길이 수축

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1. 개요
2. 역사
3. 상대성 이론의 기초
- 3.1. 길이 측정 방법과 동시성의 상대성
- 3.2. 로런츠 변환과 길이 수축 공식
4. 길이 수축의 대칭성
5. 자기력과 길이 수축
6. 실험적 검증
7. 길이 수축의 실제
8. 역설
9. 시각적 효과
10. 유도
참조

1. 개요

길이 수축은 특수 상대성 이론의 중요한 개념으로, 관찰자에 대해 빠르게 움직이는 물체의 길이가 운동 방향으로 짧아 보이는 현상을 말한다. 이 현상은 1889년 조지 피츠제럴드와 1892년 헨드릭 로런츠가 에테르 가설을 유지하기 위해 처음 제안했으며, 1905년 알베르트 아인슈타인이 특수 상대성 이론을 통해 에테르 없이 설명했다. 길이 수축은 로런츠 변환과 시간 지연을 통해 유도되며, 물체의 고유 길이와 로런츠 인자를 사용하여 계산할 수 있다. 이러한 현상은 자기력, 뮤온의 수명, 입자 충돌 등 다양한 실험을 통해 간접적으로 확인되었으며, 시각적인 효과와 관련된 역설도 존재한다.

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동시성의 상대성은 상대적으로 움직이는 기준계에서 공간적으로 분리된 두 사건의 시간 판단이 달라지는 현상으로, 아인슈타인의 특수 상대성 이론에서 절대적인 동시성이 존재하지 않음을 나타내는 핵심 개념이다.

길이 수축
개요
현상	관찰자가 보기에 빠르게 움직이는 물체의 길이가 그 물체와 평행한 방향으로 줄어드는 현상
관련 개념	시간 지연, 상대성이론, 로런츠 변환
상세
정의	물체의 고유 길이보다 짧게 측정되는 현상
원인	다른 속도로 움직이는 관찰자에게는 공간과 시간이 다르게 측정되기 때문
측정 방법	물체와 함께 움직이는 관찰자가 측정한 길이가 가장 길며, 이를 고유 길이라고 부름
공식	L = L0 * sqrt(1 - v^2/c^2) (여기서 L은 관찰자가 측정한 길이, L0은 고유 길이, v는 물체의 속도, c는 광속)
특징	길이가 줄어드는 방향은 운동 방향과 평행하며, 수직 방향으로는 변화가 없음
역사
제안	1889년, 조지 피츠제럴드에 의해 제안됨
발전	1892년, 헨드릭 로런츠에 의해 더욱 발전됨
상대성 이론과의 관계
이론적 배경	특수 상대성 이론의 핵심 개념 중 하나
시간 지연과의 연관성	시간 지연과 함께, 상대적인 시공간 개념을 설명하는 중요한 요소
주의사항
착시 현상 여부	착시가 아닌, 실제 물리적인 현상임

2. 역사

길이 수축은 마이컬슨-몰리 실험의 부정적인 결과를 설명하고, 정지 에테르 가설(로런츠-피츠제럴드 수축 가설)^[30]^[31]을 유지하기 위해 조지 피츠제럴드(1889)와 헨드릭 로런츠(1892)가 제안했다. 피츠제럴드와 로런츠는 운동하는 전하가 만드는 전장이 변형된다는 사실(올리버 헤비사이드가 1888년에 전자기 이론에서 유도한 헤비사이드 타원체)을 언급했지만, 당시 분자간 힘이 전자기력과 같은 방식으로 작용한다고 가정할 만한 충분한 이유가 없었기 때문에 임시 가설로 여겨졌다. 1897년 조지프 라모어는 모든 힘이 전자기적 기원을 가진다고 가정한 모델을 개발했고, 길이 수축은 이 모델의 직접적인 결과로 나타났다. 그러나 앙리 푸앵카레(1905)는 전자기력만으로는 전자의 안정성을 설명할 수 없음을 보였다. 그래서 그는 비전기적 결합력(푸앵카레 응력)이라는 또 다른 가설을 도입하여 전자의 안정성을 보장하고, 길이 수축을 역학적으로 설명하며, 정지 에테르에 대한 운동을 숨겼다.^[32]

알베르트 아인슈타인(1905)은 가상적인 에테르 속을 움직이는 운동을 사용하지 않고 특수 상대성이론을 사용하여 길이 수축을 설명하고, 공간, 시간, 동시성의 개념을 바꾸면서, 수축 가설에서 임의적인 특징을 제거했다.^[32]^[33] 아인슈타인의 이론은 4차원 시공간 개념을 도입하여 모든 상대론적 효과의 기하학적 해석을 제시한 헤르만 민코프스키에 의해 더욱 정교해졌다.^[34]

2. 1. 초기 역사

조지 프랜시스 피츠제럴드(1889)와 헨드릭 로런츠(1892)는 마이컬슨-몰리 실험의 부정적인 결과를 설명하고 정지 상태의 에테르(로런츠-피츠제럴드 수축 가설) 가설을 유지하기 위해 길이 수축을 가정했다.^[58]^[59] 피츠제럴드와 로런츠는 모두 운동 중인 정전기장이 변형("헤비사이드 타원체", 올리버 헤비사이드가 1888년 전자기 이론에서 유도)되었다는 사실을 암시했지만, 이는 임시적인 가설로 간주되었다. 분자간 힘이 전자기력과 같은 방식으로 작용한다고 가정할 충분한 이유가 없었기 때문이다. 1897년 조지프 라모어는 모든 힘이 전자기적 기원으로 간주되고 길이 수축이 이 모델의 직접적인 결과인 모델을 개발했다. 그러나 앙리 푸앵카레(1905)는 전자기력만으로는 전자의 안정성을 설명할 수 없음을 보여주었다. 그래서 그는 전자의 안정성을 보장하고 길이 수축에 대한 역학적 설명을 제공하며 고정된 에테르의 움직임을 숨기는 비전기 결합력(푸앵카레 응력)이라는 또 다른 임시 가설을 도입해야 했다.^[60]

결국, 알베르트 아인슈타인(1905)은 이 수축을 가정된 에테르를 통한 움직임을 필요로 하지 않는 공간, 시간, 동시성의 개념을 완전히 변경시킨 특수 상대성이론을 사용하여 설명될 수 있음을 입증함으로써 수축 가설에서 임시적이라는 특징을 최초로^[60] 완전히 제거하게 되었다.^[61] 아인슈타인의 견해는 4차원 시공간 개념을 도입하여 모든 상대론적 효과의 기하학적 해석을 입증한 헤르만 민코프스키에 의해 더욱 정교해졌다.^[62]

2. 2. 특수 상대성 이론의 등장

조지 피츠제럴드(1889)와 헨드릭 로런츠(1892)는 마이컬슨-몰리 실험의 부정적인 결과를 설명하고 정지 상태의 에테르(로런츠 에테르 이론) 가설 (로런츠-피츠제럴드 수축 가설)을 유지하기 위해 길이 수축을 가정했다.^[58]^[59] 피츠제럴드와 로런츠는 모두 운동 중인 정전기장이 변형된다는 사실("Heaviside-Ellipsoid", 올리버 헤비사이드가 1888년 전자기 이론에서 이 변형을 유도함)을 언급했지만, 분자간 힘이 전자기력과 같은 방식으로 작용한다고 가정할 충분한 이유가 없었기 때문에 임시적인 가설로 간주되었다.

1897년 조지프 라모어는 모든 힘이 전자기적 기원으로 간주되고 길이 수축이 이 모델의 직접적인 결과인 것으로 보이는 모델을 개발했다. 그러나 앙리 푸앵카레(1905)는 전자기력만으로는 전자의 안정성을 설명할 수 없음을 보여주었다. 그래서 그는 전자의 안정성을 보장하고 길이 수축에 대한 역학적 설명을 제공하며 고정된 에테르의 움직임을 숨기는 비전기 결합력(푸앵카레 응력)이라는 또 다른 임시 가설을 도입해야 했다.^[60]

결국, 알베르트 아인슈타인(1905)은 이 수축을 가정된 에테르를 통한 움직임을 필요로 하지 않는 특수 상대성이론을 사용하여 설명될 수 있음을 입증함으로써 수축 가설에서 임시적이라는 특징을 최초로^[60] 완전히 제거하게 되었다.^[61] 아인슈타인의 견해는 4차원 시공간 개념을 도입하여 모든 상대론적 효과의 기하학적 해석을 입증한 헤르만 민코프스키에 의해 더욱 정교해졌다.^[62]

2. 3. 민코프스키 시공간

알베르트 아인슈타인(1905)은 가상적인 에테르 속을 움직이는 운동을 사용하지 않고, 특수 상대성이론을 사용하여 이 수축을 설명하고, 공간, 시간, 동시성의 개념을 바꾸면서, 수축 가설에서 임의적인 특징을 처음으로^[32] 완전히 제거했다.^[33] 아인슈타인의 생각은 자신의 4차원 시공간 개념을 도입함으로써 모든 상대론적 효과의 기하학적 해석을 제시한 헤르만 민코프스키에 의해 더욱 세련되었다.^[34]

3. 상대성 이론의 기초

특수 상대성이론에서는 정지해 있는 물체와 움직이는 물체의 길이를 측정하는 방법을 신중하게 고려해야 한다.^[63] 여기서 '물체'는 항상 서로 정지해 있는, 즉 같은 관성계에서 정지해 있는 두 끝점 사이의 거리를 의미한다. 관측자(또는 측정 도구)와 관측 대상 물체 사이의 상대 속도가 0이면 물체의 고유 길이 $L_0$ 는 측정 막대를 직접 겹쳐서 간단하게 결정할 수 있다.

특수 상대성이론에서 관측자는 무한한 격자 구조의 동기화된 시계를 기준으로 사건을 측정한다.

'''길이 수축''': 3개의 파란색 막대는 S에서 정지하고 3개의 빨간색 막대는 S'에 정지하고 있다. A와 D의 왼쪽 끝이 x축에서 같은 위치에 도달하는 순간 막대의 길이를 비교해야 한다. S에서 A의 왼쪽과 C의 오른쪽의 동시 위치는 D와 F의 동시 위치보다 더 멀리 떨어져 있다. 반면 S'에서는 D의 왼쪽과 F의 오른쪽의 동시 위치가 A와 C의 것보다 멀리 떨어져 있다.

상대 속도가 0보다 크면, 관찰자는 푸앵카레-아인슈타인 동기화에 따라 광 신호를 교환하거나, "느린 시계 전송"(시계의 이송 속도가 0이 되는 극한) 방식으로 동기화되는 일련의 시계를 설치한다. 동기화가 완료되면 물체가 시계 열을 따라 이동하고, 각 시계는 물체의 왼쪽 또는 오른쪽 끝이 지나가는 정확한 시간을 기록한다. 그 후 관찰자는 물체의 왼쪽 끝이 지나간 시간을 기록한 시계 A와 '''동시에''' 물체의 오른쪽 끝이 지나간 시계 B의 위치를 확인한다. 거리 AB는 움직이는 물체의 길이

L

과 같다.^[63]

이처럼 물체의 길이를 측정하는 방법은 동시성 및 시간 팽창과 같은 상대성 이론의 기초 개념과 연관된다.

3. 1. 길이 측정 방법과 동시성의 상대성

특수 상대성이론에서 관측자는 푸앵카레-아인슈타인 동기화에 따라 광신호를 교환하거나, "느린 시계 수송" 방식으로 동기화된 시계열을 설치하여 물체의 길이를 측정한다.^[63] 동기화 후, 물체가 시계열을 따라 이동할 때 각 시계는 물체의 양 끝이 지나가는 시간을 기록한다. 관측자는 물체의 왼쪽 끝이 지나간 시계 A와 오른쪽 끝이 '''동시에''' 지나간 시계 B의 위치를 확인하여, 거리 AB를 움직이는 물체의 길이

L

로 측정한다.^[63] 이때 동시성의 상대성 개념이 중요하다.

다른 방법으로, 고유 시간

T_0

을 나타내는 시계를 사용하여 막대의 정지 좌표계에서 측정한 시간

T

동안 이동한 거리를 통해 길이를 계산할 수 있다. 막대의 길이는 이동 시간에 속도를 곱하여, 막대의 정지 좌표계에서는

L_{0} = T\cdot v

, 시계의 정지 좌표계에서는

L = T_{0}\cdot v

로 나타낸다.^[64]

뉴턴 역학에서는 동시성과 시간이 절대적이므로

L

과

L_0

는 같다. 그러나 상대성 이론에서는 동시성의 상대성과 시간 팽창으로 인해 이 관계가 성립하지 않는다. 첫 번째 방법에서는 한 좌표계의 관측자가 동시 측정을 주장해도 다른 좌표계의 관측자는 동시성을 부정한다. 두 번째 방법에서는 시간 지연으로 인해

T

와

T_0

가 달라 길이도 달라진다.

모든 관성 좌표계에서 측정값의 편차는 로런츠 변환과 시간 팽창 공식으로 설명된다. 고유 길이는 불변하며 항상 물체의 최대 길이를 나타내고, 다른 관성 좌표계에서 측정한 길이는 이보다 짧다. 이 수축은 운동 방향으로만 발생하며, 다음 관계식으로 나타낼 수 있다.

:

L = \frac{1}{\gamma(v)}L_0

여기서,

$L$ 은 상대적으로 움직이는 관찰자가 측정한 길이,
$L_0$ 은 고유 길이(정지 좌표계에서의 길이),
$\gamma(v)$ 는 로런츠 인자 ( $\gamma (v) \equiv \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ ),
$v$ 는 상대 속도,
$c$ 는 광속이다.

로런츠 인자를 대입하면,

:

L = L_0\sqrt{1 - v^2/c^2}

가 된다. 상대 운동하는 관찰자는 물체 양 끝의 동시 측정 거리를 빼서 길이를 측정한다. 정지 상태의 관찰자가 빛의 속도에 매우 가깝게 이동하는 물체를 보면, 운동 방향의 길이는 거의 0에 가깝게 관찰된다.

3. 2. 로런츠 변환과 길이 수축 공식

특수 상대성이론에서 정지해 있는 물체와 움직이는 물체의 길이를 측정하는 방법을 고려해야 한다.^[63] 여기서 "물체"는 항상 상호 정지 상태에 있는, 즉 동일한 관성 참조 프레임에서 정지 상태에 있는 양 끝점 사이의 거리를 의미한다. 관찰자와 물체 사이의 상대 속도가 0이면, 고유 길이

L_0

는 측정 막대를 직접 겹쳐 보아서 물체의 크기를 간단히 결정할 수 있다. 그러나 상대 속도가 0보다 크면, 다음과 같은 절차를 따른다.

관찰자는, a) 푸앵카레-아인슈타인 동기화에 따라 광 신호를 교환하거나 또는, b) "느린 시계 전송" 즉 시계의 이송 속도가 0이 되는 극한에서 동기화되는 일련의 시계를 설치한다. 동기화가 완료되면, 물체가 시계 행을 따라 이동하고 모든 시계는 개체의 왼쪽 또는 오른쪽 끝이 지나가는 정확한 시간을 저장한다. 그 후 관찰자는 물체의 왼쪽 끝이 지나간 시간을 저장한 시계 A와 '''동시에''' 물체의 오른쪽 끝이 지나간 시계 B의 위치만 바라보면 된다. 거리 AB가 움직이는 물체의 길이

L

과 동일하다.^[63] 이 방법을 사용할 때 동시성의 정의는 움직이는 물체의 길이를 측정하는 데 매우 중요하다.

또 다른 방법은 고유 시간

T_0

을 나타내는 시계를 사용하는 것인데 여기서 고유 시간은 막대의 한 끝점에서 다른 끝점으로 막대의 정지 프레임에서 측정된 시간

T

동안에 이동한다. 막대의 길이는 이동 시간에 속도를 곱하여

L_{0} = T\cdot v

또는 시계의 정지 프레임에서

L = T_{0}\cdot v

로 계산할 수 있다.^[64]

뉴턴 역학에서 동시성과 지속 시간은 절대적이므로 두 방법 모두

L

과

L_0

가 동일하게 된다. 그러나 상대성 이론에서 동시성 및 시간 팽창의 상대성과 관련하여 모든 관성 프레임에서 광속의 불변성은 이러한 평등을 파괴한다. 첫 번째 방법에서 한 프레임의 관찰자는 객체의 끝점을 동시에 측정했다고 주장하지만 다른 모든 관성 프레임의 관찰자는 객체의 끝점을 동시에 측정하지 '''않았다'''고 주장한다. 두 번째 방법에서는 시간 팽창으로 인해 시간

T

와

T_0

가 동일하지 않아 길이도 달라진다.

모든 관성 프레임의 측정치 사이의 편차는 로런츠 변환 및 시간 팽창에 대한 공식으로 제공된다. 고유 길이는 변하지 않고 항상 물체의 최대 길이를 나타내며 다른 관성 기준 프레임에서 측정된 동일한 물체의 길이는 고유 길이보다 짧다. 이 수축은 운동선을 따라서만 발생하며 아래 관계식으로 나타낼 수 있다.

:

L = \frac{1}{\gamma(v)}L_0

여기서,

$L$ ː 물체에 대해 움직이는 관찰자가 관찰한 길이,
$L_0$ ː 고유 길이(레스트 프레임에 있는 객체의 길이),
$\gamma(v)$ ː 다음과 같이 정의되는 '''로런츠 인자'''이다.

:

\gamma (v) \equiv \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}

* $v$ 는 관측자와 움직이는 물체 사이의 상대 속도이다.
* $c$ 는 빛의 속도이다.

원래 공식에 로런츠 인자를 대입하면 다음 관계가 발생한다.

:

L = L_0\sqrt{1 - v^2/c^2}

이 방정식에서

L

그리고

L_0

둘 다 물체의 이동선과 평행하게 측정된다. 상대적으로 움직이는 관찰자의 경우 물체의 양쪽 끝에서 동시에 측정된 거리를 빼서 물체의 길이를 측정한다. 보다 일반적인 변환에 대해서는 로런츠 변환을 참조하면 된다. 빛의 속도에 매우 가깝게 이동하는 물체를 관찰하는 정지 상태의 관찰자는 운동 방향으로 물체의 길이가 거의 0에 가까운 것으로 관찰할 것이다.

13400000m/s (3000만 mph, 0.0447 )에서 수축된 길이는 정지 길이의 99.9%이고, 42300000m/s (9500만 mph, 0.141)에서도 여전히 수축된 길이가 99%에 불과하다. 하지만 속도의 크기가 빛의 속도에 가까워질수록 그 효과는 두드러지게 된다.

4. 길이 수축의 대칭성

상대성 원리(관성 기준계에서 자연 법칙이 변하지 않음)는 길이 수축이 대칭적일 것을 요구한다. 즉 어떤 막대가 관성 프레임 S에서 정지해 있으면, 이 막대는 S에서 고유 길이를 가지고 S'에서는 길이가 수축된다. 그러나 막대가 S'에서 정지되어 있으면, 이것은 S'에서 고유 길이를 가지며 S에서는 길이가 수축된다. 로런츠 변환은 기하학적으로 4차원 시공간의 회전에 해당하기 때문에 민코프스키 다이어그램을 사용하여 생생하게 설명할 수 있다.^[65]^[66]

5. 자기력과 길이 수축

자기력은 전자가 원자핵에 대해 상대적으로 이동할 때 상대론적 수축에 의해 발생한다. 전류가 흐르는 도선 옆에 있는 움직이는 전하의 자기력은 전자와 양성자 사이의 상대론적 운동의 결과이다.^[67]^[68]

1820년에 앙드레마리 앙페르는 같은 방향의 전류를 가진 병렬 도선이 서로 끌어당긴다는 것을 보여주었다. 전자의 기준 틀에서 움직이는 전선이 약간 수축하여 반대 전선의 양성자가 국부적으로 '''더 조밀하게''' 된다. 반대편 도선의 전자도 움직이기 때문에 수축하지 않는다. 이것은 전자와 양성자 사이에 명백한 국지적 불균형을 초래한다. 한 도선에서 움직이는 전자는 다른 도선에 있는 여분의 양성자에게 끌리게 된다. 그 반대도 고려할 수 있다. 정적 양성자의 기준 틀에 대해 전자는 움직이고 수축하여 동일한 불균형을 초래한다. 전자의 이송 속도는 시간당 1미터 정도로 상대적으로 매우 느리지만 전자와 양성자 사이의 힘은 너무 커서 이 매우 느린 속도에서도 상대론적 수축이 상당한 영향을 미친다.

이 효과는 전류가 없는 자성 입자에도 적용되며 이때 전류는 전자의 스핀으로 대체된다.

6. 실험적 검증

관찰 대상과 함께 이동하는 관찰자는 상대성 원리에 따라 자신과 대상이 정지해 있는 것으로 판단할 수 있기 때문에 대상의 수축을 측정할 수 없다(트루턴-랜카인 실험에서 입증됨). 따라서 길이 수축은 물체의 정지틀에서는 측정할 수 없고, 관찰된 물체가 움직이는 틀에서만 측정할 수 있다. 또한, 이러한 비동기 프레임에서조차도 길이 수축에 대한 '''직접적인''' 실험적 확인을 달성하기는 어렵다. 현재 기술 수준에서는 상당한 크기의 물체를 상대론적 속도로 가속할 수 없기 때문이다. 그리고 필요한 속도로 이동하는 유일한 물체는 원자 입자이지만 공간적 확장이 너무 작아 수축을 직접 측정할 수 없다.

그러나 비동기 프레임에서의 이러한 수축 효과에 대한 '''간접적인''' 확인은 다음과 같다.

마이켈슨-몰리 실험(및 나중에는 케네디-손다이크 실험)의 부정적인 결과는 길이 수축 개념을 도입하게 된 계기가 되었다. 특수 상대성이론에서 그 설명은 다음과 같다. 정지 프레임에서 간섭계는 상대성 원리에 따라 정지한 것으로 간주할 수 있으므로 빛의 전파 시간은 모든 방향에서 동일하다. 간섭계가 움직이는 프레임에서 횡방향 빔은 움직이지 않는 프레임에 대해 더 긴 대각선 경로를 통과해야 하므로 이동 시간이 더 길어진다. 반면 종방향 빔은 순방향 및 역방향 이동에 대해 각각 ''L'' / (''c'' - ''v'') 및 ''L'' / (''c'' + ''v'') 시간이 걸리므로 지연된다. 이 두 시간을 비교하면 후자가 더 길다. 따라서 부정적 실험 결과에 따라 두 이동 시간의 동일성을 복원하기 위해 세로 방향에서 간섭계가 수축되어야 한다. 이렇게 하면 빛의 양방향 속도는 일정하게 유지되고 간섭계의 수직 팔을 따라 왕복 전파 시간은 움직임 및 방향과 무관하게 된다.
지구의 기준 좌표계에서 측정한 대기의 두께를 감안할 때 뮤온의 수명은 극도로 짧아 빛의 속도로도 지구 표면에 도달할 수 없다. 그럼에도 불구하고 뮤온이 지구 표면에 도달하는 것은 지구 참조 프레임에서는 뮤온의 시간이 시간 지연에 의해 느려지기 때문으로 설명할 수 있다. 그러나 뮤온의 틀에서는 대기가 수축되어 뮤온 입자의 여행 시간이 짧아지는 효과로 설명된다.^[72]
정지 상태에서 구형인 무거운 이온은 거의 빛의 속도로 이동할 때 "팬케이크" 또는 평평한 디스크 형태를 취한다. 실제로 입자 충돌로 얻은 결과는 길이 수축으로 인한 핵 밀도 증가를 고려해야만 설명할 수 있다.^[69]^[70]^[71]
상대 속도가 큰 전하 입자의 이온화 능력은 예상보다 높다. 상대론 이전의 물리학에서는 운동 중인 이온화 입자가 다른 원자나 분자의 전자와 상호 작용할 수 있는 시간이 줄어들기 때문에 높은 속도에서 능력이 감소해야 한다. 그러나 상대성 이론에서는 이온화 입자가 움직이는 프레임에서 쿨롱 필드의 길이 수축으로 설명될 수 있으며, 이는 운동선에 수직인 전기장 강도를 증가시킨다.^[72]^[73]
싱크로트론과 자유 전자 레이저에서는 상대론적 전자가 언듈레이터에 주입되어 싱크로트론 방사가 생성된다. 전자의 고유 프레임에서 언듈레이터가 수축되어 방사 주파수가 증가한다. 또한 실험실 프레임에서 측정된 주파수를 알아내기 위해서는 상대론적 도플러 효과를 적용해야 한다. 따라서 길이 수축과 상대론적 도플러 효과를 통해서만 언듈레이터 방사선의 극히 작은 파장을 설명할 수 있다.^[74]^[75]

7. 길이 수축의 실제

1911년 블라디미르 바리차크는 헨드릭 로런츠에 따르면 길이 수축을 객관적인 방식으로 보지만, 알베르트 아인슈타인에 따르면 "우리의 시계 조절 및 길이 측정 방식으로 인해 발생하는 표면적이고 주관적인 현상"이라고 주장했다.^[76]^[77] 아인슈타인은 이에 대한 반박을 발표했다. 그는 길이 수축이 "정말로" 존재하는지 여부에 대한 질문은 오해의 소지가 있다고 했다. 이동하는 관찰자에게는 길이 수축이 존재하지 않지만, 정지한 관찰자에게는 물리적 수단에 의해 원칙적으로 증명될 수 있는 방식으로 존재한다고 주장했다.^[78]

아인슈타인은 또한 길이 수축은 단순히 시계 규정과 길이 측정이 수행되는 방식에 관한 임의적인 정의의 산물이 아니라고 주장했다. 그는 다음과 같은 사고 실험을 제시했다. A'B'와 A"B"를 각각 x'와 x"에서 측정한 동일한 고유 길이 ''L'' ₀ 의 두 막대의 끝점이라고 한다. 정지 상태로 간주되는 x* 축을 따라 동일한 속도로 반대 방향으로 이동하도록 한다. 종점 A'A"는 점 A*에서 만나고 B'B"는 점 B*에서 만난다. 아인슈타인은 길이 A*B*가 A'B' 또는 A"B"보다 짧다고 지적했으며, 이는 막대 중 하나를 해당 축에 대해 정지시켜 설명할 수도 있다고 하였다.

8. 역설

수축 공식을 겉으로만 적용하면 몇 가지 역설이 발생할 수 있다. 사다리 역설과 벨의 우주선 역설이 그 예이다. 그러나 이러한 역설은 동시성의 상대성을 올바르게 적용함으로써 해결할 수 있다. 또 다른 유명한 역설은 강체의 개념이 상대성 이론과 양립할 수 없다는 것을 증명하는 에른페스트 역설로, 이는 보른 강성의 적용 가능성을 감소시키고, 동시 회전 관찰자에게 기하학이 사실상 비유클리드 기하학임을 보여준다.

9. 시각적 효과

길이 수축은 어떤 좌표계에서 동시에 이루어지는 위치 측정을 참조한다. 이것은 빠르게 움직이는 물체의 사진을 찍을 수 있다면 이미지가 움직이는 방향으로 수축된 물체를 보여줄 것이라는 것을 암시할 수 있다. 그러나 이러한 시각적 효과는 완전히 다른 측정이다. 사진은 멀리서 찍은 반면 길이 수축은 물체의 정확한 끝점 위치에서만 직접 측정할 수 있기 때문이다. 로저 펜로즈와 제임스 터렐은 움직이는 물체가 일반적으로 사진에서 길이가 축소된 것처럼 보이지는 않는다는 사실을 보여주었다.^[79] 이 결과는 《피직스 투데이》 기사에서 빅토어 바이스코프에 의해 대중화되었다.^[80] 예를 들어 작은 각 직경의 경우 움직이는 구는 원형으로 유지되고 회전한다.^[81] 이러한 종류의 시각적 회전 효과를 펜로즈-터렐 회전이라고 한다.^[82]

10. 유도

정지해 있는 물체와 움직이는 물체의 길이를 측정하는 방법을 신중하게 고려해야 한다.^[63] 여기서 "물체"는 항상 상호 정지 상태에 있는, 즉 동일한 관성 참조 프레임에서 정지 상태에 있는 양 끝점 사이의 거리를 의미한다. 관찰자와 물체 사이의 상대 속도가 0이면, 측정 막대를 직접 겹쳐서 물체의 고유 길이 $L_0$ 를 결정할 수 있다. 그러나 상대 속도가 0보다 크면 다음과 같은 절차를 따른다.

관찰자는 a) 푸앵카레-아인슈타인 동기화에 따라 광 신호를 교환하거나, b) "느린 시계 전송" 방식으로 동기화되는 일련의 시계를 설치한다. 동기화가 완료되면, 물체가 시계 행을 따라 이동하고, 각 시계는 물체의 양 끝이 지나가는 정확한 시간을 저장한다. 그 후, 관찰자는 물체의 왼쪽 끝이 지나간 시간을 저장한 시계 A와 '''동시에''' 물체의 오른쪽 끝이 지나간 시계 B의 위치를 확인한다. 거리 AB는 움직이는 물체의 길이 $L$ 과 같다.^[63] 이 방법을 사용할 때 동시성의 정의는 움직이는 물체의 길이를 측정하는 데 매우 중요하다.

또 다른 방법은 고유 시간 $T_0$ 을 나타내는 시계를 사용하여, 막대의 정지 프레임에서 측정된 시간 $T$ 동안 막대의 한 끝점에서 다른 끝점으로 이동하는 시간을 측정하는 것이다. 막대의 길이는 이동 시간에 속도를 곱하여, $L_{0} = T\cdot v$ 또는 시계의 정지 프레임에서 $L = T_{0}\cdot v$ 로 계산할 수 있다.^[64]

뉴턴 역학에서는 동시성과 지속 시간이 절대적이므로, 두 방법 모두 $L$ 과 $L_0$ 가 같다. 그러나 상대성 이론에서는 동시성 및 시간 팽창의 상대성과 관련하여, 모든 관성 프레임에서 광속의 불변성은 이러한 평등을 깨뜨린다. 첫 번째 방법에서 한 프레임의 관찰자는 물체의 끝점을 동시에 측정했다고 주장하지만, 다른 모든 관성 프레임의 관찰자는 그렇지 않다고 주장한다. 두 번째 방법에서는 시간 지연으로 인해 $T$ 와 $T_0$ 가 같지 않아 길이도 달라진다.

모든 관성 프레임의 측정값 사이의 편차는 로런츠 변환 및 시간 팽창 공식으로 제공된다. 고유 길이는 변하지 않고 항상 물체의 최대 길이를 나타내며, 다른 관성 기준 프레임에서 측정된 동일한 물체의 길이는 고유 길이보다 짧다. 이 수축은 운동선을 따라서만 발생하며, 다음 관계식으로 나타낼 수 있다.

: $L = \frac{1}{\gamma(v)}L_0$ .

여기서,

$L$ : 물체에 대해 움직이는 관찰자가 관찰한 길이
$L_0$ : 고유 길이(정지 프레임에 있는 물체의 길이)
$\gamma(v)$ : 로런츠 인자

원래 공식에 로런츠 인자를 대입하면 다음 관계가 된다.

:

L = L_0\sqrt{1 - v^2/c^2}

이 방정식에서

L

과

L_0

는 물체의 이동선과 평행하게 측정된다. 상대적으로 움직이는 관찰자의 경우, 물체의 양쪽 끝에서 동시에 측정된 거리를 빼서 물체의 길이를 측정한다. 빛의 속도에 매우 가깝게 이동하는 물체를 관찰하는 정지 상태의 관찰자는 운동 방향으로 물체의 길이가 거의 0에 가까운 것으로 관찰한다.

m/s (3000만 mph, 0.0447 )에서 수축된 길이는 정지 길이의 99.9%이고, m/s (9500만 mph, 0.141)에서도 여전히 수축된 길이가 99%에 불과하다. 속도의 크기가 빛의 속도에 가까워질수록 그 효과는 두드러지게 된다.

길이 수축은 여러 가지 방법으로 유도할 수 있다.
시간 변환을 이용한 유도관성 기준계 S에서

x_{1}

및

x_{2}

는 움직이는 물체의 끝점을 나타낸다. 이 프레임에서 물체의 길이

L

은 위의 규칙에 따라 끝점의 동시 위치를

t_{1}=t_{2}

시점에서 결정하여 측정된다. 한편, 이 물체의 적절한 길이는 정지 프레임 S'에서 측정된 것으로 로런츠 변환을 사용하여 계산할 수 있다. 시간 좌표를 S에서 S'로 변환하면 시간이 달라지지만 물체가 끝점을 측정할 때 문제가 되지 않는 S'에 정지해 있기 때문에 문제가 되지 않는다. 따라서 공간 좌표의 변환으로 충분하며 다음을 제공한다.^[63]

:

x'_{1}=\gamma\left(x_{1}-vt_{1}\right)\quad\text{and}\quad x'_{2}=\gamma\left(x_{2}-vt_{2}\right) \ \ .

여기서

t_1 = t_2

, 그리고

L=x_{2}-x_{1}

그리고

L_{0}^{'}=x_{2}^{'}-x_{1}^{'}

로 정하면, 고유 길이 S'는 다음과 같이 주어진다.

:

L_{0}^{'}=L\cdot\gamma \ \ .

따라서 프레임 S에서 측정된 물체의 길이는 아래와 같이 인수

\gamma

만큼 축소된다.

:

L=L_{0}^{'}/\gamma \ \ .

마찬가지로 상대성 원리에 따라 S에 정지해 있는 물체는 S'에도 수축된다. 위의 부호와 소수를 대칭적으로 교환하면 다음과 같이 된다.

:

L_{0}=L'\cdot\gamma \ \ .

따라서 S'에 정지해 있는 물체는 S'로 측정할 때 수축된 길이를 갖게 된다.

:

L'=L_{0}/\gamma \ \ .

동시성을 이용한 유도반대로 물체가 S에 있고 적절한 길이를 알고 있는 경우 물체의 끝점에서 측정의 동시성은 다른 기준계 S'에서 고려해야 하는데, 이는 물체가 그곳에서 위치를 계속 변경하기 때문이다. 따라서 공간 좌표와 시간 좌표를 모두 변환해야 한다.^[83]

:

\begin{align}x_{1}^{'} & =\gamma\left(x_{1}-vt_{1}\right) & \quad\mathrm{and}\quad &  & x_{2}^{'} & =\gamma\left(x_{2}-vt_{2}\right)\\t_{1}^{'} & =\gamma\left(t_{1}-vx_{1}/c^{2}\right) & \quad\mathrm{and}\quad &  & t_{2}^{'} & =\gamma\left(t_{2}-vx_{2}/c^{2}\right)\end{align}

동시 시간 측정

\Delta t'=t_{2}^{\prime}-t_{1}^{\prime}=0

을 가정하면서 길이의 간격

\Delta x'=x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime}

을 계산하고, 적절한 고유길이

L_{0}=x_{2}-x_{1}

를 삽입하면, 다음과 같다.

:

\begin{align}\Delta x' & =\gamma\left(L_{0}-v\Delta t\right) & (1)\\\Delta t' & =\gamma\left(\Delta t-\frac{vL_{0}}{c^{2}}\right)=0 & (2)\end{align}

방정식 (2)는

:

\Delta t=\frac{vL_{0}}{c^{2}}

로 되는데, (1)에 삽입되면

\Delta x'

이 수축된 길이

L'

가 됨을 보여준다.

:

L'=L_{0}/\gamma

.

마찬가지로, 동일한 방법은 S'에 정지된 객체에 대해 대칭 결과를 제공한다.

:

L=L^{'}_{0}/\gamma

.
시간 지연을 이용한 유도길이 수축은 시간 지연에서 파생될 수 있다.^[84] 시간 지연에 따르면, 하나의 "움직이는" 시계(고유 시간

T_0

를 나타냄)는 2개의 동기화된 "정지되어 있는" 시계(

T

로 표시)보다 느리다. 시간 팽창은 실험적으로 여러 번 확인되었으며 다음 관계로 표시된다.

:

T=T_{0}\cdot\gamma

정지해 있는

S

에서 고유 길이

L_0

의 막대와 서로

v

의 속도로 움직이고

S'

에서 정지된 시계를 가정하면, 상대성 이론에 따르면 상대 속도의 크기는 두 기준 프레임에서 동일하므로 막대의 끝점 사이의 시계의 각 이동 시간은 다음과 같다.

S

에서는

T=L_{0}/v

이고

S'

에서는

T'_{0}=L'/v

이다. 따라서

L_{0}=Tv

이고

L'=T'_{0}v

이다. 시간 지연 공식을 삽입하면 해당 길이 사이의 비율은 다음과 같다.

:

\frac{L'}{L_{0}}=\frac{T'_{0}v}{Tv}=1/\gamma

.

따라서 측정한 길이는

S'

에 의해 주어진다.

:

L'=L_{0}/\gamma

막대를 가로지르는 시계의 이동 시간이

S'

보다

S

에서 더 길기 때문에 (

S

에서 시간 지연), 막대의 길이도

S'

보다

S

에서 더 길게 된다(

S'

에서 길이 수축). 마찬가지로, 시계가

S

에서 정지해 있고 막대기가

S'

에 있다면, 위의 절차에 의하면 아래 식이 된다.

:

L=L'_{0}/\gamma

기하학적 고려 사항은 길이 수축을, '''E'''³에서의 회전 전후의 직육면체를 통과하는 평행 절편과의 유추를 통해 '삼각법적' 현상으로 간주할 수 있음을 보여준다. 이것은 '''E'''^1,2에서 직육면체의 '부스트'의 유클리드적 유추이다.

세 평면 삼각법
삼각법	원형	포물선형	쌍곡선형
클라인 기하학	유클리드 평면	갈릴레이 평면	민코프스키 평면
기호	E²	E^0,1	E^1,1
이차 형식	양의 정부호	축퇴	비축퇴이지만 부정부호
등거리 군	E(2)	E(0,1)	E(1,1)
등방성 군	SO(2)	SO(0,1)	SO(1,1)
등방성의 유형	회전	전단	부스트
R에 대한 대수	복소수	이중수	분할 복소수
ε²	−1	0	1
시공간 해석	없음	뉴턴 시공간	민코프스키 시공간
기울기	tan φ = m	tanp φ = u	tanh φ = v
"코사인"	cos φ = (1 + m²)^−1/2	cosp φ = 1	cosh φ = (1 − v²)^−1/2
"사인"	sin φ = m (1 + m²)^−1/2	sinp φ = u	sinh φ = v (1 − v²)^−1/2
"시컨트"	sec φ = (1 + m²)^1/2	secp φ = 1	sech φ = (1 − v²)^1/2
"코시컨트"	csc φ = m⁻¹ (1 + m²)^1/2	cscp φ = u⁻¹	csch φ = v⁻¹ (1 − v²)^1/2

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