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유사구

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목차

1. 개요

유사구는 추적선을 점근선에 대해 회전시켜 얻는 표면으로, 트랙트로이드라고도 불린다. 이는 특이점을 갖는 적도 부분을 제외하면 음의 가우스 곡률을 가지며, 국소적으로 쌍곡 평면에 등거리 변환된다. 유사구는 유한한 표면적과 부피를 가지며, 부피는 같은 반지름을 가진 구의 절반이다. 유사구는 사인-고든 방정식의 해와 관련이 있으며, 덮개 공간을 통해 호로사이클의 내부로 덮인다. 유사구면은 유사구의 일반화로, 음의 가우스 곡률이 일정한 표면을 의미하며, 디니 표면, 브리더 표면, 쿤 표면 등이 있다.

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유사구
개요
유사구
트랙트릭스를 회전시켜 얻은 유사구의 모형
유형곡면
수학 분야미분기하학
설명일정한 음의 가우스 곡률을 갖는 곡면
상세 정보
곡률상수 음의 곡률
가우스 곡률−1/R²
평균 곡률1/R
주 곡률±1/R
벨트라미 유사구
벨트라미 유사구
정의
정의일정한 음의 가우스 곡률을 갖는 곡면
가우스 곡률 값음수 값
역사
최초 연구에우제니오 벨트라미
연구 시기1868년
벨트라미 연구비유클리드 기하학 해석에 대한 에세이
성질
곡률 반지름R을 반지름으로 가짐
가우스 곡률 공식−1/R²

2. 트랙트로이드 (Tractroid)

유사구는 추적선을 점근선 주위로 회전하여 얻을 수 있기 때문에 트랙트로이드라고도 불린다.[2] 예를 들어, 반지름이 1인 (반)유사구는 다음과 같이 매개변수화된 트랙트릭스의 회전면이다.[2]

:t \mapsto \left( t - \tanh t, \operatorname{sech}\,t \right), \quad \quad 0 \le t < \infty.

트랙트로이드

2. 1. 특이점과 쌍곡 기하학

추적선을 점근선에 대해 회전시키면 유사구가 된다. 이때 추적선은 다음과 같이 매개화된다. (추적선의 꺾이는 점을 포함하지 않는 부분에 대한 매개화이다.)[11]

:t \mapsto \left( t - \tanh{t}, \operatorname{sech}\,{t} \right), \quad \quad 0 \le t < \infty.

유사구는 특이점을 가지는 적도 부분을 제외한 곡면의 모든 점에서 음의 가우스 곡률을 가진다. 따라서 유사구는 국소적으로 쌍곡 곡면으로의 등거리변환이 존재한다. 이는 모든 점에서 양의 가우스 곡률을 가지는 구와 반대된다. 유사구의 특이점을 제외한 모든 점은 안장점에 해당한다.[2]

"의사구"라는 이름은 구가 일정한 양의 가우스 곡률을 갖는 표면을 갖는 것처럼, 일정한 음의 가우스 곡률을 갖는 2차원 표면을 갖기 때문에 붙여졌다. 구가 모든 점에서 양으로 굽은 돔의 기하학을 갖는 것과 마찬가지로, 전체 의사구는 모든 점에서 음으로 굽은 안장의 기하학을 갖는다.

2. 2. 넓이와 부피

크리스티안 호이겐스는 1693년에 유사구가 회전축을 따라 무한히 뻗어나감에도 불구하고 부피와 표면적이 유한하다는 것을 발견했다.[3] 주어진 가장자리 반지름 R에 대해, 넓이는 로 구와 같고,[4] 부피는 이므로 해당 반지름을 가진 구의 절반이다.[5]

3. 보편 덮개 공간 (Universal Covering Space)

곡률이 -1인 유사구의 절반은 덮개 공간에 의해 호로사이클의 내부로 덮인다. 푸앵카레 상반평면 모형에서 편리한 선택은 y ≥ 1 인 상반 평면의 부분이다.[7] 그러면 덮개 사상은 주기 2π의 x 방향으로 주기적이며, 호로사이클 y = c를 유사구의 자오선으로, 수직 측지선 x = c를 유사구를 생성하는 트랙트릭스로 변환한다. 이 사상은 국소 등거리 변환이므로, 상반평면의 부분 y ≥ 1을 유사구의 보편 덮개 공간으로 나타낸다. 정확한 사상은 다음과 같다.

: (x, y) \mapsto (v(arcosh y)cos x, v(arcosh y) sin x, u(arcosh y))

여기서

: t \mapsto(u(t) = t - tanh t, v(t) = sech t)

는 위의 트랙트릭스의 매개화이다.

4. 쌍곡면 (Hyperboloid)

가짜 구를 디니 면의 일부로 변형하는 모습. 미분 기하학에서 이것은 리 변환이다. 사인-고든 방정식의 해당 솔루션에서 이 변형은 정적 1-솔리톤 솔루션의 로렌츠 부스트에 해당한다.


쌍곡 평면의 쌍곡면 모형에서 쌍곡면은 '''가짜 구'''라고도 불린다.[8] 이는 쌍곡면이 허수 반지름을 가진 구로 간주되어 민코프스키 공간에 내장될 수 있기 때문이다.

5. 유사구면 (Pseudospherical Surfaces)

유사구면은 유사구의 일반화이다. 음의 가우스 곡률이 일정한 R|아르영어3에 조각별로 매끄럽게 잠긴 표면은 유사구면이다. 트랙트로이드는 가장 간단한 예시이다. 다른 예시로는 디니 표면, 브리더 표면, 쿤 표면이 있다.

6. 사인-고든 방정식과의 관계 (Relation to Solutions to the Sine-Gordon Equation)

유사구면은 사인-고든 방정식의 해로부터 구성될 수 있다.[9] 이는 가우스-코다치 방정식을 사인-고든 방정식으로 재작성하여 증명할 수 있다.

6. 1. 사인-고든 방정식 해와 표면



의사구면은 사인-고든 방정식의 해로부터 구성될 수 있다.[9] 가우스-코다치 방정식을 사인-고든 방정식으로 재작성할 수 있는 좌표로 트랙토이드를 재매개변수화하면 간략하게 증명할 수 있다.

특히, 트랙토이드의 경우, 가우스-코다치 방정식은 정적 솔리톤 해에 적용된 사인-고든 방정식이므로 가우스-코다치 방정식이 충족된다. 이러한 좌표에서 제1 및 제2 기본 형식은 가우스 곡률이 사인-고든 방정식의 임의의 해에 대해 -1임을 명확히 보여주는 방식으로 작성된다.

사인-고든 방정식의 임의의 해를 사용하면 가우스-코다치 방정식을 만족하는 제1 및 제2 기본 형식을 지정할 수 있다. 이러한 초기 데이터 집합을 사용하여 적어도 국소적으로 \mathbb{R}^3에 잠긴 표면을 지정할 수 있다는 정리가 있다.

다음은 사인-고든 해의 몇 가지 예시와 해당 표면이다.

  • 정적 1-솔리톤: 유사구
  • 이동 1-솔리톤: 디니의 표면
  • 브리더 해: 브리더 표면
  • 2-솔리톤: 쿤 표면

참조

[1] 논문 Saggio sulla interpretazione della geometria non euclidea
[2] 서적 Low-dimensional geometry: from Euclidean surfaces to hyperbolic knots https://books.google[...] AMS Bookstore
[3] 서적 Mathematics and Its History https://books.google[...] Springer Science & Business Media
[4] 서적 Great Currents of Mathematical Thought, Vol. II: Mathematics in the Arts and Sciences https://books.google[...] Courier Dover Publications
[5] 웹사이트 Pseudosphere
[6] 뉴스 The Crochet Coral Reef Keeps Spawning, Hyperbolically https://www.nytimes.[...] 2024-01-15
[7] 서적 Three-dimensional geometry and topology Princeton University Press
[8] 논문 A new theory of complex rays http://imamat.oxford[...]
[9] 웹사이트 From Pseudosphere to sine-Gordon equation https://www.reed.edu[...] 2022-11-24
[10] 저널 Saggio sulla interpretazione della geometria non euclidea
[11] 서적 Low-dimensional geometry: from Euclidean surfaces to hyperbolic knots https://books.google[...] AMS Bookstore
[12] 서적 Great Currents of Mathematical Thought, Vol. II: Mathematics in the Arts and Sciences https://books.google[...] Courier Dover Publications
[13] 매스월드 Pseudosphere


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