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스핀 접속

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목차

1. 개요

스핀 접속은 매끄러운 다양체에서 정의되는 개념으로, 필바인과 코쥘 접속을 사용하여 정의된다. 이는 1차 미분 형식의 반대칭 행렬로 표현되며, 스피너 다발의 접속 성분을 구성하고 일반화된 텐서에 대한 공변 미분을 정의한다. 스핀 접속은 비틀림이 없는 경우 특정 조건을 만족하며, 카르탕의 구조 방정식을 통해 비틀림과 곡률을 설명하는 데 사용된다. 또한, 곡선 시공간에서 디랙 방정식을 표현하고, 중력과 스피너를 결합하는 데 중요한 역할을 한다. 아쉬테카-바르베로 변수의 정의에도 활용되어 3+1 일반 상대성 이론을 양-밀스 게이지 이론으로 재구성하는 데 기여한다.

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    편평도는 아직 내용이 없어 정의를 내릴 수 없는 위키백과 페이지이다.
스핀 접속
일반 정보
분야미분기하학, 수학물리학
하위 분야스핀 기하학
정의
정의스핀 다양체의 스피너 묶음에 대한 접속

2. 정의

매끄러운 다양체 M의 접다발 \mathrm TM에 코쥘 접속 \nabla가 주어지고, M 위에 (국소) 필바인 e^\mu_1,\dotsc,e^\mu_n \in\Gamma(\mathrm TM)이 정의되어 있다고 하자. a,b,c,\dots는 필바인 지수, \mu,\nu,\rho,\dots는 시공간 벡터 지수를 나타낸다.

각 점에서 필바인은 접공간의 기저를 이루므로, 다음과 같이 정의할 수 있다.

:\nabla_\mu e^\nu_b = \omega_\mu{}^a{}_b e^\nu_a

즉,

:\omega_\mu{}^a{}_b

=

e_\nu^a\nabla_\mu e^\nu_b

=

e_\nu^a\left(\partial_\mu e^\nu_b

+\Gamma^\nu_{\mu\rho}e^\rho_b\right)

= e^{\nu a}\nabla_\mu e_{\nu b}

= e^{\nu a}(\partial_\mu e_{\nu b} - \Gamma_{\mu\nu}^\rho e_{\rho b})



여기서 \Gamma^\rho_{\mu\nu}는 (e로 정의된 리만 계량에 대한) 크리스토펠 기호, e_\mu^a는 필바인이다.

이는 1차 미분 형식들로 이루어진 n\times n 반대칭 행렬로 여겨질 수 있다. 즉,

:\eta_{ac}\omega_\mu{}^c{}_b=-\eta_{bc}\omega_{\mu}{}^c{}_a

이다. 여기서 \eta는 필바인 위의 이차 형식(계량)이다.

스핀 접속 \omega_\mu^{\ ab}는 일반화된 텐서에 대한 공변 미분 D_\mu를 정의한다. 예를 들어, V_\nu^{\ a}에 대한 작용은 다음과 같다.

:D_\mu V_\nu^{\ a} = \partial_\mu V_\nu^{\ a} + {{\omega_\mu}^a}_b V_\nu^{\ b} - \Gamma^\sigma_{\ \nu \mu} V_\sigma^{\ a}

2. 1. 스핀 접속의 표현

e_\mu^{\;\,a}를 국소 좌표계 또는 사각기둥(테트라드라고도 함)이라고 하자. 이는 계량 텐서를 대각화하는 일련의 정규 직교 시공간 벡터장이다.

g_{\mu \nu} = e_\mu^{\;\,a} e_\nu^{\;\,b} \eta_{ab},

여기서 g_{\mu \nu}는 시공간 계량이고 \eta_{ab}는 민코프스키 계량이다. 여기서 라틴 문자는 국소 로렌츠 변환 좌표를 나타내고, 그리스 문자는 일반 좌표를 나타낸다. 이는 g_{\mu \nu}가 e_\mu^{\;\,a}를 기저로 표현할 때 국소적으로 평탄하다는 것을 의미한다. 그리스 사각기둥 지수는 계량, 즉 g^{\mu \nu} 또는 g_{\mu \nu}로 올리거나 내릴 수 있다. 라틴 문자 또는 "로렌츠" 사각기둥 지수는 각각 \eta^{ab} 또는 \eta_{ab}로 올리거나 내릴 수 있다. 예를 들어, e^{\mu a}=g^{\mu\nu} e_\nu^{\;\,a} 및 e_{\nu a}=\eta_{ab} e_{\nu}^{\;\,b}이다.

꼬임이 없는 스핀 접속은 다음과 같이 주어진다.

\omega_{\mu}^{\ ab}=e_\nu^{\ a} \Gamma^\nu_{\ \sigma\mu}e^{\sigma b} + e_\nu^{\ a} \partial_\mu e^{\nu b} = e_\nu^{\ a} \Gamma^\nu_{\ \sigma\mu}e^{\sigma b} - e^{\nu b} \partial_\mu e_\nu ^{\ a},

여기서 \Gamma^\sigma_{\mu\nu}는 크리스토펠 기호이다. 이 정의는 꼬임이 없는 스핀 접속을 정의하는 것으로 간주해야 한다. 관례에 따라 크리스토펠 기호는 레비-치비타 접속에서 파생되며, 이는 리만 다양체에서 고유한 계량 호환, 꼬임이 없는 접속이기 때문이다. 일반적으로 제한은 없으며, 스핀 접속은 꼬임을 포함할 수도 있다.

공변 미분 \partial_{;\mu} e^{\nu b}을 사용하여 \omega_{\mu}^{\ ab}=e_\nu^{\ a} \partial_{;\mu} e^{\nu b}=e_\nu^{\ a} ( \partial_\mu e^{\nu b}+\Gamma^\nu_{\ \sigma\mu}e^{\sigma b})임을 참고하라. 스핀 접속은 사각기둥장으로만 다음과 같이 표현할 수 있다.[1]

\omega_{\mu}^{\ ab} = \tfrac{1}{2} e^{\nu a} (\partial_\mu e_\nu^{\ b}-\partial_\nu e_\mu^{\ b}) - \tfrac{1}{2} e^{\nu b}(\partial_\mu e_\nu^{\ a}-\partial_\nu e_\mu^{\ a}) - \tfrac{1}{2} e^{\rho a}e^{\sigma b}(\partial_\rho e_{\sigma c}-\partial_\sigma e_{\rho c})e_\mu^{\ c},

이는 정의에 따라 내부 지수 a, b에서 반대칭이다.

스핀 접속 \omega_\mu^{\ ab}는 일반화된 텐서에 대한 공변 미분 D_\mu를 정의한다. 예를 들어, V_\nu^{\ a}에 대한 작용은 다음과 같다.

D_\mu V_\nu^{\ a} = \partial_\mu V_\nu^{\ a} + {{\omega_\mu}^a}_b V_\nu^{\ b} - \Gamma^\sigma_{\ \nu \mu} V_\sigma^{\ a}

2. 2. 스피너 다발의 접속

스피너 다발의 접속 성분은 스핀 접속으로 구성된다. 구체적으로, 다음이 주어졌다고 가정한다.

  • 부호수 (m,n)의 준 리만 다양체 (M,g)가 주어지고, 그 틀다발이 P\twoheadrightarrow M이라고 하자. 즉, \mathrm TM = P\times_{\operatorname{SO}(m,n)}\mathbb R^{m+n}이다.
  • 스핀 구조, 즉 P의 \operatorname{Spin}(m,n)으로의 올림 \tilde P\twoheadrightarrow P\twoheadrightarrow M이 주어졌다고 하자.


그러면, (디랙) 스피너 다발

:S\twoheadrightarrow M

을 정의할 수 있다. 이는 2^{\lfloor(m+n)/2\rfloor}차원 복소수 벡터 다발이다.

이때, S 위에는 다음과 같은 코쥘 접속이 존재한다.

:\nabla_\mu\psi = \left(\partial_\mu - \frac14\mathrm i\omega^{ab}_\mu\sigma_{ab}\right)\psi

여기서

:\sigma \in \Gamma(\operatorname{End}(S)\otimes_{\mathbb R}\mathfrak{so}(m,n)^*)

는 S 위의 \mathfrak{so}(m,n) 표현이다.

이것은 리만 기하학에서 사용된다.

e_\mu^{\;\,a}를 국소 좌표계 또는 사각기둥 (테트라드라고도 함)이라고 하자. 이는 계량 텐서를 대각화하는 일련의 정규 직교 시공간 벡터장이다.

g_{\mu \nu} = e_\mu^{\;\,a} e_\nu^{\;\,b} \eta_{ab},

여기서 g_{\mu \nu}는 시공간 계량이고 \eta_{ab}는 민코프스키 계량이다. 여기서 라틴 문자는 국소 로렌츠 변환 좌표를 나타내고, 그리스 문자는 일반 좌표를 나타낸다. 이는 g_{\mu \nu}가 e_\mu^{\;\,a}를 기저로 표현할 때 국소적으로 평탄하다는 것을 의미한다. 그리스 사각기둥 지수는 계량, 즉 g^{\mu \nu} 또는 g_{\mu \nu}로 올리거나 내릴 수 있다. 라틴 문자 또는 "로렌츠" 사각기둥 지수는 각각 \eta^{ab} 또는 \eta_{ab}로 올리거나 내릴 수 있다. 예를 들어, e^{\mu a}=g^{\mu\nu} e_\nu^{\;\,a} 및 e_{\nu a}=\eta_{ab} e_{\nu}^{\;\,b}이다.

꼬임이 없는 스핀 접속은 다음과 같이 주어진다.

\omega_{\mu}^{\ ab}=e_\nu^{\ a} \Gamma^\nu_{\ \sigma\mu}e^{\sigma b} + e_\nu^{\ a} \partial_\mu e^{\nu b} = e_\nu^{\ a} \Gamma^\nu_{\ \sigma\mu}e^{\sigma b} - e^{\nu b} \partial_\mu e_\nu ^{\ a},

여기서 \Gamma^\sigma_{\mu\nu}는 크리스토펠 기호이다. 이 정의는 꼬임이 없는 스핀 접속을 정의하는 것으로 간주해야 한다. 관례에 따라 크리스토펠 기호는 레비-치비타 접속에서 파생되며, 이는 리만 다양체에서 고유한 계량 호환, 꼬임이 없는 접속이기 때문이다. 일반적으로 제한은 없으며, 스핀 접속은 꼬임을 포함할 수도 있다.

공변 미분 \partial_{;\mu} e^{\nu b}을 사용하여 \omega_{\mu}^{\ ab}=e_\nu^{\ a} \partial_{;\mu} e^{\nu b}=e_\nu^{\ a} ( \partial_\mu e^{\nu b}+\Gamma^\nu_{\ \sigma\mu}e^{\sigma b})임을 참고하라. 스핀 접속은 사각기둥장으로만 다음과 같이 표현할 수 있다.[1]

\omega_{\mu}^{\ ab} = \tfrac{1}{2} e^{\nu a} (\partial_\mu e_\nu^{\ b}-\partial_\nu e_\mu^{\ b}) - \tfrac{1}{2} e^{\nu b}(\partial_\mu e_\nu^{\ a}-\partial_\nu e_\mu^{\ a}) - \tfrac{1}{2} e^{\rho a}e^{\sigma b}(\partial_\rho e_{\sigma c}-\partial_\sigma e_{\rho c})e_\mu^{\ c},

이는 정의에 따라 내부 지수 a, b에서 반대칭이다.

스핀 접속 \omega_\mu^{\ ab}는 일반화된 텐서에 대한 공변 미분 D_\mu를 정의한다. 예를 들어, V_\nu^{\ a}에 대한 작용은 다음과 같다.

D_\mu V_\nu^{\ a} = \partial_\mu V_\nu^{\ a} + {{\omega_\mu}^a}_b V_\nu^{\ b} - \Gamma^\sigma_{\ \nu \mu} V_\sigma^{\ a}

3. 성질

만약 비틀림이 없는 경우, 스핀 접속은 다음을 만족시킨다.

:(\mathrm d e^a)_{\mu\nu}+(\omega^a{}_b\wedge e^b)_{\mu\nu}=0

여기서 d는 1차 미분 형식의 외미분, \wedge는 두 1차 미분 형식의 쐐기곱이다.

4. 카르탕 구조 방정식

바이어바인을 미분 형식으로 작성하면

e^a = e_\mu^{\;\,a} dx^\mu

와 같이 표현할 수 있다. 코탄젠트 다발의 정규 직교 좌표에 대한 아핀 스핀 접속 1-형식은

\omega^{ab} = \omega_\mu^{\;\;ab} dx^\mu

으로 표현된다. 비틀림 2-형식은 다음으로 주어지며,

\Theta^a = de^a + \omega^a_{\;b} \wedge e^b

곡률 2-형식은 다음과 같다.

R^a_{\;\,b} = d\omega^a_{\;\,b} + \omega^a_{\;c} \wedge \omega^c_{\;\,b}

= \tfrac{1}{2}R^a_{\;\,bcd}e^c\wedge e^d

이 두 방정식을 '''카르탕의 구조 방정식'''이라고 부른다.[2]

4. 1. 카르탕 형식과 미분 형식

e_\mu^{\;\,a}를 국소 좌표계 또는 사각기둥(테트라드)이라고 한다. 이는 계량 텐서를 대각화하는 일련의 정규 직교 시공간 벡터장이다.

g_{\mu \nu} = e_\mu^{\;\,a} e_\nu^{\;\,b} \eta_{ab},

여기서 g_{\mu \nu}는 시공간 계량이고 \eta_{ab}는 민코프스키 계량이다. 라틴 문자는 국소 로렌츠 변환 좌표를, 그리스 문자는 일반 좌표를 나타낸다. 이는 g_{\mu \nu}가 e_\mu^{\;\,a}를 기저로 표현할 때 국소적으로 평탄하다는 것을 의미한다. 그리스 사각기둥 지수는 계량(g^{\mu \nu} 또는 g_{\mu \nu})으로, 라틴 문자 또는 "로렌츠" 사각기둥 지수는 각각 \eta^{ab} 또는 \eta_{ab}로 올리거나 내릴 수 있다. (예: e^{\mu a}=g^{\mu\nu} e_\nu^{\;\,a} 및 e_{\nu a}=\eta_{ab} e_{\nu}^{\;\,b})

꼬임이 없는 스핀 접속은 다음과 같이 주어진다.

\omega_{\mu}^{\ ab}=e_\nu^{\ a} \Gamma^\nu_{\ \sigma\mu}e^{\sigma b} + e_\nu^{\ a} \partial_\mu e^{\nu b} = e_\nu^{\ a} \Gamma^\nu_{\ \sigma\mu}e^{\sigma b} - e^{\nu b} \partial_\mu e_\nu ^{\ a},

여기서 \Gamma^\sigma_{\mu\nu}는 크리스토펠 기호이다. 이 정의는 꼬임이 없는 스핀 접속을 정의하는 것으로 간주해야 한다. 관례에 따라 크리스토펠 기호는 레비-치비타 접속에서 파생되며, 이는 리만 다양체에서 고유한 계량 호환, 꼬임이 없는 접속이기 때문이다. 일반적으로 제한은 없으며, 스핀 접속은 꼬임을 포함할 수도 있다.

공변 미분 \partial_{;\mu} e^{\nu b}을 사용하여 \omega_{\mu}^{\ ab}=e_\nu^{\ a} \partial_{;\mu} e^{\nu b}=e_\nu^{\ a} ( \partial_\mu e^{\nu b}+\Gamma^\nu_{\ \sigma\mu}e^{\sigma b})임을 참고하라. 스핀 접속은 사각기둥장으로만 다음과 같이 표현할 수 있다.[1]

\omega_{\mu}^{\ ab} = \tfrac{1}{2} e^{\nu a} (\partial_\mu e_\nu^{\ b}-\partial_\nu e_\mu^{\ b}) - \tfrac{1}{2} e^{\nu b}(\partial_\mu e_\nu^{\ a}-\partial_\nu e_\mu^{\ a}) - \tfrac{1}{2} e^{\rho a}e^{\sigma b}(\partial_\rho e_{\sigma c}-\partial_\sigma e_{\rho c})e_\mu^{\ c},

이는 정의에 따라 내부 지수 a, b에서 반대칭이다.

스핀 접속 \omega_\mu^{\ ab}는 일반화된 텐서에 대한 공변 미분 D_\mu를 정의한다. 예를 들어, V_\nu^{\ a}에 대한 작용은 다음과 같다.

D_\mu V_\nu^{\ a} = \partial_\mu V_\nu^{\ a} + {{\omega_\mu}^a}_b V_\nu^{\ b} - \Gamma^\sigma_{\ \nu \mu} V_\sigma^{\ a}

카르탕 형식에서 스핀 접속은 비틀림과 곡률을 모두 정의하는 데 사용된다. 이는 미분 형식을 사용하면 지수 과다를 일부 숨길 수 있으므로 가장 쉽게 읽을 수 있다. 여기에 제시된 방정식은 접속 형식과 곡률 형식에 관한 문서에서 찾을 수 있는 내용을 효과적으로 재진술한 것이다. 주요 차이점은 이러한 방정식이 바이어바인의 지수를 완전히 숨기는 대신 유지한다는 것이다. 보다 좁게, 카르탕 형식은 아핀 접속의 개념을 균질 공간으로 일반화한 것으로, 역사적 맥락에서 해석되어야 한다. 이는 섬유 다발에 대한 주 접속의 개념만큼 일반적이지 않다. 이는 리만 기하학의 더 좁은 설정과 완전히 추상적인 섬유 다발 설정 사이의 적절한 중간 지점 역할을 하므로 게이지 이론과의 유사성을 강조한다. 여기서 표현된 카르탕의 구조 방정식은 리 군에 대한 마우러-카르탕 방정식과 직접적인 유사점을 갖는다.

바이어바인을 미분 형식으로 작성하면

e^a = e_\mu^{\;\,a} dx^\mu

코탄젠트 다발의 정규 직교 좌표에 대한 아핀 스핀 접속 1-형식은

\omega^{ab} = \omega_\mu^{\;\;ab} dx^\mu

비틀림 2-형식은 다음으로 주어집니다.

\Theta^a = de^a + \omega^a_{\;b} \wedge e^b

곡률 2-형식은

R^a_{\;\,b} = d\omega^a_{\;\,b} + \omega^a_{\;c} \wedge \omega^c_{\;\,b}

= \tfrac{1}{2}R^a_{\;\,bcd}e^c\wedge e^d

이 두 방정식은 함께 '''카르탕의 구조 방정식'''이라고 불린다.[2]

일관성을 위해서는 비안키 항등식이 준수되어야 한다. 첫 번째 비안키 항등식은 비틀림의 외미분을 취하여 얻는다.

d\Theta^a + \omega^a_{\;b} \wedge \Theta^b = R^a_{\;\,b} \wedge e^b

두 번째 비안키 항등식은 곡률을 미분하여 얻는다.

dR^a_{\;\,b} + \omega^a_{\;c} \wedge R^c_{\;\,b} - R^a_{\;\,c} \wedge \omega^c_{\;b} = 0.

차수 ''p''의 일반적인 미분 형식 V^a_{\;\,b}에 대한 공변 미분은 다음과 같이 정의된다.

DV^a_{\;\,b}= dV^a_{\;\,b} + \omega^a_{\;c} \wedge V^c_{\;\,b} - (-1)^p V^a_{\;\,c} \wedge \omega^c_{\;b}.

그런 다음 비안키의 두 번째 항등식은 다음과 같다.

DR^a_{\;\,b}=0.

비틀림이 있는 접속과 고유한 비틀림 없는 접속 간의 차이는 뒤틀림 텐서에 의해 주어진다. 비틀림이 있는 접속은 일반적으로 텔레 병렬 현상, 아인슈타인-카르탕 이론, 게이지 이론 중력 및 초중력 이론에서 발견된다.

4. 2. 구조 방정식

e_\mu^{\;\,a}를 국소 좌표계 또는 사각기둥 (테트라드라고도 함)이라고 하자. 이는 계량 텐서를 대각화하는 일련의 정규 직교 시공간 벡터장이다.

g_{\mu \nu} = e_\mu^{\;\,a} e_\nu^{\;\,b} \eta_{ab},

여기서 g_{\mu \nu}는 시공간 계량이고 \eta_{ab}는 민코프스키 계량이다. 여기서 라틴 문자는 국소 로렌츠 변환 좌표를 나타내고, 그리스 문자는 일반 좌표를 나타낸다. 이는 g_{\mu \nu}가 e_\mu^{\;\,a}를 기저로 표현할 때 국소적으로 평탄하다는 것을 의미한다. 그리스 사각기둥 지수는 계량, 즉 g^{\mu \nu} 또는 g_{\mu \nu}로 올리거나 내릴 수 있다. 라틴 문자 또는 "로렌츠" 사각기둥 지수는 각각 \eta^{ab} 또는 \eta_{ab}로 올리거나 내릴 수 있다. 예를 들어, e^{\mu a}=g^{\mu\nu} e_\nu^{\;\,a} 및 e_{\nu a}=\eta_{ab} e_{\nu}^{\;\,b}이다.

꼬임이 없는 스핀 접속은 다음과 같이 주어진다.

\omega_{\mu}^{\ ab}=e_\nu^{\ a} \Gamma^\nu_{\ \sigma\mu}e^{\sigma b} + e_\nu^{\ a} \partial_\mu e^{\nu b} = e_\nu^{\ a} \Gamma^\nu_{\ \sigma\mu}e^{\sigma b} - e^{\nu b} \partial_\mu e_\nu ^{\ a},

여기서 \Gamma^\sigma_{\mu\nu}는 크리스토펠 기호이다. 이 정의는 꼬임이 없는 스핀 접속을 정의하는 것으로 간주해야 한다. 관례에 따라 크리스토펠 기호는 레비-치비타 접속에서 파생되며, 이는 리만 다양체에서 고유한 계량 호환, 꼬임이 없는 접속이기 때문이다. 일반적으로 제한은 없으며, 스핀 접속은 꼬임을 포함할 수도 있다.

공변 미분 \partial_{;\mu} e^{\nu b}을 사용하여 \omega_{\mu}^{\ ab}=e_\nu^{\ a} \partial_{;\mu} e^{\nu b}=e_\nu^{\ a} ( \partial_\mu e^{\nu b}+\Gamma^\nu_{\ \sigma\mu}e^{\sigma b})임을 참고하라. 스핀 접속은 사각기둥장으로만 다음과 같이 표현할 수 있다.[1]

\omega_{\mu}^{\ ab} = \tfrac{1}{2} e^{\nu a} (\partial_\mu e_\nu^{\ b}-\partial_\nu e_\mu^{\ b}) - \tfrac{1}{2} e^{\nu b}(\partial_\mu e_\nu^{\ a}-\partial_\nu e_\mu^{\ a}) - \tfrac{1}{2} e^{\rho a}e^{\sigma b}(\partial_\rho e_{\sigma c}-\partial_\sigma e_{\rho c})e_\mu^{\ c},

이는 정의에 따라 내부 지수 a, b에서 반대칭이다.

스핀 접속 \omega_\mu^{\ ab}는 일반화된 텐서에 대한 공변 미분 D_\mu를 정의한다. 예를 들어, V_\nu^{\ a}에 대한 작용은 다음과 같다.

D_\mu V_\nu^{\ a} = \partial_\mu V_\nu^{\ a} + {{\omega_\mu}^a}_b V_\nu^{\ b} - \Gamma^\sigma_{\ \nu \mu} V_\sigma^{\ a}

카르탕 형식에서 스핀 접속은 비틀림과 곡률을 모두 정의하는 데 사용된다. 이는 미분 형식을 사용하면 지수 과다를 일부 숨길 수 있으므로 가장 쉽게 읽을 수 있다. 여기에 제시된 방정식은 접속 형식과 곡률 형식에 관한 문서에서 찾을 수 있는 내용을 효과적으로 재진술한 것이다. 주요 차이점은 이러한 방정식이 바이어바인의 지수를 완전히 숨기는 대신 유지한다는 것이다. 보다 좁게, 카르탕 형식은 아핀 접속의 개념을 균질 공간으로 일반화한 것으로, 역사적 맥락에서 해석되어야 한다. 이는 섬유 다발에 대한 주 접속의 개념만큼 일반적이지 않다. 이는 리만 기하학의 더 좁은 설정과 완전히 추상적인 섬유 다발 설정 사이의 적절한 중간 지점 역할을 하므로 게이지 이론과의 유사성을 강조한다. 여기서 표현된 카르탕의 구조 방정식은 리 군에 대한 마우러-카르탕 방정식과 직접적인 유사점을 갖는다(즉, 동일한 방정식이지만 다른 설정과 표기법).

바이어바인을 미분 형식으로 작성하면

e^a = e_\mu^{\;\,a} dx^\mu

코탄젠트 다발의 정규 직교 좌표에 대한 아핀 스핀 접속 1-형식은

\omega^{ab} = \omega_\mu^{\;\;ab} dx^\mu

비틀림 2-형식은 다음으로 주어집니다.

\Theta^a = de^a + \omega^a_{\;b} \wedge e^b

곡률 2-형식은

R^a_{\;\,b} = d\omega^a_{\;\,b} + \omega^a_{\;c} \wedge \omega^c_{\;\,b}

= \tfrac{1}{2}R^a_{\;\,bcd}e^c\wedge e^d

이 두 방정식은 함께 '''카르탕의 구조 방정식'''이라고 불린다.[2]

일관성을 위해서는 비안키 항등식이 준수되어야 한다. 첫 번째 비안키 항등식은 비틀림의 외미분을 취하여 얻습니다.

d\Theta^a + \omega^a_{\;b} \wedge \Theta^b = R^a_{\;\,b} \wedge e^b

두 번째 비안키 항등식은 곡률을 미분하여 얻습니다.

dR^a_{\;\,b} + \omega^a_{\;c} \wedge R^c_{\;\,b} - R^a_{\;\,c} \wedge \omega^c_{\;b} = 0.

차수 ''p''의 일반적인 미분 형식 V^a_{\;\,b}에 대한 공변 미분은 다음과 같이 정의됩니다.

DV^a_{\;\,b}= dV^a_{\;\,b} + \omega^a_{\;c} \wedge V^c_{\;\,b} - (-1)^p V^a_{\;\,c} \wedge \omega^c_{\;b}.

그런 다음 비안키의 두 번째 항등식은 다음과 같습니다.

DR^a_{\;\,b}=0.

비틀림이 있는 접속과 고유한 비틀림 없는 접속 간의 차이는 뒤틀림 텐서에 의해 주어집니다. 비틀림이 있는 접속은 일반적으로 텔레 병렬 현상, 아인슈타인-카르탕 이론, 게이지 이론 중력 및 초중력 이론에서 발견된다.

4. 3. 비안키 항등식

비틀림이 있는 경우와 일관성을 유지하기 위해서는 비안키 항등식이 준수되어야 한다. 첫 번째 비안키 항등식은 비틀림의 외미분을 취하여 얻는다.

:d\Theta^a + \omega^a_{\;b} \wedge \Theta^b = R^a_{\;\,b} \wedge e^b

두 번째 비안키 항등식은 곡률 2-형식을 미분하여 얻는다.

:dR^a_{\;\,b} + \omega^a_{\;c} \wedge R^c_{\;\,b} - R^a_{\;\,c} \wedge \omega^c_{\;\,b} = 0.

차수 ''p''의 일반적인 미분 형식 V^a_{\;\,b}에 대한 공변 미분은 다음과 같이 정의된다.

:DV^a_{\;\,b}= dV^a_{\;\,b} + \omega^a_{\;c} \wedge V^c_{\;\,b} - (-1)^p V^a_{\;\,c} \wedge \omega^c_{\;b}.

그러면 비안키의 두 번째 항등식은 다음과 같다.

:DR^a_{\;\,b}=0.

5. 유도

e_\mu^{\;\,a}를 국소 좌표계 또는 사각기둥(테트라드)이라고 하자. 이는 계량 텐서를 대각화하는 일련의 정규 직교 시공간 벡터장이다.

g_{\mu \nu} = e_\mu^{\;\,a} e_\nu^{\;\,b} \eta_{ab},

여기서 g_{\mu \nu}는 시공간 계량이고 \eta_{ab}는 민코프스키 계량이다. 라틴 문자는 국소 로렌츠 변환 좌표를, 그리스 문자는 일반 좌표를 나타낸다. 이는 g_{\mu \nu}가 e_\mu^{\;\,a}를 기저로 표현할 때 국소적으로 평탄하다는 것을 의미한다. 그리스 사각기둥 지수는 g^{\mu \nu} 또는 g_{\mu \nu}로, 라틴 문자 또는 "로렌츠" 사각기둥 지수는 \eta^{ab} 또는 \eta_{ab}로 올리거나 내릴 수 있다. (예: e^{\mu a}=g^{\mu\nu} e_\nu^{\;\,a}, e_{\nu a}=\eta_{ab} e_{\nu}^{\;\,b})

꼬임이 없는 스핀 접속은 다음과 같이 주어진다.

\omega_{\mu}^{\ ab}=e_\nu^{\ a} \Gamma^\nu_{\ \sigma\mu}e^{\sigma b} + e_\nu^{\ a} \partial_\mu e^{\nu b} = e_\nu^{\ a} \Gamma^\nu_{\ \sigma\mu}e^{\sigma b} - e^{\nu b} \partial_\mu e_\nu ^{\ a},

여기서 \Gamma^\sigma_{\mu\nu}는 크리스토펠 기호이다. 이는 꼬임이 없는 스핀 접속의 정의로 간주해야 한다. 관례에 따라 크리스토펠 기호는 레비-치비타 접속에서 파생되며, 이는 리만 다양체에서 고유한 계량 호환, 꼬임이 없는 접속이기 때문이다. 일반적으로 제한은 없으며, 스핀 접속은 꼬임을 포함할 수도 있다.

공변 미분 \partial_{;\mu} e^{\nu b}을 사용하면, \omega_{\mu}^{\ ab}=e_\nu^{\ a} \partial_{;\mu} e^{\nu b}=e_\nu^{\ a} ( \partial_\mu e^{\nu b}+\Gamma^\nu_{\ \sigma\mu}e^{\sigma b})이다. 스핀 접속은 사각기둥장으로만 다음과 같이 표현할 수 있다.[1]

\omega_{\mu}^{\ ab} = \tfrac{1}{2} e^{\nu a} (\partial_\mu e_\nu^{\ b}-\partial_\nu e_\mu^{\ b}) - \tfrac{1}{2} e^{\nu b}(\partial_\mu e_\nu^{\ a}-\partial_\nu e_\mu^{\ a}) - \tfrac{1}{2} e^{\rho a}e^{\sigma b}(\partial_\rho e_{\sigma c}-\partial_\sigma e_{\rho c})e_\mu^{\ c},

이는 정의에 따라 내부 지수 a, b에서 반대칭이다.

스핀 접속 \omega_\mu^{\ ab}는 일반화된 텐서에 대한 공변 미분 D_\mu를 정의한다. 예를 들어, V_\nu^{\ a}에 작용하면 다음과 같다.

D_\mu V_\nu^{\ a} = \partial_\mu V_\nu^{\ a} + ^{c} \eta_{cb} - {\omega_{\mu b}}^{c} \eta_{ac} = 0.

이는 접속이 내부 지수에서 반대칭임을 의미한다. ({\omega_{\mu}}^{ab} = - {\omega_{\mu}}^{ba})

이는 중력 공변 미분 \partial_{;\beta}({e_\mu}^a {e^\mu}_b) = 0을 취해 추론할 수 있다. 즉, \partial_{;\beta}{e_\mu}^a {e^\mu}_b = -{e_\mu}^a \partial_{;\beta}{e^\mu}_b 이며, 최종적으로 {\omega_{\beta}}^{ab} = -{\omega_{\beta}}^{ba}를 의미한다. 이는 때때로 '''계량 조건'''이라고 불리며,[2] 이는 더 일반적으로 언급되는 계량 조건 g_{\mu\nu;\alpha}=0.과 유사하다. 이 조건은 레비-치비타 스핀 접속에만 적용되며, 일반적으로 아핀 스핀 접속에는 적용되지 않는다.

크리스토펠 기호 {\Gamma^\nu}_{\sigma \mu} = \tfrac{1}{2} g^{\nu \delta} \left(\partial_\sigma g_{\delta \mu} + \partial_\mu g_{\sigma \delta} - \partial_\delta g_{\sigma \mu}\right) 공식을 {e_\mu}^a로 표현하여 대입하면, 스핀 접속은 {e_\mu}^a로 완전히 표현될 수 있다.

{\omega_{\mu}}^{ab} = e^{\nu [a} (_{,\mu} - _{,\nu} + e^{\sigma |b]} {e_\mu}^c e_{\nu c, \sigma })

여기서 지수의 반대칭화에는 암묵적인 1/2 인수가 있다.

### 스핀 접속 공식 유도

스핀 접속 ${\omega_\mu}^{ab}$에 대한 호환성 조건을 풀기 위해, 크리스토펠 기호 ${\Gamma^\gamma}_{\alpha \beta}$에 대해 $\nabla_\rho g_{\alpha \beta} = 0$을 풀 때 사용했던 방법을 사용할 수 있다. 먼저, 호환성 조건을 수축하면 다음을 얻는다.

$${e^\alpha}_b {e^\beta}_c (\partial_{[\alpha} e_{\beta] a} + {\omega_{[\alpha a}}^{d} \;e_{\beta ] d}) = 0.$$

그런 다음, 자유 지표 $a,b,$ 및 $c$를 순환적으로 순열하고, 세 개의 결과 방정식을 더하고 빼면 다음을 얻는다.

$$\Omega_{bca} + \Omega_{abc} - \Omega_{cab} + 2 {e^\alpha}_b \omega_{\alpha ac} = 0$$

여기서 $\Omega_{bca} := {e^\alpha}_b {e^\beta}_c \partial_{[\alpha} e_{\beta ] a}$로 정의했다. 따라서 스핀 접속에 대한 해는 다음과 같다.

$$\omega_{\alpha ca} = \tfrac{1}{2} {e_\alpha}^b (\Omega_{bca} + \Omega_{abc} - \Omega_{cab}).$$

이를 통해 이전과 동일한 공식을 얻는다.

5. 1. 계량 조건

e_\mu^{\;\,a}를 국소 좌표계 또는 사각기둥(테트라드라고도 함)이라고 하자. 이는 계량 텐서를 대각화하는 일련의 정규 직교 시공간 벡터장이다.

g_{\mu \nu} = e_\mu^{\;\,a} e_\nu^{\;\,b} \eta_{ab},

여기서 g_{\mu \nu}는 시공간 계량이고 \eta_{ab}는 민코프스키 계량이다. 여기서 라틴 문자는 국소 로렌츠 변환 좌표를 나타내고, 그리스 문자는 일반 좌표를 나타낸다. 이는 g_{\mu \nu}가 e_\mu^{\;\,a}를 기저로 표현할 때 국소적으로 평탄하다는 것을 의미한다. 그리스 사각기둥 지수는 계량, 즉 g^{\mu \nu} 또는 g_{\mu \nu}로 올리거나 내릴 수 있다. 라틴 문자 또는 "로렌츠" 사각기둥 지수는 각각 \eta^{ab} 또는 \eta_{ab}로 올리거나 내릴 수 있다. 예를 들어, e^{\mu a}=g^{\mu\nu} e_\nu^{\;\,a} 및 e_{\nu a}=\eta_{ab} e_{\nu}^{\;\,b}이다.

꼬임이 없는 스핀 접속은 다음과 같이 주어진다.

\omega_{\mu}^{\ ab}=e_\nu^{\ a} \Gamma^\nu_{\ \sigma\mu}e^{\sigma b} + e_\nu^{\ a} \partial_\mu e^{\nu b} = e_\nu^{\ a} \Gamma^\nu_{\ \sigma\mu}e^{\sigma b} - e^{\nu b} \partial_\mu e_\nu ^{\ a},

여기서 \Gamma^\sigma_{\mu\nu}는 크리스토펠 기호이다. 이 정의는 꼬임이 없는 스핀 접속을 정의하는 것으로 간주해야 한다. 관례에 따라 크리스토펠 기호는 레비-치비타 접속에서 파생되며, 이는 리만 다양체에서 고유한 계량 호환, 꼬임이 없는 접속이기 때문이다. 일반적으로 제한은 없으며, 스핀 접속은 꼬임을 포함할 수도 있다.

공변 미분 \partial_{;\mu} e^{\nu b}을 사용하여 \omega_{\mu}^{\ ab}=e_\nu^{\ a} \partial_{;\mu} e^{\nu b}=e_\nu^{\ a} ( \partial_\mu e^{\nu b}+\Gamma^\nu_{\ \sigma\mu}e^{\sigma b})임을 참고하라. 스핀 접속은 사각기둥장으로만 다음과 같이 표현할 수 있다.[1]

\omega_{\mu}^{\ ab} = \tfrac{1}{2} e^{\nu a} (\partial_\mu e_\nu^{\ b}-\partial_\nu e_\mu^{\ b}) - \tfrac{1}{2} e^{\nu b}(\partial_\mu e_\nu^{\ a}-\partial_\nu e_\mu^{\ a}) - \tfrac{1}{2} e^{\rho a}e^{\sigma b}(\partial_\rho e_{\sigma c}-\partial_\sigma e_{\rho c})e_\mu^{\ c},

이는 정의에 따라 내부 지수 a, b에서 반대칭이다.

스핀 접속 \omega_\mu^{\ ab}는 일반화된 텐서에 대한 공변 미분 D_\mu를 정의한다. 예를 들어, V_\nu^{\ a}에 대한 작용은 다음과 같다.

D_\mu V_\nu^{\ a} = \partial_\mu V_\nu^{\ a} + ^{c} \eta_{cb} - {\omega_{\mu b}}^{c} \eta_{ac} = 0.

이것은 접속이 내부 지수에서 반대칭임을 의미한다. {\omega_{\mu}}^{ab} = - {\omega_{\mu}}^{ba}.

이것은 중력 공변 미분 \partial_{;\beta}({e_\mu}^a {e^\mu}_b) = 0을 취함으로써 추론되는데, 이는 \partial_{;\beta}{e_\mu}^a {e^\mu}_b = -{e_\mu}^a \partial_{;\beta}{e^\mu}_b 을 의미하며, 궁극적으로는 {\omega_{\beta}}^{ab} = -{\omega_{\beta}}^{ba}를 의미한다. 이것은 때때로 '''계량 조건'''이라고 불리며,[2] 이는 더 일반적으로 언급되는 계량 조건 g_{\mu\nu;\alpha}=0.과 유사하다. 이 조건은 레비-치비타 스핀 접속에만 적용되며, 일반적으로 아핀 스핀 접속에는 적용되지 않는다.

크리스토펠 기호 {\Gamma^\nu}_{\sigma \mu} = \tfrac{1}{2} g^{\nu \delta} \left(\partial_\sigma g_{\delta \mu} + \partial_\mu g_{\sigma \delta} - \partial_\delta g_{\sigma \mu}\right)에 대한 공식을 {e_\mu}^a로 표현하여 대입하면, 스핀 접속은 완전히 {e_\mu}^a로 표현될 수 있다.

{\omega_{\mu}}^{ab} = e^{\nu [a} (_{,\mu} - _{,\nu} + e^{\sigma |b]} {e_\mu}^c e_{\nu c, \sigma })

여기서 지수의 반대칭화에는 암묵적인 1/2 인수가 있다.

5. 2. 스핀 접속 공식 유도

e_\mu^{\;\,a}를 국소 좌표계 또는 사각기둥(테트라드)이라고 하자. 이는 계량 텐서를 대각화하는 일련의 정규 직교 시공간 벡터장이다.

g_{\mu \nu} = e_\mu^{\;\,a} e_\nu^{\;\,b} \eta_{ab},

여기서 g_{\mu \nu}는 시공간 계량이고 \eta_{ab}는 민코프스키 계량이다. 라틴 문자는 국소 로렌츠 변환 좌표를, 그리스 문자는 일반 좌표를 나타낸다. 이는 g_{\mu \nu}가 e_\mu^{\;\,a}를 기저로 표현할 때 국소적으로 평탄하다는 것을 의미한다. 그리스 사각기둥 지수는 계량, 즉 g^{\mu \nu} 또는 g_{\mu \nu}로 올리거나 내릴 수 있다. 라틴 문자 또는 "로렌츠" 사각기둥 지수는 각각 \eta^{ab} 또는 \eta_{ab}로 올리거나 내릴 수 있다. 예를 들어, e^{\mu a}=g^{\mu\nu} e_\nu^{\;\,a} 및 e_{\nu a}=\eta_{ab} e_{\nu}^{\;\,b}이다.

꼬임이 없는 스핀 접속은 다음과 같이 주어진다.

\omega_{\mu}^{\ ab}=e_\nu^{\ a} \Gamma^\nu_{\ \sigma\mu}e^{\sigma b} + e_\nu^{\ a} \partial_\mu e^{\nu b} = e_\nu^{\ a} \Gamma^\nu_{\ \sigma\mu}e^{\sigma b} - e^{\nu b} \partial_\mu e_\nu ^{\ a},

여기서 \Gamma^\sigma_{\mu\nu}는 크리스토펠 기호이다. 이 정의는 꼬임이 없는 스핀 접속을 정의하는 것으로 간주해야 한다. 관례에 따라 크리스토펠 기호는 레비-치비타 접속에서 파생되며, 이는 리만 다양체에서 고유한 계량 호환, 꼬임이 없는 접속이기 때문이다. 일반적으로 제한은 없으며, 스핀 접속은 꼬임을 포함할 수도 있다.

공변 미분 \partial_{;\mu} e^{\nu b}을 사용하여 \omega_{\mu}^{\ ab}=e_\nu^{\ a} \partial_{;\mu} e^{\nu b}=e_\nu^{\ a} ( \partial_\mu e^{\nu b}+\Gamma^\nu_{\ \sigma\mu}e^{\sigma b})임을 참고하라. 스핀 접속은 사각기둥장으로만 다음과 같이 표현할 수 있다.[1]

\omega_{\mu}^{\ ab} = \tfrac{1}{2} e^{\nu a} (\partial_\mu e_\nu^{\ b}-\partial_\nu e_\mu^{\ b}) - \tfrac{1}{2} e^{\nu b}(\partial_\mu e_\nu^{\ a}-\partial_\nu e_\mu^{\ a}) - \tfrac{1}{2} e^{\rho a}e^{\sigma b}(\partial_\rho e_{\sigma c}-\partial_\sigma e_{\rho c})e_\mu^{\ c},

이는 정의에 따라 내부 지수 a, b에서 반대칭이다.

스핀 접속 \omega_\mu^{\ ab}는 일반화된 텐서에 대한 공변 미분 D_\mu를 정의한다. 예를 들어, V_\nu^{\ a}에 대한 작용은 다음과 같다.

D_\mu V_\nu^{\ a} = \partial_\mu V_\nu^{\ a} + ^{c} \eta_{cb} - {\omega_{\mu b}}^{c} \eta_{ac} = 0.

이것은 접속이 내부 지수에서 반대칭임을 의미한다. {\omega_{\mu}}^{ab} = - {\omega_{\mu}}^{ba}.

이것은 중력 공변 미분 \partial_{;\beta}({e_\mu}^a {e^\mu}_b) = 0을 취함으로써 추론되는데, 이는 \partial_{;\beta}{e_\mu}^a {e^\mu}_b = -{e_\mu}^a \partial_{;\beta}{e^\mu}_b 을 의미하며, 궁극적으로는 {\omega_{\beta}}^{ab} = -{\omega_{\beta}}^{ba}를 의미한다. 이것은 때때로 '''계량 조건'''이라고 불리며,[2] 이는 더 일반적으로 언급되는 계량 조건 g_{\mu\nu;\alpha}=0.과 유사하다. 이 조건은 레비-치비타 스핀 접속에만 적용되며, 일반적으로 아핀 스핀 접속에는 적용되지 않는다.

크리스토펠 기호 {\Gamma^\nu}_{\sigma \mu} = \tfrac{1}{2} g^{\nu \delta} \left(\partial_\sigma g_{\delta \mu} + \partial_\mu g_{\sigma \delta} - \partial_\delta g_{\sigma \mu}\right)에 대한 공식을 {e_\mu}^a로 표현하여 대입하면, 스핀 접속은 완전히 {e_\mu}^a로 표현될 수 있다.

{\omega_{\mu}}^{ab} = e^{\nu [a} (_{,\mu} - _{,\nu} + e^{\sigma |b]} {e_\mu}^c e_{\nu c, \sigma })

여기서 지수의 반대칭화에는 암묵적인 1/2 인수가 있다.

이 공식은 다른 방법으로 유도될 수 있다. 스핀 접속 {\omega_\mu}^{ab}에 대한 호환성 조건을 직접적으로 풀기 위해, 크리스토펠 기호 {\Gamma^\gamma}_{\alpha \beta}에 대해 \nabla_\rho g_{\alpha \beta} = 0을 풀 때 사용했던 트릭을 사용할 수 있다. 먼저, 호환성 조건을 수축하여 다음을 얻는다.

{e^\alpha}_b {e^\beta}_c (\partial_{[\alpha} e_{\beta] a} + {\omega_{[\alpha a}}^{d} \;e_{\beta ] d}) = 0.

그런 다음, 자유 지표 a,b, 및 c를 순환적으로 순열하고, 세 개의 결과 방정식을 더하고 뺀다.

\Omega_{bca} + \Omega_{abc} - \Omega_{cab} + 2 {e^\alpha}_b \omega_{\alpha ac} = 0

여기서 \Omega_{bca} := {e^\alpha}_b {e^\beta}_c \partial_{[\alpha} e_{\beta ] a}로 정의하였다. 스핀 접속에 대한 해는 다음과 같다.

\omega_{\alpha ca} = \tfrac{1}{2} {e_\alpha}^b (\Omega_{bca} + \Omega_{abc} - \Omega_{cab}).

이로부터 이전과 동일한 공식을 얻는다.

6. 응용

스핀 접속은 여러 분야에 응용된다.


  • '''곡선 시공간에서의 디랙 방정식''': 스핀 접속은 곡선 시공간에서 디랙 방정식을 표현하는 데 사용된다. 일반 상대성 이론에서 중력을 스피너 장과 결합할 때, 유한 차원 스피너 표현이 없다는 어려움이 있다. 하지만 로렌츠 군의 스피너 표현을 이용하여 사면체 장을 통해 이 문제를 해결한다. 스핀 접속으로 정의된 공변 도함수를 사용하면 디랙 방정식을 다음과 같이 표현할 수 있다.[1]


:(i \gamma^\mu \nabla_\mu - m) \psi = 0.

  • '''중력과 스피너의 결합''': 일반 상대성 이론에서 중력과 스피너를 결합할 때 스핀 접속이 사용된다. 사면체 팔라티니 공식은 사면체와 스핀 접속을 기본 변수로 사용하는 아인슈타인-힐베르트 작용의 첫 번째 순서 공식이다.

  • '''아쉬테카 변수''': 공간 스핀 접속은 3+1 일반 상대성 이론을 특수한 유형의 SU(2) 양-밀스 게이지 이론으로 다시 쓸 수 있게 해주는 아쉬테카-바르베로 변수 정의에 사용된다. 이를 통해 양자 색역학에서 사용된 비섭동적 기법을 정준 양자 일반 상대성 이론으로 가져올 수 있다.

6. 1. 곡선 시공간에서의 디랙 방정식

e_\mu^{\;\,a}를 국소 좌표계 또는 사각기둥(테트라드)이라고 하면, 이는 계량 텐서를 대각화하는 정규 직교 시공간 벡터장이다.

g_{\mu \nu} = e_\mu^{\;\,a} e_\nu^{\;\,b} \eta_{ab},

여기서 g_{\mu \nu}는 시공간 계량이고 \eta_{ab}는 민코프스키 계량이다. 라틴 문자는 국소 로렌츠 변환 좌표를, 그리스 문자는 일반 좌표를 나타낸다. 이는 g_{\mu \nu}가 e_\mu^{\;\,a}를 기저로 표현할 때 국소적으로 평탄하다는 것을 의미한다.

꼬임이 없는 스핀 접속은 다음과 같이 주어진다.

\omega_{\mu}^{\ ab}=e_\nu^{\ a} \Gamma^\nu_{\ \sigma\mu}e^{\sigma b} + e_\nu^{\ a} \partial_\mu e^{\nu b} = e_\nu^{\ a} \Gamma^\nu_{\ \sigma\mu}e^{\sigma b} - e^{\nu b} \partial_\mu e_\nu ^{\ a},

여기서 \Gamma^\sigma_{\mu\nu}는 크리스토펠 기호이다.

스핀 접속 \omega_\mu^{\ ab}는 일반화된 텐서에 대한 공변 미분 D_\mu를 정의한다. 예를 들어 V_\nu^{\ a}에 대한 작용은 다음과 같다.

D_\mu V_\nu^{\ a} = \partial_\mu V_\nu^{\ a} + {{\omega_\mu}^a}_b V_\nu^{\ b} - \Gamma^\sigma_{\ \nu \mu} V_\sigma^{\ a}

\epsilon_{ab}가 시공간의 함수가 되도록 \sigma_{ab}에 의해 생성된 평평한 접선 공간에 국소 로렌츠 변환을 도입했다. 이는 스피너의 편미분이 더 이상 진정한 텐서가 아님을 의미한다. 일반적으로 로렌츠 군을 게이지하기 위해 연결장 {\omega_\mu}^{ab}을 도입한다. 스핀 접속으로 정의된 공변 도함수는 다음과 같다.

\nabla_\mu \psi = \left(\partial_\mu - \tfrac{i}{4} {\omega_\mu}^{ab} \sigma_{ab}\right) \psi= \left(\partial_\mu - \tfrac{i}{4} e^{\nu a} \partial_{;\mu} {e_\nu}^b \sigma_{ab}\right) \psi,

이는 진정한 텐서이며, 곡선 시공간에서의 디랙 방정식은 다음과 같이 다시 쓰여진다.

(i \gamma^\mu \nabla_\mu - m) \psi = 0.[1]

6. 2. 중력과 스피너의 결합

e_\mu^{\;\,a}를 국소 좌표계 또는 사각기둥(테트라드)이라고 한다. 이는 계량 텐서를 대각화하는 정규 직교 시공간 벡터장이다.

g_{\mu \nu} = e_\mu^{\;\,a} e_\nu^{\;\,b} \eta_{ab},

여기서 g_{\mu \nu}는 시공간 계량이고 \eta_{ab}는 민코프스키 계량이다. 라틴 문자는 국소 로렌츠 변환 좌표를, 그리스 문자는 일반 좌표를 나타낸다. 이는 g_{\mu \nu}가 e_\mu^{\;\,a}를 기저로 표현할 때 국소적으로 평탄하다는 것을 의미한다. 그리스 사각기둥 지수는 계량, 즉 g^{\mu \nu} 또는 g_{\mu \nu}로 올리거나 내릴 수 있다. 라틴 문자 또는 "로렌츠" 사각기둥 지수는 각각 \eta^{ab} 또는 \eta_{ab}로 올리거나 내릴 수 있다. 예를 들어, e^{\mu a}=g^{\mu\nu} e_\nu^{\;\,a} 및 e_{\nu a}=\eta_{ab} e_{\nu}^{\;\,b}이다.

꼬임이 없는 스핀 접속은 다음과 같이 주어진다.

\omega_{\mu}^{\ ab}=e_\nu^{\ a} \Gamma^\nu_{\ \sigma\mu}e^{\sigma b} + e_\nu^{\ a} \partial_\mu e^{\nu b} = e_\nu^{\ a} \Gamma^\nu_{\ \sigma\mu}e^{\sigma b} - e^{\nu b} \partial_\mu e_\nu ^{\ a},

여기서 \Gamma^\sigma_{\mu\nu}는 크리스토펠 기호이다. 이 정의는 꼬임이 없는 스핀 접속을 정의하는 것으로 간주해야 한다. 관례에 따라 크리스토펠 기호는 레비-치비타 접속에서 파생되며, 이는 리만 다양체에서 고유한 계량 호환, 꼬임이 없는 접속이기 때문이다. 일반적으로 제한은 없으며, 스핀 접속은 꼬임을 포함할 수도 있다.

공변 미분 \partial_{;\mu} e^{\nu b}을 사용하여 \omega_{\mu}^{\ ab}=e_\nu^{\ a} \partial_{;\mu} e^{\nu b}=e_\nu^{\ a} ( \partial_\mu e^{\nu b}+\Gamma^\nu_{\ \sigma\mu}e^{\sigma b})임을 참고한다.[1] 스핀 접속은 사각기둥장으로만 다음과 같이 표현할 수 있다.

\omega_{\mu}^{\ ab} = \tfrac{1}{2} e^{\nu a} (\partial_\mu e_\nu^{\ b}-\partial_\nu e_\mu^{\ b}) - \tfrac{1}{2} e^{\nu b}(\partial_\mu e_\nu^{\ a}-\partial_\nu e_\mu^{\ a}) - \tfrac{1}{2} e^{\rho a}e^{\sigma b}(\partial_\rho e_{\sigma c}-\partial_\sigma e_{\rho c})e_\mu^{\ c},

이는 정의에 따라 내부 지수 a, b에서 반대칭이다.

스핀 접속 \omega_\mu^{\ ab}는 일반화된 텐서에 대한 공변 미분 D_\mu를 정의한다. 예를 들어, V_\nu^{\ a}에 대한 작용은 다음과 같다.

D_\mu V_\nu^{\ a} = \partial_\mu V_\nu^{\ a} + ^{ab} [\omega] + e \overline{\psi} (i \gamma^\mu \nabla_\mu - m) \psi

여기서 e := \det {e_\mu}^a = \sqrt{-g}이고 {\Omega_{\mu \nu}}^{ab}는 스핀 접속의 곡률이다.

일반 상대성 이론의 사면체 팔라티니 공식은 사면체와 스핀 접속이 기본 독립 변수인 아인슈타인-힐베르트 작용의 첫 번째 순서 공식이다. 팔라티니 공식의 3+1 버전에서 공간 메트릭 q_{ab} (x)에 대한 정보는 삼중항 e_a^i에 인코딩된다(사면체의 3차원, 공간 버전). 여기서 메트릭 호환성 조건 D_a q_{bc} = 0을 e_a^i로 확장하고 즉, D_a e_b^i = 0이고 위에서 주어진 공식과 유사하지만 공간 스핀 접속 \Gamma_a^{ij}에 대한 공식을 얻는다.

공간 스핀 접속은 3+1 일반 상대성 이론을 특수한 유형의 \mathrm{SU}(2) 양-밀스 게이지 이론으로 다시 쓸 수 있게 해주는 아쉬테카-바르베로 변수의 정의에 나타난다. \Gamma_a^i = \epsilon^{ijk} \Gamma_a^{jk}를 정의한다. 그런 다음 아쉬테카-바르베로 접속 변수는 A_a^i = \Gamma_a^i + \beta c_a^i로 정의되며, 여기서 c_a^i = c_{ab} e^{bi}이고 c_{ab}는 외적 곡률이고 \beta는 임미르지 매개변수이다. A_a^i를 구성 변수로 사용하면 켤레 운동량은 밀집 삼중항 E_a^i = \left|\det (e)\right| e_a^i이다. 3+1 일반 상대성 이론을 특수한 유형의 \mathrm{SU}(2) 양-밀스 게이지 이론으로 다시 쓰면 양자 색역학에서 사용된 비섭동적 기법을 정준 양자 일반 상대성 이론으로 가져올 수 있다.

6. 3. 아쉬테카 변수

곡선 시공간의 언어로 표현된 디랙 방정식에서는 스핀 접속이 나타난다. 중력을 스피너 장에 결합하는 데는 어려움이 있는데, 일반 공변성 그룹에 대한 유한 차원 스피너 표현이 없기 때문이다. 하지만 로렌츠 군의 스피너 표현은 존재한다. 이 사실은 시공간의 모든 지점에서 평평한 접선 공간을 설명하는 사면체 장을 사용하여 활용된다.

일반적으로 공변적인 디랙 방정식을 구성할 때, 평평한 접선 공간 로렌츠 변환에서 스피너는 다음과 같이 변환된다.

:\psi \mapsto e^{i \epsilon^{ab} (x) \sigma_{ab}} \psi

\epsilon_{ab}가 시공간의 함수가 되도록 \sigma_{ab}에 의해 생성된 평평한 접선 공간에 로컬 로렌츠 변환을 도입했다. 이는 스피너의 편미분이 더 이상 진정한 텐서가 아님을 의미한다. 일반적으로 로렌츠 군을 게이지하기 위해 연결 장 {\omega_\mu}^{ab}을 도입한다. 스핀 접속으로 정의된 공변 도함수는 다음과 같다.

:\nabla_\mu \psi = \left(\partial_\mu - \tfrac{i}{4} {\omega_\mu}^{ab} \sigma_{ab}\right) \psi= \left(\partial_\mu - \tfrac{i}{4} e^{\nu a} \partial_{;\mu} {e_\nu}^b \sigma_{ab}\right) \psi,

진정한 텐서이며 디랙 방정식은 다음과 같이 다시 쓰여진다.

:(i \gamma^\mu \nabla_\mu - m) \psi = 0.

공간 스핀 접속은 3+1 일반 상대성 이론을 특수한 유형의 \mathrm{SU}(2) 양-밀스 게이지 이론으로 다시 쓸 수 있게 해주는 아쉬테카-바르베로 변수의 정의에 나타난다. \Gamma_a^i = \epsilon^{ijk} \Gamma_a^{jk}를 정의한다. 그런 다음 아쉬테카-바르베로 접속 변수는 A_a^i = \Gamma_a^i + \beta c_a^i로 정의되며, 여기서 c_a^i = c_{ab} e^{bi}이고 c_{ab}는 외적 곡률이고 \beta는 임미르지 매개변수이다.

참조

[1] 서적 Superstring theory
[2] 논문 Gravitation, Gauge Theories and Differential Geometry https://www.research[...] 1980


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