유효숫자

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1. 개요
2. 수학적 정의
3. 유효숫자 확인 방법
- 3.1. 일반적인 규칙
- 3.2. 정수에서 후행 0의 처리
4. 유효숫자의 계산
5. 반올림
- 5.1. 일반적인 반올림 규칙
6. 불확실성 표현
7. 컴퓨터에서의 유효숫자
8. 정확도와 정밀도
9. 한국 사회와 유효숫자
참조

1. 개요

유효숫자는 측정값의 정확성을 나타내기 위해 사용되는 개념으로, 근삿값의 자릿수를 결정하는 수학적 정의를 가진다. 유효숫자를 확인하는 방법은 0이 아닌 숫자, 0이 아닌 숫자 사이의 0, 소수점 아래 끝자리의 0을 유효숫자로 간주하는 것이다. 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 로그, 역로그 등의 계산에서 유효숫자 규칙이 적용되며, 반올림 규칙과 불확실성 표현을 통해 측정값의 오차 범위를 나타낸다. 컴퓨터는 부동 소수점 산술을 사용하여 유효숫자를 처리하며, 정확도와 정밀도, 그리고 통계 자료의 정확한 표현에 유효숫자 개념이 중요하다. 한국 사회에서는 유효숫자에 대한 올바른 이해와 교육이 부족하여 과학 기술 분야 발전에 걸림돌이 될 수 있다.

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유효숫자
개요
정의	측정 해상도 내의 유효한 숫자.
구별	스퓨리어스 숫자와 구별됨.
관련 주제	근사 일반화 오차 테일러 다항식 과학적 모델링 근사 차수 스케일 분석 빅 오 표기법 곡선 피팅 허위 정밀도 유효 자릿수 (책)
일본 산업 규격
규격 번호	JIS K 0211-2013
규격 명칭	분석화학 용어 (기초 부문)

2. 수학적 정의

x^*를 x의 근삿값이라 할 때 $\left| \frac{x-x^*}{x} \right| < 5\times 10^{-k}$ 이면 x^*는 x를 k자리 유효숫자로 근사한다고 한다. 여기서 k는 0이 아닌 가장 큰 정수이다.

예를 들어 x=3.1415를 3자리 유효숫자로 근사시킨다고 해보자. 그러면 $\left| \frac{x-x^*}{x} \right| < 5\times 10^{-3}$ 이고,

(-5×10⁻³) x < x - x^* < (5×10⁻³) x

x + (5×10⁻³) x > x^* > x - (5×10⁻³) x

3.15 > x^* > 3.13이므로 x^* = 3.14가 된다.^[33]

3. 유효숫자 확인 방법

측정값에서 어떤 숫자가 유효한지를 판단하는 규칙은 다음과 같다.

0이 아닌 숫자는 모두 유효하다.
0이 아닌 숫자 사이에 있는 0은 유효하다.
소수점 아래 끝자리에 있는 0은 유효하다.
소수점 앞의 0은 자리수를 나타낼 뿐 유효하지 않다.
소수점을 포함하지 않는 수 중에서 유효숫자 뒤에 오는 0은 유효숫자일 수도 있고 아닐 수도 있다.
유효숫자인 0의 위나 아래에 바(bar)를 표시하거나, 정수 부분의 일의 자리 뒤에 소수점을 붙여 표시할 수 있다.
숫자 뒤에 유효숫자가 몇 개라고 직접 표시하는 방법도 있다.
모든 자리의 숫자가 0이면 유효숫자가 없는 것이다.
과학적 기수법에서는 자리수가 10의 지수로 표현되고 유효숫자만이 $10^n$ 를 곱하는 수로 표현된다.
광속, 아보가드로 수와 같은 과학적 상수와, 물건의 개수를 센 것의 유효숫자는 무한대이다. 즉 이러한 상수는 측정값끼리의 계산 결과에 영향을 주지 않는다.
정수의 후행 0의 유효성은 모호할 수 있다. 이 문제를 해결하기 위해 여러 방법이 존재한다.

3. 1. 일반적인 규칙

모든 0이 아닌 숫자는 유효하다. 예를 들어 123.45는 다섯 개의 유효숫자(1, 2, 3, 4, 5)를 갖는다.^[3]
0이 아닌 숫자 사이에 있는 0은 유효하다. 예를 들어 101.12는 다섯 개의 유효숫자(1, 0, 1, 1, 2)를 갖는다.^[3]
소수점 아래 끝자리에 있는 0은 유효하다. 예를 들어 12.2300은 여섯 개의 유효숫자(1, 2, 2, 3, 0, 0)를 가지며, 120.00은 다섯 개의 유효숫자(1, 2, 0, 0, 0)를 갖는다.^[3]
소수점 앞의 0은 자리수를 나타낼 뿐 유효하지 않다. 예를 들어 0.00012 m의 앞의 0들은 단위를 μm로 바꾸면 (0.00012 m = 120 μm) 사라지므로 유효숫자가 아니다.^[3]
소수점을 포함하지 않는 수 중에서 유효숫자 뒤에 오는 0은 유효숫자일 수도 있고 아닐 수도 있다. 예를 들어 1300은 정확히 1300이면 네 개의 유효숫자를 갖고, 1270을 십의 자리에서 반올림한 결과이면 두 개의 유효숫자를 가진다.
유효숫자인 0의 위나 아래에 바(bar)를 표시하거나, 정수 부분의 일의 자리 뒤에 소수점을 붙여 표시할 수 있다.^[7]
숫자 뒤에 유효숫자가 몇 개라고 직접 표시하는 방법도 있다.
0.000과 같이 모든 자리의 숫자가 0이면 유효숫자가 없는 것이다.

3. 2. 정수에서 후행 0의 처리

소수점이 없는 정수에서 뒤에 오는 0은 유효할 수도, 그렇지 않을 수도 있다.^[3] 예를 들어 1300은 정확히 1300인 경우에 네 개(1, 3, 0, 0)의 유효숫자를 갖고, 1270을 십의 자리에서 반올림한 결과인 경우 두 개(1, 3)의 유효숫자를 가진다고 볼 수 있다.

이러한 모호성을 피하기 위해 다음과 같은 방법을 사용한다.^[7]

오버라인(overline): 마지막 유효 숫자 위에 선을 긋는 방법이다. (예: 130은 세 개의 유효숫자를 가짐).^[3]
밑줄: 마지막 유효 숫자 아래에 선을 긋는 방법이다. (예: 1300은 두 개의 유효숫자를 가짐).^[3]
소수점: 숫자 뒤에 소수점을 추가하여 후행 0이 유효함을 명시하는 방법이다. (예: 1300. 은 네 개의 유효숫자를 가짐).^[7]
단위 접두사: 단위 접두사를 사용하여 모호하거나 유효하지 않은 0을 제거한다. (예: 1300 g 대신 1.30 kg).^[3]
과학적 기수법: 과학적 기수법을 사용하여 유효숫자만 표현한다. (예: 세 개의 유효숫자를 갖는 1300은 1.30 × 10³).^[3]
유효숫자 명시: 유효숫자의 개수를 직접 표현한다. (예: "20 000 to 2 s.f." 또는 "20 000 (2 sf)").^[3]
변동성 명시: 플러스-마이너 기호를 사용하여 예상 변동성을 직접 표시한다. (예: 20 000 ± 1%).^[3]

하지만, 위의 방법들이 보편적으로 사용되는 것은 아니며, 독자가 해당 방법에 익숙해야만 효과적이다.^[3]

4. 유효숫자의 계산

유효숫자를 사용하여 계산할 때, 그 결과값은 주어진 측정값의 정밀도에 따라 결정된다. 유효숫자 계산 규칙은 다음과 같다.

덧셈과 뺄셈: 계산 결과는 계산에 사용된 수들 중 가장 정밀도가 낮은 수의 마지막 유효숫자 자리에 맞춘다.
곱셈과 나눗셈: 계산 결과는 두 측정값 중 유효숫자가 적은 쪽과 같은 유효숫자를 가진다.
연속 계산: 세 개 이상의 숫자를 연속적으로 계산할 때, 중간 연산 결과는 유효숫자 개수보다 한 개 더 많게 유지한다.
반올림: 5 미만의 숫자는 버리고, 5 초과의 숫자는 올린다. 5의 경우, 앞자리가 홀수면 올리고 짝수면 버리는 오사오입(round-to-nearest-even) 방식을 사용한다.
부피 측정: 눈대중으로 읽은 숫자도 유효숫자로 취급한다.

수학적 또는 물리학적 상수(예: 원 면적 공식의 π^영어)나 정확한 숫자(예: 운동 에너지 공식의 ½)는 계산 결과의 유효숫자에 영향을 주지 않는다.

엄밀하게 구해지거나 정의된 값(예: 개수, 법적·제도적 환산 계수, 임의로 정의된 상수, 선형 연산, 원주율 같은 수학 상수)은 유효숫자를 고려할 필요가 없다. 그러나 만유인력 상수와 같은 물리 상수는 측정값에서 구한 수치이므로 유효숫자 규칙을 적용해야 한다.

4. 1. 덧셈과 뺄셈

덧셈과 뺄셈의 계산 결과는 계산에 이용된 수들 중 가장 정밀도가 떨어지는 수의 마지막 유효숫자 자리에 맞춘다. 예를 들어, 유효숫자 세 개인 수 3.14와 유효숫자 5개인 8.9714를 더하면 12.1114가 나오지만, 가장 정밀도가 떨어지는 수 3.14의 마지막 유효숫자 자리에 계산 결과를 맞추어 12.11이 된다.^[26]

곱셈과 나눗셈에 대한 유효 숫자 계산 규칙은 덧셈과 뺄셈에 대한 규칙과 동일하지 않다. 덧셈과 뺄셈의 경우 계산의 각 항에 있는 마지막 유효 숫자의 숫자 위치만 중요하며, 각 항의 유효 숫자의 총 개수는 관련이 없다. ^[26]

측정된 값에서 생성된 양의 경우, 계산된 결과의 마지막 유효 숫자 위치(예: 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리, 십분의 일, 백분의 일 등)는 계산에 사용된 ''측정된'' 값의 마지막 유효 숫자 중 ''가장 왼쪽'' 또는 가장 큰 숫자 위치와 같아야 한다. 예를 들어,^[26]

1.234 + 2 = 3.234 ≈ 3
1.234 + 2.0 = 3.234 ≈ 3.2
0.01234 + 2 = 2.01234 ≈ 2
12000 + 77 = 12077 ≈ 12000

각각 ''일의'' 자리, ''십분의 일'' 자리, ''일의'' 자리, ''천의'' 자리에서 마지막 유효 숫자를 갖는다. (여기서 2는 정확한 숫자가 아닌 것으로 간주된다.) 첫 번째 예에서 첫 번째 항은 마지막 유효 숫자가 천분의 일 자리에 있고 두 번째 항은 마지막 유효 숫자가 ''일의'' 자리에 있다. 이러한 항의 마지막 유효 숫자 중 가장 왼쪽 또는 가장 큰 숫자 위치는 일의 자리이므로 계산된 결과도 마지막 유효 숫자가 일의 자리에 있어야 한다.

4. 2. 곱셈과 나눗셈

곱셈과 나눗셈에서, 계산된 결과는 두 측정값 중 유효숫자가 적은 쪽과 같은 유효숫자를 가진다.^[12] 예를 들어, 2.56 × 12.8690의 산술적 계산 결과는 32.94464이지만, 2.56의 유효숫자가 3개이므로 유효한 결과는 32.9이다.

측정된 양을 곱셈과 나눗셈을 통해 생성된 양의 경우, 계산된 결과는 계산에 사용된 측정된 양 중에서 가장 적은 유효 숫자의 수만큼의 유효 숫자를 가져야 한다. 예를 들어:

1.234 × 2 = 2.468 ≈ 2
1.234 × 2.0 = 2.468 ≈ 2.5
0.01234 × 2 = 0.02468 ≈ 0.02
0.012345678 / 0.00234 = 5.2759 ≈ 5.28

각각 한 개, 두 개, 한 개의 유효 숫자를 갖는다. (여기서 2는 정확한 숫자가 아닌 것으로 가정한다.) 첫 번째 예에서 첫 번째 곱셈 인자는 네 개의 유효 숫자를 가지고, 두 번째는 하나의 유효 숫자를 갖는다. 유효 숫자가 가장 적은 인자는 두 번째 인자로, 단 하나만 있으므로 최종 계산 결과도 하나의 유효 숫자를 가져야 한다.

유효 숫자에 주의하여 계산할 때 중요한 점은 곱셈과 나눗셈을 할 때는 유효 숫자를 측정값 중 가장 유효 숫자가 적은 것에 맞춰야 한다는 것이다.

만약 단거리 주자가 100 m를 11.71초에 달렸다면, 평균 속도는 얼마가 될까? 계산기로 거리를 시간으로 나누면 8.53970965 m/s라는 값이 나오지만, 이 값을 그대로 쓰는 것은 부적절하다.

가령 100 m가 완전히 정확한 값이고, 11.71초의 맨 아랫자리에 불확실성이 있어서, 11.705초 이상 11.715초 미만의 값을 반올림한 것, 즉 11.710(5)초라고 하자. 시간의 상대 불확실성은 0.005 s / 11.71 s = 4.3 × 10⁻⁴^[26]이며, 이것이 그대로 속도의 불확실성으로 전파된다. 그 절댓값은 8.53970965 m/s × (4.3 × 10⁻⁴) = 4 × 10⁻³ m/s이므로, 불확실성을 포함한 속도는 8.540(4) m/s가 되며, 유효 숫자만 (불확실성이 없는 소수점 이하 둘째 자리까지) 기록하면 8.54 m/s가 된다. 만약 거리 쪽에도 불확실성이 포함된다면, 속도의 불확실성은 더욱 커진다. 예를 들어 불확실성이 0.5 m인 경우, 합성된 상대 불확실성은

\sqrt{(0.5~\mathrm{m}/100~\mathrm{m})^2 + (0.005~\mathrm{s}/11.71~\mathrm{s})^2} = 5.0 \times 10^{-3}

이 되며, 불확실성을 포함한 속도는 8.54(4) m/s가 된다.

만약 답의 정밀도가 중요하지 않다면, 정확하게 알지 못하는 자릿수도 이어서 8.5397 m/s와 같이 쓰는 것이 안전하다.

하지만, 유효 숫자의 규칙을 엄격하게 적용하면, 8.53970965 m/s라는 표기는 10 nm/s의 자릿수까지 속도를 알고 있다는 것을 의미한다. 이러한 표기는 측정 정밀도에 비해 부적절한 표기 방식이다. 이 경우 유효 숫자 3자리 (8.54 m/s)로 결과를 보고하면, 속도는 8.535 m/s 이상, 8.545 m/s 미만임을 알 수 있다.

마찬가지로, 1000 m를 53.7초에 달린 경우의 평균 속도^[27]에 대해, 18.6219739 m/s라는 값을 사용하는 것은 부적절하며, 유효 숫자 3자리로 하여 18.6 m/s로 한다.

4. 3. 로그와 역로그

밑 10 로그에서 소수점 부분(가수라고 함)은 정규화된 수의 유효 숫자와 동일한 유효 숫자를 갖도록 반올림된다.^[1]

log₁₀(3.000 × 10⁴) = log₁₀(10⁴) + log₁₀(3.000) = 4.000000... (정확한 숫자이므로 무한 유효 숫자) + 0.4771212547... = 4.4771212547... ≈ 4.4771.

정규화된 수의 역로그를 취할 때, 결과는 역로그를 취할 숫자의 소수점 부분의 유효 숫자만큼 유효 숫자를 갖도록 반올림된다.^[1]

10^4.4771 = 29998.5318119... = 30000 = 3.000 × 10⁴.

4. 4. 초월 함수

초월 함수

f(x)

(예: 지수 함수, 로그 함수, 삼각 함수)가 정의역의 원소 'x'에서 미분 가능하다면, 유효 숫자 개수("significant figures of

f(x)

"로 표기)는 ''x''의 유효 숫자 개수("significant figures of ''x''"로 표기)와 다음 공식으로 근사적으로 관련된다.

:

{\rm(f(x)의 유효 숫자)} \approx {\rm(x의 유효 숫자)} - \log_{10} \left ( \left\vert{\frac{df(x)}{dx} \frac{x}{f(x)}}\right\vert \right )

여기서

\left\vert{\frac{df(x)}{dx} \frac{x}{f(x)}}\right\vert

는 조건수이다.

4. 5. 중간 계산

여러 단계의 계산을 수행할 때, 중간 단계 계산 결과는 반올림하지 않고, 모든 계산이 끝날 때까지 최대한 많은 자릿수(단계별로 반올림 규칙이 허용하는 것보다 최소 한 자릿수 더 많은 자릿수)를 유지하여 각 중간 결과의 유효 숫자를 추적하거나 기록하는 동안 누적 반올림 오류를 방지해야 한다. 그런 다음 최종 결과를 반올림한다. 예를 들어 최종 계산의 입력 중 유효 숫자가 가장 적은 숫자(곱셈 또는 나눗셈의 경우) 또는 가장 왼쪽에 있는 마지막 유효 숫자 위치(덧셈 또는 뺄셈의 경우)로 반올림한다.^[14]

(2.3494 + 1.345) × 1.2 = 3.694 × 1.2 = 4.3328 ≈ 4.4.
(2.3494 × 1.345) + 1.2 = 3.15943 + 1.2 = 4.35943 ≈ 4.4.

5. 반올림

유효숫자를 맞추기 위해 반올림을 할 때는 다음 규칙을 고려한다.

''n''자리의 유효 숫자로 반올림하는 것은 단순히 ''n''자리에 반올림하는 것뿐만 아니라, 서로 다른 크기의 숫자를 통합하여 다루는 데 중요한 기법이다.
부동 소수점 표시는 컴퓨터 상에서 유효 숫자를 표현하기 위해 반올림하는 전형적인 예이다.
0이 아닌 숫자 중 가장 왼쪽에 있는 것부터 자릿수를 세기 시작한다. 예를 들어, 1,000에서는 '1'부터, 0.02에서는 '2'부터 센다.
''n''자리의 숫자를 유지한다. 부족한 자릿수는 0으로 채운다.

2자리의 유효 숫자로 반올림할 경우의 예시는 다음과 같다.

12,300은 12,000이 된다.
0.00123은 0.0012가 된다.
0.1은 0.10이 된다 (오른쪽에 이어지는 0은 2자리에 반올림했음을 나타낸다).
0.02084는 0.021이 된다.

''n''자리의 유효 숫자로 반올림할 때의 문제점은, ''n''번째 숫자가 반드시 명확하지 않다는 점이다. 이것은 정수 부분에 있는 0(소수점보다 왼쪽에 있는 0)에 대해 발생하는 문제이다. 예를 들어 12,300을 반올림하면 12,000이 되지만, 반올림한 후의 12,000만 보면 유효 숫자는 2자리에서 5자리까지로 받아들여질 수 있으므로, 몇 번째 자릿수를 반올림했는지 불확실해진다.

반올림 레벨을 명시할 때 과학적 표기법을 사용하면 모호함을 줄일 수 있다. 예를 들어, 위의 예에서 1.2 × 10⁴로 하면 유효 자릿수는 2자리임을 명시할 수 있다.

반올림 레벨은 예를 들어, "20,000 to 2 s.f."(significant-figures의 약어)처럼 유효 숫자가 2자리임을 특별히 명시할 수도 있다. 마지막 유효 숫자에 밑줄을 긋는 방법도 있지만, 그다지 일반적이지 않다.

어떤 경우에도 최상의 접근 방식은 불확실성과 명확성을 분리하여 기술하는 것이다. 예를 들어, 20,000 ± 1%와 같이 표기하면 유효 숫자 규칙을 적용하지 않아도 명료한 기술이 가능하다.

5. 1. 일반적인 반올림 규칙

반올림에서 5 미만의 숫자는 버림하며 5 초과의 숫자는 올림한다. 5이고 최소 단위의 '''절반에 딱 맞아떨어지는 경우'''에는 5의 앞자리가 홀수인 경우엔 올림을 하고 짝수인 경우엔 버림을 하여 짝수로 만들어주며, 그 외의 5의 경우에는 올림한다. 예를 들어 23.5를 정수로 반올림하면 24, 87.65를 소수 첫째 자리까지 반올림하면 87.6, 123456을 백의 자리까지 반올림하면 123400이다. 이를 오사오입(round-to-nearest-even)이라고 하며 이를 이용하여 반올림한 결과의 마지막 자리의 숫자는 짝수가 된다.

6. 불확실성 표현

측정 결과는 $x_{best} \pm \sigma_{x}$ 와 같이 측정 불확도를 포함하는 것이 권장되며, 여기서 $x_{best}$ 와 $\sigma_{x}$는 각각 최적 추정값과 측정 불확도이다.^[10] $x_{best}$는 측정값의 평균일 수 있으며, $\sigma_{x}$는 표준 편차 또는 측정 편차의 배수일 수 있다. $x_{best} \pm \sigma_{x}$를 작성하는 규칙은 다음과 같다:^[11]

$\sigma_{x}$는 일반적으로 한두 자리 유효 숫자까지만 표시해야 하며, 더 정밀한 표시는 신뢰할 수 없거나 의미가 없을 수 있다.
* 1.79 ± 0.06 (정확), 1.79 ± 0.96 (정확), 1.79 ± 1.96 (부정확).
$x_{best}$와 $\sigma_{x}$의 마지막 유효 숫자의 자릿수는 동일해야 하며, 그렇지 않으면 일관성이 손실된다. 예를 들어 "1.79 ± 0.067"은 최적 추정값보다 더 정확한 불확도를 갖는 것이 말이 되지 않으므로 부정확하다.
* 1.79 ± 0.06 (정확), 1.79 ± 0.96 (정확), 1.79 ± 0.067 (부정확).

불확실성은 명시적으로 표현되지 않더라도 마지막 유효 숫자에서 암시될 수 있다.^[1] 암시된 불확실성은 마지막 유효 숫자의 위치에서 최소 눈금의 절반에 해당한다. 예를 들어, 물체의 질량이 불확실성을 언급하지 않고 3.78 kg으로 보고되면 0.005kg의 측정 불확실성이 암시될 수 있다. 만약 물체의 질량이 3.78 ± 0.07kg으로 추정되어 실제 질량이 3.71에서 3.85kg 사이 어딘가에 있을 가능성이 있고, 이를 단일 숫자로 보고해야 한다면, 3.8 kg이 최적의 숫자이다. 이는 암시된 불확실성 0.05kg이 3.75에서 3.85kg의 질량 범위를 제공하여 측정 범위에 가깝기 때문이다. 불확실성이 약간 더 큰 경우, 즉 3.78 ± 0.09kg인 경우에도 3.8 kg이 최적의 단일 숫자이다. "4 kg"으로 보고하면 많은 정보가 손실되기 때문이다.

숫자의 암시된 불확실성을 표기해야 할 경우, 이를 $x \pm \sigma_{x}$로 쓸 수 있으며, 암시된 불확실성임을 명시한다(독자들이 이를 측정 불확실성으로 인식하는 것을 방지하기 위해). 여기서 $x$ 와 $\sigma_{x}$는 추가적인 0 자릿수가 있는 숫자(위에 언급된 불확실성 표기 규칙을 따르기 위해)와 각각의 암시된 불확실성을 나타낸다. 예를 들어, 6 kg과 암시된 불확실성 0.5kg은 6.0 ± 0.5kg으로 표기할 수 있다.

자를 사용할 때, 처음에는 가장 작은 눈금을 첫 번째 추정 숫자 값으로 사용한다. 예를 들어, 자의 가장 작은 눈금이 0.1cm이고 4.5 cm로 읽혔다면, 4.5 (±0.1cm) 또는 최소 눈금 간격으로 4.4 cm에서 4.6 cm로 나타낼 수 있다. 그러나 실제로는 눈으로 측정을 통해 자의 가장 작은 눈금 사이의 간격보다 더 가깝게 추정할 수 있으며, 예를 들어 위의 경우 4.51 cm와 4.53 cm 사이로 추정할 수 있다.^[15]

또한 자의 전체 길이가 가장 작은 눈금의 정확도와 일치하지 않거나, 눈금 간격이 단위 내에서 완벽하게 균등하지 않을 수 있다. 하지만 일반적으로 품질이 좋은 자라고 가정하면, 인접한 두 눈금 사이의 10분의 1을 추정하여 추가적인 소수점 자리의 정확도를 얻을 수 있다.^[16] 이렇게 하지 않으면 자를 읽는 데 발생하는 오류가 자의 보정 오류에 더해진다.

7. 컴퓨터에서의 유효숫자

부동 소수점 숫자의 컴퓨터 표현은 유효 숫자에 맞춰 반올림하는 형식을 사용하며(일반적으로 몇 개를 추적하지 않음), 주로 이진수를 사용한다. 정확한 유효 숫자의 수는 상대 오차 개념과 밀접하게 관련되어 있다. 상대 오차는 정밀도를 더 정확하게 측정할 수 있고, 사용된 숫자 시스템의 기수(밑수)에 관계없이 독립적이라는 장점이 있다.^[20]^[21]

일부 전자 계산기는 유효 숫자 표시 모드를 지원한다. 이러한 기능을 지원하는 계산기로는 코모도어의 M55 Mathematician(1976)과 S61 Statistician(1976)이 있다. 이 계산기들은 두 가지 표시 모드를 지원하는데, 전자는 총 ''n''개의 유효 숫자를, 후자는 ''n''개의 소수 자릿수를 제공한다.

텍사스 인스트루먼트의 TI-83 Plus(1999) 및 TI-84 Plus(2004) 계열 그래픽 계산기는 ''Sig-Fig Calculator'' 모드를 지원한다. 이 모드는 계산기가 입력된 숫자의 유효 숫자 수를 평가하여 해당 숫자 뒤에 대괄호로 표시하며, 계산 결과도 유효 숫자만 표시하도록 조정된다.^[17]

HP 20b/30b 기반으로 커뮤니티에서 개발한 WP 34S(2011) 및 WP 31S(2014) 계산기는 유효 숫자 표시 모드 및 (영점 채움)을 컴파일 타임 옵션으로 제공한다.^[18]^[19] SwissMicros DM42 기반으로 커뮤니티에서 개발한 WP 43C(2019)^[22] / C43(2022) / C47(2023) 계산기 역시 유효 숫자 표시 모드를 지원한다.

8. 정확도와 정밀도

유효 숫자의 개수는 대략적으로 ''정밀도''에 해당한다.^[1] 전통적으로 다양한 기술 분야에서 "정확도"는 주어진 측정값이 참값에 얼마나 가까운지를 나타내고, "정밀도"는 측정을 여러 번 반복했을 때의 안정성을 나타낸다.^[1] 따라서 "정밀하지만 틀릴" 수 있다.^[1]

최근 ISO 5725 표준은 정밀도에 대한 정의는 유지하면서 "진실도"라는 용어를 주어진 측정값이 참값에 얼마나 가까운지를 나타내는 것으로 정의하고, "정확도"라는 용어는 진실도와 정밀도의 조합으로 사용한다.^[1]

9. 한국 사회와 유효숫자

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참조

_[1] 웹사이트 Significant Figures and Rounding https://chem.librete[...] 2021-03-31
_[2] 서적 Chemistry in the Community Kendall-Hunt
_[3] 서적 Accuracy and Stability of Numerical Algorithms http://ftp.demec.ufp[...] SIAM
_[4] 기타 y-cruncher validation file https://www.numberwo[...]
_[5] 웹사이트 How Many Decimals of Pi Do We Really Need? - Edu News https://www.jpl.nasa[...] 2021-10-25
_[6] 웹사이트 Resolutions of the 26th CGPM https://www.bipm.org[...] 2018-11-20
_[7] 서적 Chemistry https://archive.org/[...] Holt Rinehart Winston
_[8] 웹사이트 Rounding Decimal Numbers to a Designated Precision https://archive.org/[...] U.S. Department of Education
_[9] 서적 Numerical Mathematics and Computing https://books.google[...]
_[10] 웹사이트 Uncertainties and Significant Figures https://www.deanza.e[...]
_[11] 웹사이트 Significant Figures https://web.ics.purd[...]
_[12] 웹사이트 Significant Figure Rules http://chemistry.bd.[...] Penn State University
_[13] 웹사이트 Uncertainty in Measurement- Significant Figures https://chem.librete[...] 2017-06-16
_[14] 웹사이트 Measurements and Significant Figures (Draft) http://www.ligo.calt[...] California Institute of Technology, Physics Mathematics And Astronomy Division
_[15] 웹사이트 Measurements http://slc.umd.umich[...] University of Michigan 2017-07-03
_[16] 서적 Experimental Electrical Testing https://archive.org/[...] Weston Electrical Instruments Co. 2019-01-14
_[17] 웹사이트 Solution 30190: Using The Significant Numbers Calculator From The Science Tools App on the TI-83 Plus and TI-84 Plus Family of Graphing Calculators. https://education.ti[...] Texas Instruments 2023-09-30
_[18] 웹사이트 Bit's WP 34S and 31S patches and custom binaries (version: r3802 20150805-1) https://www.hpmuseum[...] 2023-09-24
_[19] 웹사이트 "[34S & 31S] Unique display mode: significant figures" https://www.hpmuseum[...] 2023-09-24
_[20] 서적 commodore m55 Mathematician Owners Manual https://www.wass.net[...] Commodore Business Machines Inc. 2023-09-30
_[21] 서적 commodore s61 Statistician Owners Handbook https://usermanual.w[...] Commodore Business Machines Inc. 2023-09-30
_[22] 웹사이트 Changes from the WP43S to the WP43C https://cocoon-creat[...] 2023-10-01
_[23] 간행물
_[24] Kotobank 有効数字 2022-06-23
_[25] 서적 Chemistry Holt Rinehart Winston
_[26] 문서 時間の不確かさの有効数字は1桁であるが、後の計算のため余分に桁をとっている（後述の保護桁）。実際に、ここで 4 × 10⁻⁴ に丸めてしまうと最終的な不確かさが変わってしまう。
_[27] 문서 カルストンライトオがアイビスサマーダッシュで走破した記録。
_[28] 서적 Chemistry: The Central Science Prentice Hall
_[29] 기타 Measurements and Uncertainties http://www.av8n.com/[...]
_[30] 서적 Numerical Methods That Work https://books.google[...] The Mathematical Association of America
_[31] 기타 NIST compendium of physical constants http://physics.nist.[...]
_[32] 기타 The NIST Reference on Constants, Units and Uncertainty: Uncertainty of Measurement Results http://physics.nist.[...]
_[33] 서적

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