브라운 표현 정리

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 브라운 표현 정리의 조건
- 2.2. 주의 사항
3. 예시
4. 다양한 변형
5. 역사
참조

1. 개요

브라운 표현 정리는 점을 가진 연결 CW 복합체의 호모토피 범주에서 점을 가진 집합의 범주로 가는 함자가 표현 가능 함자가 되기 위한 필요충분조건을 제시하는 정리이다. 이 정리는 함자가 쌍대곱을 보존하고 약한 밂을 보존하는 경우에 표현 가능하며, 에드거 H. 브라운에 의해 증명되었다. 이 정리는 특이 코호몰로지를 표현하는 데 사용되며, 다양한 변형이 존재한다.

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브라운 표현 정리
개요
분야	대수적 위상수학
설명	CW 복합체의 범주에서 반변 함자를 표현 가능성으로 다룸
세부 내용
관련 개념	표현 가능 함자 CW 복합체 대수적 위상수학

2. 정의

점을 가진 연결 CW 복합체와 호모토피류의 범주 $\operatorname{hCW^{con}_\bullet}$ 를 생각하자. 이 범주는 모든 연결 공간의 약한 호모토피 동치에 대한 호모토피 범주와 동치이다.

이 범주에서 점을 가진 집합의 범주로 가는 함자

: $F\colon\operatorname{hCW^{con}_\bullet}\to\operatorname{Set_\bullet^{op}}$

가 주어졌다고 하자. '''브라운 표현 정리'''에 따르면, $F$ 가 표현 가능 함자가 되기 위한 조건은 하위 섹션 "브라운 표현 정리의 조건"에 나와있다.

이 정리는 에드가 H. 브라운(Edgar H. Brown)이 증명하였다.^[2]

역으로, CW 복합체로 표현되는 모든 함수자는 "브라운 표현 정리의 조건" 섹션에 나와있는 두 가지 속성을 만족한다. 이는 기본적인 범주론의 직접적인 결과이므로, 이 명제의 더 깊고 흥미로운 부분은 다른 함의이다.

위의 표현 대상 ''C''는 ''F''에 함수적으로 의존하는 것으로 나타낼 수 있다. 즉, 정리의 조건을 만족하는 다른 함수자로의 모든 자연 변환은 표현 대상의 사상을 유도한다. 이는 요네다 보조정리의 결과이다.

고정된 ''i'' > 0에 대해, ''F''(''X'')를 주어진 아벨 군 ''A''를 계수로 갖는 특이 코호몰로지 군 ''H''^''i''(''X'',''A'')로 취하면, ''F''에 대한 표현 공간은 아일렌베르크-매클레인 공간 ''K''(''A'', ''i'')이다. 이는 아일렌베르크-매클레인 공간의 존재를 보이는 수단을 제공한다.

2. 1. 브라운 표현 정리의 조건

점을 가진 연결 CW 복합체와 호모토피류의 범주

\operatorname{hCW^{con}_\bullet}

에서 점을 가진 집합의 범주로 가는 함자

:

F\colon\operatorname{hCW^{con}_\bullet}\to\operatorname{Set_\bullet^{op}}

가 주어졌다고 하자.

F

가 표현 가능 함자일 필요충분조건은

F

가 다음 두 조건을 만족시키는 것이다.^[2]

$F$ 는 쌍대곱을 보존한다. 즉, $\operatorname{hCW^{con}_\bullet}$ 의 쌍대곱(쐐기합)을 $\operatorname{Set_\bullet^{op}}$ 의 쌍대곱 ( $\operatorname{Set_\bullet}$ 의 곱, 즉 곱집합)으로 대응시킨다.
$F$ 는 $\operatorname{hCW^{con}_\bullet}$ 의 약한 밂(weak pushout^영어, 즉 호모토피 밂)을 $\operatorname{Set_\bullet^{op}}$ 의 약한 밂( $\operatorname{Set_\bullet}$ 의 약한 당김)으로 대응시킨다.

이는 다음과 같이 표현할 수 있다.

1. 함수자(functor) ''F''는 ''Hotc''의 공합 (즉, 쐐기합)을 ''Set''의 곱으로 보낸다:

F(\vee_\alpha X_\alpha) \cong \prod_\alpha F(X_\alpha),

2. 함수자 ''F''는 ''Hotc''의 사상 원통을 약한 당김으로 보낸다. 이는 종종 마이어-비토리스 시퀀스 공리로 표현된다. 즉, 두 개의 부분 복합체 ''U''와 ''V''로 덮인 모든 CW 복합체 ''W''와, ''u'' ∈ ''F''(''U''), ''v'' ∈ ''F''(''V'')인 모든 원소가 주어지고, ''u''와 ''v''가 ''F''(''U'' ∩ ''V'')의 동일한 원소로 제한될 때, 각각 ''u''와 ''v''로 제한되는 ''w'' ∈ ''F''(''W'')가 존재한다.

2. 2. 주의 사항

점을 가진 연결 공간 조건을 생략한다면 브라운 표현 정리는 더 이상 성립하지 않는다.^[7]

3. 예시

에드가 H. 브라운(Edgar H. Brown)이 증명한 브라운 표현 정리에 따르면, 각 아벨 군 $G$ 및 차수 $n$ 에 대하여 특이 코호몰로지 $\operatorname H^n(-;G)$ 는 표현 가능 함자를 이룬다.^[2] 이를 표현하는 CW 복합체는 에일렌베르크-매클레인 공간 $K(G,n)$ 이다.

4. 다양한 변형

CW 복합체 외에도 다양한 범주에서 브라운 표현 정리의 변형이 존재한다. 브라운은 스펙트럼 등을 포함하는 일반적인 범주론적 버전의 표현 가능성 정리를 증명했다.^[4]

4. 1. 위상 공간에서의 변형

CW-복합체의 호모토피 범주가 모든 위상 공간 범주의 약한 호모토피 동치에 대한 국소화와 동치이므로, 이 정리는 이러한 방식으로 정의된 범주에 대한 함수에 대해 동등하게 진술될 수 있다.^[3]

하지만 이 정리는 '연결된' 유향 공간으로의 제한 없이는 거짓이며, 무방향 공간에 대한 유사한 진술도 거짓이다.^[3]

4. 2. 스펙트럼에서의 변형

CW 복합체 대신 스펙트럼에 대해서는 유사한 정리가 성립한다.^[4]

4. 3. 삼각 범주에서의 변형

삼각 범주의 경우, 암논 니먼이 표현 가능성 정리의 한 버전을 제시하였다.^[5] 이는 특정 기술적 조건을 만족하는 삼각 범주 사이의 (공변) 함수 ''F'': ''C'' → ''D''가 오른쪽 수반 함자를 갖는지에 대한 기준을 제공한다. 즉, ''C''와 ''D''가 ''C''가 콤팩트하게 생성되고 ''F''가 임의의 직접합과 교환되는 삼각 함자인 삼각 범주인 경우, ''F''는 왼쪽 수반 함자를 가진다. 니먼은 이를 대수 기하학에서 Grothendieck 쌍대성 정리를 증명하는 데 사용했다.

4. 4. 준범주에서의 변형

제이콥 루리는 콤팩트한 생성 집합을 가진 유향 준범주의 호모토피 범주에 대한 브라운 표현 가능성 정리의 한 버전을 증명했는데,^[6] 이 생성 집합은 호모토피 범주에서 공동체 대상이다. 예를 들어, 이것은 유향 연결 CW 복합체의 호모토피 범주뿐만 아니라 Grothendieck 아벨 범주의 무제한 유도 범주에도 적용된다(루리의 유도 범주의 고차 범주적 정교함의 관점에서).

5. 역사

에드거 헨리 브라운 2세(Edgar Henry Brown, Jr.)가 1962년에 이 정리를 증명하였다.^[8]

참조

_[1] 서적 Algebraic topology---homotopy and homology Springer-Verlag
_[2] 논문 Cohomology theories
_[3] 논문 Splitting homotopy idempotents. II.
_[4] 논문 Abstract homotopy theory https://www.ams.org/[...]
_[5] 논문 The Grothendieck duality theorem via Bousfield's techniques and Brown representability https://www.ams.org/[...]
_[6] 간행물 Higher Algebra http://math.harvard.[...]
_[7] 인용 Splitting homotopy idempotents II
_[8] 저널 Cohomology theories https://archive.org/[...]

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