섭동 (천문학)

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1. 개요
2. 계산
- 2.1. 이론적 계산
- 2.2. 양자역학에서
3. 수학적 분석
- 3.1. 일반 섭동 (General Perturbations)
- 3.2. 특수 섭동 (Special Perturbations)
  - 3.2.1. 코웰 공식 (Cowell's Formulation)
  - 3.2.2. 엔케 방법 (Encke's Method)
4. 섭동의 주기성
5. 섭동의 응용
- 5.1. 혜성 및 소행성 궤도 연구
- 5.2. 해왕성 발견
참조

1. 개요

섭동은 천문학에서 천체의 궤도가 다른 천체의 중력적 영향으로 인해 완벽한 타원 궤도에서 벗어나는 현상을 의미한다. 섭동은 주기 섭동, 장년 섭동, 장주기 섭동으로 나뉘며, 수학적으로 일반 섭동과 특수 섭동 방법으로 분석된다. 일반 섭동은 급수 전개를 통해 궤도 요소의 변화를 해석적으로 풀고, 특수 섭동은 수치적분으로 천체의 위치와 속도를 직접 계산한다. 섭동은 행성 및 위성의 궤도 예측, 혜성과 소행성 궤도 연구, 우주 탐사선 궤도 설계 등에 응용되며, 해왕성 발견과 같은 역사적 사건에도 기여했다.

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섭동 (천문학)
섭동 (천문학)
개요
분야	천체역학
설명	이상적인 단순화 모델에서 벗어나는 천체의 운동에 대한 복잡한 영향
원인
중력	다른 천체의 중력 영향
비구형 중력장	중심 천체의 완벽하지 않은 구형으로 인한 중력장의 불균일성
대기 저항	대기를 통과하는 천체에 작용하는 힘
복사압	태양 복사 에너지가 천체에 가하는 압력
기타	전자기력 등
영향
궤도 요소 변화	궤도 경사, 이심률, 승교점 경도 등 궤도 요소의 점진적인 변화
주기 변화	천체의 주기적인 운동에 나타나는 변화
공명	특정 궤도 주파수 사이의 관계에서 발생하는 궤도 안정성 또는 불안정성
계산 방법
섭동 이론	섭동 함수를 사용하여 궤도 변화를 근사적으로 계산하는 방법
수치 적분	컴퓨터를 사용하여 운동 방정식을 직접적으로 풀어 궤도를 계산하는 방법
응용
행성 운동 예측	태양계 행성들의 위치를 정확하게 예측
인공위성 궤도 유지	인공위성의 궤도를 원하는 상태로 유지하기 위한 궤도 보정
우주 탐사	섭동을 고려하여 우주 탐사선의 궤도를 설계하고 제어

2. 계산

섭동을 계산하는 방법은 크게 두 가지로 나뉜다. 첫째는 다른 행성의 힘을 무시하고 타원 방정식을 구한 뒤, 섭동에 의해 궤도가 어떻게 변하는지 계산하는 것이다. 이때 궤도 요소의 변화는 주기 섭동, 장년 섭동, 장주기 섭동으로 나뉜다.^[7]

둘째는 양자역학에서 작은 교란 하의 원자 내 전자의 운동을 다루는 방법이다.

2. 1. 이론적 계산

행성의 궤도를 이론적인 운동 방정식으로 풀 때는 우선 다른 행성의 힘을 무시하고 타원 방정식을 구한다. 그 후, 다른 행성의 힘(섭동력)에 의해 궤도 요소가 시간에 따라 어떻게 변하는지 계산한다. 궤도 요소의 변화는 주기 섭동, 장년 섭동(長年攝動), 장주기 섭동으로 나뉜다.^[7]

섭동(천문학) 연구는 하늘에서 행성 운동을 예측하려는 최초의 시도에서 시작되었다. 고대에는 그 원인이 알려지지 않았다. 아이작 뉴턴은 운동 법칙과 만유인력의 법칙을 공식화하면서, 이를 섭동 분석에 적용했지만,^[7] 복잡한 계산의 어려움을 인식하였다.^[2] R. F. 에거턴(R. F. Egerton) 교수(포틀랜드 주립대학교)는 뉴턴이 분석적으로 해결되지 않은 '다체 문제'를 확인했다고 결론지었다.^[3] 그 이후 18세기와 19세기 동안 해상 항해를 위해 달과 행성의 위치에 대한 정확한 표가 필요했고, 많은 위대한 수학자들이 이 문제에 주목했다.

중력 섭동의 복잡한 운동은 분해될 수 있다. 다른 천체 하나의 중력 효과 하에서 천체가 따르는 가상의 운동은 원추 곡선이며, 기하학적 용어로 설명될 수 있다. 이것은 이체 문제 또는 비섭동 케플러 궤도라고 한다. 실제 운동과의 차이는 나머지 천체의 추가적인 중력 효과로 인한 섭동이다. 다른 중요한 천체가 하나뿐이라면 섭동된 운동은 삼체 문제이며, 여러 개라면 n체 문제이다. 이체 문제에 대한 일반적인 해석적 해는 존재하지만, 두 개 이상의 천체가 고려될 때는 특수한 경우에만 해석적 해가 존재한다. 천체 중 하나의 모양이 불규칙한 경우에도 이체 문제는 풀 수 없게 된다.^[4]

수성의 궤도상 위치를 여러 행성의 섭동을 고려한 경우와 고려하지 않은 경우에 대한 플롯. 섭동으로 인해 수성은 섭동되지 않은 위치를 중심으로 고리 모양의 경로로 움직인다. — 수성의 궤도 경도와 위도는 금성, 목성 및 태양계의 모든 행성에 의해 2.5일 간격으로 섭동된다. 섭동이 없다면 수성은 십자선의 중앙에 남아 있을 것이다.

여러 중력적 인력이 작용하는 대부분의 시스템은 그 효과가 지배적인 하나의 주요 천체(예: 항성과 행성의 경우 항성, 행성과 위성의 경우 행성)를 가진다. 다른 천체의 중력 효과는 주요 천체 주위의 행성 또는 위성의 가상적인 비섭동 운동에 대한 섭동으로 취급될 수 있다.

2. 2. 양자역학에서

양자역학에서도 섭동이라는 용어가 사용되며, 작은 교란 하에서 원자 내 전자의 운동 등을 설명하는 데 쓰인다.

3. 수학적 분석

섭동은 수학적으로 일반 섭동법과 특수 섭동법으로 분석할 수 있다.

아이작 뉴턴은 운동 법칙과 만유인력의 법칙을 공식화하면서 섭동을 최초로 분석하였는데,^[7] 계산이 매우 복잡하다는 것을 인지하였다.^[2] 이후 많은 수학자들이 섭동 문제에 주목했고, 18세기와 19세기에는 해상 항해를 위해 달과 행성의 정확한 위치 정보가 필요했다.

중력 섭동의 복잡한 운동은 분해될 수 있는데, 한 천체가 다른 천체 하나의 중력 효과만 받을 때 따르는 가상의 운동은 원추곡선이며, 이를 이체 문제 또는 비섭동 케플러 궤도라고 한다. 실제 운동과의 차이는 다른 천체들의 중력 효과로 인한 섭동이다. 섭동 천체가 하나뿐이면 삼체 문제, 여러 개면 n체 문제가 된다. 이체 문제는 해석적 해가 존재하지만, 두 개 이상의 천체가 있으면 특수한 경우에만 해석적 해가 존재한다. 천체 중 하나의 모양이 불규칙해도 이체 문제는 풀 수 없다.^[4]

대부분의 시스템은 하나의 주요 천체가 지배적인 효과를 가지는데(예: 항성과 행성, 행성과 위성), 다른 천체의 중력 효과는 주요 천체 주위의 가상적인 비섭동 운동에 대한 섭동으로 취급할 수 있다.

3. 1. 일반 섭동 (General Perturbations)

일반 섭동법은 운동 방정식이나 궤도 요소 변화의 일반적인 미분 방정식을 해석적으로, 보통 급수 전개를 통해 풀어낸다. 결과는 일반적으로 문제의 천체와 섭동 천체의 궤도 요소에 대한 대수 함수와 삼각 함수로 표현된다. 이것은 많은 다른 조건에 일반적으로 적용될 수 있으며, 특정한 중력 천체 집합에 국한되지 않는다.^[5] 역사적으로 일반 섭동이 먼저 연구되었다. 고전적인 방법은 '요소의 변분', '매개변수 변분' 또는 '적분 상수의 변분'으로 알려져 있다. 이러한 방법에서는 천체가 항상 원추 곡선을 따라 움직인다고 간주하지만, 섭동으로 인해 원추 곡선은 끊임없이 변한다. 특정 순간에 모든 섭동이 중지된다면, 천체는 이 (이제 불변인) 원추 곡선을 무한히 계속 따라 움직일 것이다. 이 원추 곡선은 접촉 궤도로 알려져 있으며, 특정 시간의 궤도 요소는 일반 섭동법으로 구하는 값이다.^[7]

일반 섭동법은 천체 역학의 많은 문제에서 섭동으로 인해 2체 궤도가 상당히 느리게 변한다는 사실을 이용한다. 2체 궤도는 좋은 첫 번째 근사치이다. 일반 섭동법은 섭동력이 주된 천체의 중력보다 약 1차 정도 작거나 더 작은 경우에만 적용할 수 있다.^[4] 태양계에서는 이것이 일반적인 경우이다. 목성의 질량은 태양 질량의 약 1,000분의 1이다.

일반 섭동법은 특정 관측된 운동의 원인을 쉽게 찾을 수 있기 때문에 일부 유형의 문제에 선호된다. 특별 섭동법의 경우에는 반드시 그런 것은 아니다. 운동은 유사한 정확도로 예측되지만, 그 원인이 되는 섭동 천체의 배열(예: 궤도 공명)에 대한 정보는 얻을 수 없다.^[4]

3. 2. 특수 섭동 (Special Perturbations)

특수 섭동법은 천체의 위치, 속도, 가속력 값을 나타내는 수치 데이터를 사용하여 미분 운동 방정식을 수치적분하는 방법이다.^[6] 섭동력 크기에 제한이 없으므로 천체역학의 모든 문제에 적용 가능하다.^[4] 과거에는 주로 혜성, 소행성 궤도 계산에 사용되었으나, 현대에는 기본 에페메리스 등 주요 천문력의 행성 위치 정밀 계산에 활용된다.^[7] 제트 추진 연구소 개발 에페메리스가 대표적인 예시이다. 특수 섭동법은 컴퓨터를 이용한 궤도 모델링에도 사용된다.

특수 섭동법에서는 위치와 속도가 직접적으로 섭동되며, 궤도 곡선이나 궤도 요소는 계산하지 않는다.^[7]

3. 2. 1. 코웰 공식 (Cowell's Formulation)

코웰의 방법. 모든 섭동 천체(검정색과 회색)의 힘을 합하여 천체 i(빨간색)에 작용하는 총 힘을 형성하고, 이를 초기 위치(접선 시대)에서부터 수치적으로 적분한다.

코웰(Philip H. Cowell)이 크로멀린(A.C.D. Cromellin)]과 함께

3. 2. 2. 엔케 방법 (Encke's Method)

엔케 방법은 접촉 궤도를 기준으로 하여 시간에 따른 기준으로부터의 변화를 수치적으로 적분하여 섭동을 계산하는 방법이다.^[11] 섭동이 작은 경우, 더 큰 적분 간격으로 계산을 진행할 수 있어 (결과적으로 오차가 줄어들고) 효율적이며, 극단적인 섭동에도 비교적 강하다는 장점이 있다. 하지만, 접촉 궤도를 주기적으로 갱신(보정)해야 하는 복잡성이 있다.^[9]

엔케 방법. 섭동 궤도(빨간색)와 섭동이 없는 접선 궤도(검은색) 사이의 작은 차이 δ'''r'''(파란색)는 초기 위치(접선 시대)에서부터 수치적으로 적분된다.

엔케 방법은 요소 변화의 일반적인 섭동 방법과 유사하지만, 보정이 연속적으로 수행되는 것이 아니라 이산적인 간격으로 수행된다는 점이 다르다.^[12]

\boldsymbol{\rho}

를 접촉 궤도의 위치 벡터,

\mathbf{r}

을 섭동 궤도의 위치 벡터,

\delta \mathbf{r}

을 접촉 궤도로부터의 변화량이라고 하면, 다음과 같은 관계가 성립한다.

\delta \mathbf{r} = \mathbf{r} - \boldsymbol{\rho}

그리고

\delta \mathbf{r}

의 운동 방정식은 다음과 같다.

\ddot{\delta \mathbf{r}} = \mathbf{\ddot{r}} - \boldsymbol{\ddot{\rho}}

\mathbf{\ddot{r}}

과

\boldsymbol{\ddot{\rho}}

는 각각

\mathbf{r}

과

\boldsymbol{\rho}

의 운동 방정식이며, 다음과 같이 표현된다.

\mathbf{\ddot{r}} = \mathbf{a}_{\text{per}} - {\mu \over r^3} \mathbf{r}

(섭동 궤도의 방정식)

\boldsymbol{\ddot{\rho}} = - {\mu \over \rho^3} \boldsymbol{\rho}

(섭동이 없는 궤도의 방정식)

여기서

\mu = G(M+m)

는 표준 중력 파라미터로,

M

과

m

은 각각 중심 천체와 섭동된 천체의 질량이다.

\mathbf{a}_{\text{per}}

는 섭동 가속도이며,

r

과

\rho

는 각각

\mathbf{r}

과

\boldsymbol{\rho}

의 크기이다.

위의 두 식을

\ddot{\delta \mathbf{r}} = \mathbf{\ddot{r}} - \boldsymbol{\ddot{\rho}}

에 대입하면, 다음과 같은 식을 얻는다.

\ddot{\delta \mathbf{r}} = \mathbf{a}_{\text{per}} + \mu \left( {\boldsymbol{\rho} \over \rho^3} - {\mathbf{r} \over r^3} \right)

이론적으로 이 식을 두 번 적분하여

\delta \mathbf{r}

을 구할 수 있다. 접촉 궤도는 이체 문제 방법으로 쉽게 계산되므로,

\boldsymbol{\rho}

와

\delta \mathbf{r}

을 통해

\mathbf{r}

을 구할 수 있다. 실제로는

{\boldsymbol{\rho} \over \rho^3} - {\mathbf{r} \over r^3}

는 두 개의 거의 같은 벡터의 차이이므로, 추가적인 유효 숫자가 필요하지 않도록 추가적인 조작이 필요하다.^[13]^[14] 엔케 방법은 현대 컴퓨터가 등장하기 전, 많은 궤도 계산이 계산기로 수행되던 시기에 널리 사용되었다.

4. 섭동의 주기성

태양계 내에서 한 행성이 다른 행성에 미치는 많은 섭동은 주기적이며, 각 행성이 궤도에서 다른 행성을 지나갈 때마다 작은 충격이 가해진다. 이는 천체가 주기적이거나 준주기적인 운동을 하게 만드는데, 강하게 섭동을 받는 달의 궤도(달의 궤도)가 그 예시이며, 이는 달 이론의 주제이다. 이러한 주기적인 특성 덕분에 1846년 천왕성 궤도에 대한 섭동을 통해 해왕성이 해왕성의 발견되었다.^[7]

행성들의 지속적인 상호 섭동은 그들의 궤도 요소에 장기적인 준주기적 변화를 일으키는데, 두 행성의 공전 주기가 거의 일치할 때 가장 두드러진다. 예를 들어, 목성의 5회 공전(59.31년)은 토성의 2회 공전(58.91년)과 거의 같다. 이는 두 행성 모두에 합에서의 위치 차이가 한 바퀴를 완전히 돌 때까지 걸리는 시간인 918년의 주기로 큰 섭동을 일으키는데, 이는 라플라스에 의해 처음 발견되었다.^[7] 현재 금성은 모든 행성 궤도 중 가장 작은 이심률, 즉 원에 가장 가까운 궤도를 가지고 있다. 2만 5천 년 후에는 지구가 금성보다 더 원형에 가까운(덜 이심적인) 궤도를 가지게 될 것이다.

중력 시뮬레이터에서 보여주는 수성, 금성, 지구, 화성의 궤도 이심률 변화(다음 5만 년). 이 그래프의 0점은 2007년이다.

태양계 내의 장기적인 주기적 섭동은 매우 긴 시간 척도에서 카오스가 될 수 있다는 것이 밝혀졌다. 어떤 상황에서는 하나 이상의 행성이 다른 행성의 궤도를 가로질러 충돌로 이어질 수 있다.

혜성과 같은 태양계의 많은 작은 천체의 궤도는 특히 가스 행성의 중력장에 의해 종종 심하게 섭동을 받는다. 이러한 섭동 중 많은 것은 주기적이지만, 다른 것들은 그렇지 않으며, 특히 카오스 운동의 측면을 나타낼 수 있다. 예를 들어, 1996년 4월 목성의 중력적 영향으로 혜성 헤일-밥의 궤도 주기가 4,206년에서 2,380년으로 감소했는데, 이 변화는 어떤 주기적인 기반으로도 되돌아가지 않을 것이다.^[15]

5. 섭동의 응용

섭동은 천문학에서 다양한 천체들의 궤도를 연구하고 예측하는 데 사용된다.

태양계 내에서 혜성, 소행성과 같은 작은 천체들은 목성과 같은 가스 행성의 중력에 의해 궤도가 크게 변하는 경우가 많다. 이러한 궤도 변화는 주기적인 경우도 있지만, 카오스 운동처럼 불규칙적인 경우도 있다. 예를 들어, 혜성 헤일-밥은 1996년 4월 목성의 중력 때문에 주기가 4,206년에서 2,380년으로 줄어들었는데, 이는 다시 원래대로 돌아오지 않았다.^[15]

아이작 뉴턴은 운동 법칙과 만유인력의 법칙을 발표하면서 섭동을 처음으로 분석했지만, 계산이 매우 복잡하다는 것을 알았다.^[7]^[2] 이후 많은 수학자들이 섭동 문제에 관심을 가졌으며, 18세기와 19세기에는 해상 항해를 위해 달과 행성의 위치를 정확하게 계산해야 할 필요성이 커졌다.

중력 섭동은 복잡하지만, 여러 부분으로 나누어 분석할 수 있다. 어떤 천체가 다른 천체 하나의 중력만을 받아서 움직인다고 가정하면, 이 천체는 원추곡선을 따라 움직이며, 이를 이체 문제 또는 비섭동 케플러 궤도라고 한다. 실제 천체의 움직임과 이 가상의 움직임의 차이가 바로 섭동이다. 만약 다른 중요한 천체가 하나뿐이면 섭동된 움직임은 삼체 문제가 되고, 여러 개라면 n체 문제가 된다. 이체 문제는 일반적인 해석적 해(미래의 위치와 운동을 예측하는 수학적 표현)를 구할 수 있지만, 두 개 이상의 천체가 있으면 특수한 경우에만 해석적 해를 구할 수 있다. 천체 중 하나의 모양이 불규칙한 경우에도 이체 문제는 풀 수 없게 된다.^[4]

5. 1. 혜성 및 소행성 궤도 연구

태양계에서 혜성, 소행성과 같은 작은 천체들은 가스 행성의 중력장에 의해 궤도가 크게 섭동되는 경우가 많다.^[7] 이러한 섭동 중 다수는 주기적이지만, 일부는 그렇지 않으며, 특히 카오스 운동의 양상을 보이기도 한다. 예를 들어 1996년 4월, 혜성 헤일-밥은 목성의 중력적 영향으로 궤도 주기가 4,206년에서 2,380년으로 감소했으며, 이 변화는 주기적으로 되돌아가지 않는다.^[15]

5. 2. 해왕성 발견

아이작 뉴턴은 운동 법칙과 만유인력의 법칙을 공식화할 당시, 이를 섭동의 최초 분석에 적용하였으나,^[7] 복잡한 계산의 어려움을 인식하였다.^[2] 이후 많은 위대한 수학자들이 관련된 다양한 문제들에 주목해 왔다. 18세기와 19세기 내내 해상 항해를 위해 달과 행성의 위치에 대한 정확한 표가 필요했다.

중력 섭동의 복잡한 운동은 분해될 수 있다. 다른 천체 하나의 중력 효과 하에서 천체가 따르는 가상의 운동은 원추곡선이며, 기하학적 용어로 설명될 수 있다. 이것은 이체 문제 또는 비섭동 케플러 궤도라고 한다. 그와 천체의 실제 운동의 차이는 나머지 천체의 추가적인 중력 효과로 인한 섭동이다. 다른 중요한 천체가 하나뿐이라면 섭동된 운동은 삼체 문제이며, 다른 천체가 여러 개라면 n체 문제이다. 이체 문제에 대한 일반적인 해석적 해(미래의 어느 시점에서도 위치와 운동을 예측하는 수학적 표현)가 존재한다. 두 개 이상의 천체가 고려될 때 해석적 해는 특수한 경우에만 존재한다. 천체 중 하나의 모양이 불규칙한 경우에도 이체 문제는 풀 수 없게 된다.^[4]

참조

_[1] 논문 ch. 9, p. 385
_[2] 웹사이트 Closing the loop: Testing Newtonian gravity, then and now stanford.edu/dept/ci[...]
_[3] 웹사이트 Newton http://physics.pdx.e[...] Portland State University
_[4] 논문 ch. 6-7
_[5] 논문 p. 387; p. 410 §9.4.3
_[6] 논문 pp. 387-409
_[7] 논문 ch. IX
_[8] 학술지 Investigation of the motion of Halley's comet from 1759 to 1910 Neill & Co.
_[9] 서적 Fundamentals of Celestial Mechanics Willmann-Bell, Inc.
_[10] 서적 The Computation of Orbits self-published
_[11] 서적 Über die allgemeinen Störungen der Planeten https://books.google[...]
_[12] 논문 §10.2
_[13] 논문 §9.3
_[14] 논문 §7.4
_[15] 웹사이트 Comet Hale–Bopp orbit and ephemeris information http://www2.jpl.nasa[...] NASA Jet Propulsion Laboratory 1997-04-10
_[16] 웹사이트 perturbation (url missing)
_[17] 웹사이트 Comet Hale-Bopp Orbit and Ephemeris Information https://web.archive.[...] JPL/NASA 1997-04-10
_[18] 서적 Fundamentals of astrodynamics Dover Publications

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