곱 정리

주어진 0이 아닌 복소수열 $\{a_n\}$에 대해, $|a_n| \to \infty$ 이고, 다음 조건을 만족하는 음이 아닌 정수 수열 $\{p_n\}$이 존재하면,

: $\sum_{n=1}^\infty \left( r/|a_n|\right)^{1+p_n} < \infty,$

다음 함수는 오직 점 $a_n$에서만 영점을 갖는 전해석함수이다.

: $f(z) = \prod_{n=1}^\infty E_{p_n}(z/a_n))$

전해석함수 $f(z)$는 다음과 같이 표현될 수 있다.

: $f(z)=z^m e^{g(z)} \prod_{n=1}^\infty E_{p_n}\!\!\left(\frac{z}{a_n}\right)$

여기서 $g(z)$는 전해석함수이고, $m$은 $z=0$ 에서 $f(z)$의 영점의 차수이다.

간단한 형태의 구성 방법 증명은 다음과 같다.

• $|z|\le R<2R\le |a_n|$이면 $P_n(z)$는,

• 충분히 큰 M에 대하여 $2R\le |a_M|$이면,

• 그러므로 바이어슈트라스 M-판정법에 의하여, $f(z)=\prod_{n=1}^\infty{e^{P_n(z)}\left(1-\frac{z}{a_n}\right)}$는 임의의 폐집합에서 균등수렴하게 된다. 바이어슈트라스의 균등수렴 정리에 의하여, $f$는 그 폐집합 $D$에서 정칙이다. 따라서 $f(z)$는 $(a_n)$의 모든 점들만 영점으로 가지는 전해석함수이다.

4. 1. 예시

• $\backslash sin\; \backslash pi\; z\; =\; \backslash pi\; z\; \backslash prod\_\{n\backslash neq\; 0\}\; \backslash left(1-\backslash frac\{z\}\{n\}\backslash right)e^\{z/n\}\; =\; \backslash pi\; z\backslash prod\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash left(1-\backslash frac\{z^2\}\{n^2\}\backslash right)$
• $\backslash cos\; \backslash pi\; z\; =\; \backslash prod\_\{q\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\},\; \backslash ,\; q\; \backslash ;\; \backslash text\{odd\}\; \}\; \backslash left(1-\backslash frac\{2z\}\{q\}\backslash right)e^\{2z/q\}\; =\; \backslash prod\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash left(\; 1\; -\; \backslash frac\{4z^2\}\{(2n+1)^2\}\; \backslash right)$

5. 증명

|z|\le R<2R\le |a_n|이면 P_n(z)는,

:\left| P_n(z) + \log \left( 1-\frac{z}{a_n} \right) \right| \le 2 \left| \frac{z}{a_n} \right| ^{n+1} \le \frac{1}{2^n}을 만족한다.

다시 말해서 충분히 큰 M에 대하여 2R\le |a_M|이면,

:\sum_{n=M}^\infty{\left|P_n(z)+\log\left(1-\frac{z}{a_n}\right)\right|} \le \sum_{n=M}^\infty {\frac{1}{2^{n}}}<1이다.

그러므로 바이어슈트라스 M-판정법에 의하여, f(z)=\prod_{n=1}^\infty{e^{P_n(z)}\left(1-\frac{z}{a_n}\right)}는 임의의 폐집합에서 균등수렴하게 된다. 그런데 바이어슈트라스의 균등수렴 정리에 의하여, 이 조건에서 f는 그 폐집합 D에서 정칙이다. 따라서 f(z)는 (a_n)의 모든 점들만 영점으로 가지는 전해석함수이다.

6. 일반화

미타그레플레르 정리를 이용하여 바이어슈트라스의 곱 정리를 다음과 같이 일반화할 수 있다.

• 정리 : $(a\_n)$을 $\backslash infty$로 발산하는 서로 다른 복소수들의 수열이며 $(b\_n)$은 임의의 복소수열이라 하자. 그러면 모든 자연수 $n$에 대하여 $f(a\_n)=b\_n$을 만족하는 전해석함수 $f$가 적어도 하나 존재한다.

7. 아다마르 곱 정리

유한 차수를 갖는 전해석함수에 대한 바이어슈트라스 곱 정리의 특수한 경우이다.^[4] 전해석함수 f(z)의 차수가 ρ일 때, 다음과 같은 표현을 갖는다.^[4]

:$f(z)=z^me^\{P(z)\}\backslash prod\_\{k=1\}^\backslash infty\; E\_p(z/a\_k)$

여기서 $a\_k$는 0이 아닌 $f$의 근 ($a\_k\; \backslash neq\; 0$)이고, $m$은 $z\; =\; 0$에서 $f$의 영점의 차수이며($m\; =\; 0$인 경우는 $f(0)\; \backslash neq\; 0$을 의미), $P$는 다항식(그 차수를 $q$라고 함)이고, $p$는 다음 급수가

:$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash frac\{1\}$

참조

_[1] 서적 Theory of Functions, Part II Dover
_[2] 서적 Real and Complex Analysis McGraw Hill
_[3] 서적 Entire Functions Academic Press Inc.
_[4] 서적 Functions of One Complex Variable I, 2nd ed. Springer
_[5] 서적 Theory of Functions, Part II Dover
_[6] 서적 現代複素解析への道標 現代数学社 2017-11-20
_[7] 서적 Entire Functions Academic Press Inc.
_[8] 서적 Real and Complex Analysis McGraw Hill
_[9] 서적 関数論 学術図書出版社 1966-02
_[10] 웹사이트 Weierstrass's Theorem
_[11] 웹사이트 Weierstrass Product Theorem
_[12] 서적 Functions of One Complex Variable I, 2nd ed. Springer
_[13] 문서 z = 0 で ''m'' 位の零点 (m ≧ 0) を持ち、その他の零点が ''α''₁,''α''₂, ..., ''α''_''n'', ''α''_''n''+1,... (0 < |''α''₁| ≦ |''α''₂| ≦ |''α''₃| ...→ ∞) である超越整函数 ''f''(''z'')を、ワイエルシュトラスの標準乗積で、