순환 호몰로지

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 대수적 정의
- 2.2. 범주론적 정의
3. 성질
4. 예
5. 응용
6. 대수적 K-이론과의 관계
7. 역사
참조

1. 개요

순환 호몰로지는 다양한 방식으로 정의될 수 있는 수학적 개념으로, 결합 대수의 호흐실트 (코)호몰로지를 정의하는 (공)사슬 복합체의 특수한 부분 (공)사슬 복합체의 (코)호몰로지로 정의되거나, 순환 대상의 개념을 사용하여 정의될 수 있다. 순환 호몰로지는 호흐실트 호몰로지와 순환 호몰로지를 연결하는 긴 완전열인 주기성 열을 가지며, 대수적 정의, 범주론적 정의, 순환 이중 복합체를 통한 정의 등 여러 가지 방법으로 정의될 수 있다. 순환 호몰로지는 호흐실트 공사슬 복합체와 순환 코호몰로지를 정의하는 부분 공사슬 복합체 사이의 관계를 통해 콘 완전열을 유도하며, 주기 순환 코호몰로지와 같은 개념을 정의하는 데 사용된다. 순환 호몰로지는 아핀 스킴의 대수적 드람 코호몰로지와 연관되며, 아티야-싱어 지표 정리의 일반화, K-이론과의 관계 등 다양한 응용 분야를 가지고 있다. 알랭 콘과 보리스 치간에 의해 1980년대에 독립적으로 도입되었으며, 콘은 대수적 드람 코호몰로지를 비가환 대수로 일반화하기 위해 이 개념을 개발했다.

더 읽어볼만한 페이지

호몰로지 대수학 - 미분 등급 대수
미분 등급 대수는 체 위의 등급 대수와 미분의 순서쌍으로, 대수적 위상수학 및 호모토피 이론에서 활용되며, 등급 대수에 차수, 라이프니츠 규칙, 멱영성을 만족하는 미분을 추가하여 정의됩니다.
호몰로지 대수학 - 가환 그림
가환 그림은 대상, 사상, 경로 또는 합성으로 이루어진 구조로, 대수학에서 사상의 종류를 화살표 기호로 나타내고 점선 화살표로 사상의 존재성을 표시하며, 부분 다각형 그림이 가환적일 때 전체 그림이 가환적이라고 정의되고, 범주론에서 함자로 해석되며 호몰로지 대수학에서 사상의 성질 증명에 활용된다.

순환 호몰로지

2. 정의

순환 (코)호몰로지는 여러 가지 방법으로 정의될 수 있다.

결합 대수의 순환 (코)호몰로지는 호흐실트 (코)호몰로지를 정의하는 (공)사슬 복합체의 특별한 부분 (공)사슬 복합체의 (코)호몰로지로 정의될 수 있다.
범주에서, 단체 대상과 유사한 개념인 '''순환 대상'''을 정의하여, 순환 호몰로지는 특별한 Tor 함자로, 순환 코호몰로지는 특별한 Ext 함자로 정의될 수 있다.

표수가 0인 체 위의 링 ''A''의 순환 호몰로지는 ''HC''_''n''(''A'') 또는 ''H''_''n''^λ(''A'')로 표기되며, ''A''의 Hochschild 호몰로지 복합체와 관련된 '''Connes 복합체'''를 사용하여 정의된다.

알랭 콘(Connes)은 아벨 범주에서 '''순환 객체'''라는 개념을 사용하여 순환 호몰로지에 대한 범주적인 접근 방식을 발견했다. 이는 단순 객체의 개념과 유사하다. 순환 호몰로지(및 코호몰로지)는 (''b'', ''B'')-이중 복합체를 사용하여 계산할 수 있는 유도 함자로 해석될 수 있다. 체 ''k''가 유리수를 포함하는 경우, Connes 복합체와 관련된 정의는 동일한 호몰로지를 계산한다.

순환 호몰로지의 중요한 특징은 Hochschild 호몰로지와 순환 호몰로지를 연결하는 긴 완전열인 주기성 열의 존재이다.

2. 1. 대수적 정의

순환 (코)호몰로지는 가환환 K 위의 결합 대수 A에 대하여, 호흐실트 (코)호몰로지를 정의하는 (공)사슬 복합체의 특별한 부분 (공)사슬 복합체의 (코)호몰로지로 정의될 수 있다.

보다 일반적으로, 순환 호몰로지는 어떤 특별한 Tor 함자로서, 순환 코호몰로지는 어떤 특별한 Ext 함자로서 정의될 수 있다.

가환환

K

위의 (항등원을 갖는) 결합 대수

A

가 주어졌다고 하자.

A^{\otimes_Kn}

을 정의할 수 있으며, 이는

(A,A)

-쌍가군을 이룬다.

다음과 같은 연산자들을 정의할 수 있다.

$\partial^i \colon A^{\otimes_K(n+1)} \to A^{\otimes_K n}$
* $\partial^0 \colon a_0 \otimes_K\dotsb\otimes a_n \mapsto a_0a_1\otimes_K a_2\otimes_K\dotsb\otimes_K a_n$
* $\partial^i \colon a_0 \otimes_K\dotsb\otimes a_n \mapsto (a_0 \otimes_K \dotsb\otimes_K a_{i-1}\otimes_K a_ia_{i+1}\otimes_K a_{i+2}\otimes_K\dotsb\otimes_K a_n\qquad(1\le i$
* $\partial^n \colon a_0 \otimes_K\dotsb\otimes a_n \mapsto a_na_0 \otimes_K a_1\otimes_K \dotsb\otimes_K a_{n-1}$
$\partial = \sum_{i=0}^n (-)^i \partial^i$
$\partial' = \sum_{i=0}^{n-1} (-)^i \partial^i$
$t\cdot \left(a_0\otimes_Ka_1\otimes_K\dotsb\otimes_Ka_{n-1}\right) = (-)^{n-1}a_{n-1}\otimes_Ka_0\otimes_Ka_1\otimes_K\dotsb\otimes_Ka_{n-2}$
$N\colon A^{\otimes_Kn} \to A^{\otimes_Kn}$
$N=1+t+\dotsb+t^{n-1}$

여기서 t는 순환군

\operatorname{Cyc}(n)=\langle t|t^n=1\rangle

의

K

-선형 표현 원소이다.

이 연산자들은 다음 성질들을 만족시킨다.^[9]

$(1-t)\circ\partial' = \partial \circ (1-t)$
$\partial'\circ N = N \circ \partial$

표수가 0인 체 위에서, 순환 호몰로지는 '''Connes 복합체'''를 통해 정의될 수 있다.

2. 1. 1. 순환 코호몰로지의 기초적 정의

가환환

K

위의 (항등원을 갖는) 결합 대수

A

가 주어졌다고 하자.

A

는

(A,A)

-쌍가군을 이루며, 그

K

-쌍대 가군

A^\vee=\hom_{\operatorname{Vect}_K}(A,K)

역시

(A,A)

-쌍가군을 이룬다.

그렇다면,

A

의 '''호흐실트 공사슬 복합체'''(Hochschild cochain complex^영어)는 다음과 같은

K

-공사슬 복합체이다.

:

C^n(A,A^\vee) = \hom_K(A^{\otimes n}, A^\vee)

:

\mathrm d\colon C^n(A,A^\vee)\to C^n(A,A^\vee)

:

\mathrm d\phi(a_0,\dotsc,a_{n+1}) = (-)^{n+1}\phi(a_{n+1}x_0,\dotsc,a_n) + \sum_{i=0}^n(-)^i\phi(a_0,\dotsc,a_ia_{i+1},\dotsc,a_{n+1})

그 코호몰로지는

A^\vee

계수의 호흐실트 코호몰로지

\operatorname{HH}^\bullet(A;A^\vee)

이다.

이제, 이 공사슬 복합체 위의, 정의역의 원소의 순서쌍 성분들에 순환 순열을 가하는 공사슬 복합체 자기 동형 사상

:

T\colon  C^\bullet(A;A^\vee) \to C^\bullet(A;A^\vee)

:

T\phi(a_0,\dotsc,a_n) = (-)^n \phi(a_n,a_0,\dotsc,a_{n-1})

을 생각하자.^[15] 이 자기 동형의 고정점으로 구성된 부분 벡터 공간

:

C_{\mathrm{cyc}}^\bullet(A) = \{\phi \in C^\bullet(A,A^\vee)\colon T\phi=\phi\}

들은 공경계 사상

\mathrm d

에 대하여 닫혀 있어, 부분 공사슬 복합체를 이룬다.^[15] 그 코호몰로지

:

\operatorname{HC}^\bullet(A)

를

A

의 '''순환 코호몰로지'''라고 한다.^[15]

2. 1. 2. 순환 호몰로지의 기초적 정의

가환환

K

위의 결합 대수

A

가 주어졌을 때, 텐서곱

A^{\otimes_Kn}

을 정의할 수 있으며, 이는

(A,A)

-쌍가군을 이룬다.

다음과 같이 '''호흐실트 경계 연산자'''(Hochschild境界演算子, Hochschild boundary operator^영어)를 정의할 수 있다.^[9]

:

\partial\colon A^{\otimes_Kn}\to A^{\otimes_K(n-1)}

:

\begin{aligned}\partial \colon a_0\otimes_K\dotsb \otimes_Ka_n\mapsto a_0a_1\otimes_Ka_2\otimes_K\dotsb\otimes_Ka_n + \sum_{i=1}^{n-1}(-)^i a_0\otimes_K\dotsb a_{i-1}\otimes_K a_ia_{i+1}\otimes_Ka_{i+2}\otimes_Ka_n \\\qquad + (-)^n a_na_0\otimes_Ka_1\otimes_K\dotsb\otimes_Ka_{n-1}\end{aligned}

그러면,

\partial^2 = 0

이므로^[9]

(A^{\otimes_K\bullet}, \partial)

은

K

-사슬 복합체

:

\dotsb\xrightarrow\partial A^{\otimes_K3}\xrightarrow\partial A^{\otimes_K2}\xrightarrow\partial A

를 이룬다. 이 사슬 복합체의

n

차 대상은

A^{\otimes_K(n+1)}

이다. 이를 '''호흐실트 사슬 복합체'''(Hochschild사슬複合體, Hochschild chain complex^영어)라고 하며,^[9] 그 호몰로지는

A

의

A

계수 호흐실트 호몰로지

\operatorname{HH}_\bullet(A;A)

이다.

또한, 다음과 같은 '''콘 경계 연산자'''(Connes境界演算子, Connes boundary operator^영어)

B

를 정의할 수 있다.^[9]

:

B\colon A^{\otimes_K(n+1)} \to A^{\otimes_K(n+2)}

:

\begin{aligned}B\colon a_0\otimes_K\dotsb\otimes_Ka_n \mapsto\sum_{i=0}^n (-)^{ni}1\otimes_Ka_i\otimes_K\dotsc\otimes_Ka_n\otimes_Ka_0\otimes_K\dotsb\otimes_Ka_{i-1}\\\qquad-(-)^{ni}a_i\otimes_K1\otimes_Ka_{i+1}\otimes_K\otimes_Ka_n\otimes_Ka_0\otimes_K\dotsb\otimes_Ka_{i-1}\end{aligned}

그러면,

B\partial=-\partial B

이므로^[9] 이는 호흐실트 호몰로지의 사상

:

B_* \colon \operatorname{HH}_\bullet(A;A) \to\operatorname{HH}_{\bullet+1}(A;A)

을 정의한다.

호흐실트 경계 연산자

\partial

와 콘 경계 연산자

B

는 다음과 같은 이중 복합체를 정의한다.

:

\begin{matrix}\vdots&&\vdots&&\vdots \\{\scriptstyle\partial}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\partial}&&{\scriptstyle\partial}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\partial}&&{\scriptstyle\partial}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\partial}\\A^{\otimes_K3}&\overset B\leftarrow&A^{\otimes_K2}&\overset B\leftarrow&A\\{\scriptstyle\partial}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\partial}&&{\scriptstyle\partial}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\partial}\\A^{\otimes_K2} & \overset B\leftarrow& A\\{\scriptstyle\partial}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\partial} \\A\end{matrix}

이 이중 복합체를

\mathcal B(A)

라고 하면, 각 차수에서의 성분은

:

\mathcal B(A)_{m,n} =\begin{cases} A^{\otimes_K(n-m+1)} & m \le n \\0& m > n\end{cases}

이다. 이 이중 복합체의 전체 복합체

:

\operatorname{Tot}_p(\mathcal B(A)) = \bigoplus_{m+n=p}\mathcal B(A)_{m,n}

를 생각하자. 그렇다면, 그 호몰로지를

A

의 '''순환 호몰로지'''라고 한다.^[9]

:

\operatorname H_\bullet(\operatorname{Tot}(\mathcal B(A))) = \operatorname{HC}_\bullet(A)

2. 1. 3. 순환 호몰로지의 순환 이중 복합체를 통한 정의

가환환

K

위의 결합 대수

A

에 대하여, '''순환 이중 복합체'''

\operatorname{CC}_{\bullet,\bullet}(A)

는 다음과 같이 정의된다.^[9]

:

\operatorname{CC}_{m,n}(A) = A^{\otimes_K(n+1)}

:

\begin{matrix}A^{\otimes_K1} & \overset{\partial}\leftarrow & A^{\otimes_K2} & \overset{\partial}\leftarrow & A^{\otimes_K3} &\overset{\partial}\leftarrow & A^{\otimes_K4} & \overset\partial\leftarrow&\dotsm\\{\scriptstyle 1-t}\uparrow & &{\scriptstyle 1-t}\uparrow & &{\scriptstyle 1-t}\uparrow  & &{\scriptstyle 1-t}\uparrow \\A^{\otimes_K1} & \overset{-\partial'}\leftarrow & A^{\otimes_K2} & \overset{-\partial'}\leftarrow & A^{\otimes_K3} &\overset{-\partial'}\leftarrow & A^{\otimes_K4} & \overset{-\partial'}\leftarrow&\dotsm\\{\scriptstyle N}\uparrow & &{\scriptstyle N}\uparrow& &{\scriptstyle N}\uparrow & &{\scriptstyle N}\uparrow\\A^{\otimes_K1} & \overset{\partial}\leftarrow & A^{\otimes_K2} & \overset{\partial}\leftarrow & A^{\otimes_K3} &\overset{\partial}\leftarrow & A^{\otimes_K4} & \overset\partial\leftarrow&\dotsm\\{\scriptstyle 1-t}\uparrow & &{\scriptstyle 1-t}\uparrow & &{\scriptstyle 1-t}\uparrow & &{\scriptstyle 1-t}\uparrow \\A^{\otimes_K1} & \overset{-\partial'}\leftarrow & A^{\otimes_K2} & \overset{-\partial'}\leftarrow & A^{\otimes_K3} &\overset{-\partial'}\leftarrow & A^{\otimes_K4} & \overset{-\partial'}\leftarrow&\dotsm\\{\scriptstyle N}\uparrow & &{\scriptstyle N}\uparrow& &{\scriptstyle N}\uparrow& &{\scriptstyle N}\uparrow \\\vdots && \vdots && \vdots && \vdots\end{matrix}

여기서 사용되는 기호는 다음과 같다.

$\partial^i \colon A^{\otimes_K(n+1)} \to A^{\otimes_K n}$
$\partial^0 \colon a_0 \otimes_K\dotsb\otimes a_n \mapsto a_0a_1\otimes_K a_2\otimes_K\dotsb\otimes_K a_n$
$\partial^i \colon a_0 \otimes_K\dotsb\otimes a_n \mapsto (a_0 \otimes_K \dotsb\otimes_K a_{i-1}\otimes_K a_ia_{i+1}\otimes_K a_{i+2}\otimes_K\dotsb\otimes_K a_n\qquad(1\le i$
$\partial^n \colon a_0 \otimes_K\dotsb\otimes a_n \mapsto a_na_0 \otimes_K a_1\otimes_K \dotsb\otimes_K a_{n-1}$
$\partial = \sum_{i=0}^n (-)^i \partial^i$ (호흐실트 경계 연산자)
$\partial' = \sum_{i=0}^{n-1} (-)^i \partial^i$
$t\cdot \left(a_0\otimes_Ka_1\otimes_K\dotsb\otimes_Ka_{n-1}\right) = (-)^{n-1}a_{n-1}\otimes_Ka_0\otimes_Ka_1\otimes_K\dotsb\otimes_Ka_{n-2}$ ( $\operatorname{Cyc}(n)=\langle t|t^n=1\rangle$ 는 순환군)
$N\colon A^{\otimes_Kn} \to A^{\otimes_Kn}$
$N=1+t+\dotsb+t^{n-1}$

이들은 다음을 만족시킨다.

$(1-t)\circ\partial' = \partial \circ (1-t)$
$\partial'\circ N = N \circ \partial$

'''순환 호몰로지'''는 순환 이중 복합체의 전체 복합체의 호몰로지이다.

:

\operatorname{HC}_\bullet(A) = \operatorname H_\bullet(\operatorname{Tot}(\operatorname{CC}(A)))

2. 2. 범주론적 정의

보다 일반적으로, 임의의 범주 속에서 단체 대상과 유사한 개념인 '''순환 대상'''의 개념을 정의할 수 있다. 이 개념을 사용하여 순환 호몰로지는 어떤 특별한 Tor 함자로서 정의될 수 있다. 마찬가지로, 순환 코호몰로지는 어떤 특별한 Ext 함자로서 정의될 수 있다.^[9]

다음이 주어졌다고 하자.

가환환 $K$
$\operatorname{Mod}_K$ 속의 순환 대상 $M$

그렇다면,

\operatorname{Mod}_K

-순환 대상들의 범주

:

\hom(\triangle_{\operatorname{Cyc}}^{\operatorname{op}},\operatorname{Mod}_K)

는 아벨 범주를 이루므로 Ext 함자를 정의할 수 있으며, 또한 순환 가군의 텐서곱 함자를 정의할 수 있으므로 그 유도 함자로서 Tor 함자를 정의할 수 있다.

M

의 '''순환 호몰로지'''는 Tor 함자

:

\operatorname{HC}_n(M)=\operatorname{Tor}_n^{\hom(\triangle_{\operatorname{Cyc}}^{\operatorname{op}},\operatorname{Mod}_K)}(K,M)

이다.^[9] 마찬가지로

M

의 '''순환 코호몰로지'''는 Ext 함자

:

\operatorname{HC}^n(M)=\operatorname{Ext}^n_{\hom(\triangle_{\operatorname{Cyc}}^{\operatorname{op}},\operatorname{Mod}_K)}(M,K)

이다.^[9] 만약 순환 범주

\triangle_{\operatorname{Cyc}}

대신 단체 범주

\triangle

를 사용하면, 대신 호흐실트 호몰로지^[9]와 호흐실트 코호몰로지^[9]를 얻는다.

K

-결합 대수

A

의 경우, 어떤 특별한 순환 가군

C(A)\colon\triangle_{\operatorname{Cyc}}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Mod}_K

를 대응시킬 수 있으며, 결합 대수의 '''순환 (코)호몰로지'''는

C(A)

의 순환 (코)호몰로지를 말한다.

3. 성질

호흐실트 코호몰로지와 순환 코호몰로지 사이에는 콘 완전열(Connes exact sequence)이라고 불리는 긴 완전열이 존재한다.^[15] 콘 주기 연산자(Connes periodicity operator)는 연결 사상 HCⁿ⁻¹(A) → HCⁿ⁺¹(A)를 의미한다.^[15]^[9]

콘 주기성을 사용하여, 주기 순환 코호몰로지(periodic cyclic cohomology)를 정의할 수 있다.^[15] 주기 순환 코호몰로지는 순환 코호몰로지 군들의 귀납적 극한으로 정의되며, 복소수 계수 위상 K군과 마찬가지로 두 개가 존재한다.

구체적으로, 표수 0의 체 $K$ 위의 결합 대수 $A$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 호흐실트 코호몰로지를 정의하는 공사슬 복합체 $C^\bullet(A)$ 및 순환 코호몰로지를 정의하는 부분 공사슬 복합체

: $\iota\colon C^\bullet_{\mathrm{cyc}}(A)\to C^\bullet(A)$

가 존재한다. 이는 공사슬 복합체의 짧은 완전열

: $0\to C^\bullet_{\mathrm{cyc}}(A)\xrightarrow \iota C^\bullet(A)\to \frac{C^\bullet(A)}{ C^\bullet_{\mathrm{cyc}}(A)} \to 0$

을 정의하며, 이에 따라 긴 완전열

: $\dotsb\to\operatorname{HC}^n(A) \to\operatorname{HH}^n(A)\to\operatorname H^n\left(\frac{C^\bullet(A)}{ C^\bullet_{\mathrm{cyc}}(A)}\right)\to \operatorname{HC}^{n+1}(A)\to\dotsb$

을 얻는다.

그런데 다음이 성립한다.

: $\operatorname H^n\left(\frac{C^\bullet(A)}{ C^\bullet_{\mathrm{cyc}}(A)}\right) \cong\operatorname{HC}^{n-1}(A)$

즉, 다음과 같은 긴 완전열이 존재한다.

: $\dotsb\to\operatorname{HC}^n(A) \to\operatorname{HH}^n(A)\to\operatorname{HC}^{n-1}(A)\to \operatorname{HC}^{n+1}(A)\to\operatorname{HH}^{n+1}(A)\to\operatorname{HC}^n(A)\to\operatorname{HC}^{n+2}(A)\to\dotsb$

환 위의 표수가 0인 체 위의 링 ''A''의 순환 호몰로지는 다음과 같이 표기된다.

:''HC''_''n''(''A'') 또는 ''H''_''n''^λ(''A'')

이는 ''A''의 Hochschild 호몰로지 복합체와 관련된 명시적인 체인 복합체를 사용하여 진행되었으며, 이를 '''Connes 복합체'''라고 한다.

모든 자연수 ''n ≥ 0''에 대해, $t_n$ 연산자를 정의하여 $\mathbb{Z}/ n \mathbb{Z}$ 의 자연스러운 순환 작용을 ''A''의 ''n''번째 텐서 곱에 적용한다.

: $\begin{align}t_n : A^{\otimes n} \to A^{\otimes n}, \quad a_1 \otimes \dots \otimes a_n \mapsto (-1)^{n-1} a_n \otimes a_1 \otimes \dots \otimes a_{n-1}.\end{align}$

''A'' 자체를 계수로 하는 ''A''의 Hochschild 복합체 그룹은 모든 ''n ≥ 0''에 대해 $HC_n(A) := A^{\otimes n+1}$ 로 설정하여 주어진다. 그러면 Connes 복합체의 구성 요소는 $C^\lambda_n(A) := HC_n(A)/ \langle 1 - t_{n+1} \rangle$ 로 정의되며, 미분 $d : C^\lambda_n(A) \to C^\lambda_{n-1}(A)$ 는 Hochschild 미분을 이 몫으로 제한한 것이다. Hochschild 미분이 실제로 이 코변량 공간을 통해 인수로 나눌 수 있음을 확인할 수 있다.^[3]

Connes는 나중에 아벨 범주에서 '''순환 객체'''라는 개념을 사용하여 순환 호몰로지에 대한 보다 범주적인 접근 방식을 발견했는데, 이는 단순 객체의 개념과 유사하다. 이러한 방식으로, 순환 호몰로지(및 코호몰로지)는 (''b'', ''B'')-이중 복합체를 사용하여 명시적으로 계산할 수 있는 유도 함자로 해석될 수 있다. 체 ''k''가 유리수를 포함하는 경우, Connes 복합체와 관련된 정의는 동일한 호몰로지를 계산한다.

순환 호몰로지의 두드러진 특징 중 하나는 Hochschild 호몰로지와 순환 호몰로지를 연결하는 긴 완전열의 존재이다. 이 긴 완전열을 주기성 열이라고 한다.

4. 예

표수 0의 체 $K$ 위의 매끄러운 아핀 스킴 $\operatorname{Spec}A$ 에 대하여, $A$ 의 순환 코호몰로지와 (그 스펙트럼의) 대수적 드람 코호몰로지 사이의 관계는 다음과 같다.^[4]

: $\operatorname{HC}^n(A)\cong\frac{ \Omega ^nA}{\mathrm d\Omega ^{n-1}A} \oplus \bigoplus_{i\ge 1}\operatorname H_{\mathrm{dR}}^{n-2i}(\operatorname{Spec}A)$

여기서

: $\operatorname H_{\mathrm{dR}}^n(-) = \operatorname H^n(\Omega^\bullet(-))$

는 알렉산더 그로텐디크의 대수적 드람 코호몰로지이다.

가환 대수 ''A''의 표수 0인 체 ''k'' 위의 아핀 대수적 다양체의 정칙 함수에 대한 순환 코호몰로지는 그로텐디크의 대수적 드람 복소수를 사용하여 계산할 수 있다.^[4] 특히, 다양체 ''V''=Spec ''A''가 매끄러운 경우, ''A''의 순환 코호몰로지는 다음과 같이 ''V''의 드람 코호몰로지로 표현된다.

: $HC_n(A)\simeq \Omega^n\!A/d\Omega^{n-1}\!A\oplus \bigoplus_{i\geq 1}H^{n-2i}_{\text{dR}}(V).$

5. 응용

순환 호몰로지의 응용 분야 중 하나는 아티야-싱어 지표 정리에 대한 새로운 증명과 일반화를 찾는 것이다. 이러한 일반화에는 스펙트럼 트리플^[7] 및 푸아송 다양체의 변형 양자화를 기반으로 하는 지표 정리가 포함된다.^[8]

콤팩트한 매끄러운 다양체 위의 타원형 연산자 D는 K 호몰로지에서 한 클래스를 정의한다. 이 클래스의 한 불변량은 연산자의 해석적 지표이다. 이는 클래스 [D]와 HC(C(M))의 원소 1의 페어링으로 간주된다. 순환 코호몰로지는 매끄러운 다양체뿐만 아니라 엽층 구조, 오비폴드, 비가환 기하학에서 나타나는 특이 공간에 대해서도 타원형 미분 연산자의 더 높은 불변량을 얻는 방법으로 볼 수 있다.

6. 대수적 K-이론과의 관계

순환 추적 사상은 (예를 들어, 환 ''A''의) 대수적 K-이론에서 순환 호몰로지로 가는 사상이다.

: $tr: K_n (A) \to HC_{n-1} (A).$

어떤 상황에서는 이 사상을 사용하여 K-이론을 계산할 수 있다. 이 방향의 선구적인 결과는 굿윌리(Goodwillie)의 정리이다.^[5] 이 정리는 사상

: $K_n(A, I) \otimes \mathbf Q \to HC_{n-1} (A, I) \otimes \mathbf Q$

이 0이 아닌 양면 아이디얼 ''I''에 대한 ''A''의 상대적 K-이론과 상대적 순환 호몰로지 사이에서 (''A''와 ''A''/''I''의 K-이론 또는 순환 호몰로지의 차이를 측정) ''n''≥1에 대해 동형사상임을 주장한다.

Goodwillie의 결과는 임의의 환에 대해 성립하지만, 빠른 축소를 통해 본질적으로 $A \otimes_{\mathbf Z} \mathbf Q$ 에 대한 설명일 뿐임을 알 수 있다. '''Q'''를 포함하지 않는 환의 경우, K-이론과 밀접한 관계를 유지하기 위해 순환 호몰로지를 위상적 순환 호몰로지로 대체해야 한다. (만약 '''Q'''가 ''A''에 포함되어 있다면, ''A''의 순환 호몰로지와 위상적 순환 호몰로지는 일치한다.) 이는 (고전적) Hochschild 호몰로지가 '''Q'''를 포함하지 않는 환에 대해 위상적 Hochschild 호몰로지보다 덜 잘 동작한다는 사실과 일치한다. 클라우젠(Clausen), 매튜(Mathew), 모로(Morrow)는 Goodwillie의 결과를 광범위하게 일반화하여, Henselian 보조정리가 아이디얼 ''I''에 대해 성립하는 가환 환 ''A''에 대해 상대적 K-이론이 상대적 위상적 순환 호몰로지와 동형사상이라고 주장했다 ('''Q'''와 텐서곱하지 않고). 그들의 결과는 또한 가버(Gabber)의 정리를 포함하는데, 이 정리는 이러한 상황에서 ''A''에서 가역적인 정수 ''n''을 모듈로 한 상대적 K-이론 스펙트럼이 사라진다고 주장한다.^[6] 자딘(Jardine)은 Gabber의 결과와 Suslin 강성을 사용하여 유한체의 K-이론에 대한 퀼렌의 계산을 재증명했다.^[6]

7. 역사

알랭 콘^[12]^[13]과 보리스 치간(Бори́с Л. Ци́ган|보리스 L. 치간^uk, Бори́с Л. Цыга́н|보리스 L. 치간^ru, Boris L. Tsygan|보리스 L. 치간^영어)^[14]이 1980년대에 독자적으로 도입하였다. 콘의 이론은 원래 코호몰로지를 기반으로 하였지만, 치간의 이론은 원래 호몰로지를 기반으로 하였다.

콘은 순환 코호몰로지의 이론을 1981년 독일에서 열린 학회에서 최초로 발표하였으며,^[15] 1983년에 “순환 코호몰로지”(cohomologie cyclique|코오몰로지 시클리크^프랑스어)라는 용어를 최초로 사용하였다.^[12] 콘의 원래 목적은 알렉산더 그로텐디크가 정의한 대수적 드람 코호몰로지를 비가환 결합 대수에 대하여 일반화하기 위한 것이었으며, 콘의 원래 정의는 호흐실트 호몰로지를 정의하는 사슬 복합체의 변형을 통한 것이었다. 1983년에 알랭 콘은 순환 대상의 개념을 도입하였으며, 이를 사용하여 순환 (코)호몰로지를 추상적으로 정의하였다.^[12]

참조

_[1] 논문 Homology of matrix Lie algebras over rings and the [[Hochschild homology]] 1983
_[2] 논문 Noncommutative differential geometry 1985
_[3] 서적 Cyclic Homology Springer Science & Business Media 1997
_[4] 논문 Additive K-theory and crystalline cohomology 1985
_[5] 학위논문 Analytic cyclic cohomology Universität Münster 1999
_[6] 논문 Diffeotopy functors of ind-algebras and local cyclic cohomology 2003
_[7] 논문 The local index formula in noncommutative geometry 1995
_[8] 논문 Algebraic index theorem 1995
_[9] 서적 Cyclic homology Springer-Verlag 1998
_[10] 서적 Lectures on cyclic homology http://www.math.tifr[...] Tata Institute of Fundamental Research 1991
_[11] 서적 An introduction to ''K''-theory and cyclic cohomology Państwowe Wydawnictwo Naukowe 1996
_[12] 저널 Cohomologie cyclique et foncteurs Ext^''n'' http://www.alainconn[...] 2017-07-20
_[13] 서적 Geometric methods in operator algebras. Proceedings of the US–Japan seminar, Kyoto, July 1983 Wiley 1986
_[14] 저널 Гомологии матричных алгебр Ли над кольцами и гомологии Хохшильда http://mi.mathnet.ru[...] 1983
_[15] 서적 Quanta of maths. Conference in honor of Alain Connes. Non commutative geometry. Institute Henri Poincaré, Institute des Hautes Études Scientifiques, Institute de Mathématiques de Jussieu, Paris, France. March 29–April 6, 2007 http://www.claymath.[...] American Mathematical Society, Clay Mathematics Institute 2008

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com