십팔각형

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1. 개요
2. 정십팔각형
3. 활용
4. 관련 도형
5. 페트리 다각형
참조

1. 개요

정십팔각형은 모든 변의 길이와 각의 크기가 같은 18개의 변을 가진 다각형이다. 슐레플리 기호는 {18}이며, 중심각과 외각은 20°, 내각은 160°이다. 한 변의 길이가 a인 정십팔각형의 면적은 약 25.52a², 외접원의 반지름은 약 2.8794a이다. 정십팔각형은 자와 컴퍼스만으로는 작도할 수 없지만, 뉴시스나 토마호크를 사용하면 작도가 가능하다. 정십팔각형은 Dih₁₈ 대칭을 가지며, 36개의 마름모로 분할될 수 있다. 또한 정삼각형, 구각형과 함께 평면을 완전히 둘러쌀 수 있는 17가지 정다각형 조합 중 하나이며, 오목 육각형 틈새로 평면을 테셀레이션할 수 있다. 십팔각성, 구각형 및 구각성의 절단 형태와 관련이 있으며, 여러 고차원 다포체의 페트리 다각형으로 나타난다.

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십팔각형
십팔각형 정보
십팔각형
종류	다각형
변의 수	18
일반적인 성질 (정십팔각형)
슐레플리 기호	{18}
콕서터 다이어그램	$\begin{Bmatrix}p\end{Bmatrix}$
대칭군	Dih18
회전군	Z18
면	18
모서리	18
꼭짓점	18
오스왈드 기호	t{9}
각도 (정십팔각형)
내각	160°
내각의 총합	2880°

2. 정십팔각형

정십팔각형은 모든 변의 길이와 각의 크기가 같은 십팔각형이다. 정십팔각형의 내각은 160°이고, 외각과 중심각은 20°이다.

2. 1. 성질

'''정십팔각형'''은 슐레플리 기호 {18}을 가지며, 두 종류의 변을 번갈아 나타내는 준정 절단된 구각형, t{9}으로 구성될 수 있다.

정십팔각형에서 중심각과 외각은 20°이고, 내각은 160°이다. 한 변의 길이가 ''a''인 정십팔각형의 면적 ''S''는 다음과 같다.

:

S = \frac{18}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{18} \simeq 25.52a^2

외접원의 반지름 ''R''은 다음과 같다.

:

R=\frac{a}{2} \csc \frac{\pi}{18} \simeq 2.8794a

\cos (2\pi/18)

를 제곱근과 세제곱근으로 나타내면 다음과 같다.

:

\cos\frac{2\pi}{18} = \cos\frac{\pi}{9} = \frac {\sqrt[3]{4+4\sqrt{3}i}+\sqrt[3]{4-4\sqrt{3}i}}{4} = \frac {\sqrt[3]{1+\sqrt{3}i}+\sqrt[3]{1-\sqrt{3}i}}{\sqrt[3]{2^4}} = \frac {\sqrt[3]{\frac {1+\sqrt{3}i}{2}}+\sqrt[3]{\frac{1-\sqrt{3}i}{2}}}{2}  = \frac {\sqrt[3]{-\omega^2}+\sqrt[3]{-\omega}}{2}  = 0.9396926...

2. 2. 작도

18 = 2 × 3²이므로 정십팔각형은 자와 컴퍼스만으로는 작도할 수 없다.^[3] 그러나 뉴시스나 각의 3등분과 토마호크를 사용하면 작도가 가능하다.

십팔각형, 토마호크를 이용한 120° 각의 3등분을 기반으로 한 정확한 작도, 애니메이션 1분 34초.

다음의 근사 작도는 십팔각형이 절단된 구각형으로 작도될 수 있으므로 구각형의 작도와 매우 유사하다. 또한 컴퍼스와 자만으로도 가능하다.

2. 3. 대칭

정십팔각형의 대칭. 꼭짓점은 대칭 위치에 따라 색상이 지정되어 있고, 파란색 거울은 꼭짓점을, 보라색 거울은 모서리를 통과한다. 회전 차수는 중앙에 표시되어 있다.

정십팔각형은 Dih₁₈ 대칭(차수 36)을 갖는다. 여기에는 Dih₉, (Dih₆, Dih₃), (Dih₂, Dih₁)과 같은 5개의 부분군 이면 대칭과 (Z₁₈, Z₉), (Z₆, Z₃), (Z₂, Z₁)과 같은 6개의 순환군 대칭이 있다.

이러한 15개의 대칭은 십팔각형에서 12개의 고유한 대칭으로 나타난다. 존 콘웨이는 이를 문자와 그룹 차수로 표기했다.^[4] 정규 형태의 전체 대칭은 '''r36'''이며, 대칭이 없는 경우는 '''a1'''으로 표시한다. 이면 대칭은 꼭짓점을 통과하는 경우(대각선의 '''d''')와 모서리를 통과하는 경우(수직선의 '''p''')로 나뉘며, 반사선이 모서리와 꼭짓점 모두를 통과하는 경우는 '''i'''로 표시한다. 중간 열의 순환 대칭은 중심 회전 차수를 나타내는 '''g'''로 표시한다.

각 부분군 대칭은 불규칙한 형태에 대해 하나 이상의 자유도를 허용한다. '''g18''' 부분군만 자유도가 없지만 지향 모서리로 볼 수 있다.

2. 4. 분할

콕서터는 모든 존오곤(마주보는 변이 평행하고 길이가 같은 2''m''각형)을 ''m''(''m''-1)/2 개의 평행사변형으로 분할할 수 있다고 말했다.^[5]

특히, 이것은 짝수 개의 변을 가진 정다각형에 해당하며, 이 경우 평행사변형은 모두 마름모이다. 정십팔각형의 경우, ''m''=9이고, 36개, 즉 9개의 마름모 4세트로 나눌 수 있다. 이 분해는 9-초정방체의 Petrie 다각형 투영을 기반으로 하며, 4608개 면 중 36개를 사용한다.

36개의 마름모로 분할

3. 활용

정삼각형, 구각형, 십팔각형은 평면의 한 점을 완전히 둘러쌀 수 있으며, 이는 이 속성을 가진 17가지 서로 다른 정다각형 조합 중 하나이다.^[6] 그러나 이 패턴은 평면의 아르키메데스 테셀레이션으로 확장될 수 없다. 삼각형과 구각형 모두 변의 수가 홀수이므로, 다른 두 종류의 다각형이 번갈아 가며 이들을 완전히 둘러쌀 수 없기 때문이다.

정십팔각형은 오목 육각형 틈새로 평면을 테셀레이션할 수 있다. 구각형과 팔각형 틈새를 혼합한 테셀레이션도 가능하다. 첫 번째 테셀레이션은 깎은 정육각형 테셀레이션과 관련이 있으며, 두 번째는 깎은 삼육각형 테셀레이션과 관련이 있다.

4. 관련 도형

'''십팔각성'''은 변이 18개인 별 다각형으로, {18/n}으로 표시된다. 정규 별 다각형에는 {18/5}와 {18/7}이 있으며, 이들은 동일한 점을 사용하지만 각각 다섯 번째 또는 일곱 번째 점을 연결한다.

또한, 5개의 합성 다각형이 존재한다.

{18/2}는 2{9} 또는 두 개의 구각형으로 축소된다.
{18/3}는 3{6} 또는 세 개의 육각형으로 축소된다.
{18/4}와 {18/8}은 2{9/2}와 2{9/4} 또는 두 개의 구각성으로 축소된다.
{18/6}은 6{3} 또는 6개의 정삼각형으로 축소된다.
{18/9}는 9{2}로 아홉 개의 이각형으로 축소된다.

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9
모양	볼록 다각형	합성 다각형			별 다각형	합성 다각형	별 다각형	합성 다각형
그림	{18/1} = {18}	{18/2} = 2{9}	{18/3} = 3{6}	{18/4} = 2{9/2}	{18/5}	{18/6} = 6{3}	{18/7}	{18/8} = 2{9/4}	{18/9} = 9{2}
내각	160°	140°	120°	100°	80°	60°	40°	20°	0°

정규 구각형과 구각성의 더 깊은 절단은 꼭짓점 간 간격이 동일하고 두 개의 변의 길이를 갖는 등각(꼭짓점 추이) 중간 십팔각형 형태를 생성할 수 있다. 다른 절단은 이중 덮개를 형성한다. t{9/8}={18/8}=2{9/4}, t{9/4}={18/4}=2{9/2}, t{9/2}={18/2}=2{9}.^[7]

준정규	등각				준정규 이중 덮개
t{9}={18}					t{9/8}={18/8} =2{9/4}
t{9/5}={18/5}					t{9/4}={18/4} =2{9/2}
t{9/7}={18/7}					t{9/2}={18/2} =2{9}

5. 페트리 다각형

정규 왜곡 십팔각형은 여러 고차원 다포체의 페트리 다각형으로 나타나며, 콕서 평면에서 왜곡된 직교 투영으로 표시된다.

A₁₇	B₉	B₉	D₁₀	D₁₀	E₇	E₇	E₇
17-단체	9-정교체	9-초입방체	7₁₁	1₇₁	3₂₁	2₃₁	1₃₂

참조

_[1] 서적 Symmetry, Shape, and Surfaces: An Introduction to Mathematics Through Geometry https://books.google[...] Springer
_[2] 서적 Cassell's Engineer's Handbook: Comprising Facts and Formulæ, Principles and Practice, in All Branches of Engineering https://books.google[...] D. McKay
_[3] 서적 Mathematical Connections: A Capstone Course https://books.google[...] American Mathematical Society
_[4] 서적 The Symmetries of Things
_[5] 서적 Mathematical recreations and Essays
_[6] 서적 The Elements of Plane Practical Geometry, Etc https://books.google[...] John W. Parker & Son
_[7] 간행물 Metamorphoses of polygons

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