에일렌베르크-매클레인 공간

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1. 개요
2. 정의
3. 구성
- 3.1. CW 복합체를 통한 구성
- 3.2. 분류 공간을 통한 구성
4. 성질
5. 예시
- 5.1. 추가 예시
6. 응용
7. 역사
참조

1. 개요

에일렌베르크-매클레인 공간은 주어진 군 G와 양의 정수 n에 대해, n차 호모토피 군이 G이고 다른 호모토피 군은 자명한 위상 공간이다. 이 공간은 항상 존재하며 CW 복합체로 나타낼 수 있고, 에일렌베르크-매클레인 스펙트럼을 형성하여 코호몰로지를 표현하는 데 사용된다. 이 공간은 호모토피류와 코호몰로지 사이의 전단사 관계, 고리 공간과의 관계, 그리고 호몰로지, 함자성, 포스트니코프 탑과의 관계를 갖는다. 에일렌베르크-매클레인 공간은 끈 이론 등 다양한 분야에 응용되며, 사무엘 에일렌베르크와 손더스 매클레인에 의해 도입되었다.

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에일렌베르크-매클레인 공간
기본 정보
유형	위상 공간
정의	모든 호모토피 군이 한 개를 제외하고 자명군인 위상 공간
명명 유래	새뮤얼 에일렌베르크와 손더스 매클레인
성질
호모토피 군	πn(X) = G (n = k) πn(X) = 0 (n ≠ k)
불변성	호모토피 동치 아래 불변
분류 공간	BG = K(G,1)
예시
K(Z, 1)	S1
K(Z, 2)	무한 복소수 사영 공간 ℂP∞
K(F, 1)	F가 자유군
K(Z/2Z, 1)	무한 실수 사영 공간 ℝP∞

2. 정의

군 $G$ 및 양의 정수 $n\in\mathbb Z^+$ 에 대하여, '''에일렌베르크-매클레인 공간''' $K(G,n)$ 은 다음과 같은 호모토피 군을 갖는 위상 공간이다.

: $\pi_k(K(G,n))=\begin{cases}G&k=n\\1&k\ne n\end{cases}$

만약 $n>1$ 이라면, $G$ 는 아벨 군이어야만 한다. 이러한 성질을 갖는 공간은 항상 존재하며, 항상 CW 복합체로 잡을 수 있으며, 약한 호모토피 동치를 무시하면 유일하다.

주어진 아벨 군 $G$ 에 대하여, 고리 공간 함자 $L$ 을 통해

: $\cdots\xrightarrow LK(G,2)\xrightarrow LK(G,1)\xrightarrow K(G,0)$

을 정의할 수 있다. 이는 스펙트럼을 이루며, '''에일린베르크-매클레인 스펙트럼'''이라고 한다. 이는 $G$ 계수의 코호몰로지를 나타내는 스펙트럼이다.

3. 구성

임의의 군 $G$ 와 양의 정수 $n$ 이 주어졌고, $n>1$ 이라면 $G$ 가 아벨 군이라고 가정하자. 이 경우, 에일렌베르크-매클레인 공간 $K(G,n)$ 는 다음과 같이 구체적으로 구성할 수 있다.

군 $G$ 에 이산 위상을 부여하면, 분류 공간 $\operatorname BG$ 는 1차 에일렌베르크-매클레인 공간 $\operatorname BG\simeq K(G,1)$ 을 이룬다. 이 분류 공간은 단체 복합체를 이용하여 구성할 수 있다. 먼저, $\operatorname EG$ 가 다음과 같은 무한 차원 단체 복합체라고 하자.

$\operatorname EG$ 의 $n$ 차원 단체의 집합은 $G^{n+1}$ 이다.
$[g_0,\dots,g_n]\in G^{n+1}$ 은 각 $i$ 에 대하여 면 $[g_0,\dots,\hat g_i,\dots,g_n]\in G^n$ 과 붙여져 있다.

이는 축약 가능 공간이다.

\operatorname EG

위에는

G

의 작용이 존재한다.

:

g\colon \operatorname EG\to\operatorname EG

:

g\colon (g_0,\dots,g_n)\mapsto (gg_0,\dots,gg_n)

이에 따라 몫공간

\operatorname BG=\operatorname EG/G

를 정의할 수 있다. 정의에 따라 이는

\pi_1(\operatorname BG)\cong G

이며 고차 호모토피 군을 갖지 않는다.

마찬가지로 고차 에일렌베르크-매클레인 공간도 유사한 방법으로 정의할 수 있다.

분류 공간과 보편 다발 측면에서의 구성은 J. Peter May의 책에 나와 있다.^[6]

루프 공간을 취하면 호모토피 군이 한 칸 낮아지므로, 표준 호모토피 동치

K(G,n)\simeq\Omega K(G,n+1)

을 가지며, 따라서 다음과 같은 올 공간 수열이 존재한다.

:

K(G,n) \to * \to K(G,n+1)

.

이것은 코올 공간 수열이 아닌데, 공간

K(G,n+1)

은

K(G,n) \to *

의 호모토피 코파이버가 아니다.

이 올 공간 수열은 레라이 스펙트럼 수열을 사용하여

K(G,n)

에서

K(G,n+1)

의 코호몰로지를 연구하는 데 사용될 수 있다. 이는 장-피에르 세르가 포스트니코프 시스템과 스펙트럼 수열을 사용하여 구의 호모토피 군을 연구하는 동안 활용했다.

3. 1. CW 복합체를 통한 구성

임의의 군

G

및 양의 정수

n

이 주어졌을 때,

n>1

이면

G

가 아벨 군이라고 가정한다.

K(G,n)

는 다음과 같이 CW 복합체로 구성할 수 있다.

우선,

n

차원 초구들의 쐐기합의

n

차 호모토피 군은

n=1

일 경우 자유군이고,

n>1

일 경우 자유 아벨 군이다.

:

\pi_1\left(\bigvee_I\mathbb S^1\right)\cong\langle I\rangle

:

\pi_n\left(\bigvee_I\mathbb S^n\right)\cong\mathbb Z^{\oplus I}

군

G

의 표시

:

G\cong \langle I| (R_j)_{j\in J}\rangle\qquad(R_j\in F(I)

를 임의로 선택한다. 여기서

F(I)

는

n=1

일 경우 집합

I

위의 자유군이며

n>1

일 경우 집합

I

위의 자유 아벨 군이다.

n

차원 초구들의 쐐기합

:

X_n=\bigvee_{i\in I}\mathbb S^n

을 생각하고, 각

j\in J

에 대하여

R_j\in F(I)\cong \pi_n(X_1)

에 대응하는 사상

:

f_j\colon\mathbb S^n\to\pi_n(X_1)

을 선택한다. 이 사상을 따라

n+1

차원 세포들을 붙여 CW 복합체

X_{n+1}

을 만들 수 있다. 그러면

:

\pi_i(X_{n+1})=0\qquad\forall i

:

\pi_n(X_{n+1})\cong G

이다. 그러나

X_{n+1}

은 자명하지 않은 고차 호모토피 군을 가질 수 있다.

이를 차례로 없애기 위해 다음과 같은 과정을 반복한다.

$\pi_{n+1}(X_{n+1})$ 의 생성원들을 골라, 그 수만큼 $n+2$ 차원 세포들을 붙여 이들을 죽인다. 이를 $X_{n+2}$ 라고 한다.
$\pi_{n+2}(X_{n+2})$ 의 생성원들을 골라, 그 수만큼 $n+3$ 차원 세포들을 붙여 이들을 죽인다. 이를 $X_{n+3}$ 라고 한다.
이 과정을 반복한다.

모든

n

에 대하여

X_n

을 정의한 뒤, 그 귀납적 극한

:

X_\infty=\varinjlim_{n\to\infty}X_n

을 취하면,

X_\infty

는

K(G,n)

을 이룬다.

n = 1

이고

G

가 임의의 군일 때,

K(G,1)

의 구성은 군

G

의 분류 공간 구성과 동일하다.

G

가 비틀림 원소를 가지면, K(G,1) 유형의 모든 CW-복합체는 무한 차원이 되어야 한다.

더 높은 에일렌베르크-매클레인 공간을 구성하는 데는 여러 기법이 있다. 그 중 하나는 가환군

A

에 대해 무어 공간

M(A,n)

을 구성하는 것이다. 군 ''A''의 각 생성자에 대해 ''n''-구의 쐐기 합을 취하고, 이 쐐기 합의

\pi_n(\bigvee S^n)

에서 해당 맵을 통해 ''(n+1)''-세포를 부착하여 이러한 생성자 간의 관계를 실현한다. 낮은 호모토피 군

\pi_{i < n} (M(A,n))

은 이미 구성에 의해 자명하다. 이제 차원이

n + 1

보다 큰 세포를 차례로 부착하여 모든 더 높은 호모토피 군

\pi_{i > n} (M(A,n))

을 반복적으로 소멸시키고, 이 반복의 포함에 따른 직접 극한으로

K(A,n)

을 정의한다.

또 다른 유용한 기술은 단순 아벨 군의 기하학적 실현을 사용하는 것이다.^[5] 이는 에일렌베르크-매클레인 공간을 나타내는 단순 아벨 군의 명시적인 표현을 제공한다.

분류 공간과 보편 다발 측면에서 또 다른 단순 구성은 J. Peter May의 책에 나와 있다.^[6]

루프 공간을 취하면 호모토피 군이 한 칸 낮아지므로, 표준 호모토피 동치

K(G,n)\simeq\Omega K(G,n+1)

을 가지며, 따라서 다음과 같은 올 공간 수열이 존재한다.

:

K(G,n) \to * \to K(G,n+1)

.

이것은 코올 공간 수열이 아닌데, 공간

K(G,n+1)

은

K(G,n) \to *

의 호모토피 코파이버가 아니다.

이 올 공간 수열은 레라이 스펙트럼 수열을 사용하여

K(G,n)

에서

K(G,n+1)

의 코호몰로지를 연구하는 데 사용될 수 있다. 이는 장-피에르 세르가 포스트니코프 시스템과 스펙트럼 수열을 사용하여 구의 호모토피 군을 연구하는 동안 활용했다.

3. 2. 분류 공간을 통한 구성

n=1

이고

G

가 임의의 군일 때,

K(G,1)

의 구성은 군

G

의 분류 공간 구성과 동일하다.

G

가 비틀림 원소를 가지면, K(G,1) 유형의 모든 CW-복합체는 무한 차원이 되어야 한다.

4. 성질

에일렌베르크-매클레인 공간에 대해 다음이 성립한다.

: $K(G,n)\times K(H,n)\simeq K(G\times H,n)$

: $K(G,n-1)\simeq \Omega K(G,n)$

여기서 $\Omega X$ 는 $X$ 위의 고리 공간이다.

에크먼-힐튼 쌍대성 및 브라운 표현 정리에 따라, 코호몰로지는 에일렌베르크-매클레인 스펙트럼에 의하여 표현된다.

: $\operatorname{H}^n(X;G)\cong\hom_{\operatorname{hTop}_\bullet}\left(X,K(G,n)\right)$

고리 공간 함자 $L$ 을 통해 에일렌베르크-매클레인 스펙트럼을 정의할 수 있다.

: $\cdots\xrightarrow LK(G,2)\xrightarrow LK(G,1)\xrightarrow K(G,0)$

이는 스펙트럼을 이루며, '''에일렌베르크-매클레인 스펙트럼'''이라고 한다. 이는 $G$ 계수의 코호몰로지를 나타내는 스펙트럼이다.

특히, 다음과 같은 관계가 성립한다.

: $\operatorname H^1(X;\mathbb Z)\cong\hom_{\operatorname{hTop}_\bullet}\left(X,\mathbb S^1\right)$

: $\operatorname H^2(X;\mathbb Z)\cong\hom_{\operatorname{hTop}_\bullet}\left(X,\mathbb{CP}^\infty\right)$

첫째 등식은 $\operatorname S^1$ 이 무한 순환군의 분류 공간 $\operatorname B\mathbb Z$ 이므로, $\mathbb Z$ -주다발은 1차 코호몰로지류에 의하여 완전히 분류됨을 뜻한다. 구체적으로, $f\colon X\to\mathbb S^1$ 에 대응하는 코호몰로지류는 $\mathbb S^1$ 의 유일한 1차 코호몰로지류의 당김이다.
둘째 등식은 $\mathbb{CP}^1$ 이 원군의 분류 공간 $\operatorname B\operatorname U(1)$ 이므로, U(1)-주다발 (복소수 선다발)은 2차 코호몰로지류 (천 특성류)에 의하여 완전히 분류됨을 뜻한다. 구체적으로, $f\colon X\to\mathbb{CP}^\infty$ 에 대응하는 코호몰로지류는 $\mathbb{CP}^\infty$ 의 2차 코호몰로지 $\operatorname H^2(\mathbb{CP}^\infty)\cong\mathbb Z$ 의 생성원의 당김이다.

4. 1. 호모토피류와 코호몰로지 간의 전단사

가환군 ''G''와 기저 CW 복합체 ''X''에 대해, ''X''에서

K(G, n)

으로 가는 기저 사상의 기저 호모토피류 집합

[X, K(G, n)]

은 공간 ''X''의 ''n''차 특이 코호몰로지 군

H^n(X, G)

과 자연스럽게 전단사 관계를 갖는다.^[7]^[8] 따라서

K(G, n)

은 계수가 ''G''인 특이 코호몰로지의 표현 공간이라고 말한다.

이는 다음을 통해 확인할 수 있다.

:

\begin{array}{rcl}H^n(K(G,n),G) &=& \operatorname{Hom}(H_n(K(G,n);\mathbb{Z}), G) \\&=& \operatorname{Hom}(\pi_n(K(G,n)), G) \\&=& \operatorname{Hom}(G,G),\end{array}

항등원에 해당하는 구별되는 원소

u \in H^n(K(G, n), G)

가 존재한다. 위 전단사 함수는 해당 원소의 당김

f \mapsto f^*u

로 주어진다. 이는 범주론의 요네다 보조정리와 유사하다.

4. 2. 고리 공간과 오메가 스펙트럼

에일렌베르크-매클레인 공간의 루프 공간은 다시 에일렌베르크-매클레인 공간이 된다.

:

\Omega K(G,n) \cong K(G,n-1)

또한, 루프 공간과 축소된 현수 사이에는 수반 관계가 존재한다.

:

[\Sigma X, Y] = [X,\Omega Y]

이는

[X,K(G,n)] \cong [X,\Omega^2K(G,n+2)]

에 아벨 군의 구조를 부여하며, 여기서 연산은 루프의 연결이다. 이로 인해 위에 언급된 전단사

[X, K(G,n)] \to H^n(X, G)

가 군 동형사상이 된다.

이 성질은 다양한 ''n''을 가진 에일렌베르크-매클레인 공간이 "에일렌베르크-매클레인 스펙트럼"이라고 불리는 오메가-스펙트럼을 형성한다는 것을 의미한다. 이 스펙트럼은

X \mapsto h^n(X):= [X, K(G,n)]

을 통해 기저 CW-복합체에 대한 축소 코호몰로지 이론을 정의하며,

n \neq 0

에 대해

h^n(S^0) = 0

인 CW-복합체에 대한 모든 축소 코호몰로지 이론

h^*

에 대해 자연 동형사상

h^n(X) \cong \tilde{H}^n(X, h^0(S^0))

가 존재하며, 여기서

\tilde{H^*}

는 축소 특이 코호몰로지를 나타낸다. 따라서 이 두 코호몰로지 이론은 일치한다.

더 일반적인 맥락에서, 브라운 표현 정리는 기저 CW-복합체에 대한 모든 축소 코호몰로지 이론이 오메가-스펙트럼에서 나온다는 것을 말해준다.

4. 3. 호몰로지와의 관계

고정된 아벨 군

G

에 대해, 안정 호모토피 군에 다음과 같은 사상이 존재한다.

:

\pi_{q+n}^s(X \wedge K(G,n)) \cong \pi_{q+n+1}^s(X \wedge \Sigma K(G,n)) \to \pi_{q+n+1}^s(X \wedge K(G,n+1))

이는 사상

\Sigma K(G,n) \to K(G,n+1)

에 의해 유도된다. 이 사상에 대한 직접 극한을 취하면, 이는 CW 복합체에 대한 축소된 호몰로지 이론을 정의함을 확인할 수 있다.

:

h_q(X) = \varinjlim _{n} \pi_{q+n}^s(X \wedge K(G,n))

h_q(S^0) = \varinjlim \pi_{q+n}^s(K(G,n))

가

q \neq 0

에 대해 사라지므로,

h_*

는 CW 복합체에서 G를 계수로 하는 축소된 특이 호몰로지

\tilde{H}_*(\cdot,G)

와 일치한다.

4. 4. 함자성

코호몰로지에 대한 보편 계수 정리에 따르면, 에일렌베르크-매클레인 공간은 군의 준함자이다. 즉, 모든 양의 정수

n

에 대해,

a\colon G \to G'

가 가환군의 임의의 준동형사상이라면, 다음을 만족하는 공집합이 아닌 집합이 존재한다.

:

K(a,n) = \{[f]: f\colon K(G,n) \to K(G',n), H_n(f) = a\},

이는

K(a \circ b,n) \supset K(a,n) \circ K(b,n)

이고

1 \in K(1,n),

를 만족하며, 여기서

[f]

는 연속 함수

f

의 호모토피류를 나타내고,

S \circ T := \{s \circ t: s \in S, t \in T \}.

이다.

4. 5. 포스트니코프/화이트헤드 탑과의 관계

모든 연결된 CW-복합체

X

는 포스트니코프 탑을 갖는데, 이는 다음과 같은 공간들의 역 시스템이다.

:

\cdots \to X_3 \xrightarrow{p_3} X_2 \xrightarrow{p_2}  X_1 \simeq K(\pi_1(X), 1)

여기서 모든

n

에 대해 다음이 성립한다.

$X \to X_n$ 은 $i \leq n$ 에 대해 $\pi_i$ 에 대한 동형 사상을 유도하는 가환 사상이다.
$i > n$ 에 대해 $\pi_i(X_n) = 0$ 이다.
사상 $X_n \xrightarrow{p_n} X_{n-1}$ 은 올이 $K(\pi_n(X),n)$ 인 올뭉치이다.

쌍대적으로, 화이트헤드 탑이 존재하며, 이는 다음과 같은 CW-복합체들의 열이다.

:

\cdots \to X_3 \to X_2 \to X_1 \to X

여기서 모든

n

에 대해 다음이 성립한다.

사상 $X_n \to X$ 는 $i > n$ 에 대해 $\pi_i$ 에 대한 동형 사상을 유도한다.
$X_n$ 은 n-연결이다.
사상 $X_n \to X_{n-1}$ 은 올이 $K(\pi_n(X), n-1)$ 인 올뭉치이다.

세르 스펙트럼 열을 사용하여 구의 고차 호모토피 군을 계산할 수 있다. 예를 들어,

S^3

의 화이트헤드 탑을 사용하여

\pi_4(S^3)

와

\pi_5(S^3)

를 찾을 수 있으며,^[9] 더 일반적으로, 포스트니코프 시스템을 사용하여

\pi_{n+i}(S^n) \ i \leq 3

의 호모토피 군을 찾을 수 있다.^[10]

4. 6. 코호몰로지 연산

고정된 자연수 ''m'', ''n''과 아벨 군 ''G'', ''H''에 대해, 모든 코호몰로지 연산

\Theta :H^m(\cdot,G) \to H^n(\cdot,H)

집합과

H^n(K(G,m),H)

사이에는

\Theta \mapsto \Theta(\alpha)

에 의해 정의되는 전단사 함수가 존재한다. 여기서

\alpha \in H^m(K(G,m),G)

는 기본류이다.

결과적으로, 코호몰로지 연산은 코호몰로지 군의 차수를 감소시킬 수 없으며, 차수를 보존하는 코호몰로지 연산은 계수 준동형사상

\operatorname{Hom}(G,H)

에 해당한다. 이는 코호몰로지에 대한 보편 계수 정리와

K(G,m)

의 (m-1)-연결성으로부터 따른다.

코호몰로지 연산의 몇 가지 흥미로운 예로는

G=H

가 유한 순환군일 때의 슈틴로드 제곱과 멱이 있다. 이러한 것들을 연구할 때,

\Z /p

를 계수로 하는

K(\Z /p ,n)

의 코호몰로지의 중요성이 빠르게 드러난다.^[11] 이러한 군에 대한 몇 가지 광범위한 표는 여기서 찾을 수 있다.^[12]

4. 7. 군 (코)호몰로지

$G$를 계수로 하는 군 $A$에 대한 $G$의 군 (코)호몰로지는 계수 $A$를 갖는 에일렌베르크-매클레인 공간 $K(G,1)$의 특이 (코)호몰로지로 정의할 수 있다.

5. 예시

에일렌베르크-매클레인 공간의 예시는 다음과 같다.

단위 원 $S^1$ 은 $K(\Z,1)$ 이다.
무한 차원 복소사영공간 $\mathbb{CP}^{\infty}$ 는 $K(\Z,2)$ 이다.
무한 차원 실수사영공간 $\mathbb{RP}^{\infty}$ 는 $K(\Z/2,1)$ 이다.
''k''개의 단위 원의 쐐기합 $\textstyle\bigvee_{i=1}^k S^1$ 은 $K(F_k,1)$ 이며, 여기서 $F_k$ 는 ''k''개의 생성원을 갖는 자유군이다.
3차원 구 $S^3$ 에서 연결된 매듭 또는 그래프에 대한 여집합은 $K(G,1)$ 유형이다. (크리스토스 파파키리아코풀로스의 1957년 정리)^[2]
모든 콤팩트, 연결된, 비양의 곡률 다양체 ''M''은 $K(\Gamma,1)$ 이다. ( $\Gamma=\pi_1(M)$ 은 ''M''의 기본군, 카르탕-아다마르 정리)
무한 렌즈 공간 $L(\infty, q)$ 는 $K(\mathbb{Z}/q,1)$ 이다. ( $m \in \Z/q$ 에 대해 $(z \mapsto e^{2\pi i m/q}z)$ 에 의한 자유 작용으로 $S^\infty$ 를 나눈 몫, 덮개 공간 이론과 무한 차원 구가 수축 가능하다는 사실을 사용하여 증명)^[3] ( $\mathbb{RP}^{\infty}$ 는 $K(\Z/2,1)$ 로 포함)

유한 차수 원소를 갖는 군

G

에 대하여,

K(G,1)

은 유한 차원 CW 복합체가 될 수 없다.

5. 1. 추가 예시

대표적인 에일렌베르크-매클레인 공간은 다음과 같이 표로 나타낼 수 있다.

$K(\mathbb Z,1)$	$\mathbb S^1$
$K(\mathbb Z^{\oplus n},1)$	타원면 $\mathbb T^n$
$K(F_k,1)$ ( $k$ 차 자유군)	원의 쐐기합 $\bigwedge_{i=1}^k\mathbb S^1$
$K(\mathbb Z/2,1)$	무한 차원 실수 사영 공간 $\mathbb P^\infty(\mathbb R)$
$K(\mathbb Z/m,1)$	무한 차원 렌즈 공간 $\mathbb S^\infty/(\mathbb Z/m)$
$K(\pi_1(\Sigma_g),1)$	$\Sigma_g$ (종수 $g$ 콤팩트 가향 곡면)
$K(\pi_1(S^3\setminus K),1)$	$S^3\setminus K$ ( $K$ 는 매듭)
$K(\mathbb Z,2)$	무한 차원 복소수 사영 공간 $\mathbb P^\infty(\mathbb C)$
$K(\mathbb Z,n)$	초구 위의 무한 차원 짜임새 공간 $\operatorname{Conf}^\infty(\mathbb S^n)$

몇 가지 기본적인 예시를 바탕으로 곱을 통해 추가적인 예시를 얻을 수 있다. $K(G,n) \times K(H,n)$ 이 $K(G\times H,n)$ 라는 사실을 이용하면, n차원 토러스 $\mathbb{T}^n$ 는 $K(\Z^n, 1)$ 임을 알 수 있다.

평면에서 $n$ 개의 점의 배치 공간은 $K(P_n,1)$ 이다. 여기서 $P_n$ 은 $n$ 개의 가닥에 대한 순수 브레이드 군이다.
$\mathbb{R}^2$ 의 n번째 비정렬 배치 공간은 $K(B_n,1)$ 이다. 여기서 $B_n$ 은 n 가닥 브레이드 군을 나타낸다.^[4]
무한 대칭곱 $SP(S^n)$ 은 n-구이며 $K(\mathbb{Z},n)$ 이다. 일반적으로, 모든 무어 공간 $M(G,n)$ 에 대해 $SP(M(G,n))$ 은 $K(G,n)$ 이다.

6. 응용

끈 이론에서 끈 군, 5-브레인 군 등을 얻는 데 에일렌베르크-매클레인 공간이 사용되며, 이는 화이트헤드 탑을 통해 얻어진다. 이 탑은 다음의 짧은 완전열로부터 유도된다.^[1]

: $0\to K(\Z,2)\to \operatorname{String}(n)\to \operatorname{Spin}(n)\to 0$

여기서 $\operatorname{String}(n)$ 은 끈 군이고, $\operatorname{Spin}(n)$ 은 스핀 군이다. $K(\Z,2)$ 의 관련성은 다음과 같은 호모토피 동치 관계에 있다.^[1]

: $K(\mathbb{Z},1) \simeq U(1) \simeq B\Z$

여기서 $B\Z$ 는 분류 공간이고, $K(\Z,2) \simeq BU(1)$ 이다. 복소 스핀 군이 다음과 같은 군 확장임을 주목하자.^[1]

: $0\to K(\Z,1) \to \operatorname{Spin}^\Complex(n) \to \operatorname{Spin}(n) \to 0$

따라서 끈 군은 고차 군 이론의 관점에서 "고차" 복소 스핀 군 확장으로 간주될 수 있는데, 이는 공간 $K(\Z,2)$ 가 고차 군의 한 예이기 때문이다. 이는 객체가 단일 점이고 사상이 군 $U(1)$ 인 군체 $\mathbf{B}U(1)$ 의 위상적 실현으로 생각할 수 있다. 이러한 호모토피적 성질 때문에 구성은 일반화된다. 주어진 공간 $K(\Z,n)$ 은 위상 군에서 호모토피 군 $\pi_{n+1}$ 을 제거하는 짧은 완전열을 시작하는 데 사용될 수 있다.^[1]

7. 역사

사무엘 에일렌베르크와 손더스 매클레인이 에일렌베르크-매클레인 공간을 도입하였다.^[13]^[14] 이들은 1945년, 1950년, 1954년에 걸쳐 공간의 호몰로지와 호모토피 군 사이의 관계 및 군 \(\Pi,n)\에 대한 연구 결과를 발표하였다.^[13]^[14]

카르탕 세미나에서는 에일렌베르크-매클레인 공간의 호몰로지와 코호몰로지를 계산하고, 이를 포스트니코프 계열에 응용하여 구의 호모토피 군을 계산하는 등 에일렌베르크-매클레인 공간에 대한 여러 기본적인 결과들이 발표되었다.

참조

_[1] 논문 Saunders Mac Lane originally spelt his name "MacLane" (without a space), and co-published the papers establishing the notion of Eilenberg–MacLane spaces under this name. (See e.g.
_[2] 논문 On Dehn's lemma and the asphericity of knots 1957-01-15
_[3] 웹사이트 general topology - Unit sphere in $\mathbb{R}^\infty$ is contractible? https://math.stackex[...] 2020-09-01
_[4] 간행물 Configuration spaces for the working undergraduate https://arxiv.org/pd[...] arXiv 2019-11-05
_[5] 웹사이트 gt.geometric topology - Explicit constructions of K(G,2)? https://mathoverflow[...] MathOverflow 2020-10-28
_[6] 서적 A Concise Course in Algebraic Topology http://www.maths.ed.[...] University of Chicago Press
_[7] 문서 On Eilenberg-MacLanes Spaces http://www.people.fa[...] 2021-06-14
_[8] 서적 Algebraic Topology https://pi.math.corn[...] Cambridge University Press 2001
_[9] 문서 On Eilenberg-MacLanes Spaces http://www.people.fa[...] 2021-06-14
_[10] 문서 Spectral Sequences https://pi.math.corn[...]
_[11] 문서 The Steenrod algebra https://web.archive.[...]
_[12] 문서 Integral Cohomology of Finite Postnikov Towers http://doc.rero.ch/r[...]
_[13] 저널
_[14] 저널 https://archive.org/[...]

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