에일렌베르크-스틴로드 공리

3. 정의

상대 호몰로지는 부분공간이 갖추어진 위상 공간의 범주 $\backslash operatorname\{Top^2\}$에서 아벨 군의 범주 $\backslash operatorname\{Ab\}$로 가는 일련의 함자 $H\_n$과 이들 함자 사이의 자연 변환 $\backslash partial\_n\backslash colon\; H\_n\backslash to\; H\_\{n-1\}$로 구성된다.

이 데이터가 '''보통 호몰로지 이론'''(ordinary homology theory^영어)을 이루려면, 다음과 같은 다섯 개의 공리를 만족해야 한다. 차원 공리를 제외한 나머지 공리들을 만족시키지만 차원 공리는 성립하지 않는다면, 이를 '''특수 호몰로지 이론'''(extraordinary homology theory^영어)이라고 한다.

# ('''호모토피 불변성''') $g,h\backslash colon(X,A)\backslash to(Y,B)$가 서로 호모토픽하다면, $H\_\backslash bullet(f)=H\_\backslash bullet(g)$이다. 즉, 이 함자는 부분집합이 갖추어진 위상 공간과 그 호모토피들의 범주 $\backslash operatorname\{hTop^2\}$에 정의된다.

# ('''절단''') $\backslash operatorname\{cl\}(U)\backslash subset\backslash operatorname\{int\}(A)$라면 $H\_\backslash bullet(X,A)=H\_\backslash bullet(X\backslash setminus\; U,A\backslash setminus\; U)$이다.

# ('''차원 공리''') $P$가 점 하나만을 포함한 위상 공간이라고 하자. 그렇다면 $n\backslash ne0$인 경우 $H\_n(P,\backslash varnothing)=0$이다.

# ('''가법성''') $X=\backslash bigsqcup\_\backslash alpha\; X\_\backslash alpha$가 집합들의 서로소 합집합이라고 하자. 그렇다면 $H\_\backslash bullet(X,\backslash varnothing)=\backslash bigoplus\_\backslash alpha\; H\_\backslash bullet(X\_\backslash alpha,\backslash varnothing)$이다.

# ('''완전성''') 다음과 같은 완전열이 존재한다.

::$\backslash cdots\backslash to\; H\_n(A,\backslash varnothing)\backslash to\; H\_n(X,\backslash varnothing)\backslash to\; H\_n(X,A)\backslash to\; H\_\{n-1\}(A,\backslash varnothing)\backslash to\; H\_\{n-1\}(X,\backslash varnothing)\backslash to\; H\_\{n-1\}(X,A)\backslash to\backslash cdots$.

'''보통 코호몰로지 이론''' 및 '''특수 코호몰로지 이론'''도 이와 유사하게 정의할 수 있다.

에일렌베르크-스틴로드 공리는 위상 공간의 위상쌍 $(X,A)$의 범주에서 아벨 군의 범주로의 일련의 함자 $H\_n$에 적용되며, '''경계 사상'''이라고 하는 자연 변환 $\backslash partial\; \backslash colon\; H\_\{i\}(X,\; A)\; \backslash to\; H\_\{i-1\}(A)$가 함께 적용된다(여기서 $H\_\{i-1\}(A)$는 $H\_\{i-1\}(A,\backslash varnothing)$의 약칭이다). 공리는 다음과 같다.

# '''호모토피''': 호모토픽 사상은 호몰로지에서 동일한 사상을 유도한다. 즉, $g\backslash colon\; (X,\; A)\; \backslash rightarrow\; (Y,B)$가 $h\backslash colon\; (X,\; A)\; \backslash rightarrow\; (Y,B)$에 호모토픽하면, 유도된 준동형 사상은 같다.

# '''절단''': $(X,A)$가 쌍이고 ''U''가 ''A''의 부분 집합이며 ''U''의 폐포가 ''A''의 내부 안에 포함되어 있다면, 포함 사상 $i\backslash colon\; (X\backslash setminus\; U,\; A\backslash setminus\; U)\; \backslash to\; (X,\; A)$는 호몰로지에서 동형 사상을 유도한다.

# '''차원''': ''P''를 한 점 공간이라고 하자. 그러면 모든 $n\; \backslash neq\; 0$에 대해 $H\_n(P)\; =\; 0$이다.

# '''가법성''': $X\; =\; \backslash coprod\_\{\backslash alpha\}\{X\_\{\backslash alpha\}\}$가 위상 공간족 $X\_\{\backslash alpha\}$의 분리된 합집합이라면, $H\_n(X)\; \backslash cong\; \backslash bigoplus\_\{\backslash alpha\}\; H\_n(X\_\{\backslash alpha\}).$이다.

# '''정확성''': 각 쌍 ''(X, A)''는 포함 $i\backslash colon\; A\; \backslash to\; X$ 및 $j\backslash colon\; X\; \backslash to\; (X,\; A)$를 통해 호몰로지에서 긴 완전열을 유도한다.

::$\backslash cdots\; \backslash to\; H\_n(A)\; \backslash ,\backslash xrightarrow\{i\_*\}\backslash ,\; H\_n(X)\; \backslash ,\backslash xrightarrow\{j\_*\}\backslash ,\; H\_n\; (X,A)\; \backslash ,\backslash xrightarrow\{\backslash partial\}\backslash ,\; H\_\{n-1\}(A)\; \backslash to\; \backslash cdots.$

''P''가 한 점 공간이면, $H\_0(P)$는 '''계수 군'''이라고 불린다. 예를 들어, 특이 호몰로지(가장 흔하게 정수 계수를 사용)는 정수를 계수로 가진다.

4. 결과

호모토피 동치인 공간이 동형 호몰로지 군을 갖는다는 사실과 같이, 호몰로지 군에 대한 몇 가지 사실은 공리로부터 직접 유도될 수 있다.

4. 1. n-구의 호몰로지

5. 특수 (코)호몰로지 이론

상대 호몰로지는 부분공간이 갖추어진 위상 공간의 범주 $\backslash operatorname\{Top^2\}$에서 아벨 군의 범주 $\backslash operatorname\{Ab\}$로 가는 일련의 함자 $H\_n$과 이들 함자 사이의 자연 변환 $\backslash partial\_n\backslash colon\; H\_n\backslash to\; H\_\{n-1\}$로 구성된다.

이 데이터가 '''보통 호몰로지 이론'''(ordinary homology theory^영어)을 이루려면, 다음과 같은 다섯 개의 공리를 만족해야 한다.

• (호모토피 불변성) $g,h\backslash colon(X,A)\backslash to(Y,B)$가 서로 호모토픽하다면, $H\_\backslash bullet(f)=H\_\backslash bullet(g)$이다. 즉, 이 함자는 부분집합이 갖추어진 위상 공간과 그 호모토피들의 범주 $\backslash operatorname\{hTop^2\}$에 정의된다.
• (절단 정리) $\backslash operatorname\{cl\}(U)\backslash subset\backslash operatorname\{int\}(A)$라면 $H\_\backslash bullet(X,A)=H\_\backslash bullet(X\backslash setminus\; U,A\backslash setminus\; U)$이다.
• (차원 공리) $P$가 점 하나만을 포함한 위상 공간이라고 하자. 그렇다면 $n\backslash ne0$인 경우 $H\_n(P,\backslash varnothing)=0$이다.
• (가법성) $X=\backslash bigsqcup\_\backslash alpha\; X\_\backslash alpha$가 집합들의 서로소 합집합이라고 하자. 그렇다면 $H\_\backslash bullet(X,\backslash varnothing)=\backslash bigoplus\_\backslash alpha\; H\_\backslash bullet(X\_\backslash alpha,\backslash varnothing)$이다.
• (완전성) 다음과 같은 완전열이 존재한다.

5. 1. 예시

참조

_[1] 서적 History of Topology Elsevier
_[2] 간행물 Axiomatic Approach to Homology Theory 1945-04-01