일반 상대성 이론의 엄밀 해

3. 정의의 어려움

임의의 로런츠 다양체는 어떤 우변에 대한 아인슈타인 장 방정식의 해가 될 수 있다. 이는 수학적 연산을 통해 아인슈타인 텐서를 계산하고, 이를 아인슈타인 중력 상수로 나누어 응력-에너지 텐서로 선언함으로써 가능하다.

일반 상대성 이론을 사용하는 데에는 두 가지 상반된 방법이 존재한다. 하나는 물리적인 이유로 응력-에너지 텐서의 형태를 고정하고, 그러한 우변을 갖는 아인슈타인 방정식의 해를 연구하는 것이다. 다른 하나는 시공간의 일부 기하학적 속성을 고정하고 이러한 속성을 제공할 수 있는 물질의 원천을 찾는 것이다.

"합리적인" 물리적 시나리오에서 발생할 수 있는 에너지-운동량 텐서를 정의하는 수학적 특성은 명확하지 않다. 대신 에너지 조건과 같은 조잡한 테스트가 사용되지만, 이는 너무 관대하거나 제한적일 수 있다. 가장 인기 있는 에너지 조건은 카시미르 효과에 의해 위반된다.

모든 곳에서 매끄럽지 않은 해를 허용하는 것은 우아함과 편리함 사이의 균형 문제를 야기한다. 또한, 닫힌 시간꼴 곡선과 같은 인과적으로 의심스러운 특징을 갖는 해들이 존재하여 해석에 어려움을 준다.

4. 엄밀 해의 유형

엄밀 해는 에너지-운동량 텐서의 물리적 해석에 따라 여러 유형으로 분류될 수 있다. 주요 유형은 다음과 같다.

• 진공 해: 물질이나 중력장이 존재하지 않는 영역을 설명한다.
• 전기진공 해: 중력장의 유일한 소스가 전자기장의 장 에너지 및 운동량인 경우이다.
• 널 더스트 해: 비간섭 전자기 복사에서 발생하는 것으로 해석될 수 있는 응력-에너지 텐서를 갖는 해이다.
• 유체 해: 중력장의 유일한 소스가 유체를 구성하는 물질의 에너지, 운동량 및 응력(압력 및 전단 응력)인 경우이다.

• 스칼라장 해: 스칼라장에서 발생하는 해이다.
• 람다진공 해: 0이 아닌 우주 상수에서 발생하는 해이다.

4. 1. 예시

• NUT-커–뉴먼–드 시터르 해는 전자기장 및 양의 진공 에너지뿐만 아니라, 소위 NUT 매개변수로 지정되는 커 진공의 일종의 진공 섭동도 포함한다.
• 괴델 먼지 해는 무압 완전 유체(먼지)와 양의 진공 에너지의 기여를 포함한다.

5. 해의 구성

아인슈타인 장 방정식은 비선형 편미분방정식 계이므로, 일반적인 방법으로는 해를 구하기 어렵다.^[2][7]

하지만, 엄밀 해를 구하기 위한 몇 가지 효과적인 방법들이 개발되었다.^[2][7] 가장 간단한 방법은 계량 텐서에 정상성 (시간 변환에 대한 대칭성) 또는 축대칭성 (대칭축에 대한 회전에 대한 대칭성)과 같은 대칭 조건을 부과하는 것이다.^[2][7] 이러한 가정을 통해 아인슈타인 장 방정식을 더 간단한 방정식 계, 예를 들어 단일 편미분 방정식 (정상 축대칭 진공 해의 경우 에른스트 방정식으로 특징지어짐)이나 상미분방정식 계 (슈바르츠실트 진공의 경우)로 단순화할 수 있다.^[2][7] 이러한 접근 방식은 틀장을 사용할 때 가장 효과적이다.

혹은 바일 텐서, 리치 텐서, 리만 텐서에 대수적 대칭 조건을 부과하는 방법도 있다.^[2][7] 이는 페트로프 분류 (바일 텐서의 대칭) 또는 세그레 분류 (리치 텐서의 대칭)로 표현된다.^[2][7] 이러한 접근 방식은 뉴먼-펜로즈 형식주의와 함께 사용되기도 한다.^[2][7]

하지만 대칭 축소를 거친 후에도 축소된 방정식은 여전히 풀기 어려울 수 있다. 예를 들어, 에른스트 방정식은 비선형 슈뢰딩거 방정식(NLS)과 유사한 비선형 편미분 방정식이다.^[2][7]

소푸스 리는 미분 방정식의 점 대칭 개념을 통해 해를 구할 수 있음을 보였다. 민코프스키 시공간의 등각군이 맥스웰 방정식의 대칭군이라는 사실과 열 방정식의 해를 스케일링을 가정하여 찾을 수 있다는 사실은 이러한 개념의 특별한 경우이다.^[2][7] 에른스트 방정식과 NLS는 모두 점 대칭 군을 가지며, 이를 이용하여 일부 해를 찾을 수 있다.^[2][7]

에미 뇌터는 소푸스 리의 대칭 개념을 일반화하여 더 강력한 해법을 제시했다.^[2][7] 완전 적분 가능한 방정식은 무한한 보존 법칙을 따르며, 에른스트 방정식과 NLS는 이에 해당한다.^[2][7] 따라서 역 산란 변환과 유사한 기술로 해를 구할 수 있다. (이는 코르테버흐-더프리스 방정식(KdV 방정식)을 푸는 데 사용되는 방법과 유사하다).^[2][7] 하지만 이 방법으로 얻은 해는 물리적으로 부적합할 수 있다.^[2][7]

또한 벨린스키-자하로프 변환과 같은 변환을 통해 기존 해를 다른 해로 변환할 수 있다.^[2][7] 이는 백룬트 변환과 유사하며, 뇌터 및 리의 대칭 개념과 관련이 있다.^[2][7] 그러나 이러한 변환으로 생성된 해는 해석이 어려운 경우가 많다.^[2][7]

6. 해의 존재성

아인슈타인 장 방정식의 일반적인 해를 구하는 것은 매우 어렵기 때문에, 모든 해 또는 모든 진공 해에 대해 유지되는 특성을 찾는 정성적 접근 방식이 사용된다. 해의 존재성에 대한 가장 기본적인 질문은 "해가 존재하는가?"와 "얼마나 많은 해가 존재하는가?"이다.

초기값 공식을 사용하면 해의 국소적 존재성을 증명할 수 있다. 아인슈타인의 제약 계산 방법에 따르면, 일반적인 진공 해는 3개의 변수로 구성된 4개의 임의 함수와 2개의 변수로 구성된 6개의 임의 함수를 제공하여 지정할 수 있다. 이 함수들은 초기 데이터를 지정하며, 이를 통해 고유한 진공 해가 진화될 수 있다. 반면, 에른스트 진공은 두 변수를 가진 두 함수만 특정되며, 이는 임의적이지 않고 두 개의 결합된 비선형 편미분 방정식 계를 충족해야 한다.

하지만, 해의 거시적 존재성은 훨씬 더 어려운 문제이다.

7. 거시적 안정성 정리

고립된 물체의 중력장을 섭동시켰을 때, 장기적인 안정성에 대한 질문이 제기된다. 고전적인 섭동 이론 접근 방식은 쌍성 펄사와 같은 중력 시스템 모델을 구성하는 데 사용되는 뉴턴 이후 근사의 기본 아이디어이지만, 비선형 방정식의 경우 장기적인 안정성을 보장하지 못한다.^[8][3]

전체 장 방정식은 매우 비선형적이므로, 민코프스키 진공이 작은 섭동에서 안정적임을 증명하기 위해 많은 새로운 아이디어가 필요했다. 민코프스키 진공의 비선형적 안정성은 1993년에 데메트리오스 크리스토돌로와 세르기우 클라이너만에 의해 증명되었다.^[8][3] 더 시트르 람다 진공( 헬무트 프리드리히 )의 람다 진공 섭동과 민코프스키 진공(니나 집세르)의 전자 진공 섭동에 대한 유사한 결과도 알려져 있다. 반대로 반 더 시터르 공간은 특정 조건에서 불안정한 것으로 알려져 있다.^[9][4][5]

8. 양의 에너지 정리

양의 에너지 밀도를 갖는 고립된 질량-에너지 분포가 항상 양의 순 질량을 생성하는지에 대한 질문이 제기된다. 양의 에너지 정리는 1979년에 리처드 쇼엔과 야우 싱퉁에 의해 증명되었으며, 이들은 응력-에너지 텐서의 특성에 대한 추가적인 기술적 가정을 했다. 에드워드 위튼은 더 짧은 증명을 제시했다. 로저 펜로즈 등은 양의 에너지 정리의 변형에 대한 대안적인 증명을 제시했다.

참조

_[1] 간행물 2009
_[2] 서적 Gravitational solitons Cambridge University Press
_[3] 서적 The global nonlinear stability of the Minkowski space https://www.worldcat[...] Princeton University Press 2014
_[4] 저널 Weakly Turbulent Instability of Anti–de Sitter Spacetime https://link.aps.org[...] 2011
_[5] arXiv A proof of the instability of AdS for the Einstein—massless Vlasov system 2018-12-11
_[6] 간행물 2009
_[7] 서적 Gravitational solitons Cambridge University Press
_[8] 서적 The global nonlinear stability of the Minkowski space https://www.worldcat[...] Princeton University Press 2014
_[9] 저널 Weakly Turbulent Instability of Anti–de Sitter Spacetime https://link.aps.org[...] 2011