렙셰츠 초평면 정리

3. 렙셰츠 초평면 정리의 증명

솔로몬 렙셰츠^[3]는 레프셰츠 연필을 사용하여 이 정리를 증명했다. 렙셰츠는 초평면 절단 $Y$ 대신 초평면 절단족 $Y\_t$ ($Y=Y\_0$)를 고려했다. 일반적인 초평면 절단은 매끄럽기 때문에, 유한 개의 $Y\_t$를 제외하고는 모두 매끄러운 다양체이다. 알도 안드레오티와 시어도어 프랭클^[5]은 모스 이론을 사용하여 렙셰츠 정리를 재구성했다.^[6] 여기서 매개변수 $t$는 모스 함수의 역할을 한다. 1957년 르네 톰이 발견하고, 1959년 라울 보트가 단순화하여 출판한 접근법이 있다.^[7] 톰과 보트는 $Y$를 선다발의 단면이 $X$에서 사라지는 궤적으로 해석했다. 고다이라 쿠니히코와 도널드 C. 스펜서는 특정 조건에서 호지 군 $H^\{p,q\}$에 대한 렙셰츠형 정리를 증명할 수 있음을 발견했다.^[8][9] 마이클 아틴과 알렉산더 그로텐디크는 코호몰로지 계수가 체가 아닌 가산층인 경우에 대한 렙셰츠 초평면 정리를 일반화했다.^[10]

3. 1. 렙셰츠의 증명 (1924)

3. 2. 안드레오티와 프랭클의 증명 (1959)

3. 3. 톰과 보트의 증명 (1957, 1959)

3. 4. 고다이라와 스펜서의 증명

3. 5. 아틴과 그로텐디크의 증명

4. 다른 코호몰로지 이론에서의 렙셰츠 정리

아르틴과 그로텐디크는 에탈 코호몰로지와 ℓ-adic cohomology|ℓ-아디 코호몰로지^영어 환경에 적용할 수 있는 렙셰츠 초평면 정리의 증명을 제시하였다. 구성층에 대한 몇 가지 제약 조건을 제외하면, 렙셰츠 정리는 양의 표수에서 구성층에 대해서도 유효하다.

이 정리는 교차 호몰로지로 일반화될 수 있다. 이 환경에서, 이 정리는 매우 특이한 공간에 대해서도 성립한다.^[11][24]

렙셰츠 유형의 정리는 피카르 군에 대해서도 성립한다.^[11][24]

5. 강한 렙셰츠 정리 (Hard Lefschetz Theorem)

$X$를 $\backslash mathbb\{C\}\backslash mathbf\{P\}^N$에 있는 $n$차원 비특이 복소 사영 다양체라고 하면, $X$의 코호몰로지 환에서 초평면의 코호몰로지류와의 $k$겹 곱은 $H^\{n\; -\; k\}(X)$와 $H^\{n\; +\; k\}(X)$ 사이의 동형 사상을 제공한다.^[12][13]

이를 '''강한 렙셰츠 정리'''라고 하며, 그로텐디크는 이를 프랑스어로 ''Théorème de Lefschetz vache''라고 불렀다.^[25][26] 이는 렙셰츠 초평면 정리의 단사 부분을 즉시 함축한다.

강한 렙셰츠 정리는 모든 콤팩트한 켈러 다양체에 대해 성립하며, 드람 코호몰로지에서의 동형 사상은 켈러 형식의 거듭제곱과의 곱으로 주어진다. 이 정리는 Hopf 곡면과 같이 비켈러 다양체에서는 성립하지 않을 수 있는데, 이는 호프 곡면의 두 번째 코호몰로지 군이 소멸하여 초평면 단면의 두 번째 코호몰로지류에 해당하는 것이 없기 때문이다.

강한 렙셰츠 정리는 들린(Deligne)이 1980년에 대수적으로 닫힌 양의 표수를 갖는 체 위의 매끄러운 사영 다양체의 $\backslash ell$-아디 코호몰로지에 대해서도 증명하였다.

참조

_[1] Harvnb
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_[27] 서적 L’analysis situs et la géométrie algébrique Gauthier-Villars 1924