베유 대수

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 역사
참조

1. 개요

베유 대수는 주어진 체 K와 K 위의 리 대수 \mathfrak{g}에 대하여 정의되는 미분 등급 대수이다. 베유 대수의 코호몰로지는 등급 0을 제외하고 모두 0이며, 이는 리 군 G의 분류 공간의 주다발의 무한소 형태와 관련된다. 이 대수는 앙드레 베유의 이름을 따서 명명되었다.

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베유 대수

2. 정의

체 K와 K 위의 리 대수 \mathfrak{g}가 주어졌을 때, \mathfrak{g}의 베유 대수는 다음과 같은 미분 등급 대수이다.

:\operatorname{W}(\mathfrak{g}) = \bigwedge(\mathfrak{g}^* \oplus \mathfrak{g}[1]) \cong \bigwedge(\mathfrak{g}^*) \otimes \operatorname{Sym}(\mathfrak{g}^*)

:\operatorname{W}^n(\mathfrak{g}) = \bigoplus_{2p+q=n}\operatorname{Sym}^p(\mathfrak{g}^*) \otimes_K \bigwedge^q \mathfrak{g}^*

여기서

(\mathfrak{g}^* \oplus \mathfrak{g}^*[1])는 등급이 1인 \mathfrak{g}^*와 등급이 2인 \mathfrak{g}^*[1]의 직합으로 생성되는 외대수이다. 등급이 2인 것들은 서로 가환이며, 등급이 1인 것들은 서로 반가환이다.
\textstyle\bigwedge(\mathfrak{g}^*) \otimes \operatorname{Sym}(\mathfrak{g}^*)로의 표현에서, 외대수 성분의 생성원의 등급은 1이며, 대칭 대수 성분의 생성원의 등급은 2이다.

그 위의 미분 연산은 다음과 같다.

:\mathrm{d} = \mathrm{d}_1 + \mathrm{d}_2

여기서

\mathrm{d}_1 \colon \mathfrak{g}^* \to \mathfrak{g}[1]은 외대수의 생성원을 대칭 대수의 생성원으로 대응시킨다. 이는 \mathfrak{g}[1] 위에는 0으로 작용한다.
\mathrm{d}_2는 \mathfrak{g}의 슈발레-에일렌베르크 대수 \textstyle\operatorname{CE}(\mathfrak{g}) = \bigwedge\mathfrak{g}^*의 미분이다. 이는 \mathfrak{g}[1] 위에는 작용하지 않는다.

3. 성질

리 대수의 베유 대수의 코호몰로지는 등급 0을 제외하고는 모두 0이다. 이는 완전열

: $K[\mathfrak g^*]^{\mathfrak g} \to \operatorname W(\mathfrak g) \to \operatorname{CE}(\mathfrak g)$

에 속한다. 여기서

$\operatorname{CE}(\mathfrak g)$ 는 $\mathfrak g$ 의 슈발레-에일렌베르크 대수이다.
$K[\mathfrak g^*]^{\mathfrak g}$ 는 $\mathfrak g$ 위의 불변 다항식들의 대수이다.

이 완전열은 리 군

G

의 분류 공간의 주다발

:

G\hookrightarrow \mathrm EG \twoheadrightarrow\mathrm BG

의 무한소 형태이다.

4. 역사

앙드레 베유의 이름을 땄다.

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