오방십이면체
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1. 개요
오방십이면체는 기하학적 성질을 가지는 다면체로, 이등변삼각형 면으로 구성된다. 황금비를 사용하여 꼭짓점과 모서리의 길이, 각도 등을 계산할 수 있으며, 세 개의 대칭 위치를 갖는다. 오목 오방십이면체와 관련 다면체, 정다면체와의 관계를 설명하며, 화학에서는 풀러렌의 모형으로, 생물학에서는 바이러스 캡시드의 모델로 사용된다. 또한, 월트 디즈니 월드의 스페이스십 어스, TV 쇼 크리스탈 메이즈의 크리스탈 돔 등 문화적 레퍼런스로도 활용된다.
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- 카탈란의 다면체 - 마름모십이면체
마름모십이면체는 12개의 마름모로 이루어진 면추이 다면체이자 카탈란 다면체로서, 특정 비율의 대각선과 변을 가진 마름모로 구성되며, 공간을 채우는 평행다면체로서 벌집 구조, 광물 결정 구조, 우주선 반작용 휠 배치 등 다양한 분야에 응용되고, 정육면체, 정팔면체, 정팔포체, 정이십사포체와 관련이 있으며 초입방체의 투영으로 얻을 수 있다. - 카탈란의 다면체 - 마름모삼십면체
마름모삼십면체는 30개의 마름모 면으로 구성된 다면체로, 마름모의 대각선 길이 비율이 황금비를 따르며 정십이면체, 정이십면체와 관련이 있고 3차원 쌍곡 공간을 채울 수 있으며 디자인 등 다양한 분야에 활용된다.
| 오방십이면체 | |
|---|---|
| 개요 | |
 | |
| 종류 | 카탈란의 입체, 육십면체 |
| 면의 수 | 60 |
| 면의 종류 | 이등변삼각형의 일종 |
| 모서리의 수 | 90 |
| 꼭짓점의 수 | 32 |
| 대칭군 | Ih |
| 쌍대 | 깎은 정이십면체 |
| 성질 | 볼록집합 |
| |
| |
| |
2. 기하학적 성질
- 구성 면이 되는 이등변삼각형의 모양
- * 꼭지각: 약 68.62°
- * 밑각: 약 55.69°
- * 짧은 변 : 긴 변 = 6:9-√5
황금비를 \(\phi\)라고 하자. (\(0, \pm 1, \pm \phi\))로 주어지는 12개의 점과 이 좌표의 순환적 순열은 정이십면체의 꼭짓점이다. 그 쌍대 정십이면체는 모서리가 이십면체의 모서리와 직각으로 교차하며, (\(\pm 1, \pm 1, \pm 1\))과 (\(\pm\phi, \pm 1/\phi, 0\))의 점과 이 좌표의 순환적 순열을 꼭짓점으로 갖는다. 이십면체의 모든 좌표에 \((3\phi+12)/19\approx 0.887\,057\,998\,22\)의 인수를 곱하면 약간 작은 이십면체가 된다. 이 이십면체의 12개 꼭짓점과 십이면체의 꼭짓점은 원점을 중심으로 하는 오방십이면체의 꼭짓점이다. 긴 모서리의 길이는 \(2/\phi\)이다. 그 면은 \(\arccos((-8+9\phi)/18)\approx 68.618\,720\,931\,19^{\circ}\)의 각 하나와 \(\arccos((5-\phi)/6)\approx 55.690\,639\,534\,41^{\circ}\)의 각 두 개를 갖는 예각 이등변 삼각형이다. 이 삼각형의 긴 모서리와 짧은 모서리 사이의 길이 비율은 \((5-\phi)/3\approx 1.127\,322\,003\,75\)이다.
오방십이면체는 세 개의 대칭 위치를 가지며, 두 개는 꼭짓점에, 하나는 중간 모서리에 위치한다.
| 투영 대칭 | [2] | [6] | [10] |
|---|---|---|---|
| 이미지 |  |  |  |
| 쌍대 이미지 |  |  |  |
2. 1. 카테시안 좌표
황금비를 \(\phi\)라고 하자. (\(0, \pm 1, \pm \phi\))로 주어지는 12개의 점과 이 좌표의 순환적 순열은 정이십면체의 꼭짓점이다. 그 쌍대 정십이면체는 모서리가 이십면체의 모서리와 직각으로 교차하며, (\(\pm 1, \pm 1, \pm 1\))과 (\(\pm\phi, \pm 1/\phi, 0\))의 점과 이 좌표의 순환적 순열을 꼭짓점으로 갖는다. 이십면체의 모든 좌표에 \((3\phi+12)/19\approx 0.887\,057\,998\,22\)의 인수를 곱하면 약간 작은 이십면체가 된다. 이 이십면체의 12개 꼭짓점과 십이면체의 꼭짓점은 원점을 중심으로 하는 오방십이면체의 꼭짓점이다. 긴 모서리의 길이는 \(2/\phi\)이다. 그 면은 \(\arccos((-8+9\phi)/18)\approx 68.618\,720\,931\,19^{\circ}\)의 각 하나와 \(\arccos((5-\phi)/6)\approx 55.690\,639\,534\,41^{\circ}\)의 각 두 개를 갖는 예각 이등변 삼각형이다. 이 삼각형의 긴 모서리와 짧은 모서리 사이의 길이 비율은 \((5-\phi)/3\approx 1.127\,322\,003\,75\)이다.2. 2. 면
wikitext- 구성 면이 되는 이등변삼각형의 모양
- * 꼭지각: 약 68.62°
- * 밑각: 약 55.69°
- * 짧은 변 : 긴 변 = 6:9-√5
2. 3. 투영
오방십이면체는 세 개의 대칭 위치를 가지며, 두 개는 꼭짓점에, 하나는 중간 모서리에 위치한다.| 투영 대칭 | [2] | [6] | [10] |
|---|---|---|---|
| 이미지 | |||
| 쌍대 이미지 |
wikitext
정다면체의 면은 일반적인 경우 '''올린 정십이면체'''라고 하는 것을 생성하기 위해 임의의 정오각뿔로 대체(또는 추가)될 수 있다. 예를 들어, 정삼각형을 가진 오각뿔을 사용하는 경우, 결과는 비볼록 다면체 델타면체가 된다. 이러한 올린 정십이면체는 오각십이면체, 즉 동일한 슐레겔 도형과 동일한 조합 구조를 갖는다.
3. 오목 오방십이면체
'''오목 십이면체'''는 십이면체의 오각형 면을 '뒤집힌' 피라미드로 대체한 것이다.
4. 관련 다면체
오각십이면체는 깎은 정이십면체의 쌍대다면체이다. [5,3], (*532)의 대칭을 갖는다.균일한 정이십면체 다면체족 대칭: [5,3], (*532) 
{5,3} t{5,3} r{5,3} t{3,5} {3,5} rr{5,3} tr{5,3} sr{5,3} 균일 다면체의 쌍대 
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5 
(조금 더 높게 올림)
4. 1. 정다면체와의 관계
정십이면체의 면을 정오각뿔로 대체하거나 추가하여 "올린 정십이면체"를 만들 수 있다. 예를 들어, 정삼각형을 가진 오각뿔을 사용하면, 비볼록 다면체 델타면체가 된다. 이러한 올린 정십이면체는 오각십이면체와 동일한 슐레겔 도형 및 조합 구조를 갖는다.
오각십이면체는 깎은 정이십면체의 쌍대다면체이다. [5,3], (*532)의 대칭을 갖는다.
| 균일한 정이십면체 다면체족 | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 대칭: [5,3], (*532) | [5,3]+, (532) | ||||||
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| {5,3} | t{5,3} | r{5,3} | t{3,5} | {3,5} | rr{5,3} | tr{5,3} | sr{5,3} |
| 균일 다면체의 쌍대 | |||||||
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| V5.5.5 | V3.10.10 | V3.5.3.5 | V5.6.6 | V3.3.3.3.3 | V3.4.5.4 | V4.6.10 | V3.3.3.3.5 |
4. 2. 균일 정이십면체 다면체족
wikitext5. 화학, 생물학에서의 등장
5. 1. 화학
'''오방십이면체'''는 풀러렌의 모형으로, 각 (구형) 표면 조각은 탄소 원자를 나타낸다. 모두 평면으로 대체하면 오방십이면체가 생성된다. 절단된 이십면체는 풀러렌의 모형이며, 각 꼭짓점은 탄소 원자를 나타낸다.
5. 2. 생물학
아데노 관련 바이러스와 같이 20면체 대칭을 갖는 일부 바이러스는 60개의 대칭 관련 캡시드 단백질을 가지고 있으며, 이들이 결합하여 오방십이면체의 60개 대칭 면을 형성하여 모델로 사용되기도 한다.6. 문화적 রেফারেন্স
월트 디즈니 월드의 엡코트에 있는 스페이스십 어스 구조물은 오방십이면체의 파생물이다. 제프리 린지가 설계한 캠퍼스 예술 워크숍의 모델은 실제로는 반구형 오방십이면체였다. 인기 TV 게임 쇼 ''크리스탈 메이즈''에 사용된 "크리스탈 돔"의 형태는 오방십이면체를 기반으로 했다. 닥터 아토믹에서 뉴멕시코에서 폭발한 최초의 원자 폭탄의 모양은 오방십이면체였다. 데 블롭 2의 감옥 동물원에서는 돔이 오방십이면체의 일부로 구성되어 있으며, 이러한 돔은 또한 플레이어가 하이노 레이 레벨에서 돔으로 변신할 때마다 나타난다. 사람들이 즐겁게 노는 일부 지오돔은 오방십이면체, 또는 적어도 융기된 십이면체이다.
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