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아티야-싱어 지표 정리

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목차

1. 개요

아티야-싱어 지표 정리는 콤팩트 매끄러운 다양체 위의 타원 복합체의 해석적 지표와 위상 지표가 같다는 정리이다. 해석적 지표는 해석적인 데이터로 정의되며, 위상 지표는 위상수학적인 데이터로 정의된다. 이 정리는 오일러 지표, 히르체브루흐-리만-로흐 정리, 디랙 연산자 등 다양한 수학적 문제에 적용될 수 있다. 아티야-싱어 지표 정리는 코보디즘 이론, K-이론, 열 방정식 등 다양한 방법을 통해 증명되었으며, 1963년 마이클 아티야와 이자도어 싱어에 의해 발표되었다.

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아티야-싱어 지표 정리
기본 정보
분야미분기하학
발견자마이클 아티야와 이사도어 싱어
최초 증명 날짜1963년
관련 항목
결과천-가우스-보네 정리
그로텐디크-리만-로흐 정리
히르체브루흐 시그니처 정리
로흘린 정리

2. 정의

M이 m차원 콤팩트 매끄러운 다양체이고, E^i가 M 위의 매끄러운 벡터 다발들이라고 하자. M 위의 타원 복합체

:\cdots\stackrel{D_{i-2}}{\longrightarrow}\Gamma(E_{i-1}) \stackrel{D_{i-1}}{\longrightarrow} \Gamma(E_i) \stackrel{D_i}{\longrightarrow}\Gamma(E_{i+1})\stackrel{D_{i+1}}{\longrightarrow} \cdots

의 '''해석적 지표'''(analytical index영어)는 다음과 같다.

:\operatorname{ind}(D_{\bullet})=\sum_i(-1)^i\dim(\ker D_i/\operatorname{im}D_{i-1})

이는 순수하게 해석적인 데이터로 정의된 값이다. 여기서 \operatorname{ind}는 프레드홀름 지표이다.

타원 복합체의 '''위상 지표'''(topological index영어)는 다음과 같다.[16]

:\operatorname{ind}(D_{\bullet})=(-)^{m(m+1)/2}\int_M

\operatorname{ch}\left(\bigoplus_i(-1)^iE_i\right)

\frac{\operatorname{Td}(\mathrm TM\otimes_{\mathbb R}\mathbb C)}{\operatorname e(\mathrm TM)}

여기서


이 지표는 순수하게 위상수학적인 데이터로 정의된 값이다.

'''아티야-싱어 지표 정리'''에 따르면, 타원 복합체의 해석적 지표와 위상 지표는 같다.

여기서, m=\dim M이 홀수인 경우 (미분 연산자에 대하여) 양변 모두 0이다. (다만, 유사 미분 연산자에 대한 경우 홀수 차원에서도 자명하지 않은 결과를 도출할 수 있다.)

특히, 하나의 프레드홀름 미분 연산자

:D \colon \Gamma(E) \to \Gamma(F)

에 대하여, 이를 타원 복합체

:0 \to \Gamma(E) \,\overset D\to\,\Gamma(F)\to0

로 간주하면, 다음을 얻는다.

:\dim\ker D - \dim\ker D^\dagger = (-)^{m(m+1)/2}\int_M (\operatorname{ch}E - \operatorname{ch}F) \frac{\operatorname{Td}(\mathrm TM^{\mathbb C})}{\operatorname e(\mathrm TM)}

M을 콤팩트 다양체라고 하고, E, F를 M 위의 복소 벡터 다발이라고 하자. 그리고 타원형 미분 연산자 D\colon \Gamma(M, E) \to \Gamma(M, F)가 주어졌다고 하자. 이 때 D는 파라메트릭스를 가지므로 프레드홀름 연산자로 간주할 수 있으며, dim(ker D)와 dim(coker D)는 유한하게 된다. D의 '''해석적 지표'''는 Inda D = dim(ker D) - dim(coker D)로 정의된다.

위의 기호 아래에서, D의 주표상 σ(D)는 K0(T*M)의 원을 주는데, 이것을 천 지표 ch를 통해 코호몰로지 군의 원 ch(σ(D)) ∈ H*c(T*M)로 나타낼 수 있다. 또한, 코호몰로지에서의 톰 동형 φ: H*c(T*M) → H*(M)에 의해 M의 코호몰로지류 φ ch(σ(D))가 얻어진다. D의 위상적 지표는, M의 토드류 Td(M)와 φ ch(σ(D))의 컵 곱을 기본류와 페어링 시켜 얻어진다.

3. 타원형 미분 연산자

주표상이 0이 아닌 모든 점에서 0이 아닌 연산자 ''D''는 '''타원형'''이라고 불린다.

일반적으로 ''x''에 관한 좌표 변환 하에서 편미분 연산자의 변환 규칙은 제트 다발의 변환 법칙이 되며, 저차항까지 포함한 표상에 대한 변환 규칙은 복잡해지지만, 최고차 부분인 주표상에 관한 변환 규칙은 공변 벡터에 관한 것과 같아지고, 주표상은 여접속 다발 상의 함수로 생각하는 것이 기하학적으로 자연스러운 해석이 된다. 따라서 ''D''가 일반적인 다양체 위에서 벡터 다발의 절단 사이의 의사 미분 연산자로 정의되어 있는 경우에도 타원형 연산자의 정의는 의미를 가진다. 다양체 ''M''과 그 위의 타원형 미분 연산자 ''D''에 대해 ''D''의 principal symbol|주표상영어 σ(''D'')는 여접속 다발의 전 공간 T*''M''의 K군 K0(T*''M'')의 원소를 나타내는 것으로 간주할 수 있다.

타원형 미분 연산자의 예로 디랙 연산자, 부호 연산자, 복소 다양체 상의 정칙 벡터 다발로부터 정해지는 돌보 연산자 등이 있다.

4. 역사

마이클 아티야와 이자도어 싱어는 1963년에 아티야-싱어 지표 정리를 발표하였다.[19][20][21][22][23] 이들은 이 업적으로 1966년 필즈상을,[24] 2004년 아벨상을 수상하였다.[25][26][27]

1960년, 이스라엘 겔판트는 타원 미분 연산자의 지표 문제를 제기하고, 지표의 호모토피 불변성을 언급하며 위상 불변량을 사용한 공식화를 요구했다.

1983년, 루이스 알바레스가우메(Luis Álvarez-Gaumées)는 아티야-싱어 지표 정리가 초대칭 양자역학과 깊은 관계가 있다는 사실을 밝혔고, 이를 이용하여 증명하였다.[28][29] 이 증명은 에즈라 게츨러(Ezra Getzler영어)가 수학적으로 엄밀하게 제시하였다.[30]

아티야-싱어 정리 발표 이후 여러 수학자들에 의해 다양한 일반화 및 발전이 이루어졌다. 주요 발전 과정은 다음과 같다.

연도기여자내용
1965세르게이 노비코프매끄러운 다양체에서 유리수 폰트랴긴 클래스의 위상 불변성에 대한 결과를 발표.
1969마이클 아티야임의의 거리 공간에서 추상 타원 연산자를 정의.
1973아티야, 라울 보트, 비제이 파토디열 방정식을 사용하여 지표 정리의 새로운 증명을 제시.
1983에즈라 겟즐러국소적으로 디랙 연산자인 연산자에 대한 국소 지표 정리의 짧은 증명을 제시.
1984니콜라 텔레만위상 다양체에 대한 지표 정리를 확립.
1990알랭 콘, 앙리 모스코비치비가환 기하학의 맥락에서 국소 지표 공식을 증명.
1994콘, 설리번, 텔레만준등각 다양체에 대한 부호 연산자에 대한 지표 정리를 증명.


5. 확장

텔레만 지표 정리[4]에 따르면, 닫힌, 유향, 위상 다양체 상의 임의의 추상 타원 연산자에 대해 해석적 지표는 위상적 지표와 같다. 이는 지표 정리가 단순한 미분 가능성에 대한 설명이 아니라, 위상적 진술임을 보여준다.

콘-도널드슨-설리번-텔레만 지표 정리[5]에 따르면, 준등각 다양체에 대해 히르체브루흐-톰 특성류의 국소적 구성이 존재한다. 이 이론은 짝수 차원 준등각 다양체의 중간 차수 미분 형식에 정의된 부호 연산자 ''S''를 기반으로 한다. 위상적 코보디즘과 K-호몰로지를 사용하여 준등각 다양체에 대한 지표 정리의 완전한 진술을 제공할 수 있다.

이러한 결과는 싱어의 프로그램 '수학의 전망'에 따른 중요한 진전이며, 위상적 다양체에 대한 유리수 폰트랴긴류의 효과적인 구성을 제공한다.

아티야-싱어 정리는 다음과 같은 다양한 상황으로 확장되었다.


  • 의사미분 연산자: 타원 의사미분 연산자에 적용되며, 타원 미분 연산자와 거의 같은 방식으로 적용된다.
  • 타원 복합체: 두 벡터 번들 간의 타원 연산자 대신, ''타원 복합체''를 사용하는 것이 더 편리할 때가 있다.
  • 경계가 있는 다양체: 유한 지표를 보장하기 위해 타원 연산자의 영역에 제약 조건을 가해야 한다. 아티야, 파토디, 싱어는 전역 경계 조건을 도입하여 이 문제를 해결했다.
  • 타원 연산자족: 어떤 공간 ''Y''로 매개변수화된 타원 연산자족을 고려할 수 있다. 이 경우 지표는 ''Y''의 K-이론의 원소이다.
  • 그룹 작용: 콤팩트 다양체 ''X''에서 타원 연산자와 교환하는 그룹 ''G''의 그룹 작용이 있다면, 등변 K-이론을 사용하고 레프셰츠 고정점 정리의 일반화를 얻는다.
  • 비콤팩트 다양체: 아티야는 콤팩트 몫을 갖는 이산 그룹이 작용하는 일부 비콤팩트 다양체로 지표 정리를 확장하는 방법을 보여주었다. 이 버전은 ''L''2 지표 정리''라고 불린다.
  • 칼리아스 지표 정리: 비콤팩트 기수 공간에 대한 디랙 연산자에 대한 지표 정리이다.


해석적 지표와 위상적 지표는 모두 다양체의 K군의 사이의 준동형으로 공식화할 수 있다. 따라서 지표 정리는 매끄러운 사상 ''f'': ''M'' → ''N''가 유발하는 두 개의 지표 사상 Inda(f), Indt(f): K*(''M'') → K*(''N'')의 일치로 공식화된다. 군 작용이 있는 경우나, 족이 엽층 구조에 의해 주어진 경우의 지표 정리는 이러한 구성을 적절한 범주로 확장함으로써 언급된다.

6. 응용

아티야-싱어 지표 정리는 게이지 이론에서 반자기켤레 접속의 모듈라이 공간의 형식적인 차원을 계산하는 등 다양한 분야에 응용된다. 또한, 양자장론에서 발생하는 양자 이상 현상(애노멀리)에 기하학적인 의미를 부여할 수 있다.

아티야-싱어 지표 정리는 다음과 같은 고전적인 정리들을 특수한 경우로 포함한다.

6. 1. 오일러 지표

아티야-싱어 지표 정리를 (복소화한) 드람 복합체에 적용하면 천-가우스-보네 정리를 얻을 수 있다. 드람 복합체의 해석적 지표는 다양체의 오일러 지표 \(\chi(M)\)이고, 그 위상 지표는 오일러 특성류 \(e(M)\)의 적분이다.[1]

:\(\chi(M)=\int_Me(M)\)

6. 2. 히르체브루흐-리만-로흐 정리

아티야-싱어 지표 정리를 돌보 복합체에 적용하면 히르체브루흐-리만-로흐 정리를 얻는다.[1] 이 정리는 복소다양체 M 위에 해석적 벡터 다발 E가 주어졌을 때, 돌보 복합체의 해석적 지표와 위상 지표를 관련시킨다.

돌보 복합체의 해석적 지표는 E의 코호몰로지의 오일러 지표

:\chi(M,E)=h^0(M,E)-h^1(M,E)+h^2(M,E)-\dotsb

로 주어진다. 여기서 h^i(M,E)는 i차 돌보 코호몰로지 군의 차원이다.

위상 지표는

:\int_M\operatorname{ch}(E)\operatorname{Td}(TM)

로 주어지는데, 여기서 \operatorname{ch}(E)는 E의 천 지표, \operatorname{Td}(TM)는 M의 접다발의 토드 특성류이다.

아티야-싱어 지표 정리에 따르면, 해석적 지표와 위상 지표는 같다. 즉,

:\chi(M,E) = \int_M\operatorname{ch}(E)\operatorname{Td}(TM)

이다. 이는 히르체브루흐-리만-로흐 정리와 일치한다.

E가 0차원 벡터 다발인 경우, 그 오일러 지표는 복소다양체의 산술 종수 \operatorname{ind}\bar\partial이다. 따라서 복소다양체의 산술 종수는 복소 접다발의 토드 특성류의 적분으로 주어진다.

:\operatorname{ind}\bar\partial=\int_M\operatorname{Td}(TM)

6. 3. 디랙 연산자

M이 짝수 차원의 스핀 다양체이고, 그 위에 스피너 다발

:\mathrm S(M)=\mathrm S^+(M)\oplus\mathrm S^-(M)

이 있다고 하자. 그러면 '''디랙 연산자'''

:i\gamma^\mu\nabla_\mu=\begin{pmatrix}

0&D\\D^\dagger&0

\end{pmatrix}

는 다음과 같이 작용한다.

:S^+(M)\xrightarrow{D} S^-(M)

:S^+(M)\xleftarrow{D^\dagger} S^-(M)

이에 따라, 디랙 연산자 D의 지표는 아티야-싱어 지표 정리에 따라 다음과 같다.

:\operatorname{ind}(D)=\ker D-\ker D^\dagger=\int_M\hat A

여기서 \hat A는 '''디랙 종수'''(Dirac genus영어) 또는 '''Â 종수'''(''Â''-genus|에이 햇 지너스영어)라고 불리는 특성류이다.

:\hat A=\prod_{i=1}^{\dim M}\frac{x_i/2}{\sinh(x_i/2)}=1-\frac1{24}p_1+\frac1{5760}(-4p_2+7p_1^2)+\dotsb\in\operatorname H^{2\bullet}(M;\mathbb Q)

여기서 p_i는 폰트랴긴 특성류이고, x_i는 2차 미분 형식들의 행렬인 곡률 R의 고윳값들이다.

:-R/2\pi=\begin{pmatrix}

0&x_1\\

  • x_1&0\\

&&0&x_2\\

&&-x_2&0\\

&&&&0&x_3\\

&&&&-x_3&0\\

&&&&&&\ddots

\end{pmatrix}

일반적으로, 디랙 종수는 스핀 다양체가 아닌 다른 다양체의 경우 정수가 아닐 수 있다.

7. 증명 방법

초기 증명은 코보디즘 이론과 유사 미분 연산자를 사용했다. 이 증명은 1954년 히르체브루흐-리만-로흐 정리의 증명에 기초했다.

아티야와 싱어의 최초 출판된 증명은 코보디즘 대신 K-이론을 사용했다. 콤팩트 다양체 ''X''에서 ''Y''로의 임의의 포함 관계 ''i''에 대해, 지표를 보존하는 타원형 연산자에 대한 '푸시포워드' 연산 ''i''!을 정의하여 지표 정리를 구면의 경우로 축소시켰다. ''Y''를 구면, ''X''를 ''Y''에 임베딩된 점으로 두면, 지표 정리는 자명한 점의 경우로 축소된다.

아티야, 보트, 파토디는 열 방정식을 사용한 새로운 증명 방법을 제시했다. 만약 ''D''가 수반 연산자 ''D*''를 갖는 미분 연산자라면, ''D*D''와 ''DD*''는 0이 아닌 고윳값이 동일한 중복도를 갖는 자기 수반 연산자이다. 그러나 이들의 영 고유 공간은 ''D''와 ''D*''의 핵의 차원이므로 서로 다른 중복도를 가질 수 있다. ''D''의 지표는 다음과 같이 주어진다.

:\operatorname{index}(D) = \dim \operatorname{Ker}(D^*) = \operatorname{Tr}\left(e^{-t D^* D}\right) - \operatorname{Tr}\left(e^{-t DD^*}\right)

임의의 양수 ''t''에 대해, 우변은 두 열 연산자 핵의 차이의 대각합으로 주어진다. 이를 통해 ''t''가 0으로 접근할 때의 극한을 평가하여 아티야-싱어 지표 정리를 증명할 수 있다. 작은 ''t''에 대한 점근 전개에서 항들 간의 상쇄는 초대칭을 사용하여 설명되었다.

참조

[1] 서적 The Atiyah-Singer Index Theorem Springer
[2] 서적 Spin Geometry Princeton University Press
[3] 웹사이트 algebraic topology - How to understand the Todd class? https://math.stackex[...] 2021-02-05
[4] 문서 Index Theorems on Open Spaces https://projecteucli[...]
[5] 문서 Some Remarks on the Paper of Callias https://projecteucli[...]
[6] 서적 Geometry, topology and physics Institute of Physics Publishing
[7] 문서 The Index of Elliptic Operators on Compact Manifolds
[8] 문서 The Index of Elliptic Operators I http://links.jstor.o[...]
[9] 문서 The Index of Elliptic Operators: II http://links.jstor.o[...]
[10] 서적 지표이론 http://www.kyungmoon[...] 경문사 2013-08-26
[11] 서적 국소적 형태의 Atiyah-Singer 지표이론 http://minumsa.minum[...] 민음사 1983-11-01
[12] 서적 다양체의 미분위상수학 http://arche.co.kr/b[...] 아르케 2017-01-10
[13] 서적 이론물리의 수학적 접근 민음사 1996
[14] 서적 The Atiyah–Singer index theorem: an introduction Springer 1978
[15] 서적 The Atiyah–Patodi–Singer index theorem http://www.maths.ed.[...] A. K. Peters/CRC Press 1993-03-31
[16] 서적 Geometry, topology and physics http://www.routledge[...] Taylor & Francis 2003-06-04
[17] 서적 Topology and analysis: the Atiyah–Singer index formula and gauge-theoretic physics Springer 1985
[18] 서적 Seminar on the Atiyah–Singer index theorem http://vmm.math.uci.[...] Princeton University Press 1965
[19] 논문 The index of elliptic operators on compact manifolds
[20] 논문 The index of elliptic operators I
[21] 논문 The index of elliptic operators III
[22] 논문 The index of elliptic operators IV https://archive.org/[...]
[23] 논문 The index of elliptic operators V
[24] 서적 International mathematical congresses: An illustrated history 1893–1986 http://www.mathunion[...] Springer-Verlag 2012-11-24
[25] 저널 Atiyah and Singer Receive 2004 Abel Prize http://www.ams.org/n[...]
[26] 서적 The Abel Prize 2003–2007: the first five years Springer-Verlag 2010
[27] 저널 Interview with Michael Atiyah and Isadore Singer http://www.ams.org/n[...]
[28] 저널 Supersymmetry and the Atiyah-Singer index theorem
[29] 저널 Supersymmetry and the Atiyah-Singer index theorem
[30] 저널 A short proof of the local Atiyah-Singer index theorem http://math.northwes[...] 2013-08-09


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