스펙트럼 삼조

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 주요 개념
- 3.1. 콘의 상태 공간 위의 거리
- 3.2. K-이론과의 쌍대성
4. 예시
5. 역사
6. 관련 개념
참조

1. 개요

스펙트럼 삼조는 복소수 힐베르트 공간, 유계 작용소의 대수, 자기 수반 작용소로 구성된 수학적 구조이다. 이 구조는 기묘, 짝수, 실수 스펙트럼 삼조로 분류되며, 제타 함수, 차원 스펙트럼, 정규성과 같은 개념과 연관된다. 스펙트럼 삼조는 비가환 기하학 연구에 중요한 역할을 하며, 콘 거리와 K-이론과의 쌍대성을 통해 다양한 수학적 개념과 연결된다. 콤팩트 스핀 다양체의 디랙 연산자를 예시로 들 수 있으며, 알랭 콘에 의해 1995년에 처음 소개되었다.

2. 정의

'''스펙트럼 삼조''' $(H,\mathcal A,D)$ 는 다음의 데이터로 구성된다.

$H$ 는 복소수 힐베르트 공간이다.
$\mathcal A\subseteq\operatorname B(H,H)$ 는 $H$ 속의 유계 작용소들의 집합이며, 덧셈, 스칼라곱, 합성, 에르미트 수반에 대하여 닫혀 있다. 즉, 복소수 대합 대수를 이룬다.
$H$ 의 조밀 부분 벡터 공간 $V\subseteq H$ 위에 정의된 자기 수반 작용소 $D\colon V\to H$ 가 존재하여, 임의의 $A\in\mathcal A$ 에 대하여 $\|[A,D]\|<\infty$ 를 만족한다. 여기서 $\|\;\|$ 는 작용소 노름이다.

스펙트럼 삼조가 p-합산 가능할 때, '''제타 함수''' ζ_D(s) = Tr(|D|^−s)를 정의할 수 있다. 더 일반적으로, 양의 정수 n에 대해 δⁿ(A) 및 δⁿ([a, D])에 의해 생성된 대수 B의 각 원소 b에 대한 제타 함수 ζ_b(s) = Tr(b|D|^−s)가 있다. 이들은 열핵 exp(-t|D|)과 멜린 변환으로 관련된다. B에서 b에 대한 ζ_b의 해석적 연속의 극점 집합을 (A, H, D)의 '''차원 스펙트럼'''이라고 한다.

2. 1. 짝수 및 기묘한 스펙트럼 삼조

'''짝수 스펙트럼 삼조'''는 힐베르트 공간 H에 대한 '''Z'''/2'''Z'''-등급을 갖는 기묘한 스펙트럼 삼조이며, 여기서 A의 원소는 짝수이고 D는 이 등급에 대해 홀수이다. 짝수 스펙트럼 삼조는 γ가 H에 대한 자기 수반 유니터리이고 모든 a ∈ A에 대해 a γ = γ a 및 D γ = - γ D를 만족하는 사중주 (A, H, D, γ)로 주어질 수도 있다.

'''기묘한 스펙트럼 삼조'''는 힐베르트 공간 H, H 위의 연산자 대수 A (보통 켤레를 취하는 것에 대해 닫혀 있음) 및 모든 a ∈ A에 대해 ‖[a, D]‖ < ∞를 만족하는 조밀하게 정의된 자기 수반 연산자 D로 구성된 삼조 (A, H, D)이다.^[1]

2. 2. 유한 합산 가능성

모든 ''a'' ∈ ''A''에 대해 ''a''.''D''가 고정된 ''p''에 대해 L^''p''+-연산자 클래스에 속하는 컴팩트한 레졸벤트를 갖는 스펙트럼 삼조 (''A'', ''H'', ''D'')를 '''유한 합산 가능''' 스펙트럼 삼조라고 한다. (''A''가 ''H''에 대한 항등 연산자를 포함하는 경우, ''D''⁻¹이 L^''p''+(''H'')에 있는 것을 요구하는 것만으로 충분하다). 이 조건이 충족되면 삼조 (''A'', ''H'', ''D'')는 '''p-합산 가능'''이라고 한다. 스펙트럼 삼조는 모든 ''t'' > 0에 대해 e^−''tD''²가 트레이스 클래스에 속할 때 '''θ-합산 가능'''이라고 한다.^[1]

2. 3. 정규성

스펙트럼 삼조에서 A의 원소와 A의 원소 a에 대한 [a, D] 형태의 연산자가 δ의 반복인 δⁿ의 영역에 있을 때 '''정규'''라고 한다. 여기서 δ(T)는 H의 연산자 T와 |D|의 교환자를 나타낸다.^[1]

2. 4. 실수 스펙트럼 삼조

'''실수''' 스펙트럼 삼조는 ''H''에 대한 반선형 대합 ''J''와 함께 제공되는 스펙트럼 삼조 (''A'', ''H'', ''D'')이며, ''A''의 원소 ''a'', ''b''에 대해 [a, JbJ] = 0을 만족한다. 짝수의 경우 일반적으로 ''J''가 ''H''에 대한 등급에 대해 짝수라고 가정한다.^[1]

3. 주요 개념

스펙트럼 삼조는 콤팩트 스핀 다양체 위의 매끄러운 함수 대수가 L²-스피너의 힐베르트 공간에서 작용하고, 스핀 구조와 관련된 디랙 연산자가 함께 주어지는 상황을 예시로 들어 설명할 수 있다. 이러한 대상들에 대한 정보를 통해 원래의 다양체를 거리 공간으로 복구할 수 있는데, 다양체는 위상 공간으로서 대수의 스펙트럼으로, (절댓값) 디랙 연산자는 거리를 유지하는 방식으로 복구된다.^[1] 디랙 연산자의 위상 부분은 함수 대수와 함께 지수 이론적 정보를 담고 있는 K-사이클을 제공한다.

국소 지수 공식^[2]은 다양체의 K-군과 이 K-사이클의 쌍을 두 가지 방식으로 나타낸다. '분석적/전역적' 측면은 힐베르트 공간에서의 일반적인 추적과 위상 연산자와 함수의 교환자를 포함하며, 이는 지수 정리의 '지수' 부분에 해당한다. '기하학적/국소적' 측면은 딕스미어 트레이스와 디랙 연산자와의 교환자를 포함하며, 이는 지수 정리의 '특성 클래스 적분' 부분에 해당한다.

지수 정리의 확장은 다양체에 그룹이 작용하거나, 다양체에 엽층 구조가 부여된 경우 등에서 고려될 수 있다. 이러한 경우, 기본적인 기하학적 객체를 표현하는 '함수'의 대수적 시스템은 더 이상 가환적이지 않다. 그러나 대수가 작용하는 제곱 적분 가능한 스피너 공간 (또는 클리포드 모듈의 단면)과 유사 미분 미적분에 의해 암시되는 특정 교환자의 유계성을 만족하는 해당 '디랙' 연산자를 찾을 수 있다.

스펙트럼 삼조 (A, H, D)가 주어지면, D의 극분해 D = F|D|를 통해 자기 수반 유니타리 연산자 F (D의 '위상')와 조밀하게 정의된 양의 연산자 |D| ('메트릭' 부분)로 분해할 수 있다.

3. 1. 콘의 상태 공간 위의 거리

만약

(A,H,D)

가 스펙트럼 삼중항이고,

\mathfrak{A}

가 작용소 노름에 대한

A

의 폐포라면, 콘은

\mathfrak{A}

의 상태 공간

S(\mathfrak{A})

에 대한 확장된 유사 거리를 다음과 같이 도입한다. 임의의 두 상태

\varphi,\psi \in S(A)

에 대해,

:

d(\varphi,\psi) = \sup\{ |\varphi(a) - \psi(a)| : a \in A, \|[D,a]\| \leq 1 \} .

일반적으로, "콘 거리"는

\infty

값을 가질 수 있으며, 서로 다른 상태 사이에서 0이 될 수도 있다. 콘은

X

가 연결된 콤팩트 스핀 리만 다양체일 때, 이 유사 거리의 순수한 상태, 즉 C*-대수

C(X)

의 문자(character)로의 제한(그 공간은 자연스럽게 약한* 위상으로 부여될 때

X

와 위상 동형)은 스펙트럼 삼중항이

(C^\infty(X),\Gamma,D)

일 때 리만 다양체 위의 리만 계량에 의해 유도된

X

에 대한 경로 계량을 복구한다는 것을 처음으로 관찰했다. 여기서

C^\infty(X)

는 다양체

X

위의 매끄러운 함수 대수이고, D는

X

위의 스피너 다발의 제곱 적분 가능한 단면의 힐베르트 공간

\Gamma

의 조밀한 부분 공간에서 작용하는 통상적인 디랙 연산자의 폐포이다.

더욱이, 콘은 이 거리가 존재할 경우에만 유계임을 관찰했다. 즉, 다음 집합

:

\{ a \in A : \|[D,a]\| \leq 1, \mu(a) = 0 \}

이 유계인 상태

\mu \in S(\mathfrak{A})

가 존재한다.

이 구성은 칸토로비치가 라돈 확률 측정 공간에서 거리를 구성한 것과 유사하며, 칸토로비치는 몽주의 수송 문제를 연구하는 동안 이 거리를 도입했다. 실제로,

(X,d)

가 콤팩트 거리 공간이고,

\mu,\nu

가 두 개의 확률 측정이라면, 칸토로비치와 루빈스타인에 의해 관찰된 바와 같이,

\mu,\nu

사이의 칸토로비치 거리는 다음과 같이 정의될 수 있다.

:

k(\mu,\nu) = \sup\{ |\int_X f  d\mu - \int_X f  d\nu| : f \in C(X), \mathrm{Lip}(f) \leq 1 \},

여기서

C(X)

는

X

위의 복소수 값을 갖는 연속 함수로 구성된 C*-대수이고, 임의의 함수

f \in C(X)

에 대해,

\mathrm{Lip}(f)

는 그 립시츠 반노름을 나타낸다.

:

\mathrm{Lip}(f) = \sup\{ \frac

{d(x,y)} : x,y \in X, x\not= y \}.

이 유추는 형식적인 것 이상이다. 위에 설명된 경우, 즉

X

가 연결된 콤팩트 스핀 리만 다양체이고,

d

가

X

에 대한 관련된 경로 계량인 경우,

\|[D,f]\|\leq 1

은

\mathrm{Lip}(f)\leq 1

일 경우에만 해당한다.

이 관찰에 따라, 콘의 거리가 칸토로비치의 거리와 어떤 성질을 공유하는지 궁금해하는 것은 당연하다. 일반적으로, 콘의 거리에 의해 유도된 위상은 하우스도르프가 아닐 수 있으며,

\mathfrak{A}

의 상태 공간에 유한한 지름을 부여하지 못할 수 있지만, 칸토로비치의 거리는 항상

X

위의 라돈 확률 측정 공간에서 약한* 위상을 유도한다. 이는 약한* 콤팩트이다.

리펠은 콘의 거리가 실제로

\mathfrak{A}

의 상태 공간에서 약한* 위상을 유도하기 위한 스펙트럼 삼중항(그리고 더 일반적으로, 립시츠 반노름의 유사한 역할을 하는 반노름)에 대한 필요 충분 조건을 연구했다. 즉, 스펙트럼 삼중항

(A,H,D)

에 의해 유도된 콘의 거리는 상태 공간

S(\mathfrak{A})

에서 약한* 위상을 토폴로지화하는데, 이는 다음 상태

\mu \in S(\mathfrak{A})

가 존재할 경우에만 해당한다.

:

\left\{ a \in A : \|[D,a]\| \leq 1, \mu(a) = 0 \right\}

가 전체 유계이다.

이러한 관찰은 비가환 거리 기하학 연구의 기초가 된다. 이는 양자 거리 공간의 기하학을 다루며, 이들 중 많은 것들은 콘의 거리가 기본 상태 공간에서 약한* 위상을 유도하는 스펙트럼 삼중항을 사용하여 구성된다. 이 맥락에서, 메트릭 스펙트럼 삼중항 공간에 그로모프-하우스도르프 거리의 유사가 구성되어, 이 공간의 기하학에 대한 논의와 "더 간단한"(더 규칙적이거나 유한 차원) 스펙트럼 삼중항에 의한 스펙트럼 삼중항의 근사를 구성할 수 있게 한다.

3. 2. K-이론과의 쌍대성

콤팩트 스핀 다양체 위의 매끄러운 함수 대수가 L²-스피너의 힐베르트 공간에서 작용하는 경우, 스핀 구조와 관련된 디랙 연산자가 동반된다. 이러한 객체에 대한 지식으로부터 원래의 다양체를 거리 공간으로 복구할 수 있는데, 다양체는 위상 공간으로서 대수의 스펙트럼으로 복구되며, (절댓값) 디랙 연산자는 거리를 유지한다.^[1] 반면에 디랙 연산자의 위상 부분은 함수 대수와 함께 지수 이론적 정보를 인코딩하는 K-사이클을 제공한다.

자기 수반 유니타리 ''F''는 프레드홀름 지수를 취함으로써 ''A''의 K-이론에서 정수로의 사상을 제공한다. 짝수 차원에서는, ''A''의 각 사영 ''e''는 등급에 따라 ''e''₀ ⊕ ''e''₁으로 분해되고, ''e''₁''Fe''₀는 ''e''₀''H''에서 ''e''₁''H''로의 프레드홀름 연산자가 된다. 따라서 ''e'' → Ind ''e''₁''Fe''₀는 ''K''₀(''A'')에서 '''Z'''로의 가법 사상을 정의한다. 홀수 차원에서는 ''F''의 고유 공간 분해가 ''H''에 대한 등급을 부여하고, ''A''의 각 가역 원소는 (''F'' + 1) u (''F'' − 1)/4에서 (''F'' − 1)''H''에서 (''F'' + 1)''H''로의 프레드홀름 연산자를 제공한다. 따라서 ''u'' → Ind (''F'' + 1) u (''F'' − 1)/4는 ''K''₁(''A'')에서 '''Z'''로의 가법 사상을 제공한다.

스펙트럼 삼조가 유한하게 합산 가능할 때, 위 지수를 (슈퍼) 트레이스, ''F''의 곱, ''e''(또는 ''u'') 그리고 ''F''와 ''e''(또는 ''u'')의 교환자를 사용하여 쓸 수 있다.

4. 예시

콤팩트 스핀 다양체 $M$ 이 주어졌을 때, 그 위의 스피너 다발의 L² 단면 공간

: $H=\Gamma_{\operatorname L^2}(\mathrm SM)$

은 분해 가능 복소수 힐베르트 공간을 이룬다. 그 위의 디랙 연산자

: $\nabla\colon(\operatorname{dom}\nabla\subseteq H)\to H$

는 $H$ 의 조밀 부분 벡터 공간 위에 정의된 자기 수반 작용소이다. 또한, $M$ 위의 2-르베그 공간은 $H$ 위에 점별 곱셈으로 작용한다.

: $A=\operatorname L^2(M;\mathbb C)$

: $A\times H\to H$

: $(f,\psi)\mapsto(x\mapsto f(x)\psi(x))$

이에 따라 $A\subseteq\operatorname B(H,H)$ 로 간주할 수 있다. 그렇다면, $(M,A,\nabla)$ 는 스펙트럼 삼조를 이룬다.

스펙트럼 삼조의 동기 부여 예시는 콤팩트 스핀 다양체 위의 매끄러운 함수 대수가 L²-스피너의 힐베르트 공간에서 작용하는 경우, 스핀 구조와 관련된 디랙 연산자가 동반되는 경우이다. 이러한 객체에 대한 지식으로부터 원래의 다양체를 거리 공간으로 복구할 수 있다. 다양체는 위상 공간으로서 대수의 스펙트럼으로 복구되며, (절댓값) 디랙 연산자는 거리를 유지한다.^[1] 반면에 디랙 연산자의 위상 부분은 함수 대수와 함께 지수 이론적 정보를 인코딩하는 K-사이클을 제공한다. 국소 지수 공식^[2]은 다양체의 K-군과 이 K-사이클의 쌍을 두 가지 방식으로 표현한다. '분석적/전역적' 측면은 힐베르트 공간에서의 일반적인 추적과 위상 연산자와 함수의 교환자를 포함하며 (지수 정리의 '지수' 부분에 해당), '기하학적/국소적' 측면은 딕스미어 트레이스와 디랙 연산자와의 교환자를 포함한다 (지수 정리의 '특성 클래스 적분' 부분에 해당).

5. 역사

알랭 콘이 1995년에 “스펙트럼 삼조”라는 용어를 도입하였다.^[3]

6. 관련 개념

스펙트럼 삼조의 동기 부여 예시는 콤팩트 스핀 다양체 위의 매끄러운 함수 대수가 L²-스피너의 힐베르트 공간에서 작용하는 경우, 스핀 구조와 관련된 디랙 연산자가 동반되는 경우이다. 이러한 객체에 대한 지식으로부터 원래의 다양체를 거리 공간으로 복구할 수 있다. 다양체는 위상 공간으로서 대수의 스펙트럼으로 복구되며, (절댓값) 디랙 연산자는 거리를 유지한다.^[1] 반면에 디랙 연산자의 위상 부분은 함수 대수와 함께 지수 이론적 정보를 인코딩하는 K-사이클을 제공한다. 국소 지수 공식^[2]은 다양체의 K-군과 이 K-사이클의 쌍을 두 가지 방식으로 표현한다. '분석적/전역적' 측면은 힐베르트 공간에서의 일반적인 추적과 위상 연산자와 함수의 교환자를 포함하며 (지수 정리의 '지수' 부분에 해당), '기하학적/국소적' 측면은 딕스미어 트레이스와 디랙 연산자와의 교환자를 포함한다 (지수 정리의 '특성 클래스 적분' 부분에 해당).

지수 정리의 확장은 일반적으로 다양체에 그룹의 작용이 있거나, 다양체에 엽층 구조가 부여된 경우 등에서 고려될 수 있다.

참조

_[1] 서적 Noncommutative Geometry Academic Press 1994
_[2] 논문 The Local Index Formula in Noncommutative Geometry
_[3] 간행물 Noncommutative geometry and reality http://www.alainconn[...] 2017-04-24

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com