오차 삼중체

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. P⁴ 안의 초곡면
3. 예
4. 오차 삼중체 안의 곡선
- 4.1. 유리 곡선
참조

1. 개요

오차 삼중체는 사영 공간 P⁴ 안에서 5차 동차 다항식으로 정의되는 칼라비-야우 다양체의 한 종류이다. 가장 많이 연구된 예는 페르마 다항식에서 파생된 것이며, P⁴ 안의 초곡면과 페르마 오차 삼중체 등이 있다. 오차 삼중체 안의 곡선과 관련하여, 1차 유리 곡선의 개수는 2875개이며, 2차 유리 곡선은 609250개이다.

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오차 삼중체
개요
퀸틱 교차점의 예시
유형	칼라비-야우 다양체
차원	3차원
호지 수 (Hodge number)	h1,1 = 1, h2,1 = 101
상세 정보
정의	4차원 사영 공간 안의 5차 초곡면
특이점	없음 (일반적인 경우)
용도	끈 이론의 콤팩트화에 사용
호지 다이아몬드 (Hodge diamond)
참고 문헌

2. 정의

오차 삼중체는 사영 공간 $\mathbb{P}^4$ 안의 5차 사영 다형체이며, 칼라비-야우 다양체의 특별한 한 종류이다. 이는 $\mathbb{P}^4$ 안에서 5차 동차 다항식 하나로 정의되는 초곡면으로 생각할 수 있다. 수학적으로는 특정 조건을 만족하는 점들의 집합으로 정의되며, 그 구체적인 조건과 성질은 하위 섹션에서 다룬다.

2. 1. P⁴ 안의 초곡면

오차 삼중체는 P⁴ (

\mathbb{P}^4

) 안의 차수 5인 초곡면으로 정의되는 특별한 종류의 칼라비-야우 다양체이다. 많은 예제가

\mathbb{P}^4

안의 초곡면 또는

\mathbb{P}^4

에 있는 완전 교차 등으로 구성된다. 집합으로서 오차 삼중체는 다음과 같이 표현할 수 있다.

X = \{x = [x_0:x_1:x_2:x_3:x_4] \in \mathbb{CP}^4 : p(x) = 0 \}

여기서

p(x)

는 5차 동차 다항식이다. 가장 많이 연구된 예시 중 하나는 페르마 다항식으로 불리는 다음 식이다.

p(x) = x_0^5 + x_1^5 + x_2^5 + x_3^5 + x_4^5

어떤 사영 다형체

X

가 칼라비-야우 다양체가 되기 위한 중요한 조건 중 하나는 표준 다발

\omega_X

이 자명해야 한다는 것이다.

\mathbb{P}^4

안의

d

차 초곡면

X

에 대해 Adjunction 공식을 사용하면 표준 다발을 계산할 수 있다.

\begin{align}\Omega_X^3 &= \omega_X \\&= \omega_{\mathbb{P}^4}\otimes \mathcal{O}(d) \\&\cong \mathcal{O}(-(4+1))\otimes\mathcal{O}(d) \\&\cong \mathcal{O}(d-5)\end{align}

이 계산 결과로부터, 표준 다발이 자명하기 위해서는(

\omega_X \cong \mathcal{O}(0)

), 초곡면의 차수

d

가 5여야 함을 알 수 있다. 따라서

\mathbb{P}^4

안의 5차 초곡면은 자명한 표준 다발을 가진다.

추가적으로, 칼라비-야우 다양체는 매끄러운 다양체여야 한다. 이는 초곡면을 정의하는 동차 다항식

f

와 그것의 모든 편미분

\partial_0f,\ldots, \partial_4f

들이 동시에 0이 되는 점이 사영 공간 안에 존재하지 않는다는 조건으로 확인된다. 즉, 다음 집합이 공집합이어야 한다.

\{ x = [x_0:\cdots:x_4] | f(x) = \partial_0f(x) = \cdots = \partial_4f(x) = 0 \}

이 매끄러움 조건과 자명한 표준 다발 조건을 모두 만족하는

\mathbb{P}^4

안의 5차 초곡면이 오차 삼중체, 즉 칼라비-야우 다양체가 된다.

3. 예

오차 삼중체는 4차원 사영 공간 $\mathbb{P}^4$ 에서 차수가 5인 대수다양체로 정의되는 특별한 칼라비-야우 다양체이다. 많은 오차 삼중체는 $\mathbb{P}^4$ 안의 초곡면이나 완전 교차로 만들어지거나, 특이점을 가진 다른 다양체를 매끄럽게 만든 형태로 나타난다. 집합으로서 오차 삼중체는 일반적으로 다음과 같이 표현될 수 있다.

$X = \{x = [x_0:x_1:x_2:x_3:x_4] \in \mathbb{CP}^4 : p(x) = 0 \}$

여기서 $p(x)$ 는 변수 $x_0, x_1, x_2, x_3, x_4$ 에 대한 차수 5인 동차 다항식이다.

오차 삼중체의 대표적인 예시는 다음과 같다.

페르마 오차 삼중체(Fermat quintic threefold^영어): 가장 잘 알려지고 많이 연구된 예시 중 하나로, 페르마 다항식이라고 불리는 다음 방정식으로 정의된다.

x_0^5 + x_1^5 + x_2^5 + x_3^5 + x_4^5 = 0

또는 변수를 다르게 써서

V^5+W^5+X^5+Y^5+Z^5=0

으로 표현되기도 한다. 이 다양체가 매끄러운 다양체이며 칼라비-야우 다양체의 조건을 만족함은 편미분 등을 통해 확인할 수 있다.

바르트-니에토 오차 삼중체(Barth–Nieto quintic^영어)

3. 1. 페르마 오차 삼중체

칼라비-야우 다양체의 가장 대표적이고 연구가 많이 진행된 예시 중 하나는 페르마 오차 삼중체(Fermat quintic threefold^영어)이다. 이는 복소 사영 공간

\mathbb{P}^4

에서 차수가 5인 초곡면으로 정의되는 특별한 종류의 칼라비-야우 다양체이다.

페르마 오차 삼중체는 다음과 같은 동차 다항식의 영점 집합으로 정의된다.

p(x) = x_0^5 + x_1^5 + x_2^5 + x_3^5 + x_4^5 = 0

이 방정식은 5개의 변수를 각각 5제곱하여 더한 형태로, 페르마의 이름을 따 페르마 다항식이라고도 불린다. 이러한 대칭적인 구조 때문에 다양한 수학적 연구의 대상이 되어왔다.

집합으로서 페르마 오차 삼중체는 다음과 같이 표현할 수 있다.

X = \{x = [x_0:x_1:x_2:x_3:x_4] \in \mathbb{CP}^4 : x_0^5 + x_1^5 + x_2^5 + x_3^5 + x_4^5 = 0 \}

이 다양체가 실제로 칼라비-야우 다양체의 조건을 만족한다는 것을 증명하기 위해서는 접합 공식이나 매끄러움 조건과 같은 추가적인 수학적 도구가 필요하다. 페르마 오차 삼중체의 경우, 다항식

f = x_0^5 + x_1^5 + x_2^5 + x_3^5 + x_4^5

의 모든 편도함수

\partial_i f = 5x_i^4

가 동시에 0이 되는 지점은 원점

[0:0:0:0:0]

뿐인데, 이는

\mathbb{P}^4

의 점이 아니므로, 페르마 오차 삼중체는 특이점을 갖지 않는 매끄러운 다양체임을 알 수 있다.

3. 2. 오차 삼중체의 드워크 족

다양한 맥락에서 연구되는 오차 삼중체의 또 다른 중요한 예시로는 드워크 족이 있다. 이 족에 대한 유명한 연구 중 하나는 필립 칸델라스(Philip Candelas), 실리아 데 라 오사(Xenia de la Ossa), 폴 그린(Paul Green), 린다 파크스(Linda Parkes)가 거울 대칭을 발견했을 때 이루어졌다.^[3] 이 족은 다음 방정식으로 정의된다.^[4] ^{pages 123-125}

f_\psi = x_0^5 + x_1^5 + x_2^5 + x_3^5 + x_4^5 - 5\psi x_0x_1x_2x_3x_4

여기서

\psi

는 1의 5제곱근(단위근)이 아닌 복소수 매개변수이다. 이 다양체의 특이점은

f_\psi

의 모든 편도함수가 0이 되는 지점을 찾아냄으로써 결정할 수 있다. 편도함수는 다음과 같다.

\begin{align}\partial_0f_\psi &= 5x_0^4 - 5\psi x_1x_2x_3x_4 \\\partial_1f_\psi &= 5x_1^4 - 5\psi x_0x_2x_3x_4 \\\partial_2f_\psi &= 5x_2^4 - 5\psi x_0x_1x_3x_4 \\\partial_3f_\psi &= 5x_3^4 - 5\psi x_0x_1x_2x_4\\\partial_4f_\psi &= 5x_4^4 - 5\psi x_0x_1x_2x_3\\\end{align}

모든 편도함수가 0이 되는 지점에서는

x_i^5 = \psi x_0x_1x_2x_3x_4

(

i=0, 1, 2, 3, 4

) 관계가 성립한다. 예를 들어,

\partial_0f_\psi = 0

식의 양변을 5로 나누고

x_0

를 곱하면 다음을 얻는다.

\begin{align}5x_0^4 &= 5\psi x_1x_2x_3x_4 \\x_0^4 &= \psi x_1x_2x_3x_4 \\x_0^5 &= \psi x_0x_1x_2x_3x_4\end{align}

다섯 개의 방정식

x_i^5 = \psi x_0x_1x_2x_3x_4

를 모두 곱하면 다음 관계식을 얻는다.

\prod_{i=0}^4 x_i^5 = \psi^5 \left(\prod_{i=0}^4 x_i\right)^5

이 식은 모든

x_i

가 0이거나 또는

\psi^5 = 1

임을 의미한다. 모든

x_i

가 0인 경우는 자명한 해이며,

f_\psi

의 변화하는 항(

- 5\psi x_0x_1x_2x_3x_4

)이 사라지므로 매끄러운 영점 부분 집합을 제공한다. 따라서 특이점은

\psi^5 = 1

일 때 발생한다. 주어진

\psi

에 대해 (

\psi^5 = 1

), 특이점은 다음과 같은 형태를 가진다.

[\mu_5^{a_0}:\cdots:\mu_5^{a_4}]

이고, 다음 조건을 만족한다:

\mu_5^{\sum a_i}=\psi^{-1}

여기서

\mu_5 = e^{2 \pi i / 5}

는 1의 5제곱근이다. 예를 들어,

\psi = 1

일 때, 점

[\mu_5^4:\mu_5^{-1}:\mu_5^{-1}:\mu_5^{-1}:\mu_5^{-1}]

은

f_1

과 그 편도함수 모두의 해가 된다. 왜냐하면

(\mu_5^k)^5 = (\mu_5^5)^k = 1^k = 1

이고, 편도함수 방정식

x_i^4 = \psi \prod_{j \neq i} x_j

를 만족하기 때문이다. 예를 들어

i=0

일 때,

x_0^4 = (\mu_5^4)^4 = \mu_5^{16} = \mu_5^1

이고,

\psi \prod_{j \neq 0} x_j = 1 \cdot (\mu_5^{-1})^4 = \mu_5^{-4} = \mu_5^1

이므로

\partial_0 f_1 = 0

이 성립한다. 다른 편도함수들도 마찬가지로 0이 된다.

3. 3. 다른 예

바르트-니에토 오차 삼중체
콘사니-숄텐 오차 삼중체
페르마 오차 삼중체 Fermat quintic threefold^eng는 $V^5+W^5+X^5+Y^5+Z^5=0$ 로 주어진다.

4. 오차 삼중체 안의 곡선

오차 삼중체 안에 놓인 곡선들을 연구하는 것은 대수기하학의 중요한 문제 중 하나이다. 특히 유리 곡선의 개수를 세는 문제가 활발히 연구되었다. 예를 들어, 일반적인 오차 삼중체 안에는 정확히 2875개의 직선(1차 유리 곡선)이 존재한다는 사실이 슈베르트 미적분을 통해 계산되었다.^[10]^[5] 더 높은 차수의 유리 곡선 개수에 대한 연구도 진행되었으며, 이는 끈 이론과 같은 물리학 분야와도 연관성을 가진다.

4. 1. 유리 곡선

헤르베르트 클레멘스는 일반적인 오차 삼중체 안에 주어진 차수의 유리 곡선의 개수는 유한할 것이라고 추측했다.^[1] (일부 매끄럽지만 일반적이지 않은 오차 삼중체는 무한한 직선 족을 포함하기도 한다.)

차수 1인 유리 곡선(직선)의 개수는 슈베르트 미적분을 사용하여 계산할 수 있으며, 그 값은 2875이다.^[10]^[5] 이는 5차원 벡터 공간의 2차원 부분 공간들의 그라스마니안

G(2,5)

위의 특정 벡터 다발(접다발의 쌍대 다발

T^*

)의 대칭 거듭제곱

\text{Sym}^5(T^*)

의 오일러 특성류를

\mathbb{P}^4

안의 직선들의 공간인

\mathbb{G}(1,4)

상에서 적분하여 얻을 수 있다.

셸던 카츠는 클레멘스의 추측이 7차 이하의 유리 곡선에 대해 성립함을 보였고, 특히 2차 유리 곡선의 개수가 609250개임을 계산했다.^[2]

필립 칸델라스, 세니아 데 라 오사, 폴 그린, 린다 파크스는 1991년에 임의의 차수에 대한 유리 곡선의 가상 개수를 구하는 일반적인 공식을 추측했다.^[3] 이 공식은 이후 알렉산드르 기벤탈에 의해 증명되었다.^[4] 여기서 '가상 개수'가 실제 곡선의 개수와 같다는 것은 클레멘스 추측의 증명에 달려 있으며, 현재까지 11차 유리 곡선까지 실제 개수와 일치함이 확인되었다.^[6]

일반적인 오차 삼중체 위의 차수별 유리 곡선 개수는 다음과 같은 수열로 주어진다.

1차: 2875
2차: 609250
3차: 317206375
4차: 242467530000
... (이후 계속됨)

일반적인 오차 삼중체는 칼라비-야우 다양체의 한 예이다. 주어진 차수의 유리 곡선들의 모듈라이 공간은 이산적이고 유한한 점들의 집합(따라서 콤팩트 공간)으로 여겨지므로, 잘 정의된 도널드슨-토마스 불변량을 가진다. 이 불변량은 "가상 점의 개수"를 나타내며, 적어도 1차와 2차의 경우에는 실제 유리 곡선의 개수와 일치한다.

참조

_[1] 웹사이트 The Unreasonable Effectiveness of Quantum Physics in Modern Mathematics https://www.youtube.[...] Trev M 2015-03-29
_[2] 논문 Lines on the Fermat quintic threefold and the infinitesimal generalized Hodge conjecture https://www.ams.org/[...] 1991
_[3] 논문 A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal theory https://dx.doi.org/1[...] 1991-07-29
_[4] 서적 Calabi-Yau Manifolds and Related Geometries: Lectures at a Summer School in Nordfjordeid, Norway, June 2001 https://www.springer[...] Springer-Verlag 2003
_[5] 서적 Enumerative Geometry and String Theory
_[6] 웹인용 The Unreasonable Effectiveness of Quantum Physics in Modern Mathematics https://www.youtube.[...] Trev M 2015-03-29
_[7] 저널 Lines on the Fermat quintic threefold and the infinitesimal generalized Hodge conjecture https://www.ams.org/[...] 1991
_[8] 저널 A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal theory https://dx.doi.org/1[...] 1991-07-29
_[9] 서적 Calabi-Yau Manifolds and Related Geometries: Lectures at a Summer School in Nordfjordeid, Norway, June 2001 https://www.springer[...] Springer-Verlag 2003
_[10] 서적 Enumerative Geometry and String Theory

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