사승 상호작용

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1. 개요
2. 라그랑지안
3. 양자화
- 3.1. 정규 양자화
- 3.2. 파인만 경로 적분
4. 재규격화
5. 자발적 대칭 깨짐
- 5.1. Z₂ 대칭 깨짐
- 5.2. 연속 대칭 깨짐
6. 정확한 해
참조

1. 개요

사승 상호작용은 실수 스칼라장, 복소 스칼라장, N개의 실수 스칼라장을 포함하는 이론으로, 라그랑지안, 양자화, 재규격화, 자발적 대칭 깨짐 등을 다룬다. 라그랑지안은 Z₂ 대칭, SO(2) 대칭, SO(N) 대칭을 가지며, 결합 상수 λ는 이론의 안정성을 위해 양수여야 한다. 양자화는 정규 양자화와 파인만 경로 적분을 통해 이루어지며, 파인만 도표를 사용하여 산란을 계산한다. 재규격화를 통해 발산을 처리하며, 자발적 대칭 깨짐은 진공 상태의 변화와 도메인 벽과 같은 집단 상태를 발생시킨다. 또한, φ⁴ 이론은 야코비 타원 함수를 사용하여 정확한 해를 구할 수 있다.

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사승 상호작용
개요
유형	양자장론 모형
상호작용	사승 상호작용
상호작용 항	λφ⁴ (λ는 결합 상수, φ는 스칼라장)
관련 개념	자발 대칭 깨짐 재규격화 유효 퍼텐셜
상세 정보
설명	4개의 장이 상호작용하는 양자장론 모형
특징	상대적으로 단순한 구조 다양한 물리적 현상 설명에 사용
응용 분야	응집물질물리학에서의 상전이 연구 입자물리학에서의 힉스 메커니즘 연구
수학적 구조
라그랑지안	{\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-{\frac {\lambda }{4!}}\phi ^{4}}
자유도	단일 실수 스칼라장 (φ)
파인만 규칙	꼭짓점에서 4개의 선이 만나는 형태로 표현
이론적 중요성
재규격화 가능성	특정 차원에서 재규격화 가능
자명성 문제	높은 에너지에서 결합 상수가 무한대로 발산할 가능성
힉스 메커니즘과의 연관성	힉스 메커니즘의 단순화된 모형으로 사용

2. 라그랑지안

φ⁴ 이론의 라그랑지안은 스칼라 장의 운동 에너지 항, 질량 항, 그리고 4승 상호작용 항으로 구성된다. 실수, 복소수, 그리고 여러 개의 스칼라장에 대해 각각 다른 형태의 라그랑지안을 가진다.

이론의 안정성을 위해서는 결합 상수가 양수여야 하며, 4차원에서는 란다우 극 현상이 나타나 유효 이론으로만 존재한다.

2. 1. 실수 스칼라장

이론의 라그랑지안은 다음과 같다.

:

\mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi -\frac{m^2}{2}\phi^2 -\frac{\lambda}{4!}\phi^4

이 라그랑지안은 전반적 대칭 '''Z'''₂ 대칭을 지닌다. 즉, φ를 −φ로 바꾸어도 라그랑지안은 바뀌지 않는다.

실수 스칼라 장(scalar field)과 4차 상호작용을 갖는 라그랑지안 밀도는 다음과 같다.

:

\mathcal{L}(\varphi)=\frac{1}{2} [\partial^\mu \varphi \partial_\mu \varphi -m^2 \varphi^2] -\frac{\lambda}{4!} \varphi^4.

이 라그랑지안은

\varphi\to-\varphi

에 대응되는 전역 '''Z'''₂ 대칭을 갖는다.

2. 2. 복소 스칼라장

복소 스칼라 장의 경우, 라그랑지안은 다음과 같다.

:

\mathcal{L}=\partial^\mu \phi^* \partial_\mu \phi -m^2 \phi^* \phi -\frac{\lambda}{4}(\phi^* \phi)^2

이는 두 개의 실수 스칼라 장으로 구성된 SO(2) 모델과 동등하다. 복소 스칼라 장에 대한 라그랑지안은 다음과 같이 설명할 수 있다. ''두'' 개의 스칼라 장

\varphi_1

과

\varphi_2

에 대한 라그랑지안은 다음과 같은 형태를 갖는다.

:

\mathcal{L}(\varphi_1,\varphi_2) =\frac{1}{2} [ \partial_\mu \varphi_1 \partial^\mu \varphi_1 - m^2 \varphi_1^2]+ \frac{1}{2} [ \partial_\mu \varphi_2 \partial^\mu \varphi_2 - m^2 \varphi_2^2]

\frac{1}{4} \lambda (\varphi_1^2 + \varphi_2^2)^2,

이는 다음과 같이 정의된 복소 스칼라 장

\phi

를 도입하여 더 간결하게 표현할 수 있다.

:

\phi \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} (\varphi_1 + i \varphi_2),

:

\phi^* \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} (\varphi_1 - i \varphi_2).

이 복소 스칼라 장으로 표현하면 위 라그랑지안은 다음과 같다.

:

\mathcal{L}(\phi)=\partial^\mu \phi^* \partial_\mu \phi -m^2 \phi^* \phi -\lambda (\phi^* \phi)^2,

복소 장을 실수부와 허수부로 확장하면 실수 스칼라 장

\varphi_1, \varphi_2

의 SO(2) 모델과 동등하다는 것을 알 수 있다.^[1]

2. 3. N개의 실수 스칼라장

''n''개의 실수 스칼라 마당이 있는 경우, 라그랑지안은 다음과 같이 일반화할 수 있다.

:

\mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial^\mu \phi_a \partial_\mu \phi_a - \frac{m^2}{2}\phi_a \phi_a -\frac{\lambda}{8}(\phi_a \phi_a)^2.

이 이론은 SO(n) 대칭을 지닌다. 하나의 복소 스칼라장은 두 개의 실수 스칼라장과 동등하다.

N

개의 실수 스칼라 장을 사용하면 전역 SO(N) 대칭을 갖는

\varphi^4

모델을 가질 수 있다.

:

\mathcal{L}(\varphi_1,...,\varphi_N)=\frac{1}{2} [\partial^\mu \varphi_a \partial_\mu \varphi_a - m^2 \varphi_a \varphi_a] -\frac{1}{4} \lambda (\varphi_a \varphi_a)^2, \quad a=1,...,N.

^[1]

2. 4. 결합 상수와 안정성

이론의 안정성을 보장하기 위해, 결합 상수 λ는 양수여야 한다. 그렇지 않으면 포텐셜이 아래로 무한정해지고 안정적인 진공이 없을 것이기 때문이다.^[1]

4차원에서는 사승 상호작용은 양자전기역학과 같이 란다우 극(Landau pole)을 가진다. 따라서 양자 자명성(quantum triviality)으로 인하여, 유효 이론으로만 존재한다. 고에너지 스케일에 대한 컷오프가 없으면 재규격화가 이론을 자명하게 만든다는 것을 의미한다.

\phi^4

모델은 Griffiths-Simon 클래스에 속하며,^[1] 이는 특정 유형의 그래프에서 약한 극한으로서의 이징 모델로도 표현될 수 있음을 의미한다.

d\geq 4

에서

\phi^4

모델과 이징 모델의 자명성은 랜덤 전류 전개라고 알려진 그래프 표현을 통해 나타낼 수 있다.^[2]

3. 양자화

φ⁴ 이론은 정규 양자화 또는 파인만 경로 적분 방법을 사용하여 양자화할 수 있다. 정규 양자화는 정규 교환자를 만족하는 연산자를 도입하고, 이를 통해 해밀토니안을 표현한다. 파인만 경로 적분은 모든 가능한 경로에 대한 적분을 통해 양자역학적 진폭을 계산한다.^[3]

3. 1. 정규 양자화

슈뢰딩거 묘사에서, 운동량 마당 π와 마당 φ는 둘 다 에르미트 연산자이며, 다음과 같은 정규 교환자를 만족한다.

:

[\phi(\vec{x}),\phi(\vec{y})]=[\pi(\vec{x}),\pi(\vec{y})]=0

:

[\phi(\vec{x}),\pi(\vec{y})]=i \delta(\vec{x}-\vec{y}).

이론의 해밀토니안은 (윅 순서를 무시하면) 다음과 같다.

:

H=\int d^3x \left[{1\over 2}\pi^2+{1\over 2}(\nabla \phi)^2+{m^2\over 2}\phi^2+{\lambda \over 4!}\phi^4\right].

운동량 공간으로 푸리에 변환하면, 다음을 얻는다.

:

\tilde{\phi}(\vec{k})=\int d^3x e^{-i\vec{k}\cdot\vec{x}}\phi(\vec{x})

:

\tilde{\pi}(\vec{k})=\int d^3x e^{-i\vec{k}\cdot\vec{x}}\pi(\vec{x}).

여기서

\sqrt{k^2+m^2}

를 에너지 ''E''라고 부른다.

파괴 연산자(annihilation operator) ''a''를 다음과 같이 정의한다.

:

a(\vec{k})=\left(E\tilde{\phi}(\vec{k})+i\tilde{\pi}(\vec{k})\right).

그 에르미트 수반

a^\dagger

는 생성 연산자가 된다.

:

a^\dagger(\vec{k})=\left(E\tilde{\phi}(\vec{k})-i\tilde{\pi}(\vec{k})\right).

생성 및 파괴 연산자를 통틀어 사다리 연산자라 부른다. 사다리 연산자의 교환자는 다음과 같다. (이는 비상대적 양자역학에서의 양자 조화 진동자와 동일한 구조이다.)

:

[a(\vec{k}_1),a(\vec{k}_2)]=[a^\dagger(\vec{k}_1),a^\dagger(\vec{k}_2)]=0

:

[a(\vec{k}_1),a^\dagger(\vec{k}_2)]=(2\pi)^3 2E \delta(\vec{k}_1-\vec{k}_2).

점유수 (occupancy number) ''n''은 다음과 같다.

:

n^\dagger(\vec{k})=a^\dagger(\vec{k})a(\vec{k})

총 입자 수 ''N''은 다음과 같다.

:

N=\int {d^3k \over (2\pi)^3}{1\over 2E}n(\vec{k}),

이는 항상 양의 정수 혹은 0이다. 생성 연산자는 총 입자수를 1 증가시키고, 파괴 연산자는 1 감소시킨다.

해밀토니안을 사다리 연산자로 쓰면 다음과 같다.

:

H=\int {d^3k\over (2\pi)^3}{1\over 2E}E\left(a^\dagger(\vec{k})a(\vec{k})+(2\pi)^3 E\delta(\vec{0})\right)+

:

+{\lambda\over 4!}\iiiint {d^3k_1\over (2\pi)^3 2E_1}{d^3k_2\over (2\pi)^3 2E_2}{d^3k_3\over (2\pi)^3 2E_3}{d^3k_4\over (2\pi)^3 2E_4} (2\pi)^3 \delta(\vec{k}_1+\vec{k}_2+\vec{k}_3+\vec{k}_4)\left(a^\dagger(\vec{k}_1)+a(\vec{k}_1)\right)\left(a^\dagger(\vec{k}_2)+a(\vec{k}_2)\right)\left(a^\dagger(\vec{k}_3)+a(\vec{k}_3)\right)\left(a^\dagger(\vec{k}_4)+a(\vec{k}_4)\right).

첫 번째 항은 디랙 델타로 인해 발산한다. 그러나 (일반 상대론을 고려하지 않으면) 진공 에너지는 중요하지 않으므로, 무시한다. 두 번째 항도 발산하는데, 이를 고치기 위해서 윅 순서를 가한다. 따라서, 발산하는 부분을 제거하면 해밀토니안은 다음과 같이 된다.

:

{:H:} = \int d^3x \left[{1\over 2} {:\pi^2:} +{1\over 2} {:(\nabla \phi)^2:} +{m^2\over 2} {:\phi^2:} +{\lambda \over 4!} {:\phi^4:} \right]

이 해밀토니안은 N|0>=0을 만족시키는 에너지가 0인 상태가 존재하는데, 이 상태를 진공이라 한다. 해밀토니안에서, 2차항은 자유 해밀토니안, 나머지는 상호작용 해밀토니안이다. 자유 해밀토니안에서, 운동량이

\vec{k}

인 입자는 에너지

\sqrt{k^2+m^2}

를 가짐을 알 수 있다. 이는 특수상대론과 같다.

이 해밀토니안을 다이슨 급수로 전개하여 건드림이론으로 만들면, 파인만 도표를 얻는다.

3. 2. 파인만 경로 적분

파인만 도형 전개는 경로 적분 공식에서 얻을 수 있다.^[3] φ에 대한 다항식의 시간 순서 진공 기대값은 ''n'' 입자 그린 함수로 알려져 있으며, 모든 가능한 장에 대해 적분하여 구성되며, 외부 장이 없는 진공 기대값으로 정규화된다.

:

\langle\Omega|\mathcal{T}\{\phi(x_1)\cdots {\phi}(x_n)\}|\Omega\rangle=\frac{\int \mathcal{D}\phi \phi(x_1)\cdots \phi(x_n) e^{i\int d^4x \left({1\over 2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi -{m^2 \over 2}\phi^2-{\lambda\over 4!}\phi^4\right)}}{\int \mathcal{D}\phi e^{i\int d^4x \left({1\over 2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi -{m^2 \over 2}\phi^2-{\lambda\over 4!}\phi^4\right)}}.

이 모든 그린 함수는 생성 함수에서 ''J''(''x'')φ(''x'')의 지수를 전개하여 얻을 수 있다.

:

Z[J] =\int \mathcal{D}\phi e^{i\int d^4x \left({1\over 2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi -{m^2 \over 2}\phi^2-{\lambda\over 4!}\phi^4+J\phi\right)} = Z[0] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \langle\Omega|\mathcal{T}\{{\phi}(x_1)\cdots {\phi}(x_n)\}|\Omega\rangle.

윅 회전을 적용하여 시간을 허수로 만들 수 있다. 부호를 (++++)로 변경하면 φ⁴ 통계 역학 적분이 4차원 유클리드 공간에 대해 얻어진다.

:

Z[J]=\int \mathcal{D}\phi e^{-\int d^4x \left({1\over 2}(\nabla\phi)^2+{m^2 \over 2}\phi^2+{\lambda\over 4!}\phi^4+J\phi\right)}.

일반적으로, 이것은 고정된 운동량을 가진 입자들의 산란에 적용되며, 이 경우 푸리에 변환이 유용하며, 대신 다음을 얻는다.

:

\tilde{Z}[\tilde{J}]=\int \mathcal{D}\tilde\phi e^{-\int d^4p \left({1\over 2}(p^2+m^2)\tilde\phi^2-\tilde{J}\tilde\phi+{\lambda\over 4!}{\int {d^4p_1 \over (2\pi)^4}{d^4p_2 \over (2\pi)^4}{d^4p_3 \over (2\pi)^4}\delta(p-p_1-p_2-p_3)\tilde\phi(p)\tilde\phi(p_1)\tilde\phi(p_2)\tilde\phi(p_3)}\right)}.

여기서

\delta(x)

는 디랙 델타 함수이다.

이 함수 적분을 평가하는 표준 방법은 지수 인자의 곱으로 작성하는 것이다.

:

\tilde{Z}[\tilde{J}]=\int \mathcal{D}\tilde\phi \prod_p \left[e^{-(p^2+m^2)\tilde\phi^2/2} e^{-\lambda/4!\int {d^4p_1 \over (2\pi)^4}{d^4p_2 \over (2\pi)^4}{d^4p_3 \over (2\pi)^4}\delta(p-p_1-p_2-p_3)\tilde\phi(p)\tilde\phi(p_1)\tilde\phi(p_2)\tilde\phi(p_3)} e^{\tilde{J}\tilde\phi}\right].

두 번째 두 지수 인자는 멱급수로 전개될 수 있으며, 이 전개의 조합론은 그래프로 표현될 수 있다. λ = 0인 적분은 무한히 많은 기본 가우스 적분의 곱으로 취급될 수 있으며, 그 결과는 다음 파인만 규칙을 사용하여 계산된 파인만 도형의 합으로 표현될 수 있다.

''n''점 유클리드 그린 함수에서 각 필드 $\tilde{\phi}(p)$ 는 그래프에서 외부 선(반쪽 가장자리)으로 표현되며, 운동량 ''p''와 관련된다.
각 정점은 인자 ''-λ''로 표현된다.
주어진 차수 λ^''k''에서, ''n''개의 외부 선과 ''k''개의 정점이 있는 모든 도형은 각 정점으로 들어가는 운동량의 합이 0이 되도록 구성된다. 각 내부 선은 해당 선을 통과하는 운동량이 ''q''일 때, 인자 1/(''q''² + ''m''²)로 표현된다.
제약이 없는 모든 운동량은 모든 값에 대해 적분된다.
결과는 그래프의 선과 정점을 연결성을 변경하지 않고 재배열할 수 있는 경우의 수인 대칭 인자로 나눈다.
외부 선이 없는 연결된 부분 그래프인 "진공 버블"을 포함하는 그래프는 포함하지 않는다.

마지막 규칙은

\tilde{Z}[0]

으로 나누는 효과를 고려한다. 민코프스키 공간 파인만 규칙도 유사하지만, 각 정점은

-i\lambda

로 표현되는 반면, 각 내부 선은 인자 ''i''/(''q''²-''m''² + ''i'' ''ε'')로 표현되며, 여기서 ''ε'' 항은 민코프스키 공간 가우스 적분을 수렴시키기 위해 필요한 작은 윅 회전을 나타낸다.

4. 재규격화

페인만 도형에서 "루프 적분"이라고 불리는, 제한되지 않은 운동량에 대한 적분은 일반적으로 발산한다. 이는 재규격화를 통해 처리되며, 원래 라그랑지안에 발산하는 반대항을 추가하여 라그랑지안과 반대항으로 구성된 다이어그램이 유한하도록 만드는 절차이다.^[4] 이 과정에서 재규격화 척도가 도입되며, 결합 상수와 질량은 이 척도에 의존한다. 이러한 의존성은 란다우 극점으로 이어지는데, 컷오프를 유한하게 유지하거나, 컷오프가 무한대로 갈 수 있도록 허용하는 경우 재규격화된 결합이 0으로 수렴하여 이론을 자명하게 만들어야 란다우 극점을 피할 수 있다.^[5]

5. 자발적 대칭 깨짐

''m''²이 음수이고 λ(람다)가 양수인 경우, 자발적 대칭 깨짐 현상이 발생할 수 있다. 이 경우 진공 상태는 원래 이론의 '''Z'''₂ 전역 대칭을 자발적으로 깬다.^[6]

''O''(2) 이론에서 진공 상태는 원 위에 놓이게 되며, 이 중 하나를 선택하면 ''O''(2) 대칭을 자발적으로 깨게 된다. 연속적인 대칭 깨짐은 골드스톤 보존으로 이어진다. 이러한 자발적 대칭 깨짐은 힉스 메커니즘의 필수 요소이다.^[6]

5. 1. Z₂ 대칭 깨짐

''m''²이 음수이고 λ가 양수이면, 진공 상태는 두 개의 최저 에너지 상태로 나뉘며, 각각은 원래 이론의 '''Z'''₂ 전역 대칭을 자발적으로 깬다. 이로 인해 도메인 벽 같은 현상이 나타난다.^[6]

단일 스칼라 장

\varphi

를 가진 상대론적 시스템의 라그랑지안은 다음과 같다.

:

\mathcal{L}(\varphi) = \frac{1}{2} (\partial \varphi)^2 + \frac{1}{2}\mu^2 \varphi^2 - \frac{1}{4} \lambda \varphi^4 \equiv \frac{1}{2} (\partial \varphi)^2 - V(\varphi),

여기서

\mu^2 > 0

이고, 포텐셜은 다음과 같다.

:

V(\varphi) \equiv - \frac{1}{2}\mu^2 \varphi^2 + \frac{1}{4} \lambda \varphi^4.

\varphi

에 대한 포텐셜을 최소화하면 다음을 얻는다.

:

V'(\varphi_0) = 0 \Longleftrightarrow \varphi_0^2 \equiv v^2 = \frac{\mu^2}{\lambda}.

이 최소값을 중심으로 장을 확장하여

\varphi(x) = v + \sigma(x),

로 쓰고 라그랑지안에 대입하면 다음과 같다.

:

\mathcal{L}(\varphi) =\underbrace{-\frac{\mu^4}{4\lambda}}_{\text{무시해도 되는 상수}}+ \underbrace{\frac{1}{2} [( \partial \sigma)^2 - (\sqrt{2}\mu)^2 \sigma^2 ]}_{\text{질량이 있는 스칼라 장}}+ \underbrace{ (-\lambda v \sigma^3 - \frac{\lambda}{4} \sigma^4) }_{\text{자기 상호작용}}.

여기서 스칼라

\sigma

는 ''양수'' 질량 항을 가진다.

원래 라그랑지안은

Z_2

대칭

\varphi \rightarrow -\varphi

에 대해 불변이었다. 진공 기대값은 다음과 같다.

:

\langle \Omega | \varphi | \Omega \rangle = \pm \sqrt{ \frac{6\mu^2}{\lambda} }

모두 최소값이므로 두 개의 다른 진공

|\Omega_\pm \rangle

가 존재해야 한다.

:

\langle \Omega_\pm | \varphi | \Omega_\pm \rangle = \pm \sqrt{ \frac{6\mu^2}{\lambda} }.

Z_2

대칭은

\varphi \rightarrow -\varphi

를 취하므로

| \Omega_+ \rangle \leftrightarrow | \Omega_-  \rangle

도 취해야 한다.

이 이론에 대한 두 가지 가능한 진공은 동등하지만 하나를 선택해야 한다. 새로운 라그랑지안에서는

Z_2

대칭이 사라진 것처럼 보이지만, 여전히 존재하며

\sigma \rightarrow -\sigma - 2v.

와 같이 작동한다.

이것은 자발적으로 깨진 대칭의 일반적인 특징이다. 진공은 이러한 대칭을 깨지만, 라그랑지안에서는 깨지지 않고 숨겨져 있으며, 비선형적인 방식으로만 실현된다.^[7]

5. 2. 연속 대칭 깨짐

''m''²이 음수이고 λ가 여전히 양수 값을 가질 때 흥미로운 현상이 발생할 수 있다. 이 경우, 진공 상태는 두 개의 최저 에너지 상태로 구성되며, 각각은 원래 이론의 '''Z'''₂ 전역 대칭을 자발적으로 깬다. 이로 인해 도메인 벽과 같은 흥미로운 집단 상태가 나타난다. ''O''(2) 이론에서 진공 상태는 원 위에 놓이게 되며, 그 중 하나를 선택하는 것은 ''O''(2) 대칭을 자발적으로 깨는 것이다. 연속적인 깨진 대칭은 골드스톤 보존으로 이어진다. 이러한 유형의 자발적 대칭 깨짐은 힉스 메커니즘의 필수적인 요소이다.^[6]

6. 정확한 해

φ⁴ 이론의 운동 방정식은 특정 조건에서 야코비 타원 함수를 사용하여 정확한 해를 구할 수 있다.^[8] 질량이 없는 경우( $\mu_0=0$ ) 해는 다음과 같다.

: $\varphi(x) = \pm\mu\left(\frac{2}{\lambda}\right)^{1\over 4}{\rm sn}(p\cdot x+\theta,i),$

여기서 $\, \rm sn\!$ 는 야코비 타원 정현 함수이며 $\,\mu,\theta$ 는 두 개의 적분 상수이고, 다음 분산 관계가 성립한다.

: $p^2=\mu^2\left(\frac{\lambda}{2}\right)^{1\over 2}.$

흥미로운 점은 질량이 없는 방정식을 시작했지만 정확한 해는 질량이 있는 해에 적합한 분산 관계를 가진 파동을 설명한다는 것이다. 질량 항이 0이 아닐 때는 다음과 같은 해를 얻는다.

: $\varphi(x) = \pm\sqrt{\frac{2\mu^4}{\mu_0^2 + \sqrt{\mu_0^4 + 2\lambda\mu^4}}}{\rm sn}\left(p\cdot x+\theta,\sqrt{\frac{-\mu_0^2 + \sqrt{\mu_0^4 + 2\lambda\mu^4}}{-\mu_0^2 -\sqrt{\mu_0^4 + 2\lambda\mu^4}}}\right)$

이때 분산 관계는 다음과 같다.

: $p^2=\mu_0^2+\frac{\lambda\mu^4}{\mu_0^2+\sqrt{\mu_0^4+2\lambda\mu^4}}.$

마지막으로, 대칭 파괴의 경우 해는 다음과 같다.

: $\varphi(x) =\pm v\cdot {\rm dn}(p\cdot x+\theta,i),$

여기서 $v=\sqrt{\frac{2\mu_0^2}{3\lambda}}$ 이고 다음 분산 관계가 성립한다.

: $p^2=\frac{\lambda v^2}{2}.$

이러한 파동 해는 잘못된 질량 부호를 가진 방정식으로 시작했음에도 불구하고 분산 관계가 올바른 부호를 갖기 때문에 흥미롭다. 게다가, 야코비 함수 $\, {\rm dn}\!$ 은 실제 영점을 갖지 않으므로, 장은 결코 0이 되지 않고 초기에는 대칭의 자발적 파괴를 설명하는 주어진 상수 값 주위로 움직인다.

해는 $\varphi=\varphi(\xi)$ 형태로 찾을 수 있으며, 여기서 $\xi=p\cdot x$ 이다. 그러면 편미분 방정식은 $p$ 가 적절한 분산 관계를 만족하는 야코비 타원 함수를 정의하는 상미분 방정식이 된다.

참조

_[1] 논문 The (φ4)2 field theory as a classical Ising model https://doi.org/10.1[...] 1973-06-01
_[2] 논문 Marginal triviality of the scaling limits of critical 4D Ising and $\phi_4^4$ models 2021-07-01
_[3] 서적 Field Theory: A Modern Primer Westview Press 2001-12-21
_[4] 서적 Quantum Field Theory Dover 2006-02-24
_[5] 간행물 Triviality Pursuit: Can Elementary Scalar Particles Exist?
_[6] 문서
_[7] 문서 Quantum Field Theory and the Standard Model
_[8] 간행물 Exact Solutions of Classical Scalar Field Equations

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