코호몰로지

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 특이 코호몰로지
3. 역사
4. 성질
- 4.1. 컵 곱
- 4.2. 푸앵카레 쌍대성
5. 예시
6. 응용
7. 일반화된 코호몰로지 이론
8. 다양한 코호몰로지 이론
참조

1. 개요

코호몰로지는 주어진 공사슬 복합체에서 정의되는 코호몰로지 군을 연구하는 대수적 위상수학의 중요한 개념이다. 위상 공간에 등급 가환환을 연관시키는 불변량으로, 연속 함수에 의해 결정되는 환 준동형사상을 통해 공간 간의 관계를 파악하는 데 사용된다. 특히, 특이 코호몰로지는 특이 사슬 복합체를 통해 정의되며, 컵 곱 연산을 통해 코호몰로지 환을 형성한다. 코호몰로지는 호몰로지와 밀접한 관련이 있으며, 푸앵카레 쌍대성과 같은 중요한 성질을 가지고 있다. 또한 특성류, Eilenberg-MacLane 공간, 캡 곱 등 다양한 응용 분야에서 활용되며, 일반화된 코호몰로지 이론으로 확장되어 K-이론, 코보디즘 등 여러 분야에 적용된다. 특이 코호몰로지 외에도 층 코호몰로지, 에탈 코호몰로지 등 다양한 코호몰로지 이론이 존재한다.

2. 정의

주어진 위상 공간 X에 대해, 특이 사슬 복합체를 구성하고, 각 군에 쌍대 공간을 취하여 코사슬 복합체를 얻는다. 이 코사슬 복합체의 코호몰로지를 '''특이 코호몰로지 군'''이라 정의하며, 이는 X의 위상 불변량이다.

좀 더 구체적으로, 다음과 같은 공사슬 복합체가 주어졌다고 하자.

: $\cdots \leftarrow C^{n+1}(X;G)\ \stackrel{ \delta^n}{\leftarrow}\ C^n (X;G)\ \stackrel{\delta^{n-1}}{\leftarrow}\ C^{n-1}(X;G) \leftarrow \cdots \leftarrow C^0 (X;G) \leftarrow 0.$

그렇다면 코호몰로지 군 $H^n(X;G)$ 은 다음과 같이 정의된다.

: $H^n(X;G)=\ker\delta^n/\operatorname{im}\delta^{n-1}$ .

대수적 위상수학에서 공간의 코호몰로지 군은 다음과 같이 정의할 수 있다. 위상 공간 ''X''가 주어졌을 때, 특이 호몰로지에서처럼 체인 복소수

: $\cdots \rightarrow C_n \stackrel{ \partial_n}{\rightarrow}\ C_{n-1} \rightarrow \cdots$

를 생각한다. 여기서, ''C_n''은 ''X''에서의 특이 ''n''-단순체의 형식적 선형 결합으로 생성되는 자유 아벨 군이며, ∂_''n''은 ''n''차 바운다리 연산자이다.

이제 각 ''C_n''을 그 쌍대 공간 ''C*_n'' = Hom(''C_n, G'')으로 바꾸고, ∂_''n''을 전치

: $\delta^n\colon C_{n-1}^* \rightarrow C_{n}^*$

로 바꾸어, 코체인 복소수

: $\cdots \leftarrow C_{n}^* \stackrel{ \delta^n}{\leftarrow}\ C_{n-1}^* \leftarrow \cdots$

를 얻는다. 그러면 '''''G''를 계수로 갖는 ''n''차 코호몰로지 군'''이 Ker(δ^''n''+1)/Im(δ^''n'')로 정의되며, ''Hⁿ''(''C''; ''G'')로 표기한다. ''C*_n''의 원소는 '''''G''를 계수로 갖는 특이 ''n''-코체인'''이라고 불리며, δ^''n''은 '''코바운다리 연산자'''라고 불린다. Ker(δ^''n''+1), Im(δ^''n'')의 원소는 각각 '''코사이클''', '''코바운다리'''라고 불린다.

''C*_n-1''의 원소 φ가 주어지면, 전치의 성질로부터 ''C*_n''의 원소로서 $\delta^n(\varphi) = \varphi \circ \partial_n$ 임이 따른다. 이 사실을 이용해 코호몰로지와 호몰로지 군을 연결할 수 있다. Ker(δ^''n'')의 모든 원소 φ는 ∂_''n''의 상을 포함하는 핵을 갖는다. 따라서 φ를 Ker(∂_''n''−1)으로 제한할 수 있으며, ∂_''n''의 상에 의한 몫을 취하여 Hom(''H_n, G'')의 원소 ''h''(φ)를 얻는다. φ가 δ^''n''−1의 상에도 포함되어 있다면, ''h''(φ)는 0이다. 따라서 Ker(δ^''n'')에 의한 몫을 취하여 다음 준동형을 얻는다.

: $h: H^n (C; G) \rightarrow \text{Hom}(H_n(C),G).$

이 사상 ''h''는 전사이며, 다음 분열 단사 완전열이 있음을 증명할 수 있다.

: $0 \rightarrow \ker h \rightarrow H^n(C; G) \stackrel{h}{\rightarrow} \text{Hom}(H_n(C),G) \rightarrow 0.$

2. 1. 특이 코호몰로지

특이 코호몰로지는 위상 공간에 등급 가환환을 연관시키는 위상수학의 강력한 불변량이다. 모든 연속 함수

f:X\to Y

는

Y

의 코호몰로지 환에서

X

의 코호몰로지 환으로의 환 준동형사상을 결정하며, 이는

X

에서

Y

로의 가능한 맵에 강력한 제약을 가한다. 호모토피 군과 같은 더 미묘한 불변량과 달리, 코호몰로지 환은 실제로 관심 있는 공간에 대해 계산 가능한 경향이 있다.

위상 공간

X

에 대해 특이 코호몰로지의 정의는 다음 특이 사슬 복합체로 시작한다.

\cdots \to C_{i+1}\stackrel{\partial_{i+1}}{\to} C_i \stackrel{ \partial_i}{\to}\ C_{i-1} \to \cdots

정의에 따르면

X

의 특이 호몰로지는 이 사슬 복합체의 호몰로지이다(하나의 준동형사상의 핵을 이전 준동형사상의 이미지로 나눈 것). 좀 더 자세히 말하면,

C_i

는 표준

i

-단순체에서

X

로의 연속 맵들의 집합("

X

안의 특이

i

-단순체"라고 불림)에 대한 자유 아벨 군이며,

\partial_i

는

i

번째 경계 준동형사상이다.

C_i

그룹은 음의

i

에 대해 0이다.

이제 아벨 군

A

를 고정하고 각 군

C_i

를 그 쌍대 공간

C_i^* = \mathrm{Hom}(C_i,A),

로 대체하고

\partial_i

를 그 쌍대 준동형사상

d_{i-1}: C_{i-1}^* \to C_{i}^*.

로 대체한다.

이는 원래 복합체의 "모든 화살표를 뒤집는" 효과를 가지며 코사슬 복합체가 남는다.

\cdots \leftarrow C_{i+1}^* \stackrel{d_i}{\leftarrow}\ C_{i}^* \stackrel{d_{i-1}}{\leftarrow} C_{i-1}^* \leftarrow \cdots

정수

i

에 대해 계수가

A

인

X

의

i

^번째 '''코호몰로지 군'''은

\operatorname{ker}(d_i)/\operatorname{im}(d_{i-1})

로 정의되고

H^i(X,A)

로 표시된다. 그룹

H^i(X,A)

는 음의

i

에 대해 0이다.

C_i^*

의 원소는 계수가

A

인 '''특이

i

-코사슬'''이라고 불린다. (동등하게,

X

에 대한

i

-코사슬은

X

의 특이

i

-단순체의 집합에서

A

로의 함수로 식별될 수 있다.)

\ker(d)

및

\textrm{im}(d)

의 원소는 각각 '''코사이클''' 및 '''코경계'''라고 불리며,

\operatorname{ker}(d_i)/\operatorname{im}(d_{i-1})=H^i(X,A)

의 원소는 '''코호몰로지 클래스'''라고 불린다(왜냐하면 그것들이 코사이클의 동치류이기 때문이다).

가환환

R

을 계수로 사용하는 경우 코호몰로지 군은

R

-가군이 된다. 표준 선택은 정수의 환

\Z

이다.

코호몰로지의 몇 가지 형식적 속성은 호몰로지의 속성의 작은 변형일 뿐이다.

연속 맵 $f: X \to Y$ 는 코호몰로지에서 '''풀백''' 준동형사상 $f^*: H^i(Y) \to H^i(X)$ 을 결정한다. 이는 코호몰로지를 위상 공간에서 아벨 군(또는 $R$ -가군)으로의 공변 반함수로 만든다.
$X$ 에서 $Y$ 로의 두 개의 호모토피 맵은 코호몰로지에 동일한 준동형사상을 유도한다.
마이어-비토리스 시퀀스는 코호몰로지에서 중요한 계산 도구이다. 코호몰로지에서는 경계 준동형사상이 차수를 감소시킨다. 즉, 공간 $X$ 가 열린 부분 집합 $U$ 와 $V$ 의 합집합이면 다음 긴 완전 시퀀스가 있다.

\cdots \to H^i(X) \to H^i(U)\oplus H^i(V) \to H^i(U\cap V) \to H^{i+1}(X) \to \cdots

공간 $X$ 의 모든 부분 공간 위상 $Y$ 에 대해 상대 코호몰로지 그룹 $H^i(X,Y;A)$ 가 있다. 이들은 긴 완전 시퀀스를 통해 일반적인 코호몰로지 그룹과 관련된다.

\cdots \to H^i(X,Y) \to H^i(X) \to H^i(Y) \to H^{i+1}(X,Y) \to \cdots

유니버설 계수 정리는 Ext 군을 사용하여 호몰로지 측면에서 코호몰로지를 설명한다. 즉, 다음 짧은 완전 시퀀스가 있다.

0 \to \operatorname{Ext}_{\Z}^1(\operatorname{H}_{i-1}(X, \Z), A) \to H^i(X, A) \to \operatorname{Hom}_{\Z}(H_i(X,\Z), A)\to 0.

3. 역사

코호몰로지는 대수적 위상수학의 기본 개념이지만, 호몰로지가 발전한 지 약 40년 후에야 그 중요성이 인식되었다. 앙리 푸앵카레가 푸앵카레 쌍대성 정리를 증명하는 데 사용한 '쌍대 세포 구조' 개념은 코호몰로지 아이디어의 시작을 담고 있었지만, 이는 나중에야 발견되었다.

코호몰로지 개념은 여러 선구자들에 의해 발전되었다. 1920년대 중반, J. W. 알렉산더와 솔로몬 레프셰츠는 매끄러운 다양체 상의 사이클의 교차 이론을 확립했다. 닫힌 유향 ''n''차원 다양체 ''M''에서, 비어있지 않은 교차점을 가진 ''i''-사이클과 ''j''-사이클은 일반 위치에 있다면 (''i'' + ''j'' - ''n'')-사이클을 교차점으로 갖게 된다. 이는 호몰로지 클래스의 곱셈으로 이어졌다.

:math:H_i(M) × H_j(M) → H_i+j-n(M)

이는 나중에 ''M''의 코호몰로지 상의 컵 곱으로 식별될 수 있다.

1930년, 알렉산더는 공간 ''X'' 상의 ''i''-코체인을 ''X''^''i''+1의 대각선에 있는 작은 근방에서의 함수로 생각함으로써, 코체인의 첫 번째 개념을 정의했다.

1931년, 조르주 드 람은 호몰로지와 미분 형식을 연결하여 드 람의 정리를 증명했다. 이 결과는 코호몰로지의 관점에서 더 간단하게 표현될 수 있다.

1934년, 레프 폰트랴긴은 폰트랴긴 쌍대성 정리를 증명했다. 이는 위상군에 대한 결과이며, (상당히 특수한 경우에) 푸앵카레 쌍대성과 알렉산더 쌍대성을 그룹 문자의 관점에서 해석할 수 있게 해주었다.

1935년 모스크바에서 열린 회의에서, 안드레이 콜모고로프와 알렉산더는 모두 코호몰로지를 소개하고 코호몰로지 곱 구조를 구성하려고 시도했다.

1936년, 노먼 스틴로드는 체흐 호몰로지를 쌍대화하여 체흐 코호몰로지를 구성했다.

1936년부터 1938년까지, 하슬러 휘트니와 에두아르트 체흐는 컵 곱 (코호몰로지를 등급환으로 만듦)과 캡 곱을 개발했으며, 푸앵카레 쌍대성이 캡 곱의 관점에서 표현될 수 있음을 깨달았다. 그들의 이론은 여전히 유한 세포 복합체로 제한되었다.

1944년, 새뮤얼 에일렌버그는 기술적인 한계를 극복하고, 특이 호몰로지와 코호몰로지의 현대적인 정의를 제시했다.

1945년, 에일렌버그와 스틴로드는 공리를 제시하여 호몰로지 또는 코호몰로지 이론을 정의했다. 1952년 저서 ''대수적 위상수학의 기초''에서, 그들은 기존 호몰로지 및 코호몰로지 이론이 실제로 그들의 공리를 만족한다는 것을 증명했다.^[2]

1946년, 장 르레는 층 코호몰로지를 정의했다.

1948년 에드윈 스패니어는 알렉산더와 콜모고로프의 연구를 바탕으로 알렉산더-스패니어 코호몰로지를 개발했다.

4. 성질

코호몰로지는 호몰로지와 유사하게 여러 형식적 성질을 갖는다.

연속 맵 $f: X \to Y$ 는 호몰로지에서 푸시포워드 준동형사상 $f_*:H_i(X) \to H_i(Y)$ 과 코호몰로지에서 풀백 준동형사상 $f^*: H^i(Y) \to H^i(X)$ 을 결정한다. 이는 코호몰로지를 위상 공간에서 아벨 군(또는 $R$ -가군)으로의 공변 반함수로 만든다.
$X$ 에서 $Y$ 로의 두 호모토피 맵은 (호몰로지에서와 같이) 코호몰로지에 동일한 준동형사상을 유도한다.
마이어-비토리스 시퀀스는 호몰로지와 마찬가지로 코호몰로지에서 중요한 계산 도구이다. 코호몰로지에서는 경계 준동형사상이 차수를 감소시키는 것이 아니라 증가시킨다는 점에 유의해야 한다. 즉, 공간 $X$ 가 열린 부분 집합 $U$ 와 $V$ 의 합집합이면 다음 긴 완전 시퀀스가 존재한다.

\cdots \to H^i(X) \to H^i(U)\oplus H^i(V) \to H^i(U\cap V) \to H^{i+1}(X) \to \cdots

공간 $X$ 의 모든 부분 공간 위상 $Y$ 에 대해 상대 코호몰로지 그룹 $H^i(X,Y;A)$ 가 있으며, 이들은 긴 완전 시퀀스를 통해 일반적인 코호몰로지 그룹과 관련된다.

\cdots \to H^i(X,Y) \to H^i(X) \to H^i(Y) \to H^{i+1}(X,Y) \to \cdots

유니버설 계수 정리는 Ext 군을 사용하여 호몰로지 측면에서 코호몰로지를 설명한다. 즉, 다음 짧은 완전 시퀀스가 존재한다.

0 \to \operatorname{Ext}_{\Z}^1(\operatorname{H}_{i-1}(X, \Z), A) \to H^i(X, A) \to \operatorname{Hom}_{\Z}(H_i(X,\Z), A)\to 0.

체 $F$ 에 대해 $H^i(X,F)$ 는 벡터 공간 $H_i(X,F)$ 의 쌍대 공간이다.
$X$ 가 위상 다양체 또는 CW 복합체인 경우, 코호몰로지 그룹 $H^i(X,A)$ 는 $X$ 의 차원보다 큰 $i$ 에 대해 0이다. $X$ 가 콤팩트 다양체(경계가 있을 수 있음)이거나 각 차원에 유한 개의 세포를 가진 CW 복합체이고 $R$ 이 가환 Noetherian 환인 경우, $R$ -가군 $H^i(X,R)$ 는 각 $i$ 에 대해 유한 생성된다.

코호몰로지는 컵 곱 연산을 통해 등급 환 구조를 가지며, 이는 호몰로지가 갖지 않은 중요한 구조이다.

4. 1. 컵 곱

컵 곱은 코호몰로지 군 사이의 이중 선형 맵으로, 코호몰로지 환을 정의하는 핵심 연산이다. 대각 사상을 통해 정의될 수 있으며, 외부 곱과 관련된다. 컵 곱은 등급 가환성을 가지며, 이는 코호몰로지 환의 중요한 성질 중 하나이다.^[3]

모든 위상 공간

X

와 가환환

R

에 대해, 컵 곱은 다음과 같은 이중 선형 맵이다.^[3]

H^i(X,R)\times H^j(X,R) \to H^{i+j}(X,R)

코호몰로지 클래스

u

와

v

의 곱은

u\cup v

또는 단순히

uv

로 표기한다. 이 곱은 직합

H^*(X,R)=\bigoplus_i H^i(X,R)

을 '''

X

의 코호몰로지 환'''으로 만든다. 코호몰로지 환은 다음 의미에서 등급 가환이다.^[3]

uv=(-1)^{ij}vu, \qquad u \in H^i(X,R), v \in H^j(X,R).

코호몰로지에 대한 컵 곱은 대각 사상 Δ: ''X'' → ''X'' × ''X'', ''x'' ↦ (''x'',''x'')에서 유래한다. 즉, 코호몰로지류 ''u'' ∈ ''H''^''i''(''X'',''R'') 및 ''v'' ∈ ''H''^''j''(''Y'',''R'')를 갖는 공간 ''X''와 ''Y''에 대해, '''외부 곱'''(또는 '''교차 곱''') 코호몰로지류 ''u'' × ''v'' ∈ ''H''^''i''+''j''(''X'' × ''Y'',''R'')가 존재한다. 클래스 ''u'' ∈ ''H''^''i''(''X'',''R'') 및 ''v'' ∈ ''H''^''j''(''X'',''R'')의 컵 곱은 대각선에 의한 외부 곱의 당김으로 정의할 수 있다.^[3]

uv=\Delta^*(u\times v)\in H^{i+j}(X,R).

다른 방법으로, 외부 곱은 컵 곱으로 정의할 수 있다. 공간 ''X''와 ''Y''에 대해, ''f'': ''X'' × ''Y'' → ''X'' 및 ''g'': ''X'' × ''Y'' → ''Y''를 두 개의 투영이라고 하자. 그러면 클래스 ''u'' ∈ ''H''^''i''(''X'',''R'') 및 ''v'' ∈ ''H''^''j''(''Y'',''R'')의 외부 곱은 다음과 같다.

u\times v=(f^*(u))(g^*(v))\in H^{i+j}(X\times Y,R).

4. 2. 푸앵카레 쌍대성

푸앵카레 쌍대성은 닫힌 유향 다양체의 경우, 코호몰로지 군과 호몰로지 군 사이에 동형 사상을 제공한다. ''X''를 차원이 ''n''인 닫힌 연결된 유향 다양체, ''F''를 체라고 하면, ''H''^''n''(''X'',''F'')는 ''F''와 동형이며, 컵 곱은 다음과 같은 이중 선형 맵을 정의한다.

:

H^i(X,F)\times H^{n-i}(X,F)\to H^n(X,F)\cong F

이 곱은 각 정수 ''i''에 대해 완전 쌍대성이다. 특히, 벡터 공간 ''H''^''i''(''X'',''F'')와 ''H''^{''n''−''i''}(''X'',''F'')는 같은 (유한) 차원을 갖는다. 마찬가지로, ''H''^''n''(''X'','''Z''') ≅ '''Z''' 값을 갖는 비틀림을 제외한 정수 코호몰로지의 곱은 '''Z'''에 대한 완전 쌍대성이다.

컵 곱은 부분 다양체의 교차를 설명하며, 푸앵카레 쌍대성을 통해 호몰로지 클래스와 연결된다. ''X''에서 코드 차원이 ''i''인 닫힌 가향 부분 다양체 ''S''는 [''S'']라고 하는 ''H''^''i''''X''의 코호몰로지 클래스를 결정한다. ''S''와 ''T''가 코드 차원이 ''i''와 ''j''이고 횡단적으로 교차하는 부분 다양체인 경우 다음이 성립한다.

[S][T]=[S\cap T]\in H^{i+j}(X),

여기서 교차 ''S'' ∩ ''T''는 코드 차원이 ''i'' + ''j''인 부분 다양체이며, ''S'', ''T'', ''X''의 방향에 의해 결정된 방향을 갖는다. 매끄러운 다양체의 경우 ''S''와 ''T''가 횡단적으로 교차하지 않더라도, 교차를 횡단적으로 만들기 위해 ''S'' 또는 ''T''를 섭동함으로써 이 공식을 사용하여 컵 곱 [''S''][''T'']를 계산할 수 있다.

5. 예시

다양한 위상 공간에 대한 코호몰로지 환을 계산하는 몇 가지 예시는 다음과 같다. 여기서 코호몰로지는 달리 명시되지 않는 한 정수 '''Z'''를 계수로 사용한다.

점의 코호몰로지 환은 차수 0에서 환 '''Z'''이다. 호모토피 불변성에 의해, 이는 유클리드 공간 '''R'''^''n''과 같은 모든 수축 가능 공간의 코호몰로지 환이기도 하다.
양의 정수 ''n''에 대해, 구 $S^n$ 의 코호몰로지 환은 '''Z'''[''x'']/(''x''²) (주어진 아이디얼로 나눈 다항식 환의 몫 환)이며, ''x''는 차수 ''n''에 있다. 푸앵카레 쌍대성에 따르면, ''x''는 구 위의 점의 클래스이다.
토러스 $(S^1)^n$ 의 코호몰로지 환은 차수 1에 있는 ''n''개의 생성자에 대한 '''Z''' 위의 외대수이다.^[1] 예를 들어, ''P''는 원 $S^1$ 의 점을 나타내고, ''Q''는 2차원 토러스 $(S^1)^2$ 의 점 (''P'',''P'')를 나타낸다. 그러면 (''S''¹)²의 코호몰로지는 자유 '''Z'''-가군으로서 다음과 같은 기저를 가진다.

차수	기저
0	1
1	x := [P × S¹], y := [S¹ × P]
2	xy = [Q]

(암시적으로, 토러스와 두 원의 방향이 여기서 고정되었다.) 차수 가환성에 의해, ''yx'' = −''xy'' = −[''Q'']이다.

''R''을 가환 환이라고 하고, ''X''와 ''Y''를 각 차수에서 ''H''^*(''X'',''R'')이 유한 생성 자유 ''R''-가군이 되도록 하는 모든 위상 공간이라고 하자. (''Y''에 대해서는 가정이 필요하지 않다.) 그러면 Künneth 공식에 의해 곱 공간 ''X'' × ''Y''의 코호몰로지 환은 ''R''-대수의 텐서 곱이다.^[2]

:

H^*(X\times Y,R)\cong H^*(X,R)\otimes_R H^*(Y,R).

실사영 공간 '''RP'''^''n''의 '''Z'''/2 계수를 갖는 코호몰로지 환은 '''Z'''/2[''x'']/(''x''^''n''+1)이며, ''x''는 차수 1에 있다.^[3] 여기서 ''x''는 '''RP'''^''n''의 초평면 '''RP'''^''n''−1의 클래스이다. 이는 '''RP'''^''j''가 짝수이고 양수인 경우에 방향화 가능하지 않더라도, '''Z'''/2 계수를 갖는 푸앵카레 쌍대성이 임의의 다양체에 대해 작동하기 때문에 의미가 있다.^[4] 정수 계수를 사용하면 답이 약간 더 복잡하다. '''RP'''^2''a''의 '''Z'''-코호몰로지는 차수 2에 있는 원소 ''y''를 가지며, 전체 코호몰로지는 차수 0의 원소 1에 의해 생성된 '''Z'''의 복사본과 ''i''=1,...,''a''에 대해 원소 ''y''^''i''에 의해 생성된 '''Z'''/2의 복사본의 직합이다. '''RP'''^2''a''+1의 '''Z'''-코호몰로지는 차수 2''a''+1에 있는 추가 '''Z'''의 복사본과 같다.
복소사영 공간 '''CP'''^''n''의 코호몰로지 환은 '''Z'''[''x'']/(''x''^''n''+1)이며, ''x''는 차수 2에 있다. 여기서 ''x''는 '''CP'''^''n''의 초평면 '''CP'''^''n''−1의 클래스이다. 더 일반적으로, ''x''^''j''는 '''CP'''^''n''의 선형 부분 공간 '''CP'''^{''n''−''j''}의 클래스이다.
닫힌 방향성을 가진 종수 ''g'' ≥ 0의 곡면 ''X''의 코호몰로지 환은 자유 '''Z'''-가군으로서 다음과 같은 형태의 기저를 가진다.

차수	기저
0	1
1	A₁,...,A_g 및 B₁,...,B_g
2	점의 클래스 P

곱은 다음과 같이 주어진다.

곱	결과
모든 i와 j에 대해 A_iA_j, B_iB_j	0
i ≠ j이면 A_iB_j	0
모든 i에 대해 A_iB_i	P

차수 가환성에 의해, ''B''_''i''''A''_''i'' = −''P''가 성립한다.

모든 위상 공간에서, 코호몰로지 환의 차수 가환성은 모든 홀수 차수 코호몰로지 클래스 ''x''에 대해 2''x''² = 0임을 의미한다. 따라서 1/2를 포함하는 환 ''R''에 대해, ''H''^*(''X'',''R'')의 모든 홀수 차수 원소는 제곱이 0이다. 반면에 ''R''이 '''Z'''/2 또는 '''Z'''인 경우 홀수 차수 원소는 제곱이 0일 필요가 없으며, 이는 '''RP'''² ('''Z'''/2 계수) 또는 '''RP'''⁴ × '''RP'''² ('''Z''' 계수)의 예에서 볼 수 있다.

6. 응용

코호몰로지는 위상수학, 미분기하학, 대수기하학 등 다양한 분야에서 응용된다.

6. 1. 특성류

위상 공간 ''X'' 위의 랭크 ''r''인 실수 벡터 다발 ''E''는 ''X'' 위에 코호몰로지류, 즉 '''오일러류''' χ(''E'') ∈ ''H''^''r''(''X'',''Z'')를 결정한다. 비공식적으로, 오일러류는 ''E''의 일반적인 단면의 영점 집합의 류이다.

천류, 슈티펠-휘트니류, 폰트랴긴류를 포함하여 코호몰로지 값을 갖는 벡터 다발에 대한 다른 여러 종류의 특성류가 있다.

6. 2. Eilenberg–MacLane 공간

Eilenberg–MacLane 공간은 코호몰로지를 분류하는 공간이다. 즉, 코호몰로지류와 연속 사상의 호모토피류 사이에 일대일 대응을 제공한다.

각 아벨 군 ''A''와 자연수 ''j''에 대해, ''j''번째 호모토피 군이 ''A''에 동형이고 다른 호모토피 군은 0인 공간

K(A,j)

가 존재한다. 이러한 공간을 '''Eilenberg–MacLane 공간'''이라고 한다. 이 공간은

H^j(K(A,j),A)

의 자연스러운 원소 ''u''가 존재하며, 모든 공간 ''X''의 차수 ''j''인 모든 코호몰로지류는 어떤 연속 사상

X\to K(A,j)

에 의해 ''u''의 당김으로 나타낼 수 있다는 주목할 만한 성질을 가지고 있다. 더 정확히 말하면, 클래스 ''u''를 당겨오면 다음과 같은 전단사가 성립한다.

:

[X, K(A,j)] \stackrel{\cong}{\to} H^j(X,A)

여기서

[X,Y]

는 ''X''에서 ''Y''로 가는 연속 사상의 호모토피류 집합을 나타내며, CW 복합체의 호모토피 유형을 가진 모든 공간 ''X''에 대해 성립한다.

예를 들어, 공간

K(\Z,1)

(호모토피 동치까지 정의됨)은 원

S^1

으로 간주될 수 있다. 따라서 위 설명은

H^1(X,\Z)

의 모든 원소가 어떤 사상

X\to S^1

에 의해

S^1

의 한 점의 클래스 ''u''에서 당겨진다는 것을 의미한다.

임의의 아벨 군 ''A''를 계수로 갖는 1차 코호몰로지에 대한 관련 설명이 있으며, 예를 들어 CW 복합체 ''X''의 경우를 들 수 있다. 즉,

H^1(X,A)

는 군이 ''A''인 ''X''의 갈루아 피복 공간의 동형류 집합, 즉 ''X'' 위의 주 ''A''-다발과 일대일 대응을 이룬다. ''X''가 연결되어 있다면,

H^1(X,A)

가

\operatorname{Hom}(\pi_1(X),A)

에 동형이라는 것을 알 수 있으며, 여기서

\pi_1(X)

는 ''X''의 기본군이다. 예를 들어,

H^1(X,\Z/2)

는 ''X''의 이중 피복 공간을 분류하며,

0\in H^1(X,\Z/2)

의 원소는 자명한 이중 피복, 즉 ''X''의 두 복사본의 분리된 합집합에 해당한다.

6. 3. 캡 곱

캡 곱은 임의의 위상 공간 ''X''에 대해 다음과 같은 쌍선형 사상이다.

:

\cap: H^i(X,R)\times H_j(X,R) \to H_{j-i}(X,R)

여기서 ''i''와 ''j''는 임의의 정수이고, ''R''은 임의의 가환환이다. 결과적인 사상

:

H^*(X,R)\times H_*(X,R) \to H_*(X,R)

은 ''X''의 특이 호몰로지를 ''X''의 특이 코호몰로지 환 위의 가군으로 만든다.

''i'' = ''j''일 때, 캡 곱은 자연스러운 준동형 사상을 제공한다.

:

H^i(X,R)\to \operatorname{Hom}_R(H_i(X,R),R),

이는 ''R''이 체일 때 동형사상이다.

예를 들어, ''X''가 콤팩트할 필요는 없는, 배향된 다양체라고 하자. 그러면 ''X''의 닫힌 배향된 코드차원-''i'' 부분 다양체 ''Y'' (콤팩트일 필요는 없음)는 ''H''^''i''(''X'',''R'')의 원소를 결정하고, ''X''의 콤팩트 배향된 ''j''차원 부분 다양체 ''Z''는 ''H''_''j''(''X'',''R'')의 원소를 결정한다. 캡 곱 [''Y''] ∩ [''Z''] ∈ ''H''_{''j''−''i''}(''X'',''R'')는 ''Y''와 ''Z''를 횡단적으로 교차하도록 섭동시킨 다음, 그 교차의 클래스를 취함으로써 계산할 수 있으며, 이는 차원 ''j'' − ''i''의 콤팩트 배향된 부분 다양체이다.

차원 ''n''의 닫힌 배향된 다양체 ''X''는 ''H''_''n''(''X'',''R'')에 기본류 [''X'']를 갖는다. 푸앵카레 쌍대성 동형사상

H^i(X,R)\overset{\cong}{\to} H_{n-i}(X,R)

은 ''X''의 기본류와의 캡 곱에 의해 정의된다.

7. 일반화된 코호몰로지 이론

일반화된 코호몰로지 이론은 에일렌버그-스틴로드 공리에서 차원 공리를 제외한 나머지 공리들을 만족하는 이론이다. 차원 공리는 단일 점 ''P''에 대해 모든 ''i'' ≠ 0에 대해 ''Hⁱ''(''P'') = 0 이라는 공리인데, 일반화된 코호몰로지 이론에서는 이 공리가 반드시 성립하지는 않는다.

1960년경 조지 W. 화이트헤드는 차원 공리를 완전히 생략하는 것이 유익하다는 것을 관찰했다. 이에 따라 일반 호몰로지 이론 또는 일반 코호몰로지 이론의 개념이 정의되었다. 이러한 이론에는 K-이론, 복소 코보디즘과 같이 특이 코호몰로지로부터 직접 접근하기 어려운 위상 공간에 대한 풍부한 정보를 제공하는 경우가 있다.

일반 코호몰로지 이론은 CW-쌍 (''X'', ''A'') (''X''는 CW 복합체, ''A''는 부분 복합체)의 범주에서 아벨 군의 범주로 가는 반변 함자 ''h''^''i'' (''i''는 정수)들의 모임이며, "경계 준동형" 이라는 자연 변환을 갖는다. (''h''^''i''(''A'')는 ''h''^''i''(''A'',∅)를 의미한다.)

일반 코호몰로지 이론은 다음 공리들을 만족한다.

'''호모토피''': 호모토피 관계에 있는 두 사상은 코호몰로지에서 동일한 준동형사상을 유도한다.
'''정확성''': 각 쌍 (''X'',''A'')에 대해 포함 사상 ''f'': ''A'' → ''X'' 와 ''g'': (''X'',∅) → (''X'',''A'')는 코호몰로지에서 다음과 같은 긴 완전열을 유도한다.

::

\cdots \to h^i(X,A) \overset{g_*}{\to} h^i(X) \overset{f_*}{\to} h^i (A) \overset{d}{\to} h^{i+1}(X,A) \to \cdots.

'''절단''': ''X''가 부분 복합체 ''A''와 ''B''의 합집합이면, 포함 사상 ''f'': (''A'',''A''∩''B'') → (''X'',''B'')는 모든 ''i''에 대해 동형 사상 $h^i(X,B) \overset{f_*}{\to} h^i(A,A\cap B)$ 를 유도한다.
'''가법성''': (''X'',''A'')가 쌍 (''X''_''α'',''A''_''α'')들의 분리 합집합이면, 포함 사상 (''X''_''α'',''A''_''α'') → (''X'',''A'')는 모든 ''i''에 대해 곱군으로의 동형 사상을 유도한다.

::

h^i(X,A)\to \prod_\alpha h^i(X_\alpha,A_\alpha)

스펙트럼은 일반 호몰로지 이론과 일반 코호몰로지 이론을 모두 결정한다. 모든 일반 코호몰로지 이론은 스펙트럼으로부터 나온다.^[1]

일반 코호몰로지 이론의 예시는 다음과 같다.

안정 코호모토피 군 $\pi_S^*(X).$
여러 종류의 코보디즘 군: 비향 코보디즘 $MO^*(X)$ , 방향 코보디즘 $MSO^*(X),$ 복소 코보디즘 $MU^*(X)$ 등.
여러 종류의 위상 K-이론: $KO^*(X)$ (실수 주기 K-이론), $ko^*(X)$ (실수 연결 K-이론), $K^*(X)$ (복소 주기 K-이론), $ku^*(X)$ (복소 연결 K-이론) 등.
브라운-페테르손 코호몰로지, 모라바 K-이론, 모라바 E-이론.
여러 종류의 타원 코호몰로지.

이러한 이론들은 일반 코호몰로지보다 더 풍부한 정보를 주지만, 계산하기는 더 어렵다.

8. 다양한 코호몰로지 이론

특이 코호몰로지 외에도 다양한 코호몰로지 이론이 존재한다. 예를 들어, 위상 공간 X 위의 아벨 군의 층 E에 대해 정의되는 층 코호몰로지 군 Hⁱ(X, E)가 있다. 특히, 아벨 군 A와 관련된 X 위의 상수 층을 사용하면, X가 다양체나 CW 복합체일 때 특이 코호몰로지와 일치하는 코호몰로지 군 Hⁱ(X, A)를 얻는다. 1950년대부터 층 코호몰로지는 정칙 함수 층의 중요성 때문에 대수 기하학과 복소 해석학에서 중요한 역할을 해왔다.

그로텐디크는 호몰로지 대수를 이용하여 층 코호몰로지를 정의했다. 그는 층 코호몰로지 군을 좌 완전 함자 E ↦ E(X) (X 위의 층 E를 X에 대한 전역 단면의 아벨 군 E(X)로 보내는 함자)의 오른쪽 유도 함자로 정의하여, 층 코호몰로지의 다양한 일반화를 가능하게 했다.

유한체 또는 특성 p인 체 위의 다양체를 다룰 때는 고전적인 호몰로지/코호몰로지 정의가 적용되지 않기 때문에, 그로텐디크는 그로텐디크 위상 개념을 도입하고, 에탈 위상에 대한 층 코호몰로지를 사용하여 코호몰로지 이론을 정의했다. 이를 통해 $\ell \neq p$ 인 경우 $\ell$ -adic 코호몰로지를 구성할 수 있다.

부분 스킴 Z ⊂ X (코드차원 ≥ 2)가 주어지면, 블로우업 수열을 통해 코호몰로지를 계산하는 도구가 존재한다.

더 넓은 의미에서, 위상 공간뿐만 아니라 다양한 대수적, 기하학적 구조의 불변량을 다루는 코호몰로지 이론들이 존재한다. 아래는 그 예시이다.

대수적 K-이론
앙드레-퀼렌 코호몰로지
유계 코호몰로지
BRST 코호몰로지
체흐 코호몰로지
가환층 코호몰로지
결정 코호몰로지
순환 코호몰로지
델리뉴 코호몰로지
등변 코호몰로지
에탈 코호몰로지
Ext 군
평탄 코호몰로지
플로어 호몰로지
갈루아 코호몰로지
군 코호몰로지
호흐schild 코호몰로지
교차 코호몰로지
호바노프 호몰로지
리 대수 코호몰로지
국소 코호몰로지
모티브 코호몰로지
비가환 코호몰로지
양자 코호몰로지

위상 공간과 연속 함수의 쌍으로 이루어진 범주에서 아벨 군과 군 준동형의 범주로 가는, 아이렌버그-스티인로드의 공리|아이렌버그-스티인로드 공리^영어를 만족하는 반변 관수의 집합 또한 ''코호몰로지론''이라고 한다. 이러한 의미의 코호몰로지 이론에는 다음이 있다.

단순 코호몰로지
특이 코호몰로지
드람 코호몰로지
체흐 코호몰로지

참조

_[1] 웹사이트 Are spectra really the same as cohomology theories? https://mathoverflow[...]
_[2] 서적 Foundations of Algebraic Topology Bulletin of the American Mathematical Society 2000
_[3] 웹사이트 https://webcitation.[...] 2009-10-26
_[4] 웹사이트 https://www.cs.duke.[...]

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