전자기 퍼텐셜

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1. 개요
2. 전자기 퍼텐셜의 정의
- 2.1. 정전기장과 전위
- 2.2. 자기 벡터 퍼텐셜
3. 전자기 퍼텐셜과 맥스웰 방정식
4. 전자기 퍼텐셜의 유일성과 게이지 변환
5. 정적인 장의 전자기 퍼텐셜
6. 상대론적 표현
7. 라그랑주 형식
8. 전자기 퍼텐셜과 양자역학
9. 한국의 전자기학 연구와 교육
참조

1. 개요

전자기 퍼텐셜은 전기장과 자기장을 표현하는 데 사용되는 스칼라 퍼텐셜과 벡터 퍼텐셜을 포괄하는 개념이다. 4차원 벡터로 표현되는 전자기 퍼텐셜은 맥스웰 방정식을 간소화하고, 전자기 현상을 기술하는 데 중요한 역할을 한다. 전자기 퍼텐셜은 게이지 변환의 자유도를 가지며, 로렌츠 게이지, 쿨롱 게이지 등 다양한 게이지를 통해 방정식을 풀 수 있다. 또한, 전자기 퍼텐셜은 라그랑주 형식으로 기술될 수 있으며, 양자역학에서 전하를 가진 입자와 전자기장 간의 상호작용을 설명하는 데 필수적인 요소이다.

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전자기 퍼텐셜
전자기 퍼텐셜
유형	4차원 벡터
기호	A
성분	A = (ϕ/c, A)
전자기장과 관련된 양	전기 퍼텐셜(ϕ) 벡터 퍼텐셜(A)
상대론적 성분	A⁰ = ϕ/c A¹ = Ax A² = Ay A³ = Az
상세 정보
로렌츠 게이지 조건	∂_μA^μ = 0
전류 밀도와 관계	☐A^μ = μ₀J^μ
전자기장 텐서와 관계	F^μν = ∂^μA^ν - ∂^νA^μ
역사
개발자	제임스 클러크 맥스웰

2. 전자기 퍼텐셜의 정의

반변적인 '''전자기 4차원 퍼텐셜'''은 다음과 같이 정의할 수 있다.^[2]

SI 단위	가우스 단위
$A^\alpha = \left( \frac{1}{c}\phi, \mathbf{A} \right)\,\!$	$A^\alpha = (\phi, \mathbf{A})$

여기서 ''ϕ''는 전위, '''A'''는 자기 퍼텐셜(즉, 벡터 퍼텐셜)이다. ''A^α''의 단위는 SI 단위계에서 V·s·m⁻¹이고, 가우스 단위계에서는 Mx·cm⁻¹이다.

이러한 4차원 퍼텐셜과 관련된 전기장과 자기장은 다음과 같다.^[3]

SI 단위	가우스 단위
$\mathbf{E} = -\mathbf{\nabla} \phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$	$\mathbf{E} = -\mathbf{\nabla} \phi - \frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$
$\mathbf{B} = \mathbf{\nabla} \times \mathbf{A}$	$\mathbf{B} = \mathbf{\nabla} \times \mathbf{A}$

푸앵카레의 보조정리에 의해,

3차원 벡터 공간 상의 벡터장 $\boldsymbol{X}(\boldsymbol{x})$ 에 대해

$\nabla\cdot \boldsymbol{X} = 0$ 을 만족할 때, 3차원 벡터 공간 상의 벡터 값 함수 $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x})$ 가 존재하여, $\boldsymbol{X} =\nabla\times \boldsymbol{A}$ 가 성립한다.
$\nabla\times \boldsymbol{X} = \mathbf{0}$ 을 만족할 때, 3차원 벡터 공간 상의 스칼라 값 함수 $\phi(\boldsymbol{x})$ 가 존재하여, $\boldsymbol{X} =-\nabla\phi$ 가 성립한다.

첫 번째 구속 조건

\nabla\cdot \boldsymbol{B} = 0

에 푸앵카레의 보조정리를 적용하면,

\boldsymbol{B} =\nabla\times\boldsymbol{A}

를 만족하는 벡터 퍼텐셜

\boldsymbol{A}

가 존재한다는 것을 알 수 있다.^[6]

두 번째 구속 조건

\nabla\times \boldsymbol{E}+\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t} = \mathbf{0}

에 벡터 퍼텐셜이 만족해야 하는 조건식을 대입하여 정리하면,

-\nabla\phi = \boldsymbol{E}+\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}

를 만족하는 스칼라 퍼텐셜

\phi

가 존재한다는 것을 알 수 있다.

이것을 이항하면,

:

\boldsymbol{E} = -\nabla\phi

\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}을 얻는다.

정자기장에서의 전위와 유사하게,

:

\phi(x,y,z) = - \int_C \left( \boldsymbol{E} + \frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t} \right) \cdot \mathrm{d}s + \mathrm{constant}

가 성립한다. 여기서 ''C'' 는 기점과 (x,y,z)를 잇는 임의의 경로이다.

### 정전기장과 전위

자기장의 시간 변화가 없는 정전기장의 경우, 전기장 '''E'''는 전위 *ϕ* 만으로 표현 가능하다. 즉,
E(x,y,z) = -∇*ϕ*(x,y,z)이다. 여기서 (x,y,z)는 공간상의 임의의 점이다.

전위는 무한원방의 전하를 (x,y,z)의 위치까지 정적으로 가져올 때의 일에 해당하며, 원리적으로는 '''E'''의 선적분으로 계산할 수 있다.

정전기장에서는 전하에 의한 퍼텐셜의 총합으로 전위를 계산할수 있다.

정자장 조건이 없는 경우에는 자기장이 전기장을 유도하므로, 위 식을 만족하는 *ϕ*(x,y,z)는 존재하지 않고, 전위를 정의할 수 없다.

### 자기 벡터 퍼텐셜

자기장을 유도하는 퍼텐셜이다. 자기 벡터 퍼텐셜이 시간에 따라 변화하는 경우에는, 전기 스칼라 퍼텐셜과는 별도로, 자기장의 시간적 변화를 통해 전기장도 유도한다.

자기 벡터 퍼텐셜은 자기장의 원천, 즉 국소 전류에 의한 퍼텐셜의 총합이기도 하다. 따라서 전류 밀도 분포로부터 계산할 수 있다. 여기서 국소 전류나 전류 밀도 분포는 전하의 이동에 의한 것뿐만 아니라 변위 전류도 포함한다는 점에 유의해야 한다.

2. 1. 정전기장과 전위

자기장의 시간 변화가 없는 정전기장의 경우, 전기장 '''E'''는 전위 *ϕ* 만으로 표현 가능하다. 즉,
E(x,y,z) = -∇*ϕ*(x,y,z)이다. 여기서 (x,y,z)는 공간상의 임의의 점이다.

전위는 무한원방의 전하를 (x,y,z)의 위치까지 정적으로 가져올 때의 일에 해당하며, 원리적으로는 '''E'''의 선적분으로 계산할 수 있다.

정전기장에서는 전하에 의한 퍼텐셜의 총합으로 전위를 계산할수 있다.

정자장 조건이 없는 경우에는 자기장이 전기장을 유도하므로, 위 식을 만족하는 *ϕ*(x,y,z)는 존재하지 않고, 전위를 정의할 수 없다.

2. 2. 자기 벡터 퍼텐셜

자기 벡터 퍼텐셜은 자기장을 유도하는 퍼텐셜이다. 자기 벡터 퍼텐셜이 시간에 따라 변화하는 경우에는, 전기 스칼라 퍼텐셜과는 별도로, 자기장의 시간적 변화를 통해 전기장도 유도한다.

자기 벡터 퍼텐셜은 자기장의 원천, 즉 국소 전류에 의한 퍼텐셜의 총합이기도 하다. 따라서 전류 밀도 분포로부터 계산할 수 있다. 여기서 국소 전류나 전류 밀도 분포는 전하의 이동에 의한 것뿐만 아니라 변위 전류도 포함한다는 점에 유의해야 한다.

3. 전자기 퍼텐셜과 맥스웰 방정식

로렌츠 게이지 조건 $\partial_{\alpha} A^{\alpha} = 0$ 을 관성 기준계에서 사용하면 맥스웰 방정식을 간소화할 수 있다.^[2]

SI 단위	가우스 단위
$\Box A^\alpha = \mu_0 J^\alpha$	$\Box A^\alpha = \frac{4 \pi}{c} J^\alpha$

여기서 ''J^α''는 사중전류의 성분이고,

: $\Box = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 = \partial^\alpha \partial_\alpha$ 는 달랑베르 연산자이다. 스칼라 퍼텐셜과 벡터 퍼텐셜에 관한 방정식은 다음과 같다.

SI 단위	가우스 단위
$\Box \phi = -\frac{\rho}{\epsilon_0}$	$\Box \phi = 4 \pi \rho$
$\Box \mathbf{A} = -\mu_0 \mathbf{j}$	$\Box \mathbf{A} = \frac{4 \pi}{c} \mathbf{j}$

주어진 전하와 전류 분포, ''ρ''('''r''', ''t'') 및 '''j'''('''r''', ''t'')에 대해, SI 단위에서 이러한 방정식에 대한 해는 다음과 같다.^[3]

: $\begin{align}\phi (\mathbf{r}, t) &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int \mathrm{d}^3 x^\prime \frac{\rho\left( \mathbf{r}^\prime, t_r\right)}{ \left| \mathbf{r} - \mathbf{r}^\prime \right|} \\\mathbf A (\mathbf{r}, t) &= \frac{\mu_0}{4 \pi} \int \mathrm{d}^3 x^\prime \frac{\mathbf{j}\left( \mathbf{r}^\prime, t_r\right)}{ \left| \mathbf{r} - \mathbf{r}^\prime \right|},\end{align}$

여기서

: $t_r = t - \frac{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}'\right|}{c}$ 는 지체 시간이다.

진공에서 맥스웰 방정식 중 전하에 의해 발생하는 전자기장의 식은 다음과 같다.

:(M2-a) : $\nabla\cdot \boldsymbol{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$

:(M2-b) : $\nabla\times \boldsymbol{B}$

\frac{1}{c^2}\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t}

= \mu_0\boldsymbol{j}

이 식에 전자기장의 정의식을 대입하면,

:(M2'-a) :

\nabla^2 \phi +\nabla\cdot \frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}= -\frac{\rho}{\varepsilon_0}

:(M2'-b) :

\nabla \left( \frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}+\nabla \cdot \boldsymbol{A} \right) +\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2\right)\boldsymbol{A} = \mu_0 \boldsymbol{j}

을 얻을 수 있다. 따라서 전자기 퍼텐셜을 기본적인 양으로 하여 전자기 현상을 기술하는 경우, 식(M2')가 장의 운동을 결정하는 방정식이 된다.

맥스웰 자신의 원저 논문 『전자기장의 역학적 이론』이나 원저 교과서 『전기자기론』은 여기서의 논의와 마찬가지로 스칼라 퍼텐셜과 벡터 퍼텐셜에서 시작하여 전자기장을 정의하고 있다.

4. 전자기 퍼텐셜의 유일성과 게이지 변환

일반적으로 벡터 또는 텐서 표기법에서 $A^\mu$ 로 표기되는 사차 퍼텐셜 $A$ 는 1-형식(텐서 표기법에서 $A_\mu$ )으로 평평하게 하면, 호지 분해 정리를 통해 완전 형식, 공완전 형식 및 조화 형식의 합으로 분해할 수 있다. 이 분해에서 세 형식 중 공완전 형식만 전자기 텐서 $F = d A$ 에 영향을 미치기 때문에 에는 게이지 자유도가 존재한다.

무한한 평평한 민코프스키 공간에서는 모든 닫힌 형식이 완전 형식이다. 따라서 $A$ 의 모든 게이지 변환은 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $A \Rightarrow A + d\alpha$ .

정자기장에서 전기장에 대한 전위가 적분 상수만큼의 자유도를 가지고 유일하게 결정되지 않는 것처럼, 전자기장에 대한 전자기 퍼텐셜도 유일하게 결정되지 않는다(게다가 자유도가 크기 때문에 상수 차이만으로는 유일하게 결정되지 않는다). 필요에 따라 추가적인 조건(로렌츠 게이지, 쿨롱 게이지 등)을 부과하는 경우가 있다. 전자기장은 전자기 퍼텐셜의 1계 미분 방정식으로 정의되므로, 전자기 퍼텐셜에는 불확정성이 발생한다. 이 불확정성으로 인해 퍼텐셜을 변화시키는 연산은 '''게이지 변환'''이라고 불린다.

고전 전자기학에서는 관측에 관련된 본질적인 물리량은 전기장과 자기장이며, 벡터 퍼텐셜과 스칼라 퍼텐셜은 편의적으로 도입된 도구에 불과하다고 생각되기도 한다. 또한 게이지 변환 또한 이론의 불확정성만을 증가시키는 불필요한 성질처럼 여겨지기도 한다. 그러나 전하가 광속으로 이동할 때의 로렌츠 불변성을 설명하려면 퍼텐셜 장의 개입을 통해 전자기장을 파악할 필요가 있다. 또한 양자역학 등의 영역에서도 전기장이나 자기장보다 전자기 퍼텐셜이 더 본질적인 물리량이다. 전자기 퍼텐셜이 물리량이라는 것을 명확하게 보여주는 것이 아하로노프-보옴 효과이다. 또한 게이지 변환은 하전 입자와 전자기장의 상호작용의 형태를 유일하게 결정하기 때문에 편리하다.^[5]

앞서 설명했듯이 스칼라 퍼텐셜과 벡터 퍼텐셜의 선택은 유일하지 않다. 실제로 다음의 변환을 적용해도 전자기장은 변하지 않는다.

: $\phi'=\phi-\frac{\partial f}{\partial t}$
: $\boldsymbol{A}'=\boldsymbol{A} +\nabla f$

위와 같이 스칼라 퍼텐셜과 벡터 퍼텐셜은 유일하지 않지만, 추가적인 조건(게이지 고정 조건)을 부과함으로써 유일하게 정할 수 있다. 자세한 내용은 후술하는 게이지 변환 절을 참조하기 바란다.

임의의 전자기장에 대해 스칼라 퍼텐셜을 으로 하는 게이지가 존재한다. 한편 벡터 퍼텐셜을 으로 하는 게이지가 존재하는 것은 특별한 경우에만 해당한다.

4. 1. 로렌츠 게이지

로렌츠 게이지 조건 ∂_μA^μ = 0 (1/c² ∂*ϕ*/∂t + ∇ ⋅ '''A''' = 0)을 관성 기준계에서 사용하면 맥스웰 방정식을 간소화할 수 있다.^[2] 이 조건은 전자기 퍼텐셜 전체에 대한 연속 방정식의 형태를 하고 있으며, 로렌츠 변환에 대해 불변이다. 로렌츠 조건을 만족하는 전자기 퍼텐셜을 사용하면 맥스웰 방정식을 비균질 파동 방정식으로 다시 쓸 수 있다.^[7]

SI 단위에서, 주어진 전하 및 전류 분포 ρ('''r''', ''t'') 및 '''j'''('''r''', ''t'')에 대해, 이러한 방정식의 해는 다음과 같다.^[3]

:

\begin{align}\phi (\mathbf{r}, t) &= \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int \mathrm{d}^3 x^\prime \frac{\rho\left( \mathbf{r}^\prime, t_r\right)}{ \left| \mathbf{r} - \mathbf{r}^\prime \right|} \\\mathbf A (\mathbf{r}, t) &= \frac{\mu_0}{4 \pi} \int \mathrm{d}^3 x^\prime \frac{\mathbf{j}\left( \mathbf{r}^\prime, t_r\right)}{ \left| \mathbf{r} - \mathbf{r}^\prime \right|},\end{align}

여기서 t_r = t - |'''r''' - '''r'''′|/c 는 지체 시간이다.

4. 2. 쿨롱 게이지

쿨롱 게이지는

\nabla \cdot \boldsymbol{A}=0

조건을 만족하는 전자기 퍼텐셜을 사용한다. 이 조건 하에서 맥스웰 방정식을 다시 쓰면 다음과 같다.

$\nabla^2 \phi = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}$
$- \nabla \frac{1}{c^2} \frac{\partial}{\partial t} \phi + (- \frac{1}{c^2} \frac{\partial ^2}{\partial t^2} + \nabla ^2)\boldsymbol{A}= - \mu_0 \boldsymbol{j}$

쿨롱 게이지에서 스칼라 퍼텐셜은 정전기장의 경우와 마찬가지로 푸아송 방정식을 만족한다.

4. 3. 복사 게이지 (방사 게이지)

전하 밀도와 전류 밀도가 모두 0인 경우, φ = 0, ∇ ⋅ '''A''' = 0을 동시에 만족하는 게이지를 선택할 수 있다. 이 게이지는 로런츠 게이지이자 쿨롱 게이지이다. 이때, 전자기 퍼텐셜이 만족해야 하는 방정식은 다음과 같다.

:□'''A''' = 0

파동 방정식의 해로서 다음을 생각하자.

:'''A''' ('''x''',t) = '''e'''A exp[i('''k'''⋅'''x'''-ωt)]

단, c²'''k'''² = ω²이다.

그러면,

:∇ ⋅ '''A''' = i'''k'''⋅'''A'''=0

따라서 벡터 퍼텐셜은 파의 진행 방향('''k''' 방향)과 직교한다.

이때, 전자기장은 다음과 같다.

'''E''' ('''x''',t) = -∂'''A'''/∂t = iω'''A''' ('''x''',t)
'''B''' ('''x''',t) = ∇ × '''A''' = i'''k''' × '''A''' ('''x''',t)

전기장의 방향은 벡터 퍼텐셜과 평행하므로, 역시 파의 진행 방향과 직교한다. 자기장의 방향은 전기장의 방향과 파의 진행 방향 모두에 직교한다.

전자기파는 전기장과 자기장이 서로 직교하여 진행하는 횡파이다.

5. 정적인 장의 전자기 퍼텐셜

전자기장이 정적인 경우, 각 방정식에서 시간 미분 항이 사라져 방정식이 간단해진다.

$\boldsymbol{E} = - \nabla \phi$
$\nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}$
$\boldsymbol{B} = \nabla \times \boldsymbol{A}$
$-\nabla (\nabla \cdot \boldsymbol{A}) + \nabla^2 \boldsymbol{A} = -\mu_0 \boldsymbol{j}$

정적인 장의 방정식은 전장과 자장에 대해 각각 독립적인 식이 된다.

정전기학 계에서 스칼라 퍼텐셜 φ는 전위와 일치한다. 게이지 변환에 의해

$\nabla \cdot \boldsymbol{A} =0$

이라는 조건을 추가하면

$\nabla^2 \boldsymbol{A} = -\mu_0 \boldsymbol{j}$

가 되고, 스칼라 퍼텐셜과 벡터 퍼텐셜 모두 푸아송 방정식의 형태가 된다.

적분으로 나타내면 게이지의 불확정성을 제외하고 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\phi(\boldsymbol{x})=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\int \frac{\rho(\boldsymbol{x}')}

\mathrm{d}^3 x'

:

\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x})=\frac{\mu_0}{4 \pi}\int \frac{\boldsymbol{j}(\boldsymbol{x}')}

\mathrm{d}^3 x'

단, 적분 영역은 전하 밀도, 전류 밀도가 존재하는 모든 영역이다.

이 방법을 사용하여 퍼텐셜을 구할 경우에는 전하·전류 밀도의 전 영역에 걸친 분포를 알아야 한다(경계 조건 등 다른 조건이 있는 경우는 이에 한정되지 않음).

6. 상대론적 표현

전기 스칼라 퍼텐셜과 자기 벡터 퍼텐셜은 로렌츠 변환 하에서 4차원 벡터로 정리된다. 여기서 c는 광속이며 차원을 맞추기 위한 변환 계수이다. 특히 4원 벡터로서의 전자기 퍼텐셜을 '''4원 퍼텐셜'''이라고 부른다.

상대론적 전자기 퍼텐셜은 다음과 같은 4차원 벡터로 표현된다.

: $A^\mu = ( \phi/c, \boldsymbol{A} ),~A_\mu = \eta_{\mu\nu} A^\nu = ( -\phi/c, \boldsymbol{A} )$

이를 이용하면 전자기장은 다음과 같이 정의된다.

: $F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu -\partial_\nu A_\mu$

이 $F_{\mu\nu}$ 를 '''전자기장 텐서'''라고 부른다.

F의 성분은 다음과 같이 전기장과 자기장의 각 축 성분과 대응한다.

: $(E_1, E_2, E_3)/c = (F_{10}, F_{20}, F_{30}),~(B_1, B_2, B_3) = (F_{23}, F_{31}, F_{12})$

전자기장 텐서에 의해 구속 조건은 다음과 같이 표현된다.

: $\partial_\rho F_{\mu\nu} +\partial_\mu F_{\nu\rho} +\partial_\nu F_{\rho\mu} =0$

마찬가지로, 전자기장의 운동 방정식은 다음과 같이 표현된다.

: $\partial_\nu F^{\nu\mu} = -\mu_0 j^\mu$

: $\partial_\nu \partial^\nu A^\mu -\partial^\mu(\partial_\nu A^\nu) = -\mu_0 j^\mu$

게이지 변환에서 장의 양자론으로 발전되어 '''게이지 이론'''이 되었다. 게이지 이론으로 보면 전자기 퍼텐셜은 U(1) 게이지 대칭성에 대한 게이지 장이다.

7. 라그랑주 형식

전자기장을 라그랑주 형식으로 기술할 때의 역학 변수는 전자기장이 아니라 전자기 퍼텐셜 ''φ'', '''A'''이다. 전자기장 '''E''', '''B'''은 역학 변수의 미분이며, 일반화 속도에 해당한다. 또한, 전자기 퍼텐셜에 공액인 일반화 운동량에 해당하는 것은 매질 내의 전자기장 '''D''', '''H'''이다. 맥스웰 방정식은 역학 변수 ''φ'', '''A'''에 대한 라그랑주의 운동 방정식으로 유도되며, "운동량"의 미분인 일반화 힘에 해당하는 것은 전자기장의 원천이 되는 전하 ''ρ'', '''j'''이다.

8. 전자기 퍼텐셜과 양자역학

아하로노프-봄 효과는 전자기 퍼텐셜이 단순한 수학적 도구가 아니라 물리적 실체임을 보여준다. 양자역학에서 전자기 퍼텐셜은 전하를 가진 입자와 전자기장 사이의 상호작용을 기술하는 데 필수적이다.

9. 한국의 전자기학 연구와 교육

참조

_[1] 서적 Gravitation W.H. Freeman & Co
_[2] 서적 Introduction to Electrodynamics Pearson Education, Dorling Kindersley
_[3] 서적 Electromagnetism https://archive.org/[...] Manchester Physics, John Wiley & Sons
_[4] 문서 "스칼라 포텐셜", "벡터 포텐셜"이라는 용어는 원래 전자기학에 국한되지 않고 포텐셜 전반을 가리키는 용어이다. 물리 분야, 특히 전자기학과 관련된 영역에서는 주로 정전 포텐셜과 자기 포텐셜을 가리켜 사용된다.
_[5] 문서 광물성의 기초와 응용
_[6] 문서 조건식 (M0-b)에는 ∇가 등장하므로, '''A'''는 공간 방향에는 미분 가능하지만, 시간 방향에 대해서는 아무것도 말하지 않으므로, 원리적으로 시간 방향에는 불연속이 되도록 선택하는 것도 가능하다. 그러나 후술하는 스칼라 포텐셜을 도입할 때, 시간 방향의 미분 가능성을 필요로 한다. 이하, 공간 방향·시간 방향 모두에 대해 무한히 미분 가능한 '''A'''를 선택한 것으로 논의를 진행한다.
_[7] 문서 루드비히 로렌츠

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