벡터자기회귀모형

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 기본 개념
- 2.2. 수식 표현
3. 구조적 VAR과 축약형 VAR
- 3.1. 구조적 VAR (SVAR)
- 3.2. 축약형 VAR
4. 모형 추정
- 4.1. 회귀 계수 추정
- 4.2. 오차항 공분산 행렬 추정
5. 추정 모형 해석
6. VAR 모형을 사용한 예측
7. VAR 모형의 활용
- 7.1. 거시경제학에서의 활용
- 7.2. 한국에서의 특수한 활용
참조

1. 개요

벡터자기회귀모형(VAR)은 여러 내생 변수의 시간 경과에 따른 변화를 설명하는 시계열 모형이다. VAR 모형은 이전 값들의 선형 함수로 각 변수를 모델링하며, 모형의 차수는 사용할 이전 기간의 수를 나타낸다. VAR 모형은 구조적 VAR과 축약형 VAR로 구분되며, 모형 추정은 다변량 최소 자승법을 사용한다. VAR 모형은 그랜저 인과관계, 충격 반응 함수, 예측 오차 분산 분해 등을 사용하여 분석하며, 예측 및 경제 분석에 활용된다. 특히 거시경제학에서 경제 변수 간의 동태적 상호작용 분석, 경제 충격의 효과 추정에 유용하게 사용되며, 정치적 사건이나 사회적 이슈가 경제에 미치는 영향을 분석하는 데에도 활용될 수 있다.

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벡터자기회귀모형

2. 정의

VAR 모델은 시간이 지남에 따라 발생하는 여러 내생 변수들의 변화를 설명한다.

VAR 모형은 시간 경과에 따라 'k'개의 변수 집합, 즉 ''내생 변수''의 변화를 설명한다. 각 기간은 't' = 1, ..., 'T'로 번호가 매겨진다. 변수는 'k'의 길이를 갖는 벡터 ''y_t''에 수집된다. (동등하게, 이 벡터는 (''k'' × 1)-행렬로 설명될 수 있다.) 이 벡터는 이전 값의 선형 함수로 모델링된다. 벡터의 구성 요소는 ''y''_''i'',''t''로 언급되며, 이는 ''i''번째 변수의 시간 ''t''에서의 관측치를 의미한다. 예를 들어, 모형의 첫 번째 변수가 시간에 따른 밀 가격을 측정하는 경우, ''y''_1,1998는 1998년의 밀 가격을 나타낸다.

VAR 모형은 모델이 사용할 이전 시간 기간의 수를 나타내는 ''차수''로 특징지어집니다. 위의 예시를 계속해서, 5차 VAR은 각 연도의 밀 가격을 지난 5년간의 밀 가격의 선형 조합으로 모델링한다. ''시차''는 이전 시간 기간의 변수 값이다. 따라서 일반적으로 ''p''차 VAR은 마지막 ''p'' 시간 기간에 대한 시차를 포함하는 VAR 모형을 나타낸다. ''p''차 VAR은 "VAR(''p'')"로 표시되며 때때로 "''p'' 시차가 있는 VAR"이라고도 한다. ''p''차 VAR 모형은 다음과 같이 작성된다.

: $y_t = c + A_1 y_{t-1} + A_2 y_{t-2} + \cdots + A_p y_{t-p} + e_t, \,$

''y''_''t''−i 형태의 변수는 해당 변수의 값 ''i'' 시간 기간 전을 나타내며 ''y''_t의 "i''번째'' 시차"라고 한다. 변수 ''c''는 모형의 절편 역할을 하는 상수의 ''k''-벡터이다. ''A_i''는 시간 불변 (''k'' × ''k'')-행렬이고 ''e''_''t''는 오차 항의 ''k''-벡터이다. 오차 항은 세 가지 조건을 만족해야 한다.

# $\mathrm{E}(e_t) = 0\,$ . 모든 오차 항은 평균이 0이다.

# $\mathrm{E}(e_t e_t') = \Omega\,$ . 오차 항의 동시 공분산 행렬은 ''k'' × ''k'' 양의 준정부호 행렬 Ω로 표시된다.

# $\mathrm{E}(e_t e_{t-k}') = 0\,$ 모든 비영 ''k''에 대해. 시간상에 상관 관계가 없다. 특히 개별 오차 항에 시계열 상관이 없다.^[1]

VAR 모형에서 최대 시차 ''p''를 선택하는 과정은 추론이 선택된 시차 차수의 정확성에 따라 달라지기 때문에 특별한 주의가 필요하다.^[2]^[3]

2. 1. 기본 개념

벡터자기회귀모형(VAR)은 k개의 변수 집합의 발전을 설명하는 모델이다. 각 변수는 벡터 yt에 수집되며, 이 벡터는 이전 값들의 선형 함수로 모델링된다.^[12] VAR 모델은 모델이 사용할 이전 기간의 수를 나타내는 '순서'로 특징지어진다. 일반적으로 p차 VAR은 마지막 p 기간에 대한 시차를 포함하는 VAR 모델을 나타낸다.^[12]

p차 VAR 모델은 다음과 같이 표현된다.

:

y_t = c + A_1 y_{t-1} + A_2 y_{t-2} + \cdots + A_p y_{t-p} + e_t, \,

여기서 ''y''_{''t'' −i}는 ''y''_t의 "i번째" 시차를 나타내며, ''c''는 절편 역할을 하는 상수 벡터, ''A _i''는 시간 불변 행렬, ''e''_''t''는 오차항의 벡터이다. 오차항은 다음 세 가지 조건을 만족해야 한다.^[1]

# 모든 오차항의 평균은 0이다. (

\mathrm{E}(e_t) = 0\,

)

# 오류 항의 동시 공분산 행렬은 양의 준정부호 행렬 Ω이다. (

\mathrm{E}(e_t e_t') = \Omega\,

)

# 0이 아닌 모든 ''k''에 대해 시간상에 상관 관계가 없다. (

\mathrm{E}(e_t e_{t-k}') = 0\,

)^[1]

VAR 모델에서 최대 시차 ''p''를 선택하는 것은 신중해야 하는데, 이는 추론이 선택한 시차 순서의 정확성에 의존하기 때문이다.^[2]^[3]

2. 2. 수식 표현

''p''차 VAR 모델은 다음과 같이 표현된다.^[12]

:

y_t = c + A_1 y_{t-1} + A_2 y_{t-2} + \cdots + A_p y_{t-p} + e_t, \,

여기서 ''y'' _{''t'' −i} 형식의 변수는 해당 변수의 ''i''번째 지연을 의미하며, ''c''는 절편 역할을 하는 상수 벡터, ''A _i''는 시불변 행렬, ''e'' _''t''는 오차항의 벡터이다.

오차항은 다음 세 가지 조건을 충족해야 한다.^[12]

#

\mathrm{E}(e_t) = 0\,

. 모든 오차항의 평균은 0이다.

#

\mathrm{E}(e_t e_t') = \Omega\,

. 오류 항의 동시 공분산 행렬은 양의 준정부호 행렬 Ω으로 표시된다.

#

\mathrm{E}(e_t e_{t-k}') = 0\,

0이 아닌 모든 ''k''에 대해. 시간에 따른 상관관계는 없다.

VAR(''p'')는 확률 과정의 행렬 차분 방정식으로 표현할 수 있으며, 다음과 같이 간결한 행렬 표기법을 사용한다.^[13]^[14]

:

Y=BZ +U \,

3. 구조적 VAR과 축약형 VAR

3. 1. 구조적 VAR (SVAR)

SVAR 모델은 변수 간의 동시적 관계를 명시적으로 나타낸다. ''p'' 시차 구조적 VAR은 다음과 같이 표현된다.

:

B_0 y_t = c_0 + B_1 y_{t-1} + B_2 y_{t-2} + \cdots + B_p y_{t-p} + \epsilon_t,

여기서 ''c''₀는 ''k'' × 1 상수 벡터, ''B_i''는 ''k'' × ''k'' 행렬(''i'' = 0, ..., ''p''에 대해), ''ε''_''t''는 ''k'' × 1 오차 항 벡터다. ''B''₀ 행렬의 주대각선 항은 1로 조정된다. 오차항 ε''_t''(''구조적 충격'')은 구조적 충격은 상관관계가 없다는 특징을 갖는다.

경제 변수의 역학을 이끄는 구조적, 경제적 충격은 통계적 독립으로 가정되는데, 이는 오차 항 간의 0 상관관계를 의미한다. 예를 들어, 유가 충격(공급 충격)이 의류 스타일 선호도의 변화(수요 충격)와 관련이 있어야 할 이유는 없으므로, 이러한 요인은 통계적으로 독립적일 것으로 예상할 수 있다.

변수는 다른 변수에 동시대적 영향을 미칠 수 있다는 점은 저주파수 데이터를 사용할 때 바람직한 특징이다. 예를 들어, 간접세율 인상은 결정이 발표된 날에는 세입에 영향을 미치지 않지만, 해당 분기 데이터에서는 효과를 찾을 수 있다.

3. 2. 축약형 VAR

구조적 VAR에 ''B''₀의 역행렬을 곱하면 다음과 같다.

:

y_t = B_0^{-1}c_0 + B_0^{-1} B_1 y_{t-1} + B_0^{-1} B_2 y_{t-2} + \cdots + B_0^{-1} B_p y_{t-p} + B_0^{-1}\epsilon_t,

이를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

B_{0}^{-1} c_0 = c,\quad B_{0}^{-1}B_i = A_{i}\text{ for }i = 1, \dots, p\text{ and }B_{0}^{-1}\epsilon_t = e_t

그러면 '''''p''차 축약형 VAR'''을 얻을 수 있다.

:

y_t = c + A_1 y_{t-1} + A_2 y_{t-2} + \cdots + A_p y_{t-p} + e_t

축약형에서는 모든 우변 변수가 시점 ''t''에서 사전 결정되어 있다. 우변에 시점 ''t'' 내생 변수가 없으므로 모델의 어떤 변수도 다른 변수에 대한 ''직접적인'' 동시적 영향을 미치지 않는다.

그러나 축약형 VAR의 오차항은 구조적 충격 ''e''_''t'' = ''B''₀⁻¹''ε''_''t''의 합성이다. 따라서 하나의 구조적 충격 ''ε_i,t''이 발생하면 모든 오차항 ''e_j,t''에서 충격이 발생할 수 있으며, 이로 인해 모든 내생 변수에 동시적인 움직임이 발생할 수 있다. 결과적으로 축약형 VAR의 공분산 행렬

:

\Omega = \mathrm{E}(e_t e_t') = \mathrm{E} (B_0^{-1} \epsilon_t \epsilon_t' (B_0^{-1})') = B_0^{-1}\Sigma(B_0^{-1})'\,

는 0이 아닌 비대각선 요소를 가질 수 있으며, 이로 인해 오차항 간에 0이 아닌 상관관계가 허용된다.

4. 모형 추정

다변량 최소 자승법(MLS) 접근 방식으로 B를 추정하면 다음과 같다.^[4]

: $\hat B= YZ'(ZZ')^{-1}.$

이는 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $\operatorname{Vec}(\hat B) = ((ZZ')^{-1} Z \otimes I_{k})\ \operatorname{Vec}(Y),$

여기서 $\otimes$ 는 크로네커 곱을, Vec는 행렬의 벡터화를 나타낸다.

이 추정량은 일치성이 있고 점근적으로 효율적이다. 또한 조건부 최대 가능도 추정량과 같다.^[4] 각 방정식의 설명 변수가 동일하면, 다변량 최소 자승 추정량은 각 방정식에 개별적으로 적용된 최소 자승법 추정량과 동일하다.^[5]

4. 1. 회귀 계수 추정

다변량 최소 자승법(MLS) 접근 방식으로 B를 추정하면 다음과 같다.^[4]

:

\hat B= YZ'(ZZ')^{-1}.

이는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\operatorname{Vec}(\hat B) = ((ZZ')^{-1} Z \otimes I_{k})\ \operatorname{Vec}(Y),

여기서

\otimes

는 크로네커 곱을, Vec는 행렬의 벡터화를 나타낸다.

이 추정량은 일치성이 있고 점근적으로 효율적이다. 또한 조건부 최대 가능도 추정량과 같다.^[4] 각 방정식의 설명 변수가 동일하면, 다변량 최소 자승 추정량은 각 방정식에 개별적으로 적용된 최소 자승법 추정량과 동일하다.^[5]

4. 2. 오차항 공분산 행렬 추정

표준적인 경우와 마찬가지로, 최대 우도 추정량 (MLE)의 공분산 행렬은 일반 최소 자승법 (OLS) 추정량과 다르다.

MLE 추정량:

\hat \Sigma = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T \hat \epsilon_t\hat \epsilon_t'

OLS 추정량: 상수항이 있고, ''k''개의 변수와 ''p''개의 시차를 가진 모형의 경우

\hat \Sigma = \frac{1}{T-kp-1} \sum_{t=1}^T \hat \epsilon_t\hat \epsilon_t'

행렬 표기법으로 나타내면 다음과 같다.

:

\hat \Sigma = \frac{1}{T-kp-1} (Y-\hat{B}Z)(Y-\hat{B}Z)'.

모수들의 공분산 행렬은 다음과 같이 추정할 수 있다.

:

\widehat  \mbox{Cov} (\mbox{Vec}(\hat B)) =({ZZ'})^{-1} \otimes\hat \Sigma.\,

5. 추정 모형 해석

벡터자기회귀모형의 속성은 일반적으로 Granger 인과관계, 충격 반응 함수, 예측 오차 분산 분해 등을 사용하여 분석한다.
Granger 인과관계VAR 모형의 속성은 일반적으로 Granger 인과관계, 임펄스 응답 및 예측 오차 분산 분해를 사용하는 구조 분석을 사용하여 요약된다. 한 변수의 과거 값이 다른 변수를 예측하는 데 유용한 정보를 제공하는지 여부를 검정한다.
충격 반응 함수벡터자기회귀모형(VAR) 모델은 일반적으로 그랜저 인과관계, 충격 반응, 예측 오차 분산 분해를 사용하는 구조 분석을 통해 요약된다. 충격 반응은 특정 변수에 대한 충격이 다른 변수에 미치는 영향을 시간에 따라 추적하는 것을 의미한다.

1차 모형(1개의 시차만 있는 경우)에서 진화 방정식은 다음과 같다.

: $y_t=Ay_{t-1}+e_t,$

여기서 $y$ 는 진화하는 상태 벡터이고, $e$ 는 충격 벡터이다. 예를 들어, 충격 벡터의 ''j''번째 요소가 2기간 후의 상태 벡터의 ''i''번째 요소에 미치는 영향, 즉 특정 충격 반응을 구하기 위해 진화 방정식을 한 기간 시차를 두면 다음과 같다.

: $y_{t-1}=Ay_{t-2}+e_{t-1}.$

이것을 원래의 진화 방정식에 대입하면 다음과 같다.

: $y_t=A^2y_{t-2}+Ae_{t-1}+e_t;$

두 번 시차를 둔 진화 방정식을 사용하여 반복하면 다음을 얻는다.

: $y_t=A^3y_{t-3}+A^2e_{t-2}+Ae_{t-1}+e_t.$

이로부터 $e_{t-2}$ 의 ''j''번째 요소가 $y_t$ 의 ''i''번째 요소에 미치는 영향은 행렬 $A^2.$ 의 ''i, j'' 요소임을 알 수 있다.

이러한 귀납법 과정을 통해, AR 과정이 안정적이라고 가정하면, 즉 행렬 ''A''의 모든 고유값의 절댓값이 1 미만이라고 가정하면, 모든 충격은 시간상으로 무한히 먼 미래의 ''y'' 요소에 영향을 미칠 수 있지만 그 영향은 시간이 지남에 따라 점점 작아진다.
예측 오차 분산 분해벡터자기회귀모형(VAR) 모델의 속성은 일반적으로 그랜저 인과관계, 임펄스 응답 및 예측 오차 분산 분해를 사용하는 구조 분석을 사용하여 요약된다. 각 변수의 예측 오차 변동을 설명하는 데 있어 다른 변수들이 얼마나 중요한 역할을 하는지 분석한다.

5. 1. Granger 인과관계

VAR 모형의 속성은 일반적으로 Granger 인과관계, 임펄스 응답 및 예측 오차 분산 분해를 사용하는 구조 분석을 사용하여 요약된다. 한 변수의 과거 값이 다른 변수를 예측하는 데 유용한 정보를 제공하는지 여부를 검정한다.

5. 2. 충격 반응 함수

벡터자기회귀모형(VAR) 모델은 일반적으로 그랜저 인과관계, 충격 반응, 예측 오차 분산 분해를 사용하는 구조 분석을 통해 요약된다. 충격 반응은 특정 변수에 대한 충격이 다른 변수에 미치는 영향을 시간에 따라 추적하는 것을 의미한다.

1차 모형(1개의 시차만 있는 경우)에서 진화 방정식은 다음과 같다.

:

y_t=Ay_{t-1}+e_t,

여기서

y

는 진화하는 상태 벡터이고,

e

는 충격 벡터이다. 예를 들어, 충격 벡터의 ''j''번째 요소가 2기간 후의 상태 벡터의 ''i''번째 요소에 미치는 영향, 즉 특정 충격 반응을 구하기 위해 진화 방정식을 한 기간 시차를 두면 다음과 같다.

:

y_{t-1}=Ay_{t-2}+e_{t-1}.

이것을 원래의 진화 방정식에 대입하면 다음과 같다.

:

y_t=A^2y_{t-2}+Ae_{t-1}+e_t;

두 번 시차를 둔 진화 방정식을 사용하여 반복하면 다음을 얻는다.

:

y_t=A^3y_{t-3}+A^2e_{t-2}+Ae_{t-1}+e_t.

이로부터

e_{t-2}

의 ''j''번째 요소가

y_t

의 ''i''번째 요소에 미치는 영향은 행렬

A^2.

의 ''i, j'' 요소임을 알 수 있다.

이러한 귀납법 과정을 통해, AR 과정이 안정적이라고 가정하면, 즉 행렬 ''A''의 모든 고유값의 절댓값이 1 미만이라고 가정하면, 모든 충격은 시간상으로 무한히 먼 미래의 ''y'' 요소에 영향을 미칠 수 있지만 그 영향은 시간이 지남에 따라 점점 작아진다.

5. 3. 예측 오차 분산 분해

벡터자기회귀모형(VAR) 모델의 속성은 일반적으로 그랜저 인과관계, 임펄스 응답 및 예측 오차 분산 분해를 사용하는 구조 분석을 사용하여 요약된다. 각 변수의 예측 오차 변동을 설명하는 데 있어 다른 변수들이 얼마나 중요한 역할을 하는지 분석한다.

6. VAR 모형을 사용한 예측

추정된 VAR 모형은 예측에 사용될 수 있으며, 예측 품질은 단변량 자기회귀 모형에서 사용되는 방법과 완전히 유사한 방식으로 판단할 수 있다.

분류:시계열 분석

분류:통계 모형

7. VAR 모형의 활용

크리스토퍼 심스는 VAR 모델을 옹호하여 거시 경제학에서 초기 모델링의 주장과 성과를 비판했다.^[15] 그는 이전에 시계열 통계 및 제어 이론의 통계 전문인 시스템 식별 에 등장한 VAR 모델을 추천했다. Sims는 VAR 모델이 경제적 관계를 추정하기 위한 이론 없는 방법을 제공함으로써 구조 모델의 "믿을 수 없는 식별 제한"에 대한 대안이 될 수 있다고 옹호했다.^[15] VAR 모델은 일기 데이터^[16] 또는 센서 데이터의 자동 분석을 위한 건강 연구에서도 점점 더 많이 사용되고 있다.

크리스토퍼 심스(Christopher A. Sims)는 이전의 거시 경제 계량 경제학 모델링의 주장과 성능을 비판하며 VAR 모형을 옹호했다.^[6] 그는 시계열 통계학과 제어 이론의 통계적 전문 분야인 시스템 식별에서 이전에 등장했던 VAR 모형을 권장했다. 심스는 VAR 모형이 경제 관계를 추정하는 이론이 없는 방법을 제공하여 구조 모형의 "믿을 수 없는 식별 제한"에 대한 대안이 될 수 있다고 주장했다.^[6] VAR 모형은 또한 일기 데이터^[7] 또는 센서 데이터의 자동 분석을 위해 건강 연구에서도 점점 더 많이 사용되고 있다. Sio Iong Ao와 R. E. Caraka는 인공 신경망이 하이브리드 벡터 자기 회귀 구성 요소를 추가하면 성능을 향상시킬 수 있음을 발견했다.^[8]^[9]

7. 1. 거시경제학에서의 활용

크리스토퍼 심스는 거시 경제학에서 초기 모델링의 주장과 성과를 비판하며 VAR 모형을 옹호했다.^[15] 그는 VAR 모델이 경제적 관계를 추정하기 위한 이론 없는 방법을 제공함으로써 구조 모델의 "믿을 수 없는 식별 제한"에 대한 대안이 될 수 있다고 주장했다.^[15] VAR 모델은 경제 변수 간의 동태적 상호작용을 분석하고, 경제 충격의 효과를 추정하는 데 유용하게 활용된다. 또한, 일기 데이터 또는 센서 데이터의 자동 분석을 위한 건강 연구에서도 점점 더 많이 사용되고 있다.^[16]

7. 2. 한국에서의 특수한 활용

크리스토퍼 심스는 거시 경제학에서 초기 모델링의 주장과 성과를 비판하며 VAR 모델을 옹호했다.^[15] 그는 VAR 모델이 경제적 관계를 추정하기 위한 이론 없는 방법을 제공함으로써 구조 모델의 "믿을 수 없는 식별 제한"에 대한 대안이 될 수 있다고 주장했다.^[15]

VAR 모형은 정치적 사건, 사회적 이슈 등이 경제에 미치는 영향을 분석하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, 대통령 탄핵, 정권 교체와 같은 특정 정치적 사건이 주식 시장, 환율 등에 미치는 영향을 분석할 수 있다. 또한, 정부 정책 효과를 분석하거나 지역 경제 분석에도 활용될 수 있다.

참조

_[1] 논문 Multivariate tests for autocorrelation in the stable and unstable VAR models https://ideas.repec.[...]
_[2] 논문 Optimal lag-length choice in stable and unstable VAR models under situations of homoscedasticity and ARCH https://ideas.repec.[...]
_[3] 논문 Can the LR test be helpful in choosing the optimal lag order in the VAR model when information criteria suggest different lag orders? https://ideas.repec.[...]
_[4] 서적 Time Series Analysis Princeton University Press
_[5] 논문 An Efficient Method of Estimating Seemingly Unrelated Regressions and Tests for Aggregation Bias
_[6] 논문 Macroeconomics and Reality
_[7] 논문 Temporal Dynamics of Health and Well-Being: A Crowdsourcing Approach to Momentary Assessments and Automated Generation of Personalized Feedback (2016)
_[8] 논문 Analysis of the Interaction of Asian Pacific Indices and Forecasting Opening Prices by Hybrid VAR and Neural Network Procedures (2003)
_[9] 논문 Hybrid vector autoregression feedforward neural network with genetic algorithm model for forecasting space-time pollution data (2021)
_[10] 웹사이트 Bernhard Pfaff VAR, SVAR and SVEC Models: Implementation Within R Package vars https://cran.r-proje[...]
_[11] 서적 Forecasting: Principles and Practice https://otexts.com/f[...] OTexts
_[12] 저널 https://ideas.repec.[...]
_[13] 저널 https://ideas.repec.[...]
_[14] 저널 https://ideas.repec.[...]
_[15] 저널
_[16] 저널

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