사차원 전류

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 시공간 안에서 전하의 움직임
- 2.2. 물리학적 해석
3. 연속 방정식
4. 맥스웰 방정식
5. 일반 상대성 이론
6. 양자장 이론
- 6.1. 고전 입자
- 6.2. 페르미 입자
참조

1. 개요

사차원 전류는 계량 부호수 (+−−−)를 갖는 민코프스키 공간에서 정의되는 물리량으로, 전하 밀도와 3차원 전류 밀도를 시공간의 네 차원으로 확장한 것이다. 이는 전자기 현상을 기술하는 데 중요한 역할을 하며, 맥스웰 방정식과 전하 보존 법칙을 포함한 다양한 물리 법칙과 밀접하게 관련되어 있다. 사차원 전류는 전자기장 텐서, 전자기 포텐셜, 그리고 하전 입자의 움직임과 연관되어 있으며, 특수 상대성 이론, 일반 상대성 이론, 그리고 양자장 이론과 같은 다양한 물리 이론에서 중요한 개념으로 사용된다.

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사차원 전류
개요
영어 명칭	Four-current
다른 명칭	4차원 전류 밀도
정의	전하 밀도와 전류 밀도를 4차원 벡터 형태로 결합한 것
기호	jμ
차원	T−1 L−2 I (시간-1 길이-2 전류)
SI 단위	A⋅m−2 (암페어 매 제곱미터)
수식
구성 요소	시간 성분: 전하 밀도에 광속을 곱한 값 (ρc) 공간 성분: 전류 밀도 벡터 (j)
표현식	jμ = (ρc, j)
여기서	ρ: 전하 밀도 c: 광속 j: 전류 밀도 벡터
활용
맥스웰 방정식	맥스웰 방정식을 공변 형태로 표현하는 데 사용됨
연속 방정식	전하 보존 법칙을 나타내는 연속 방정식을 간결하게 표현

2. 정의

계량 부호수 (+−−−)를 가진 민코프스키 거리공간에서 사차원 전류는 다음과 같이 표기된다.

: $J^\alpha = \left(c \rho, j^1 , j^2 , j^3 \right) = \left(c \rho, \mathbf{j} \right)$

여기서 ''c''는 광속이며, ''ρ''는 전하 밀도이고 '''j'''는 3차원 전류 밀도를 나타낸다. 합지표 ''α''는 시공간 차원을 의미한다.

전하 보존 법칙을 나타내는 연속 방정식은 4차원 벡터의 발산 형태로 작성된다.

: $\partial_\mu J^\mu = 0$

4차원 전류 밀도는 전자기장의 근원이며, 맥스웰 방정식을 만족한다.

: $\partial_\nu F^{\nu\mu}=\partial_\nu\partial^\nu A^\mu -\partial^\mu\partial_\nu A^\nu =-\mu_0 J^\mu$

여기서 $F$ 는 전자기장 텐서, $A$ 는 전자기 포텐셜이다. 또한 $\mu_0$ 는 자기 상수이다.

또한, 4차원 전류 밀도는 전자기장으로부터 로렌츠 힘을 받는다.

: $f_\mu = J^\nu F_{\nu\mu}$

물질 $X$ 와 전자기장 $A$ 가 상호 작용하는 계의 작용 적분은

: $S_X[X] +S_A[A] +S_\text{int}[X,A]$

로 표기된다. 상호 작용 항 $S_\text{int}$ 은 일반적으로

: $S_\text{int}[X,A] =\frac{1}{c}\int J^\mu A_\mu(x) \sqrt{-g}\, d^4x$

의 형태로 표기되므로, 4차원 전류 밀도는 범함수 미분에 의해

: $J^\mu(x) =\frac{c}{\sqrt{-g}} \frac{\delta S_\text{int}[X,A]}{\delta A_\mu(x)}$

로 표시된다.

미시적으로 보면 4차원 전류 밀도는 하전 입자의 집합이며, 4차원 전류 밀도는 입자를 기술하는 역학 변수 $X$ 의 함수로 표기된다. 입자의 계가 어떻게 기술되는지에 따라, 상호 작용 항의 구체적인 형태가 변하고, 이에 따라 4차원 전류 밀도의 구체적인 형태도 변한다.

2. 1. 시공간 안에서 전하의 움직임

전하의 움직임은 사차원 속도를 통해 표현될 수 있다.^[12]^[13] 이때 4차원 전류는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

J^\alpha = \rho_0 U^\alpha = \rho_u \sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}} U^\alpha

여기서,

$\rho_u$ 는 속력 ''u''(3차원 속도의 크기)로 전하가 흐르는 것으로 보이는 관성계 관측자 O가 관측한 전하 밀도이다.
$\rho_0$ 는 정지 전하 밀도, 즉 관성계의 관측자 O와 비교하여 전하와 함께 속력 ''u''로 진행하고 있는 관측자가 관측한 전하 밀도이다.

정성적으로 보았을 때 전하 밀도의 변화는 로런츠 수축으로 압축된 전하 공간 때문이다.

고전적인 입자계를 생각할 때, 입자는 그 위치에 의해 기술된다. 4차원 전류 밀도는 상대론적으로 다루어지는 양이며, 입자도 상대론적인 계를 생각한다.

위치

X_i

에 있는 입자가 전하

q_i

를 띠고 있을 때, 작용 범함수는

:

\begin{aligned}S_\text{int}[X,A] &=\sum_i q_i \int \frac{dX_i^\mu}{d\lambda} A_\mu(X_i)\, d\lambda \\&=\int \sum_i q_i \int d\lambda \left( \frac{dX_i^\mu}{d\lambda}\, \delta^4(X_i(\lambda)-x) \right) A_\mu(x)\, d^4x \\\end{aligned}

로 쓰여진다. 따라서, 이 계의 4차원 전류 밀도는

:

j^\mu(x) =\sum_i \frac{q_ic}{\sqrt{-g}} \int \dot{X}_i^\mu(\lambda)\, \delta^4(X_i(\lambda)-x)\, d\lambda

이다.

2. 2. 물리학적 해석

정지 상태의 전하는 일정 시간을 두고 보면 '그 자리'에 그대로 있는 것처럼 보인다. 이 전하가 움직이기 시작하면 시간에 따라 위치가 변하므로 전하는 속도를 가지게 되고, 전하의 움직임은 전류를 구성하게 된다. 즉, 전하 밀도는 시간과 관련이 있고, 전류 밀도는 공간과 관련이 있다. 사차원 전류는 하나의 식을 통해 전하 밀도와 전류 밀도를 묶어 서술한다.

사차원 전류는 전하 밀도(전기와 관련됨)와 전류 밀도(자기와 관련됨)를 하나의 전자기적 실체로 통합한다.

전하 보존 법칙을 나타내는 연속 방정식은 4차원 벡터의 발산 형태로 작성된다.

4차원 전류 밀도는 전자기장의 근원(source)이며, 맥스웰 방정식을 만족한다. 여기서

F

는 전자기장 텐서,

A

는 전자기 포텐셜이다. 또한

\mu_0

는 자기 상수이다.

또한, 4차원 전류 밀도는 전자기장으로부터 로렌츠 힘을 받는다.

물질

X

와 전자기장

A

가 상호 작용하는 계의 작용 적분은

S_X[X] +S_A[A] +S_\text{int}[X,A]

로 표기된다. 상호 작용 항

S_\text{int}

은 일반적으로

S_\text{int}[X,A] =\frac{1}{c}\int j^\mu A_\mu(x) \sqrt{-g}\, d^4x

의 형태로 표기되므로, 4차원 전류 밀도는 범함수 미분에 의해

j^\mu(x) =\frac{c}{\sqrt{-g}} \frac{\delta S_\text{int}[X,A]}{\delta A_\mu(x)}

로 표시된다.

미시적으로 보면 4차원 전류 밀도는 하전 입자의 집합이며, 4차원 전류 밀도는 입자를 기술하는 역학 변수

X

의 함수로 표기된다. 입자의 계가 어떻게 기술되는지에 따라, 상호 작용 항의 구체적인 형태가 변하고, 이에 따라 4차원 전류 밀도의 구체적인 형태도 변한다.

고전적인 입자계를 생각할 때, 입자는 그 위치에 의해 기술된다. 4차원 전류 밀도는 상대론적으로 다루어지는 양이며, 입자도 상대론적인 계를 생각한다.

위치

X_i

에 있는 입자가 전하

q_i

를 띠고 있을 때, 작용 범함수는

\begin{aligned}S_\text{int}[X,A] &=\sum_i q_i \int \frac{dX_i^\mu}{d\lambda} A_\mu(X_i)\, d\lambda \\&=\int \sum_i q_i \int d\lambda \left( \frac{dX_i^\mu}{d\lambda}\, \delta^4(X_i(\lambda)-x) \right) A_\mu(x)\, d^4x \\\end{aligned}

로 쓰여진다. 따라서, 이 계의 4차원 전류 밀도는

j^\mu(x) =\sum_i \frac{q_ic}{\sqrt{-g}} \int \dot{X}_i^\mu(\lambda)\, \delta^4(X_i(\lambda)-x)\, d\lambda

이다.

3. 연속 방정식

전하량 보존 법칙이란 ''J''의 로런츠 공변량의 발산이 0임을 의미한다.^[14]

: $\dfrac{\partial J^\alpha}{\partial x^\alpha} = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0$

여기서 $\partial/\partial x^\alpha$ 는 사차원 기울기이다. 이것이 연속 방정식이다.

일반상대론에서는 연속 방정식을 다음과 같이 표현한다.

: $J^\alpha{}_{;\alpha}=0\,$

여기서 세미콜론(;)은 공변도함수를 의미한다.

전하 보존 법칙을 나타내는 연속 방정식은 4차원 벡터의 발산

: $\partial_\mu j^\mu = 0$

의 형태로 작성된다.

4. 맥스웰 방정식

맥스웰 방정식에서 사차원 전류는 전자기 퍼텐셜 관점에서 다음 두 가지 등식으로 나타난다.^[15]

: $\Box A^\alpha = \mu_0 J^\alpha$

여기서 $\Box$ 는 달랑베르 연산자이다.

전자기장 텐서를 통해 나타내면 다음과 같다.

: $\partial_\beta F^{\alpha\beta} = \mu_0 J^\alpha$

여기서 ''μ''₀는 자유공간의 투자율을 의미한다.

로렌츠 게이지 조건이 충족될 때 사차원 전위^[5]의 관점에서도 위와 동일하게 표현된다.

5. 일반 상대성 이론

일반 상대성 이론에서 사차원 전류는 전자기 변위의 발산으로 정의된다.^[1]

: $\mathcal{D}^{\mu \nu} \, = \, \frac{1}{\mu_{0}} \, g^{\mu \alpha} \, F_{\alpha \beta} \, g^{\beta \nu} \, \sqrt{-g} \,$

: $J^\mu = \partial_\nu \mathcal{D}^{\mu \nu}$ ^[1]

6. 양자장 이론

세묜 게르슈테인과 야코프 젤도비치는 1956년에 전자기 상호작용에 대한 보존 벡터 전류(CVC) 가설을 고려했다.^[7]^[8]^[9] 전하의 4차원 전류 밀도는 양자 전기역학에서 사용되는 라그랑지안 밀도의 필수적인 구성 요소이다.^[6]

6. 1. 고전 입자

고전적인 입자계를 생각할 때, 입자는 그 위치에 의해 기술된다. 4차원 전류 밀도는 상대론적으로 다루어지는 양이며, 입자도 상대론적인 계를 생각한다.

위치 X에 있는 입자가 전하 q를 띠고 있을 때, 4차원 전류 밀도는 다음과 같다.

:j^μ(x) =∑_i (q_ic/√(−g))∫Ẋ_i^μ(λ)δ⁴(X_i(λ)−x)dλ|j^μ(x) =∑_i (q_ic/√(−g))∫Ẋ_i^μ(λ)δ⁴(X_i(λ)−x)dλ^영어

6. 2. 페르미 입자

양자론적 페르미 입자의 계는 디랙 장 ψ^영어로 기술된다. 페르미 입자와 전자기장과의 상호작용은 게이지 이론에 기초하여 미분을 공변 미분으로 치환하는 최소 결합 이론으로 기술된다.^[6]

이에 따라 페르미 입자의 운동 항과 상호작용 항은 다음과 같은 형태가 된다.

:

여기서 는 전자기 상호작용의 결합 상수인 전하량이다. 또한 는 디랙 장 의 하에서의 변환성을 나타내는 전하이다.

따라서 상호작용 항은 다음과 같다.

:

4차원 전류 밀도는 다음과 같다.

:

참조

_[1] 서적 Introduction to Special Relativity https://books.google[...] Oxford Science Publications
_[2] 서적 Electromagnetic Fields
_[3] 서적 Principles of Electrodynamics
_[4] 서적 Classical Electrodynamics
_[5] 문서 ref. 1, p519
_[6] 서적 An introduction to the standard model of particle physics https://books.google[...] Cambridge University Press
_[7] 서적 Conceptual foundations of modern particle physics https://archive.org/[...] World Scientific Publishing Company
_[8] 간행물 Soviet Phys. JETP
_[9] 논문 CVC in particle physics
_[10] 서적 Introduction to Special Relativity https://books.google[...] Oxford Science Publications
_[11] 서적 Fundamentals of physics Wiley 2014
_[12] 서적 Electromagnetic Fields
_[13] 서적 Principles of Electrodynamics
_[14] 서적 Classical Electrodynamics
_[15] 문서 ref. 1, p519

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