유리 함수

3. 성질

체의 계수를 갖는 유리 함수들은 체를 이루며, 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 성립한다.

유리 함수체의 경우 다음과 같은 체의 동형이 존재한다.

:$K(x\_1,\backslash dots,x\_n)\backslash cong\; K(x\_1)(x\_2)\backslash cdots(x\_n)$

유리 함수체는 대수적으로 닫힌 체가 아니며, 그 대수적 폐포를 대수 함수의 체 $\backslash overline\{K(x\_1,\backslash dots,x\_n)\}$라고 한다.

유리 함수를 테일러 급수로 표현했을 때, 그 계수는 동류항 정리를 통해 일차 점화식으로 나타낼 수 있다. 예를 들어, 다음 유리 함수의 테일러 급수를 생각해보자.

:$\backslash frac\{1\}\{x^2\; -\; x\; +\; 2\}\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\{\backslash infty\}\; a\_k\; x^k.$

양변에 분모를 곱하여 분해하면 다음과 같다.

:$1\; =\; (x^2\; -\; x\; +\; 2)\; \backslash sum\_\{k=0\}^\{\backslash infty\}\; a\_k\; x^k$

:$1\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\{\backslash infty\}\; a\_k\; x^\{k+2\}\; -\; \backslash sum\_\{k=0\}^\{\backslash infty\}\; a\_k\; x^\{k+1\}\; +\; 2\backslash sum\_\{k=0\}^\{\backslash infty\}\; a\_k\; x^k.$

동류항 정리를 통해 다음 등식을 얻는다.

:$1\; =\; \backslash sum\_\{k=2\}^\{\backslash infty\}\; a\_\{k-2\}\; x^k\; -\; \backslash sum\_\{k=1\}^\{\backslash infty\}\; a\_\{k-1\}\; x^k\; +\; 2\backslash sum\_\{k=0\}^\{\backslash infty\}\; a\_k\; x^k.$

이 과정을 통해 최초 주어진 유리식을 테일러 전개했을 때, 계수의 일차 점화식을 얻을 수 있으며, 이 점화식을 풀면 일반항을 얻을 수 있다.

:$a\_0\; =\; \backslash frac12$

:$a\_1\; =\; \backslash frac14$

:$a\_\{k\}\; =\; \backslash frac12(a\_\{k-1\}\; -\; a\_\{k-2\})\backslash qquad(k\backslash ge2)$

유리 함수의 테일러 급수 계수는 선형 점화 관계를 만족하며, 이는 분모를 제거한 후 유리 함수를 미정 계수를 가진 테일러 급수와 같다고 놓고 동류항을 모아 찾을 수 있다. 위의 예시에서 보듯이, 분모를 곱하고 분배하고, 합의 지수를 조정하여 동일한 거듭제곱의 ''x''를 얻은 뒤, 동류항을 결합하면 선형 점화 관계를 얻을 수 있다.

반대로, 선형 점화 관계를 만족하는 모든 수열은 테일러 급수의 계수로 사용될 때 유리 함수를 결정한다. 이것은 그러한 점화 관계를 푸는 데 유용한데, 부분 분수 분해를 사용하면 모든 고유 유리 함수를 형태의 인수의 합으로 쓰고 이를 기하 급수로 확장하여 테일러 계수에 대한 명시적 공식을 얻을 수 있기 때문이다. 이것이 생성 함수의 방법이다.

유리 함수의 차수에 대한 여러 가지 동등하지 않은 정의가 있다.

가장 일반적으로, 유리 함수의 ''차수''는 분수가 기약 분수로 축소되었을 때 구성 다항식 와 의 차수의 최댓값이다. 의 차수가 이면, 다음 방정식

:$f(z)\; =\; w\; \backslash ,$

는 특정 값 를 제외하고 에서 개의 서로 다른 해를 가진다. 이 를 ''임계값''이라고 하며, 여기서 두 개 이상의 해가 일치하거나 일부 해가 무한대에서 거부된다.

복소수 계수의 경우, 차수가 1인 유리 함수는 ''뫼비우스 변환''이다.

유리 함수의 그래프의 차수는 위에 정의된 차수가 아니다. 분자의 차수와 분모의 차수 더하기 1의 최댓값이다.

점근적 분석과 같은 일부 맥락에서 유리 함수의 ''차수''는 분자와 분모의 차이이다.^[2][3]

네트워크 합성 및 네트워크 분석에서 차수가 2인 유리 함수(즉, 최대 차수가 2인 두 다항식의 비율)는 종종 ''이차 함수''라고 불린다.^[4]

4. 예시

• 다음 유리 함수

5. 추상대수학과 기하학적 개념

추상대수학에서 체 ''F''와 불확정원 ''X''가 주어지면, '''유리식'''은 ''F''[''X'']의 다항식환의 분수체의 원소이다. 모든 유리식은 두 다항식 ''P''/''Q'' (''Q'' ≠ 0)의 몫으로 쓸 수 있다. ''F''[''X'']는 유일 인수 분해 정역이므로, 임의의 유리식 ''P''/''Q''에 대해 ''P''와 ''Q''가 가장 낮은 차수의 다항식이고 ''Q''가 단항식 다항식으로 선택된 경우, 유일한 표현이 존재한다. 이는 정수 분수가 공통 인수를 제거하여 항상 가장 낮은 항으로 고유하게 쓸 수 있는 방식과 유사하다.^[1]

유리식의 체는 ''F''(''X'')로 표시된다. 유리식은 ''n''개의 미지수 ''X''₁,..., ''X''_''n''으로 일반화될 수 있으며, 이는 ''F''[''X''₁,..., ''X''_''n'']의 분수체를 취하여 ''F''(''X''₁,..., ''X''_''n'')으로 표기된다.

대수다양체의 함수체 ''V''는 ''V''의 좌표환의 분수체로 형성된다. 그 원소 ''f''는 비어 있지 않은 열린 집합 ''U''에서 대수 기하학적 의미에서 정칙 함수로 간주되며, 사영 직선으로의 사상으로 볼 수도 있다.

5. 1. 복소 유리 함수

6. 부정적분

실계수 일변수 유리 함수

:$f(x)\; =\; \backslash frac\{P(x)\}\{Q(x)\}$

가 주어졌을 때, 분모 $Q(x)$의 최고차항 계수가 1이고 $k$개의 서로 다른 실근 $r\_1,\; \backslash dots,\; r\_k$를 가질 경우, 기약 다항식의 곱

:$$

Q(x) = (x - r_1)^{m_1} \dotsm (x - r_k)^{m_k} (x^2 + s_1 x + t_1)^{n_1} \dotsm (x^2 + s_l + t_l)^{n_l}



으로 분해할 수 있다. 이때 유리 함수 $f(x)$는 다음 형태의 함수를 사용하여 나타낼 수 있다(부분 분수 분해).

:$$

\begin{align}

f_0(x) &= x^u && (u \ge 0) \\

f_1(x) &= \frac{1}{x - r} && \\

f_2(x) &= \frac{1}{(x - r)^v} && (v > 1) \\

f_3(x) &= \frac{1}{x^2 + a^2} && (a \neq 0) \\

f_4(x) &= \frac{1}{(x^2 + a^2)^w} && (w > 1,\ a \neq 0) \\

f_5(x) &= \frac{x}{x^2 + a^2} && (a \neq 0)\\

f_6(x) &= \frac{x}{(x^2 + a^2)^w} && (w > 1,\ a \neq 0)

\end{align}



따라서 유리 함수 $f(x)$의 부정적분은 $f\_i(x)$의 부정 적분 $F\_i(x)$를 사용하여 나타낼 수 있다.

:$$

\begin{align}

F_0(x) &= \frac{1}{u + 1} x^{u + 1} \\

F_1(x) &= \log|x - r| \\

F_2(x) &= \frac{-1}{v - 1}\frac{1}{(x - r)^{v - 1}} \\

F_3(x) &= \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} \\

F_4(x) &= \frac{1}{2a^2}\bigg(\frac{1}{w - 1}\frac{x}{(x^2 + a^2)^{w - 1}} + \frac{2w - 3}{w - 1}\int\frac{dx}{(x^2 + a^2)^{w - 1}} \bigg) \\

F_5(x) &= \frac{1}{2}\log(x^2 + a^2) \\

F_6(x) &= \frac{-1}{2(w - 1)}\frac{1}{(x^2 + a^2)^{w - 1}}

\end{align}



특히 유리 함수의 부정 적분은 유리 함수를 사용하여 나타낼 수 없는 경우도 있지만, 유리 함수에 더하여 로그 함수 $log$와 아크탄젠트 함수 $arctan$을 사용하면 반드시 나타낼 수 있다.

한편 복소수 계수 일변수 유리 함수가 주어졌을 때, 그 부정 적분은 유리 함수와 로그 함수만 사용하면 반드시 나타낼 수 있으므로, 더욱 간단하다. (로그 함수는 다중가 함수이며, 편각에서 기인하는 부정성이 있지만, 부정 적분에서는 적분 상수에만 영향을 미친다.)

7. 응용

수치 해석에서 유리 함수는 점의 보간이나 함수의 근사에 사용된다. 대표적인 예로 앙리 파데에 의한 파데 근사가 있다.^[6] 유리 함수를 사용한 근사법은 컴퓨터 대수 시스템을 비롯한 수치 계산 소프트웨어에 적합하다. 유리 함수는 다항식과 마찬가지로 계산이 용이하면서도, 다항식보다 폭넓은 표현이 가능하다.

유리 함수는 물리학의 장 및 힘, 분석 화학의 분광법, 생화학의 효소 동역학, 전자 회로, 항공역학, 생체 내 의약품 농도, 원자 및 분자의 파동 함수, 이미지 해상도 향상을 위한 광학 및 사진, 음향 및 소리를 포함하여 과학 및 공학에서 더 복잡한 방정식을 근사하거나 모델링하는 데 사용된다.

신호 처리에서, 무한 임펄스 응답을 갖는 일반적으로 사용되는 선형 시불변 시스템(필터)의 임펄스 응답에 대한 라플라스 변환(연속 시스템의 경우) 또는 z-변환(이산 시간 시스템의 경우)은 복소수에 대한 유리 함수이다.

일본에서는 고등학교 '수학III'에서 유리 함수를 처음 접하는 경우가 보통이다.

참조

_[1] 서적 Linear Systems and Control CRC Press 2003
_[2] 서적 Linear Systems https://onlinelibrar[...] Wiley 2022-11-05
_[3] 서적 Algebra II Springer 1990
_[4] 서적 Introduction to Circuit Analysis and Design Springer 2011
_[5] 웹사이트 Iteration of Rational Functions https://www.matem.un[...]
_[6] 간행물 Rational Approximation https://www.ams.org/[...] American Mathematical Society 2025-01