맨위로가기

에른스트 방정식

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

에른스트 방정식은 다음과 같은 편미분 방정식이다. \Re(u)(u_{rr}+u_r/r+u_{zz}) = (u_r)^2+(u_z)^2. 이 방정식은 일반 상대성 이론에서 아인슈타인 방정식의 엄밀해를 도출하는 데 사용되며, 1963년 프레데릭 조셉 에른스트에 의해 커 해를 일반화하는 연구 과정에서 도입되었다. 에른스트 방정식은 적분 가능하며, 락스 표현을 가지고 팡르베 성질이 증명되었다. 에른스트 방정식은 카 해, 슈바르츠실트 해 등 다양한 해를 표현하는 데 활용된다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 적분가능계 - 솔리톤
    솔리톤은 형태를 유지하며 다른 솔리톤과의 상호 작용 후에도 변하지 않는 파동의 일종으로, 분산과 비선형성의 상호 작용으로 발생하며, 광학, 유체역학 등 다양한 분야에서 발견된다.
  • 적분가능계 - 남 방정식
    남 방정식은 4차원 양-밀스 순간자 방정식을 차원 축소하여 얻은 방정식으로, 칼로론 및 자기 홀극 해를 구하는 데 중요하며 게이지 변환에 불변하고 초끈 이론과 관련되어 수학 및 물리학 분야에서 활용된다.
  • 일반 상대성이론 - 양자 중력
    양자 중력은 양자역학과 일반 상대성이론을 통합하여 중력이 강한 극한 조건에서 발생하는 이론적 모순을 해결하려는 시도로, 재규격화 불능성과 시공간 배경 의존성 차이 등의 난제 해결을 위해 끈 이론, 루프 양자 중력 등 다양한 접근 방식이 연구되고 있으며, 우주 마이크로파 배경 데이터 등을 이용한 실험적 검증이 시도되고 있다.
  • 일반 상대성이론 - 중력 특이점
    중력 특이점은 일반 상대성이론에서 시공간이 정의되지 않고 물리량이 무한대로 발산하는 지점으로, 다양한 형태로 나타나며 이론에 따라 존재가 부정되거나 사건 지평선 뒤에 숨겨져 있다고 여겨지기도 하고 블랙홀의 엔트로피와 관련된 호킹 복사 이론과도 관련된다.
  • 편미분 방정식 - 나비에-스토크스 방정식
    나비에-스토크스 방정식은 유체의 운동을 기술하는 비선형 편미분방정식으로, 질량 및 운동량 보존 법칙에 기반하며, 해의 존재성과 매끄러움은 밀레니엄 문제이지만 다양한 유체 흐름 모델링과 수치 해석적 응용에 활용된다.
  • 편미분 방정식 - 슈뢰딩거 방정식
    슈뢰딩거 방정식은 양자역학에서 시스템의 시간적 변화를 기술하는 기본 방정식으로, 파동 함수에 대한 편미분 방정식이며, 시스템의 총 에너지를 나타내는 해밀토니안 연산자를 포함하고, 양자 상태를 기술하며, 다양한 양자역학적 현상을 설명하는 데 사용된다.
에른스트 방정식
에른스트 방정식
분야일반 상대성 이론
발견자프레더릭 J. 에른스트
발견 연도1968년
설명축대칭 중력장 문제에 대한 새로운 공식화

2. 에른스트 방정식

\Re(u)(u_{rr}+u_r/r+u_{zz}) = (u_r)^2+(u_z)^2.

여기서 \Re(u)는 u의 실수 부분이다. 이 방정식의 Lax 쌍 및 기타 특징에 대해서는 예를 들어[19],[3][4] 및 참고 문헌에서 찾을 수 있다.

2. 1. 표현

이 방정식은 다음과 같다.

\Re(u)(u_{rr}+u_r/r+u_{zz}) = (u_r)^2+(u_z)^2.

여기서 \Re(u)는 u의 실수 부분이다. 이 방정식의 Lax 쌍 및 기타 특징에 대해서는 예를 들어[19],[3][4] 및 참고 문헌에서 찾을 수 있다.

3. 성질

이 방정식은 다음과 같다.

: \Re(u)(u_{rr}+u_r/r+u_{zz}) = (u_r)^2+(u_z)^2.

이 방정식의 Lax 쌍 및 기타 특징에 대해서는 예를 들어[19] 및 참고 문헌에서 찾을 수 있다.

3. 1. 적분가능성

에른스트 방정식은 완전 적분 가능계이며, 락스 표현을 가지며 팡르베 성이 증명되었다.[11] 이 방정식의 Lax 쌍 및 기타 특징에 대해서는 예를 들어[19] 및 참고 문헌에서 찾을 수 있다. 특히, 에른스트 포텐셜 \mathcal{E} = f + i b로부터

:J = \frac{ 1 }{ f } \begin{pmatrix}

1 & -b \\

  • b & f^2 + b^2

\end{pmatrix}

라는 행렬을 도입하면, 에른스트 방정식은 양 방정식

:\partial_\rho ( \rho ( \partial_\rho ) J^{-1} ) + \partial_z ( \rho ( \partial_z J ) J^{-1} ) = 0

으로 다시 쓸 수 있으므로, 에른스트 방정식은 SL ( 2, \mathbb{R} )-시그마 모형과 등가이다.[12]

3. 2. 에른스트 포텐셜을 이용한 엄밀 해 표현

에른스트 방정식은 다음과 같다.

:\Re(u)(u_{rr}+u_r/r+u_{zz}) = (u_r)^2+(u_z)^2.

여기서 \Re(u)는 u의 실수 부분이다. Lax 쌍 및 기타 특징에 대해서는 예를 들어 [3][4][19] 및 해당 참조 자료를 참조할 수 있다.

에른스트 방정식은 일반 상대성 이론에서 아인슈타인 방정식의 엄밀 해를 도출하기 위해 사용된다. 카 해는 정적 축대칭 블랙홀 시공간을 나타내는 아인슈타인 방정식의 엄밀해이며, 질량 m 및 각운동량 J라는 두 개의 매개변수로 특징지어진다. J = m^2 \sin \varphi에 의해 매개변수 \varphi를 도입할 때, 카 해에 대응하는 에른스트 포텐셜은 다음과 같이 표현된다.[13]

:\mathcal{E} = \frac{ e^{- i \varphi } r_+ + e^{i \varphi} r_- - 2 m \cos \varphi }{ e^{- i \varphi } r_+ + e^{i \varphi} r_- + 2 m \cos \varphi } , \ \ r_\pm = \sqrt{ ( z \pm m \cos \varphi )^2 + \rho^2 }

\varphi = 0일 때 이는 슈바르츠실트 해로 귀착된다.[12] 에른스트는 반대로 에른스트 방정식을 이용하여 슈바르츠실트 해로부터 카 해를 쉽게 구성할 수 있음을 보였다.[6]

4. 역사

1963년 로이 커에 의한 축대칭 정상 블랙홀 해의 유도는 대수적인 계산에 의한 것이었다.[14] 프레데릭 조셉 에른스트는 커 해를 일반화하는 연구 중에 현재 에른스트 포텐셜로 알려진 복소 포텐셜을 도입함으로써 정상 축대칭 시공간에 관한 아인슈타인 방정식을 극히 단순한 형태로 다시 쓸 수 있다는 것을 깨달았다.[6]

1972년에는 에른스트 방정식을 바탕으로 도미마츠-사토 해라는 새로운 아인슈타인 방정식의 해가 발견되었다.[15] 이 해가 동기가 되어, 체계적인 엄밀해의 구성이나 솔리톤 이론의 에른스트 방정식에의 응용과 같은 연구가 활발하게 이루어졌다.[16]

5. 활용

에른스트 방정식은 일반 상대성 이론에서 아인슈타인 방정식의 엄밀 해를 도출하기 위해 사용된다.

참조

[1] 웹사이트 Ernst equation http://mathworld.wol[...]
[2] 웹사이트 Biography of Frederick J. Ernst https://web.archive.[...] 2017-05-09
[3] 논문 Bäcklund Transformation for the Ernst Equation of General Relativity American Physical Society (APS) 1978-10-30
[4] 간행물 Recursion operators for vacuum Einstein equations with symmetries
[5] 서적 重力理論講義 : 相対性理論と時空物理学の進展 サイエンス社
[6] 논문 New Formulation of the Axially Symmetric Gravitational Field Problem
[7] 논문 New Formulation of the Axially Symmetric Gravitational Field Problem. II
[8] 논문 Exact Solution of a Neumann Boundary Value Problem for the Stationary Axisymmetric Einstein Equations
[9] 서적 Exact solutions of Einstein's field equations Cambridge University Press 2009
[10] 논문 The Ernst equation in general relativity
[11] 문서 Klein
[12] 문서 Klein
[13] 문서 Klein
[14] 논문 Gravitational Field of a Spinning Mass as an Example of Algebraically Special Metrics
[15] 논문 New Exact Solution for the Gravitational Field of a Spinning Mass
[16] 웹사이트 Ernst 方程式再訪 https://www.riam.kyu[...] 2020-12-02
[17] 웹사이트 Ernst equation http://mathworld.wol[...]
[18] 웹인용 Biography of Frederick J. Ernst https://web.archive.[...] 2017-05-09
[19] 저널 인용 Bäcklund Transformation for the Ernst Equation of General Relativity American Physical Society (APS) 1978-10-30


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com