벨의 우주선 역설

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 드완과 베란의 사고 실험
3. 벨의 우주선 역설
- 3.1. 실험 설정과 결론
- 3.2. CERN에서의 논쟁
4. 길이 수축의 중요성
- 4.1. 길이 수축에 대한 다른 해석
5. 즉각적인 가속
- 5.1. 동시성의 상대성
- 5.2. 길이 수축 공식과의 일치
6. 등가속도 (쌍곡선 운동)
7. 논의 및 출판물
참조

1. 개요

벨의 우주선 역설은 특수 상대성 이론에서 비롯된 사고 실험으로, 동일한 두 로켓이 가속될 때 로켓 사이의 연결된 끈이 끊어지는 현상을 설명한다. 드완과 베란의 사고 실험을 발전시킨 이 역설은, 로켓이 동일한 가속도로 움직일 때 끈의 길이 수축으로 인해 응력이 발생하여 끊어진다는 결론을 제시한다. 벨은 이 역설을 통해 길이 수축의 중요성을 강조하며, 끈이 끊어지지 않을 것이라는 초기 오해에 대한 반론을 제기했다. 이 역설은 동시성의 상대성과 길이 수축의 관계를 보여주며, Born 강체 운동과도 비교된다.

더 읽어볼만한 페이지

물리학에 관한 사고 실험 - 동시성의 상대성
동시성의 상대성은 상대적으로 움직이는 기준계에서 공간적으로 분리된 두 사건의 시간 판단이 달라지는 현상으로, 아인슈타인의 특수 상대성 이론에서 절대적인 동시성이 존재하지 않음을 나타내는 핵심 개념이다.
물리학에 관한 사고 실험 - 맥스웰의 도깨비
맥스웰의 도깨비는 맥스웰이 열역학 제2법칙에 대한 사고 실험으로 제시한 가상의 존재로, 속력이 빠른 분자와 느린 분자를 구별하여 온도 차이를 발생시키는 실험을 통해 엔트로피 감소 가능성을 제시하며 물리학계에서 활발한 논의를 촉발했다.
물리학의 역설 - 올베르스의 역설
올베르스의 역설은 무한하고 균일한 우주에 무수히 많은 별이 존재할 경우 밤하늘이 밝아야 한다는 역설로, 우주의 유한성, 빛의 속도, 팽창, 적색편이 현상 등으로 해결된다.
물리학의 역설 - 중력 특이점
중력 특이점은 일반 상대성이론에서 시공간이 정의되지 않고 물리량이 무한대로 발산하는 지점으로, 다양한 형태로 나타나며 이론에 따라 존재가 부정되거나 사건 지평선 뒤에 숨겨져 있다고 여겨지기도 하고 블랙홀의 엔트로피와 관련된 호킹 복사 이론과도 관련된다.
상대성이론 - 시공간
시공간은 시간과 공간을 4차원 연속체로 통합한 개념으로, 아인슈타인의 상대성이론에 따라 상대적이며, 일반 상대성이론에서는 중력을 시공간의 곡률로 설명하고, 현대 물리학과 우주론 연구에 필수적이다.
상대성이론 - 대응원리
대응 원리는 플랑크 상수가 0에 가까워지는 극한에서 양자역학이 고전역학으로 근사적으로 환원됨을 보이는 원리로서, 초기 양자역학 발전에 기여했으나 현대에는 유추적인 역할로 중요성이 감소하였지만, 고전역학과 양자역학의 수학적 대응 관계 연구를 통해 계승되고 있다.

벨의 우주선 역설
벨의 우주선 역설
유형	사고 실험
분야	특수 상대성이론
제안자	E. Dewan과 M. Beran (1959)
관련 인물	존 스튜어트 벨
설명
내용	두 우주선 사이의 끈이 끊어지는지 여부에 대한 사고 실험
중요성	특수 상대성이론의 다양한 해석을 보여줌

2. 드완과 베란의 사고 실험

드완과 베란은 벨의 우주선 역설의 초기 형태를 제시한 학자들이다.^[1] 이들은 a) 연결된 막대의 두 끝 사이의 거리와 b) 관성 프레임에 대해 동일한 속도로 움직이는 연결되지 않은 두 물체 사이의 거리에 차이가 없어야 한다는 반론을 제기하고, 이에 대해 다음과 같이 재반론했다.

경우 a (연결된 막대): 일반적인 길이 수축의 경우로, S₀에서 막대의 고유 길이 l₀ 개념을 기반으로 한다. 막대가 강체로 간주될 수 있는 한 고유 길이는 항상 동일하게 유지되며, 이 상황에서 막대는 S에서 수축된다.
경우 b (연결되지 않은 물체): S₀에서 불균등한 가속도로 인해 거리가 증가하며, 로켓은 서로 정보를 교환하고 속도를 조정해야 하므로 이 거리는 강체로 간주될 수 없다. 이러한 복잡성은 경우 a에서는 발생하지 않는다.

2. 1. 실험 설정

듀언과 베런은 사고 실험을 다음과 같이 설명했다.

:"관성 좌표계 S에서 정지해 있는 동일하게 제작된 두 개의 로켓을 생각해 보자. 두 로켓은 같은 방향을 향하고 있으며 서로 뒤에 위치해 있다. 미리 정해진 시간에 두 로켓이 동시에 (S에 대해) 점화된다고 가정하면, 실험의 나머지 기간 동안 S에 대한 두 로켓의 속도는 항상 동일하다(시간의 함수이지만). 이것은 정의에 따르면 ''S에 대해'' 두 로켓 사이의 거리가 상대론적 속도로 가속화될 때에도 변하지 않는다는 것을 의미한다."^[1]

그런 다음 이 설정을 다시 반복하지만, 이번에는 첫 번째 로켓의 뒤쪽이 두 번째 로켓의 앞쪽과 실크 실로 연결된다. 그들은 다음과 같이 결론을 내렸다.

:"특수 상대성 이론에 따르면 실은 S에 대해 수축해야 한다. 왜냐하면 실은 S에 대해 속도를 가지기 때문이다. 그러나 로켓이 S에 대해 일정한 거리를 유지하므로(처음에 팽팽하다고 가정했던) 실은 수축할 수 없다. 따라서 응력이 형성되어 충분히 높은 속도에 도달하면 실은 마침내 탄성 한계에 도달하여 끊어진다."^[1]

듀언과 베런은 또한 로렌츠 변환을 적용하여 첫 번째 로켓과 순간적으로 함께 움직이는 관성 프레임의 관점에서 결과를 논의했다.

:"

\scriptstyle t'=(t-vx/c^{2})/\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}

이므로 (..) 여기서 사용된 각 프레임은

vx/c^{2}

요인 때문에 다른 동기화 체계를 갖는다.

v

가 증가함에 따라 앞쪽 로켓은 순간적인 관성 프레임에 대해 뒤쪽 로켓에서 더 멀리 떨어져 보일 뿐만 아니라 더 이른 시간에 시작한 것처럼 보인다는 것을 알 수 있다."^[1]

그들은 다음과 같이 결론을 내렸다.

:"어떤 물체가 관성 프레임에 대해 모든 부분이 동일한 가속도를 갖도록 (또는 관성 프레임에 대해 치수가 고정되고 회전이 없는 방식으로) 움직이도록 제한될 때, 그러한 물체는 일반적으로 상대론적 응력을 경험해야 한다고 결론지을 수 있다."^[1]

그런 다음 그들은 a) 연결된 막대의 두 끝 사이의 거리와 b) 관성 프레임에 대해 동일한 속도로 움직이는 연결되지 않은 두 물체 사이의 거리 사이에 차이가 없어야 한다는 반론을 논의했다. 듀언과 베런은 다음과 같이 주장하여 이러한 반론을 제거했다.

로켓은 정확히 동일한 방식으로 제작되었고 S에서 동일한 가속도로 동일한 순간에 시작했으므로 S에서 항상 동일한 속도를 가져야 한다. 따라서 S에서 동일한 거리를 이동하므로 상호 거리는 이 프레임에서 변경될 수 없다. 그렇지 않으면 S에서 거리가 수축되면 이 프레임에서 로켓의 다른 속도를 의미하며, 이는 동일한 제작 및 가속도의 초기 가정과 모순된다.
또한 그들은 a)와 b) 사이에 실제로 차이가 있다고 주장했다. 경우 a)는 S₀에서 막대의 고유 길이 l₀의 개념을 기반으로 하는 일반적인 길이 수축의 경우이며, 막대가 강체로 간주될 수 있는 한 항상 동일하게 유지된다. 그러한 상황에서 막대는 S에서 수축된다. 그러나 경우 b)에서는 S₀에서 불균등한 가속도로 인해 거리가 증가하고 있으며, 로켓은 서로 정보를 교환하고 이를 보상하기 위해 속도를 조정해야 하므로 이 거리는 강체로 간주될 수 없다. - 이러한 모든 복잡성은 경우 a)에서는 발생하지 않는다.

2. 2. 로렌츠 변환과 응력

Dewan과 Beran은 로렌츠 변환을 적용하여 첫 번째 로켓과 순간적으로 함께 움직이는 관성 프레임의 관점에서 결과를 분석했다.^[1] 이들은 "어떤 물체가 관성 프레임에 대해 모든 부분이 동일한 가속도를 갖도록 (또는 관성 프레임에 대해 치수가 고정되고 회전이 없는 방식으로) 움직이도록 제한될 때, 그러한 물체는 일반적으로 상대론적 응력을 경험해야 한다"고 결론지었다.^[1]

Dewan과 Beran은 또한, a) 연결된 막대의 두 끝 사이의 거리와 b) 관성 프레임에 대해 동일한 속도로 움직이는 연결되지 않은 두 물체 사이의 거리에 차이가 없어야 한다는 반론을 다음과 같이 논박했다.^[1]

로켓은 정확히 동일한 방식으로 제작되었고 S에서 동일한 가속도로 동일한 순간에 시작했으므로 S에서 항상 동일한 속도를 가져야 한다. 따라서 S에서 동일한 거리를 이동하므로 상호 거리는 이 프레임에서 변경될 수 없다.
a)와 b) 사이에는 실제로 차이가 있다.

2. 3. 반론과 재반론

듀완(Dewan)과 베런(Beran)은 사고 실험을 다음과 같이 설명했다.

:"관성 프레임 S에서 정지해 있는 동일하게 제작된 두 개의 로켓을 생각해 보자. 두 로켓은 같은 방향을 향하고 있으며 서로 뒤에 위치해 있다. 미리 정해진 시간에 두 로켓이 동시에 (S에 대해) 점화된다고 가정하면, 실험의 나머지 기간 동안 S에 대한 두 로켓의 속도는 항상 동일하다 (시간의 함수이지만). 이것은 정의에 따르면 ''S에 대해'' 두 로켓 사이의 거리가 상대론적 속도로 가속화될 때에도 변하지 않는다는 것을 의미한다."^[1]

그런 다음 이 설정을 다시 반복하지만, 이번에는 첫 번째 로켓의 뒤쪽이 두 번째 로켓의 앞쪽과 실크 실로 연결된다. 그들은 다음과 같이 결론을 내렸다.

:"특수 상대성 이론에 따르면 실은 S에 대해 수축해야 한다. 왜냐하면 실은 S에 대해 속도를 가지기 때문이다. 그러나 로켓이 S에 대해 일정한 거리를 유지하므로 (처음에 팽팽하다고 가정했던) 실은 수축할 수 없다. 따라서 응력이 형성되어 충분히 높은 속도에 도달하면 실은 마침내 탄성 한계에 도달하여 끊어진다."^[1]

듀완과 베런은 또한 로렌츠 변환을 적용하여 첫 번째 로켓과 순간적으로 함께 움직이는 관성 프레임의 관점에서 결과를 논의했다.

:"

\scriptstyle t'=(t-vx/c^{2})/\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}

이므로 (..) 여기서 사용된 각 프레임은

vx/c^{2}

요인 때문에 다른 동기화 체계를 갖는다.

v

가 증가함에 따라 앞쪽 로켓은 순간적인 관성 프레임에 대해 뒤쪽 로켓에서 더 멀리 떨어져 보일 뿐만 아니라 더 이른 시간에 시작한 것처럼 보인다는 것을 알 수 있다."^[1]

그들은 다음과 같이 결론을 내렸다.

:"어떤 물체가 관성 프레임에 대해 모든 부분이 동일한 가속도를 갖도록 (또는 관성 프레임에 대해 치수가 고정되고 회전이 없는 방식으로) 움직이도록 제한될 때, 그러한 물체는 일반적으로 상대론적 응력을 경험해야 한다고 결론지을 수 있다."^[1]

그런 다음 그들은 a) 연결된 막대의 두 끝 사이의 거리와 b) 관성 프레임에 대해 동일한 속도로 움직이는 연결되지 않은 두 물체 사이의 거리 사이에 차이가 없어야 한다는 반론을 논의했다. 듀완과 베런은 다음과 같이 주장하여 이러한 반론을 제거했다.

로켓은 정확히 동일한 방식으로 제작되었고 S에서 동일한 가속도로 동일한 순간에 시작했으므로 S에서 항상 동일한 속도를 가져야 한다. 따라서 S에서 동일한 거리를 이동하므로 상호 거리는 이 프레임에서 변경될 수 없다. 그렇지 않으면 S에서 거리가 수축되면 이 프레임에서 로켓의 다른 속도를 의미하며, 이는 동일한 제작 및 가속도의 초기 가정과 모순된다.
또한 그들은 a)와 b) 사이에 실제로 차이가 있다고 주장했다. 경우 a)는 S₀에서 막대의 고유 길이 l₀의 개념을 기반으로 하는 일반적인 길이 수축의 경우이며, 막대가 강체로 간주될 수 있는 한 항상 동일하게 유지된다. 그러한 상황에서 막대는 S에서 수축된다. 그러나 경우 b)에서는 S₀에서 불균등한 가속도로 인해 거리가 증가하고 있으며, 로켓은 서로 정보를 교환하고 이를 보상하기 위해 속도를 조정해야 하므로 이 거리는 강체로 간주될 수 없다. - 이러한 모든 복잡성은 경우 a)에서는 발생하지 않는다.

3. 벨의 우주선 역설

벨의 우주선 역설은 드완과 베란의 사고 실험을 더욱 발전시킨 형태이다. 드완과 베란은 동일하게 제작된 두 로켓이 관성 프레임 S에서 정지해 있다가 동시에 같은 방향으로 가속하는 상황을 설정했다. 이들은 S에 대한 두 로켓의 속도가 항상 동일하므로 두 로켓 사이의 거리는 변하지 않는다고 설명했다.^[1]

하지만 두 로켓 사이에 실크 실을 연결하면, 특수 상대성 이론에 따라 실은 S에 대해 수축해야 한다. 그러나 로켓은 S에 대해 일정한 거리를 유지하므로 실은 수축할 수 없고, 결국 응력이 발생하여 끊어지게 된다.^[1]

드완과 베란은 로렌츠 변환을 적용하여 첫 번째 로켓과 순간적으로 함께 움직이는 관성 프레임의 관점에서도 결과를 논의했다. 그 결과, 앞쪽 로켓은 뒤쪽 로켓에서 더 멀리 떨어져 보일 뿐만 아니라 더 이른 시간에 시작한 것처럼 보인다는 것을 알아냈다.^[1]

이들은 "어떤 물체가 관성 프레임에 대해 모든 부분이 동일한 가속도를 갖도록 제한될 때, 그러한 물체는 일반적으로 상대론적 응력을 경험해야 한다"고 결론지었다.^[1]

또한, 연결된 막대의 두 끝 사이의 거리와 연결되지 않은 두 물체 사이의 거리 사이에 차이가 없어야 한다는 반론에 대해 다음과 같이 주장했다.

로켓은 동일한 방식으로 제작되었고 S에서 동일한 가속도로 동일한 순간에 시작했으므로 S에서 항상 동일한 속도를 가지며, 동일한 거리를 이동한다. 따라서 상호 거리는 변경될 수 없다.
두 경우 사이에 실제로 차이가 있다. 연결된 막대의 경우 막대가 강체로 간주될 수 있는 한 S에서 수축된다. 그러나 연결되지 않은 두 물체의 경우 S₀에서 불균등한 가속도로 인해 거리가 증가하며, 로켓은 서로 정보를 교환하고 속도를 조정해야 하므로 이 거리는 강체로 간주될 수 없다.

3. 1. 실험 설정과 결론

벨의 사고 실험에서, 세 개의 우주선 A, B, C는 처음에 공통 관성 기준틀에서 정지해 있으며, B와 C는 A로부터 같은 거리에 있다. 이후, A에서 B와 C에 동시에 도달하는 신호를 보내 B와 C가 수직 방향으로 가속하기 시작하도록 한다(동일한 가속 프로파일로 미리 프로그래밍되어 있음). A는 원래의 기준틀에서 정지 상태를 유지한다. 벨에 따르면, 이는 B와 C가 (A의 정지 틀에서 볼 때) "매 순간 같은 속도를 갖게 되며, 따라서 서로 고정된 거리를 유지한다"는 것을 의미한다.

이제, 만약 B와 C 사이에 약한 실이 묶여 있다면, 길이 수축 때문에 더 이상 충분하지 않게 되어 끊어질 것이다. 벨은 "자연적인 수축을 인위적으로 막는 것은 견딜 수 없는 스트레스를 가한다"고 결론 내렸다.^[2]

벨은 역설을 제시했을 때 "유명한 실험가"로부터 많은 회의적인 반응을 접했다고 보고했다. 논쟁을 해결하기 위해, CERN에서 비공식적이고 체계적이지 않은 의견 조사가 진행되었다. 벨에 따르면, 실이 끊어지지 않을 것이라고 잘못 주장하는 "명확한 합의"가 있었다. 벨은 다음과 같이 덧붙였다.

:"물론, 처음에는 틀린 답을 얻은 많은 사람들이 더 깊이 생각한 후에 올바른 답을 얻는다. 보통 그들은 B 또는 C 관찰자에게 상황이 어떻게 보이는지 알아내야 한다고 느낀다. 예를 들어 B는 C가 점점 뒤처지는 것을 보게 되므로, 주어진 실 한 조각으로는 더 이상 거리를 덮을 수 없게 된다. 이런 과정을 거친 후에, 그리고 아마도 약간의 불안감을 간직한 채, 그러한 사람들은 피츠제럴드 수축을 포함하여 A의 관점에서 완벽하게 사소한 결론을 마침내 받아들인다."

3. 2. CERN에서의 논쟁

벨은 이 역설을 제시했을 때 "유명한 실험가"로부터 많은 회의적인 반응을 접했다고 보고했다. 이 논쟁을 해결하기 위해 CERN에서 비공식적이고 체계적이지 않은 의견 조사가 진행되었다. 조사 결과, 실이 끊어지지 않을 것이라고 잘못 주장하는 "명확한 합의"가 있었다고 한다.^[2]

벨은 다음과 같이 덧붙였다. "물론, 처음에 틀린 답을 얻은 많은 사람들은 더 깊이 생각한 후에 올바른 답을 얻는다. 보통 그들은 B 또는 C 관찰자에게 상황이 어떻게 보이는지 알아내야 한다고 느낀다. 예를 들어 B는 C가 점점 뒤처지는 것을 보게 되므로, 주어진 실 한 조각으로는 더 이상 거리를 덮을 수 없게 된다. 이런 과정을 거친 후에, 그리고 아마도 약간의 불안감을 간직한 채, 그러한 사람들은 피츠제럴드 수축을 포함하여 A의 관점에서 완벽하게 사소한 결론을 마침내 받아들인다."^[2]

4. 길이 수축의 중요성

드완 & 베란과 벨은 물체의 모든 부분이 관성 기준 틀에 대해 동일한 방식으로 가속될 때 상대론적 응력이 발생하며, 길이 수축은 실제 물리적 결과를 갖는다고 결론지었다.^[2] 벨은 물체의 길이 수축과 기준 틀 ''S''에서 물체 간의 길이 수축 부족을 상대론적 전자기학을 사용하여 설명할 수 있다고 주장했다. 움직이는 물체는 왜곡된 전자기적 분자간장에 의해 수축되거나, 수축이 방해받을 경우 응력이 발생한다. 반면, 물체 사이의 공간에는 그러한 힘이 작용하지 않는다.^[2] 리처드 파인만은 로렌츠 변환이 (리나르-비헤르트 포텐셜로 표현되는) 일정한 속도로 움직이는 전하의 전위로부터 유도될 수 있음을 보여주었다. 파인만은 헨드릭 로렌츠가 본질적으로 같은 방식으로 로렌츠 변환에 도달했음을 암시했다.^[4] (로렌츠 변환의 역사 참조)

4. 1. 길이 수축에 대한 다른 해석

일반적으로 드완 & 베란과 벨은 물체의 모든 부분이 관성 기준 틀에 대해 동일한 방식으로 가속될 때 상대론적 응력이 발생하며, 길이 수축은 실제 물리적 결과를 갖는다고 결론지었다.^[2] 하지만, 펫코프(Petkov, 2009)^[22]와 프랭클린(Franklin, 2009)^[23]은 이 역설을 다르게 해석한다. 그들은 로켓 기준 틀에서 불균등한 가속으로 인해 끈이 끊어질 것이라는 결과에는 동의했으며, 이는 그들 사이의 정지 길이를 증가시킨다(분석 섹션의 민코프스키 도표 참조). 그러나 그들은 그러한 응력이 S에서의 길이 수축에 의해 발생한다는 생각을 부인했다. 이는, 그들의 견해에 따르면, 길이 수축은 "물리적 현실"을 갖지 않으며, 단지 로렌츠 변환, 즉 그 자체로는 결코 응력을 유발할 수 없는 4차원 공간에서의 회전의 결과이기 때문이다. 따라서 S를 포함한 모든 기준 틀에서 그러한 응력의 발생과 끈의 파단은 상대론적 가속만의 효과라고 생각된다.^[23]^[22]

5. 즉각적인 가속

벨의 사고 실험에서 세 우주선 A, B, C는 처음에 관성 기준틀에서 정지해 있고, B와 C는 A와 같은 거리에 있다. A에서 신호를 보내면 B와 C는 동시에 수직 방향으로 가속하기 시작한다(동일한 가속 프로파일). A는 원래 기준틀에서 정지 상태를 유지한다. 벨은 B와 C가 (A의 정지 틀에서) 매 순간 같은 속도를 가지며, 따라서 서로 고정된 거리를 유지한다고 설명했다.^[2]

만약 B와 C 사이에 약한 실이 있다면, 길이 수축 때문에 실은 끊어지게 된다. 벨은 "자연적인 수축을 인위적으로 막는 것은 견딜 수 없는 스트레스를 가한다"고 결론 내렸다.^[2]

벨은 이 역설을 제시했을 때 많은 회의적인 반응을 받았다고 한다. CERN에서 비공식적인 의견 조사가 있었는데, 실이 끊어지지 않을 것이라는 잘못된 주장이 "명확한 합의"를 이루었다고 한다. 벨은 처음에는 틀린 답을 한 사람들도 더 깊이 생각한 후에는 올바른 답을 얻는다고 덧붙였다.^[2]

가속 후 배 사이의 거리가 어떻게 변하는지는 민코프스키 도표와 뢰델 도표를 통해 시각적으로 확인할 수 있다.

5. 1. 동시성의 상대성

민코프스키 도표: 가속 후 S′에서 배 사이의 길이 $L'$ 는 이전 길이 $L'_{old}$ 보다 길고, S에서 변하지 않은 길이 $L$ 보다 더 길다. 가는 선은 "동시성 선"이다.

벨의 우주선 역설에서 동시성의 상대성은 중요한 역할을 한다.^[23]^[22]^[6]^[14] 배 사이의 초기 정지 길이

L

과 가속 후 S′에서의 새로운 정지 길이

L'

사이의 관계는 다음과 같다.

:

L'=\gamma L

.

이러한 길이 증가는 여러 방법으로 계산할 수 있다. 예를 들어 가속이 완료되면 배는 최종 정지 프레임 S′에서 일정한 위치를 유지하므로, S에서 S′으로 변환된 x 좌표 사이의 거리를 계산하면 된다. 만약

x_{A}

와

x_{B}=x_{A}+L

이 S에서의 배 위치라면, 새로운 정지 프레임 S′에서의 위치는 다음과 같다.^[23]

:

\begin{align}x'_{A}& = \gamma\left(x_{A}-vt\right)\\x'_{B}& = \gamma\left(x_{A}+L-vt\right)\\L'& = x'_{B}-x'_{A}\\& =\gamma L\end{align}

Dewan(1963)은 동시성의 상대성이 이 문제에서 중요함을 보였다.^[6] S에서

t_A = t_B

에서 두 배가 동시에 가속하지만(무한소 시간 내의 가속을 가정), 동시성의 상대성으로 인해 B는 A보다 먼저 S′에서 가속하고 멈춘다. 이때 시간 차이는 다음과 같다.

:

\begin{align}\Delta t' & = t'_{B}-t'_{A}=\gamma\left(t_{B}-\frac{vx_{B}}{c^{2}}\right)-\gamma\left(t_{A}-\frac{vx_{A}}{c^{2}}\right)\\& = \frac{\gamma vL}{c^{2}}\end{align}

가속 전 S′에서 배가 동일한 속도로 이동하므로, S에서의 초기 정지 길이

L

은 길이 수축에 의해

L'_{old}=L/\gamma

로 S′에서 단축된다. S′ 프레임에서 B는 A보다 먼저 가속을 시작하고 먼저 멈추므로, B는 A가 가속을 완료하고 두 배 모두 S′에 대해 정지할 때까지 항상 A보다 더 높은 속도를 갖게 된다. 따라서 B와 A 사이의 거리는 A가 가속을 멈출 때까지 계속 증가한다. A의 가속 타임라인은

\Delta t'

만큼 지연되지만, A와 B는 각각의 가속에서 동일한 거리를 이동한다. 그러나 B의 타임라인은 A가 가속을 멈출 때까지

\Delta t'

동안 가속하고 S`에서 정지하는 것을 포함한다. 이 전체 과정에서 B가 이동한 추가 거리는 이 단계를 거치는 동안 B가 이동한 거리를 측정하여 계산할 수 있다. Dewan은 다음과 같은 관계를 도출했다(다른 표기법으로).^[6]

:

\begin{align}L'& = L'_{old}+v\Delta t'=\frac{L}{\gamma}+\frac{\gamma v^{2}L}{c^{2}}\\& = \gamma L\end{align}

S에서의 일정한 길이와 S′에서의 증가된 길이가 길이 수축 공식

L=L'/\gamma

와 일치한다. 그 이유는 초기 정지 길이

L

이 S′에서

\gamma

만큼 증가하고, 동일한 인수로 S에서 수축되어 S에서 동일하게 유지되기 때문이다.^[22]^[12]^[16]

:

L_{contr.}=L'/\gamma=\gamma L/\gamma=L

요약하면, 배 사이의 정지 거리가 S′에서

\gamma L

로 증가하는 동안, 상대성 원리에 따라 끈(물리적 구성이 변경되지 않음)은 새로운 정지 시스템 S′에서 정지 길이

L

을 유지해야 한다. 따라서 배 사이의 거리 증가로 인해 S′에서 끈이 끊어진다.

5. 2. 길이 수축 공식과의 일치

벨의 우주선 역설에서, 배 사이의 초기 정지 길이

L

(가속 후 S에서의 이동 길이와 동일)과 가속 후 S′에서의 새로운 정지 길이

L'

사이의 관계는 다음과 같다:^[23]^[22]^[6]^[14]

:

L'=\gamma L

.

이 길이 증가는 다양한 방식으로 계산할 수 있다. 예를 들어, 가속이 완료되면 배는 최종 정지 프레임 S′에서 일정한 위치에 유지되므로, S에서 S′으로 변환된 x 좌표 사이의 거리만 계산하면 된다. 만약

x_{A}

와

x_{B}=x_{A}+L

이 S에서의 배 위치라면, 새로운 정지 프레임 S′에서의 위치는 다음과 같다:^[23]

:

\begin{align}x'_{A}& = \gamma\left(x_{A}-vt\right)\\x'_{B}& = \gamma\left(x_{A}+L-vt\right)\\L'& = x'_{B}-x'_{A}\\& =\gamma L\end{align}

Dewan(1963)은 동시성의 상대성의 중요성을 보여주는 또 다른 방법을 제시했다.^[6] 그는 가속이 완료된 후 두 배 모두 정지하게 되는 프레임 S′의 관점을 설명한다. S에서

t_A = t_B

에서 두 배가 동시에 가속하지만(무한소 시간 내의 가속을 가정), 동시성의 상대성으로 인해 B는 A보다 먼저 S′에서 가속하고 멈춘다. 이 시간 차이는 다음과 같다.

:

\begin{align}\Delta t' & = t'_{B}-t'_{A}=\gamma\left(t_{B}-\frac{vx_{B}}{c^{2}}\right)-\gamma\left(t_{A}-\frac{vx_{A}}{c^{2}}\right)\\& = \frac{\gamma vL}{c^{2}}\end{align}

가속 전 S′에서 배가 동일한 속도로 이동하므로, S에서의 초기 정지 길이

L

은 길이 수축에 의해

L'_{old}=L/\gamma

로 S′에서 단축된다. S′ 프레임에서 B는 A보다 먼저 가속하기 시작하고 A보다 먼저 가속을 멈춘다. 이로 인해 B는 A가 가속을 완료하고 두 배 모두 S′에 대해 정지할 때까지 항상 A보다 더 높은 속도를 갖게 된다. B와 A 사이의 거리는 A가 가속을 멈출 때까지 계속 증가한다. A의 가속 타임라인은

\Delta t'

만큼 지연되지만, A와 B는 각각의 가속에서 동일한 거리를 이동한다. 그러나 B의 타임라인은 A가 가속을 멈출 때까지

\Delta t'

동안 가속하고 S`에서 정지하는 것을 포함한다. 따라서 이 전체 과정에서 B가 이동한 추가 거리는 이 단계를 거치는 동안 B가 이동한 거리를 측정하여 계산할 수 있다. Dewan은 다음과 같은 관계를 도출했다(다른 표기법으로):^[6]

:

\begin{align}L'& = L'_{old}+v\Delta t'=\frac{L}{\gamma}+\frac{\gamma v^{2}L}{c^{2}}\\& = \gamma L\end{align}

여러 저자들은 S에서의 일정한 길이와 S′에서의 증가된 길이가 길이 수축 공식

L=L'/\gamma

와 일치한다는 점을 언급했다. 그 이유는 초기 정지 길이

L

이 S′에서

\gamma

만큼 증가하고, 동일한 인수로 S에서 수축되어 S에서 동일하게 유지되기 때문이다:^[22]^[12]^[16]

:

L_{contr.}=L'/\gamma=\gamma L/\gamma=L

요약하면, 배 사이의 정지 거리가 S′에서

\gamma L

로 증가하는 동안, 상대성 원리에 따라 끈(물리적 구성이 변경되지 않음)은 새로운 정지 시스템 S′에서 정지 길이

L

을 유지해야 한다. 따라서 배 사이의 거리 증가로 인해 S′에서 끈이 끊어진다. 위에서 설명한 바와 같이, 동일한 내용은 끈의 길이 수축(또는 이동 분자장의 수축)을 사용하여 시작 프레임 S만 고려하는 것으로 얻을 수 있으며, 배 사이의 거리는 동일한 가속으로 인해 동일하게 유지된다.

6. 등가속도 (쌍곡선 운동)

린들러 지평선이 동일한 Born 강체 가속도 내의 두 관찰자. 그들은 그들 중 하나의 고유 시간을 린들러 프레임의 좌표 시간으로 선택할 수 있다.

동일한 고유 가속도를 갖는 두 관찰자(벨의 우주선). 그들은 동일한 린들러 프레임에 정지해 있지 않으므로 다른 린들러 지평선을 갖는다.

보다 현실적인 시나리오인 등가속도, 즉 일정한 고유 가속도를 고려할 때, 관찰자는 순간적인 관성 프레임을 지속적으로 변경하는 쌍곡선 운동을 하게 된다. 쌍곡선 운동에서 외부 관성 프레임의 좌표 시간을

t

, 순간 프레임의 고유 시간을

\tau

라고 하면, 다음 관계가 성립한다.

:

\begin{align}x & =\frac{c^{2}}{\alpha}\left(\sqrt{1+\left(\frac{\alpha t}{c}\right)^{2}}-1\right)=\frac{c^{2}}{\alpha}\left(\cosh\frac{\alpha\tau}{c}-1\right)\\c\tau & =\frac{c^{2}}{\alpha}\operatorname{asinh}\frac{\alpha t}{c},\quad ct=\frac{c^{2}}{\alpha}\sinh\frac{\alpha\tau}{c}\end{align}

이때 순간 속도는 다음과 같다.

:

v=\frac{\alpha t}{\sqrt{1+\left(\frac{\alpha t}{c}\right)^{2}}}=c\tanh\frac{\alpha\tau}{c}

6. 1. Born 강성

특수 상대성 이론은 방향의 순간적인 변화뿐만 아니라, 일정한 고유 가속도를 갖는 보다 현실적인 시나리오도 설명할 수 있다. 일정한 고유 가속도는 관찰자가 순간적인 관성 프레임을 지속적으로 변경하는 쌍곡선 운동으로 이어진다.

이 역설에 대한 수학적 처리는 Born 강체 운동의 처리와 유사하다. Born 강체 운동 문제는 "두 우주선 사이의 거리가 자체 프레임에서 일정하게 유지되도록 두 번째 우주선에 필요한 가속도 프로파일은 무엇인가?"라고 질문한다.^[34]^[35]^[36] 처음에 관성 프레임에 정지해 있던 두 우주선이 일정한 고유 거리를 유지하기 위해서는 선두 우주선이 더 낮은 고유 가속도를 가져야 한다.^[23]^[36]^[37]

이 Born 강체 프레임은 린들러 좌표(Kottler-Møller 좌표)를 사용하여 설명할 수 있다.^[38]

Born 강성의 조건은 우주선의 고유 가속도가 다음과 같이 다르도록 요구한다.^[38]

:

\alpha_{2}=\frac{\alpha_{1}}{1+\frac{\alpha_{1}L'}{c^{2}}}

그리고 린들러 프레임(또는 순간 관성 프레임)에서 관찰자 중 한 명이 측정한 길이

L'=x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime}

은 외부 관성 프레임에서 로렌츠 수축되어

L=x_{2}-x_{1}

이 된다.^[38]

:

L=\frac{L'}{\cosh\frac{\alpha t'}{c}}=L'\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}

이는 위와 동일한 결과이다. 결과적으로 Born 강성의 경우 순간 프레임에서 길이 L'의 일정함은 외부 프레임에서 L이 지속적으로 감소함을 의미하며, 실은 끊어지지 않는다. 그러나 벨의 우주선 역설의 경우 Born 강성의 조건이 깨진다. 왜냐하면 외부 프레임에서 길이 L의 일정함은 순간 프레임에서 L'이 증가함을 의미하며, 실이 끊어지기 때문이다(또한 동일한 고유 가속도를 갖는 두 관찰자 사이의 거리 증가에 대한 표현식은 순간 프레임에서 더 복잡해진다.^[15]).

6. 2. 린들러 좌표계

Born 강체 프레임은 린들러 좌표(Kottler-Møller 좌표)를 사용하여 설명할 수 있다.^[38]

:

\begin{align}ct & =\left(x'+\frac{c^{2}}{\alpha}\right)\sinh\frac{\alpha t'}{c}, & y & =y',\\x & =\left(x'+\frac{c^{2}}{\alpha}\right)\cosh\frac{\alpha t'}{c}-\frac{c^{2}}{\alpha}, & z & =z'.\end{align}

(

t'=\tau

)

Born 강성의 조건은 우주선의 고유 가속도가 다음과 같이 다르도록 요구한다.^[38]

:

\alpha_{2}=\frac{\alpha_{1}}{1+\frac{\alpha_{1}L'}{c^{2}}}

그리고 린들러 프레임(또는 순간 관성 프레임)에서 관찰자 중 한 명이 측정한 길이

L'=x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime}

은 외부 관성 프레임에서 로렌츠 수축되어

L=x_{2}-x_{1}

이 된다.^[38]

:

L=\frac{L'}{\cosh\frac{\alpha t'}{c}}=L'\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}

6. 3. 벨의 우주선 역설과의 비교

벨의 사고 실험에서 세 개의 우주선 A, B, C는 처음에 같은 관성 기준틀에서 정지해 있고, B와 C는 A와 같은 거리에 있다. A에서 신호가 B와 C에 동시에 도달하면, B와 C는 수직 방향으로 가속하기 시작한다(동일한 가속 프로파일로 미리 프로그래밍됨). A는 원래 기준틀에서 정지 상태를 유지한다. 벨에 따르면, B와 C는 (A의 정지 틀에서 볼 때) "매 순간 같은 속도를 갖게 되며, 따라서 서로 고정된 거리를 유지한다"고 한다. 그러나 B와 C 사이에 묶인 약한 실은 길이 수축 때문에 끊어지게 된다. 벨은 "자연적인 수축을 인위적으로 막는 것은 견딜 수 없는 스트레스를 가한다"고 결론지었다.^[2]

이러한 결과는 Born 강체 운동과 비교하여 설명할 수 있다. Born 강체 운동에서는 두 우주선 사이의 거리가 자체 프레임에서 일정하게 유지되도록 두 번째 우주선에 필요한 가속도 프로파일을 조정한다.^[34]^[35]^[36] 이 경우, 선두 우주선은 일정한 고유 거리를 유지하기 위해 더 낮은 고유 가속도를 가져야 한다.^[23]^[36]^[37]

Born 강성의 조건은 우주선의 고유 가속도가 다음과 같이 다르도록 요구한다.^[38]

:

\alpha_{2}=\frac{\alpha_{1}}{1+\frac{\alpha_{1}L'}{c^{2}}}

여기서

L'=x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime}

은 린들러 프레임(또는 순간 관성 프레임)에서 관찰자 중 한 명이 측정한 길이이며, 외부 관성 프레임에서는 로렌츠 수축되어

L=x_{2}-x_{1}

이 된다.^[38]

:

L=\frac{L'}{\cosh\frac{\alpha t'}{c}}=L'\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}

Born 강성의 경우, 순간 프레임에서 길이 L'이 일정하면 외부 프레임에서 L은 지속적으로 감소하므로 실은 끊어지지 않는다. 그러나 벨의 우주선 역설에서는 외부 프레임에서 길이 L이 일정하게 유지되도록 설정되어 있기 때문에, Born 강성의 조건이 깨진다. 이는 순간 프레임에서 L'이 증가함을 의미하며, 결국 실이 끊어지게 된다.^[15]

7. 논의 및 출판물

Dewan과 Beran은 동일하게 제작된 두 로켓이 관성 프레임 S에서 정지해 있다가 동시에 점화될 때, 두 로켓 사이의 거리는 변하지 않는다는 사고 실험을 설명했다.^[1] 그러나 두 로켓을 실로 연결하면, 실은 상대성 이론에 따라 수축해야 하지만, 로켓 사이의 거리는 일정하므로 실은 끊어지게 된다.^[1] Dewan과 Beran은 로렌츠 변환을 통해 첫 번째 로켓과 함께 움직이는 관성 프레임에서도 같은 결과가 나타남을 보였다.^[1]

벨은 세 우주선 A, B, C가 같은 관성 기준틀에서 정지해 있다가 B와 C가 동시에 수직 방향으로 가속하는 사고 실험을 제시했다. A의 정지 틀에서 B와 C는 같은 속도를 유지하며 거리가 고정되지만, B와 C를 묶은 약한 실은 길이 수축으로 인해 끊어진다고 결론 내렸다.^[2] 벨은 이 역설을 제시했을 때 많은 회의적인 반응을 받았고, CERN에서 진행된 비공식적 의견 조사에서는 실이 끊어지지 않을 것이라는 잘못된 합의가 있었다고 한다.^[2]

폴 나브로키(Paul Nawrocki)는 끈이 끊어지지 않아야 한다는 세 가지 주장을 제시했고,^[5] 에드먼드 디완(Edmond Dewan)은 이에 대한 반론에서 자신의 원래 분석이 여전히 유효하다고 주장했다.^[6] 마츠다와 키노시타는 자신들이 독립적으로 재발견한 역설 버전에 대한 논문을 발표한 후 많은 비판을 받았다고 보고했다.^[7]

대부분의 출판물에서는 끈이 끊어진다는 데 동의하며, 이와 관련하여 다양한 재구성, 수정 및 시나리오가 제시되었다.^[8]^[6]^[9]^[10]^[11]^[12]^[13]^[14]^[15]^[16]^[17]^[18]^[19]^[20]^[21]^[22]^[23]^[24]^[25]^[26]^[27]^[28]^[29] 각가속도와 관련된 유사한 문제도 논의되었다.^[30]^[31]^[32]^[33]

참조

_[1] 학술지 Note on stress effects due to relativistic contraction 1959-03-20
_[2] 논문 How to teach special relativity
_[3] 서적 Special Relativity and How it Works
_[4] 서적 The Feynman Lectures on Physics Addison Wesley Longman
_[5] 학술지 Stress Effects due to Relativistic Contraction 1962-10
_[6] 학술지 Stress Effects due to Lorentz Contraction 1963-05
_[7] 학술지 A Paradox of Two Space Ships in Special Relativity http://skfiz.wdfiles[...]
_[8] 학술지 Note on the Separation of Relativistically Moving Rockets
_[9] 학술지 A Geometrical Approach to Relativistic Paradoxes
_[10] 학술지 A Relativistic Rocket Discussion Problem
_[11] 학술지 J. S. Bell's problem
_[12] 학술지 Lorentz contraction and accelerated systems
_[13] 학술지 Forces due to contraction on a cord spanning between two spaceships
_[14] 학술지 Bell's spaceships: a useful relativistic paradox http://digitalcommon[...]
_[15] 학술지 Observer with a constant proper acceleration
_[16] 학술지 How do two moving clocks fall out of sync? A tale of trucks, threads, and twins
_[17] 서적 Special Relativity for Beginners: A Textbook for Undergraduates World Scientific
_[18] 학술지 Note on Dewan Beran Bell's spaceship problem
_[19] 학술지 Comment on 'Note on Dewan-Beran-Bell's spaceship problem'
_[20] 학술지 Reply to 'Comment on "Note on Dewan-Beran-Bell's spaceship problem"'
_[21] 학술지 Some Paradoxes in Special Relativity and the Resolutions
_[22] 학술지 Accelerating spaceships paradox and physical meaning of length contraction
_[23] 학술지 Lorentz contraction, Bell's spaceships, and rigid body motion in special relativity
_[24] 학술지 A constructive approach to the special theory of relativity
_[25] 학술지 Bell's Spaceships Problem and the Foundations of Special Relativity http://digitalcommon[...]
_[26] 학술지 Spatial geometry of the rotating disk and its non-rotating counterpart
_[27] 학술지 Relativistic elasticity of rigid rods and strings
_[28] 학술지 Bell's Spaceships: The Views from Bow and Stern
_[29] 학술지 Playing Tag Relativistically
_[30] 학술지 Relativistic description of a rotating disk with angular acceleration
_[31] 학술지 Do Dewan-Beran relativistic stresses actually exist?
_[32] 학술지 Energy considerations in connection with a relativistic rotating ring
_[33] 서적 Relativity in Rotating Frames Springer 2013-04-06
_[34] 웹사이트 Bell's Spaceship Paradox http://math.ucr.edu/[...]
_[35] 서적 Gravitation W. H. Freeman
_[36] 논문 Relativistic contraction of an accelerated rod 1999-04-06
_[37] 웹사이트 Born Rigidity and Acceleration http://www.mathpages[...]
_[38] 웹사이트 Constant Acceleration and the Equivalence Principle http://kirkmcd.princ[...]

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com