원자 단위계

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1. 개요
2. 역사
3. 정의
4. 활용
5. 유의 사항
참조

1. 개요

원자 단위계는 전자 정지 질량, 기본 전하, 환산 플랑크 상수, 유전율을 기본 단위로 사용하여 원자 물리학의 수학적 표현을 단순화하는 데 사용되는 단위계이다. 이 단위계는 하트리 에너지, 보어 반지름과 같은 유도 단위를 가지며, 슈뢰딩거 방정식과 같은 물리적 현상을 표현할 때 상수를 제거하여 방정식을 간결하게 만든다. 원자 단위계는 뤼드베리 원자 단위계와 같은 변형을 가지며, 현대적인 응용 분야에서 널리 사용된다.

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원자 단위계

2. 역사

하트리는 세 가지 물리 상수를 기반으로 단위를 정의했다.^[1]

방정식에서 다양한 보편 상수를 제거하고 수치 계산에서 10의 높은 거듭제곱을 피하기 위해 다음과 같이 정의된 '원자 단위'라고 부를 수 있는 단위를 사용하여 양을 표현하는 것이 편리합니다.

: ''길이 단위'', a_\text{H^영어} = h^2 \,/\, 4 \pi^2 m e^2^영어, 고정된 핵을 가진 수소 원자의 1-양자 원형 궤도의 궤도 역학에 대한 반경.

: ''전하 단위'', e^영어, 전자의 전하의 크기.

: ''질량 단위'', m^영어, 전자의 질량.

이것과 일치하는 것은 다음과 같습니다.

: ''작용 단위'', h \,/\, 2 \pi ^영어.

: ''에너지 단위'', [...]

: ''시간 단위'', 1 \,/\, 4 \pi c R ^영어.

여기서 R^영어의 현대적 등가물은 리드베리 상수 R_\infty^영어이고, m^영어은 전자 질량 m_\text{e^영어}이며, a_\text{H^영어}는 보어 반지름 a_0^영어이고, h / 2 \pi^영어는 환산 플랑크 상수 \hbar^영어이다. e^영어를 포함하는 하트리의 표현식은 e^영어의 정의 변경으로 인해 현대적 형태와 다르다.

1957년, 베테(Bethe)와 살피터(Salpeter)의 저서 ''하나 및 두 전자 원자의 양자 역학''^[3]은 하트리의 단위를 기반으로 했으며, 이를 '''원자 단위'''라고 줄여서 "a.u."라고 불렀다. 그들은 하트리의 길이 대신에 작용과 각운동량의 단위인 \hbar^영어을 기본 단위로 사용하기로 결정했다. 그들은 이 시스템의 길이 단위가 첫 번째 보어 궤도의 반경이고 속도가 보어 모형의 첫 번째 궤도에서 전자의 속도라고 언급했다.

1959년, 슐(Shull)과 홀(Hall)^[4]은 하트리 모델을 기반으로 '''원자 단위'''를 옹호했지만, 다시 \hbar^영어을 정의 단위로 사용하기로 했다. 그들은 거리 단위를 "보어 반지름"이라고 명시적으로 명명했다. 또한, 그들은 에너지 단위를 H = m e^4 / \hbar^2^영어로 쓰고 이를 '''하트리'''라고 불렀다. 이러한 용어는 양자 화학에서 널리 사용되게 되었다.^[5]

1973년, 맥위니(McWeeny)는 유전율을 \kappa_0 = 4 \pi \epsilon_0^영어의 형태로 정의 또는 기본 단위로 추가하여 슐과 홀의 시스템을 확장했다.^[6]^[7] 동시에 그는 e^영어의 SI 정의를 채택하여 원자 단위의 에너지에 대한 그의 표현식은 e^2 / (4 \pi \epsilon_0 a_0)^영어이며, 이는 8번째 SI 브로셔의 표현식과 일치한다.^[8]

3. 정의

원자 단위계는 원자 물리학에서 기호와 숫자를 줄여 편리하게 사용하기 위한 단위계이다.

예를 들어, 헬륨 원자에 대한 슈뢰딩거 방정식의 해밀토니안은 SI 단위를 사용하면 다음과 같다.^[2]

: $\hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2m_\text{e}} \nabla_1^2 - \frac{\hbar^2}{2m_\text{e}} \nabla_2^2 - \frac{2e^2}{4\pi\epsilon_0 r_1} - \frac{2e^2}{4\pi\epsilon_0 r_2} + \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r_{12}} ,$

하지만 원자 단위를 사용하면 다음과 같이 간단하게 표현된다.

: $\hat{H} = - \frac{1}{2} \nabla_1^2 - \frac{1}{2} \nabla_2^2 - \frac{2}{r_1} - \frac{2}{r_2} + \frac{1}{r_{12}} .$

이 식에서 상수 $\hbar$ , $m_\text{e}$ , $4 \pi \epsilon_0$ , $e$ 는 모두 1이다.

SI 단위로 표현된 거리는 정도이지만, 원자 단위로 표현하면 (1 보어 반지름) 정도이다. 원자 단위를 사용하면 기본 상수의 값이 수정되더라도 원자 단위로 계산된 값은 변하지 않는다는 장점이 있다.

하트리는 세 가지 물리 상수 (환산 플랑크 상수, 기본 전하, 전자 질량)를 기반으로 단위를 정의했다.^[1]

하트리 원자 단위계 정의의 기반이 된 물리 상수^[1]
물리 상수	하트리의 표현	현대적 표현
길이 단위		보어 반지름
전하 단위		기본 전하
질량 단위		전자 질량
작용 단위		환산 플랑크 상수
에너지 단위	[...]	하트리
시간 단위

1957년, Bethe와 Salpeter는 하트리의 단위를 기반으로 '''원자 단위'''(a.u.)라는 용어를 사용했다.^[3] 1959년, Shull과 Hall은^[4] 하트리 모델을 기반으로 '''원자 단위'''를 옹호했다. 1973년, McWeeny는 유전율을 의 형태로 정의 또는 기본 단위로 추가하여 Shull과 Hall의 시스템을 확장했다.^[6]^[7]

원자 단위계에서 제안된 기본 단위는 전자 정지 질량, 기본 전하, 환산 플랑크 상수 및 유전율이다.^[6]

하트리 원자 단위계에서는 에너지의 기본 단위로 하트리( $E_\text{h}$ )를 사용한다.^[45]^[52] 뤼드베리 원자 단위계에서는 에너지의 기본 단위로 뤼드베리(rydberg|뤼드베리^영어 또는 Ry^영어)를 사용한다.

3. 1. 기본 단위

전자 정지 질량을 질량의 기본 단위로, 기본 전하를 전하의 기본 단위로, 환산 플랑크 상수를 각운동량의 기본 단위로 사용한다.^[1]

기본 원자 단위
단위	이름	기호
질량	전자 정지 질량	$\!m_e$
전하	기본 전하	$\!e$
각운동량	환산 플랑크 상수	$\hbar = h/(2 \pi)$

1957년, Bethe와 Salpeter는 하트리의 단위를 기반으로 하여 '''원자 단위'''(a.u.)라는 용어를 사용했다.^[3] 그들은 작용과 각운동량의 단위인 $\hbar$ 를 기본 단위로 사용했다.

1959년, Shull과 Hall은^[4] 하트리 모델을 기반으로 '''원자 단위'''를 옹호했지만, $\hbar$ 를 정의 단위로 사용했다.

1973년, McWeeny는 유전율을 $\kappa_0 = 4 \pi \epsilon_0$ 의 형태로 정의 또는 기본 단위로 추가하여 Shull과 Hall의 시스템을 확장했다.^[6]^[7]

원자 단위계에서 제안된 기본 단위는 전자 정지 질량, 전하량의 크기, 플랑크 상수 및 유전율이다.^[6]

기본 원자 단위
기호 및 이름	물리량 (차원)	원자 단위	SI 단위
$\hbar$ , 환산 플랑크 상수	작용 (ML²T⁻¹)	1	^[10]
$e$ , 기본 전하	전하 (Q)	1	^[11]
$m_\text{e}$ , 전자 정지 질량	질량 (M)	1	^[12]
$4 \pi \epsilon_0$ , 유전율	유전율 (Q²W⁻¹L⁻¹)	1	^[13]

하트리 원자 단위계에서는 에너지의 기본 단위로 하트리( $E_\text{h}$ )를 사용한다. 1 하트리는 보어 반지름만큼 떨어진 두 개의 전하량이 갖는 포텐셜 에너지로 정의된다.^[45]^[52]

하트리 원자 단위계의 기본 단위^[53]
물리량	물리 상수	기호
전하	전하량	$e$
질량	전자 질량	$m_\mathrm{e}$
작용	디랙 상수	$\hbar$
길이	보어 반지름	$a_0$
에너지	하트리 에너지	$E_\text{h}$

3. 2. 유도 단위

단위	이름	기호	SI 단위계에서의 값
길이	보어 반지름	$a_0 = 4 \pi \epsilon_0 \hbar^2 / (m_\mathrm{e} e^2) = \hbar / (m_\mathrm{e} c \alpha)$	5.291772108E-11
에너지	하트리 에너지	$E_\mathrm{h} = m_\mathrm{e} e^4 / (4 \pi \epsilon_0 \hbar)^2 = \alpha^2 m_\mathrm{e} c^2$	2 Ry = 27.2113846eV = 4.35974417E-18
시간		$\hbar / E_\mathrm{h}$	2.418884326505E-17
속도		$a_0 E_\mathrm{h} / \hbar = \alpha c$	2.1876912633E6
힘		$E_\mathrm{h} / a_0$	8.2387225E-8
온도		$E_\mathrm{h} / k_\mathrm{B}$	3.1577464E5
압력		$E_\mathrm{h} / a_0^3$	2.9421912E13
전기장		$E_\mathrm{h} / e$	5.142E11

여기서 ''α''는 미세구조상수, ''ε''₀은 진공에서의 유전율, ''c''는 광속, ''k''_B는 볼츠만 상수이다.

3. 3. 뤼드베리 원자 단위계

뤼드베리 원자 단위계에서는 에너지의 기본 단위로 뤼드베리(rydberg|뤼드베리^영어 또는 Ry^영어)를 사용한다. 1 뤼드베리는 수소 원자의 보어의 원자 모형에서 바닥 상태의 전자 궤도가 갖는 고유 에너지와 같다. 즉,

:

\text{Ry}=\frac{m_\text{e}e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2}

따라서,

1\ E_\text{h} = 2\ \text{Ry}

이다.

4. 활용

많은 문헌에서 원자 단위계를 사용하여 방정식을 표현할 때, 변환 없이 양을 정의한다.^[7]^[4] 이들은 양을 무차원적인 것으로 취급하거나 방정식의 형태를 변경하는 것을 제안하지 않는다. 이는 차원적인 양의 관점에서 양을 표현하는 것과 일치하며, 원자 단위는 기호로 명시적으로 포함된다(예: m = 3.4 me^영어, m = 3.4 a.u. of mass^영어).^[41] 또한 명시적인 상수를 사용하여 방정식을 변경하지 않고 유지한다.

보편적인 고정 단위보다 문제에 더 적합한 단위를 선택하는 것도 제안된다. 예를 들어, 환산 질량을 기반으로 하되, 사용 시 신중하게 정의해야 한다.^[4] 원자 물리학에서는 모든 양의 변환을 통해 수학적 표현을 단순화하는 것이 일반적이다.

하트리는 원자 단위로 표현하면 "방정식에서 다양한 보편 상수를 제거할 수 있다"고 제안했다.^[1] 맥위니는 모든 기본 방정식을 상수 없이 무차원 형태로 작성할 수 있다고 제안했다. 계산된 모든 양이 나타나야 하는 단위는 물리적 차원에 내재되어 있으며 끝에 제공될 수 있다. 그는 또한 "기호를 일부 지정된 단위 시스템에 따라 나타내는 양의 수치적 척도로 해석하는" 관례를 언급하며, 이 경우 방정식은 순수한 숫자 또는 무차원 변수만 포함한다고 설명했다.

비공식적인 접근 방식은 종종 "방정식을 ħ = me = e = 4πε0 = 1^영어으로 설정하여 원자 단위로 표현"하는 것이다.^[41]^[42]^[43]

4. 1. 슈뢰딩거 방정식

SI 단위계에서 단일 전자에 대한 비상대론적 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

:

- \frac{\hbar^2}{2m_e} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}, t) = i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} (\mathbf{r}, t)

원자 단위계(au)에서는 플랑크 상수와 전자 질량을 각각 1로 놓기 때문에, 위 식은 다음과 같이 표현된다.

:

- \frac{1}{2} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}, t) = i \frac{\partial \psi}{\partial t} (\mathbf{r}, t)

에너지 단위를 리드베리(Ry)로 쓰려면 위의 식에 2를 곱하면 된다.

수소 원자에서 쿨롱 퍼텐셜에 대한 해밀토니안은 SI 단위계에서 다음과 같지만,^[2]

:

\hat H = - \frac{\hbar^2}{2m_e} \nabla^2 - \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{e^2}{r}

원자 단위계에서는 다음과 같이 간단하게 표현된다.

:

\hat H = - \frac{1}{2} \nabla^2 - \frac{1}{r}

헬륨 원자에 대한 슈뢰딩거 방정식의 Hamiltonian 연산자는 SI 단위를 사용하면 다음과 같다.^[2]

:

\hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2m_\text{e}} \nabla_1^2  - \frac{\hbar^2}{2m_\text{e}} \nabla_2^2 - \frac{2e^2}{4\pi\epsilon_0 r_1} - \frac{2e^2}{4\pi\epsilon_0 r_2} + \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r_{12}} ,

하지만 원자 단위를 사용하면 다음과 같이 단순화된다.

:

\hat{H} = - \frac{1}{2} \nabla_1^2 - \frac{1}{2} \nabla_2^2  - \frac{2}{r_1}  - \frac{2}{r_2} + \frac{1}{r_{12}} .

4. 2. 헬륨 원자의 해밀토니안

헬륨 원자에 대한 슈뢰딩거 방정식의 해밀토니안은 SI 단위를 사용할 때 다음과 같이 표현된다.^[2]

:

\hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2m_\text{e}} \nabla_1^2  - \frac{\hbar^2}{2m_\text{e}} \nabla_2^2 - \frac{2e^2}{4\pi\epsilon_0 r_1} - \frac{2e^2}{4\pi\epsilon_0 r_2} + \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r_{12}} ,

하지만 원자 단위계에서는 다음과 같이 표현된다.

:

\hat{H} = - \frac{1}{2} \nabla_1^2 - \frac{1}{2} \nabla_2^2  - \frac{2}{r_1}  - \frac{2}{r_2} + \frac{1}{r_{12}} .

이는 원자 단위계에서

\hbar

,

m_\text{e}

,

4 \pi \epsilon_0

,

e

가 모두 1이기 때문이다.

4. 3. 맥스웰 방정식

원자 단위계(au)에서의 맥스웰 방정식은 다음과 같다.

:

\nabla \cdot \mathbf{E} = 4\pi\rho

:

\nabla \cdot \mathbf{B} = 0

:

\nabla \times \mathbf{E} = -\alpha\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}

:

\nabla \times \mathbf{B} = \alpha \left( \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t} + 4\pi \mathbf{J} \right)

5. 유의 사항

IUPAC 그린 북^[51]에서는 다음과 같은 오용을 지적하고 있다.

> "원자 단위계에서는 $e, m_\mathrm{e}, \hbar, E_\mathrm{h}, a_0$ 등의 상수는 모두 1이다"라는 표현이 자주 사용되지만, 이는 잘못된 표현이다. 올바른 표현은 "원자 단위계에서는 전하량은 $1e$ , 전자 질량은 $1m_\mathrm{e}$ , ......이다"라고 해야 한다.

단위를 나타내는 기호로, `a.u.`로 표기하는 경우가 있는데, IUPAC 그린 북에서는 이를 다음과 같이 비판한다.^[51]

> 이 관습은 중단해야 한다. 이는 모든 SI 단위를 "SI", 모든 CGS 단위를 "CGS"로 표기하는 것과 같다.

《예》 수소 분자의 결합 거리 $r_\text{e}$ 와 해리 에너지 $D_\text{e}$ 는,

$r_\text{e} = 2.1~ a_0$ 및 $D_\text{e} = 0.16~ E_\text{h}$ 로 표기해야 하며,
$r_\text{e} = 2.1~ \text{a.u.}$ 및 $D_\text{e} = 0.16~ \text{a.u.}$ 로 표기해서는 안 된다.

참조

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_[3] 서적 Introduction. Units http://link.springer[...] Springer Berlin Heidelberg 1957
_[4] 논문 Atomic Units
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_[6] 논문 Natural Units in Atomic and Molecular Physics https://www.nature.c[...] 1973-05
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_[8] 간행물 SIbrochure8th
_[9] 웹사이트 9th edition of the SI Brochure https://www.bipm.org[...] BIPM 2019
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_[45] 문서 Hartree (1928)
_[46] 문서 Gold Book (2nd ed.)
_[47] 문서 Radiative Processes in Atomic Physics
_[48] 문서 コトバンク
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