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음악 동형

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목차

1. 개요

음악 동형은 매끄러운 다양체의 접다발과 공변접다발 사이의 벡터 다발 동형 사상이다. 이는 기호 ♭와 ♯로 표기되며, 벡터장을 1차 미분 형식에, 1차 미분 형식을 벡터장에 대응시키는 데 사용된다. 음악 동형은 리만 다양체, 준 리만 다양체, 준 심플렉틱 다양체 등 다양한 구조와 관련되며, 텐서 곱 및 외대수로 확장될 수 있다. 마르셀 베르제가 1971년에 처음 사용했으며, 물리학에서 벡터장과 1차 미분 형식을 표기하는 관습에서 유래했다.

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음악 동형

2. 정의

매끄러운 다양체 M의 '''음악 동형'''은 그 접다발 \mathrm TM과 공변접다발 \mathrm T^*M 사이의 벡터 다발 동형 사상이다. 이 동형 사상을 통해 벡터장을 1차 미분 형식(코벡터장)으로 변환하거나, 반대로 1차 미분 형식을 벡터장으로 변환할 수 있다.

이 개념의 기초는 선형대수학에 있다. 유한 차원 벡터 공간 V는 그 쌍대 공간 V^*(V에서 기저 체로 가는 모든 선형 사상의 공간)와 항상 같은 차원을 가지므로 동형이지만, 두 공간 사이에 자연스럽거나 선호되는 '표준적인' 동형 사상은 일반적으로 존재하지 않는다. 그러나 벡터 공간 V에 비퇴화 쌍선형 형식 \langle\cdot,\cdot\rangle(예: 내적)이 주어지면, V와 V^* 사이에 표준적인 동형 사상이 정의된다. 이 동형 사상은 V의 벡터 v를 V^*의 원소, 즉 선형 형식 \langle v, \cdot \rangle에 대응시킨다.

: v \mapsto \langle v, \cdot \rangle

여기서 \langle v, \cdot \rangle는 입력 벡터 w를 받아 스칼라 값 \langle v, w \rangle를 반환하는 함수이다. 쌍선형 형식 \langle\cdot,\cdot\rangle이 비퇴화라는 조건은 이 사상이 실제로 동형 사상임을 보장한다. 예를 들어, 유클리드 공간 \mathbb R^n에서 표준 점 곱을 사용하면 이러한 표준 동형 사상이 존재한다.

음악 동형은 이러한 선형대수적 구성을 (유사-)리만 다양체 (M,g)의 각 점 p에서의 접공간 \mathrm T_pM과 공변접공간 \mathrm T_p^*M에 적용한 것이다. 각 점 p에서 리만 계량 g_p는 접공간 \mathrm T_pM 위의 비퇴화 대칭 쌍선형 형식 역할을 하므로, \mathrm T_pM과 그 쌍대 공간 \mathrm T_p^*M 사이에 위에서 설명한 표준 동형 사상을 유도한다. 이 점별 동형 사상들을 매끄럽게 이어 붙이면, 다양체 전체에 걸쳐 접다발 \mathrm TM과 공변접다발 \mathrm T^*M 사이의 벡터 다발 동형 사상, 즉 음악 동형이 정의된다.

모든 파라콤팩트 다양체는 (표준적이지는 않지만) 리만 계량을 가질 수 있기 때문에, 음악 동형의 존재는 파라콤팩트 다양체의 접다발과 공변접다발이 (비표준적으로) 항상 동형임을 보여주는 한 가지 방법이다.

2. 1. 기호 표기

매끄러운 다양체 M의 음악 동형은 그 접다발 \mathrm TM과 공변접다발 \mathrm T^*M 사이의 벡터 다발 동형 사상을 나타내며, 보통 다음과 같은 기호로 표기된다.

:\flat\colon \mathrm TM\to\mathrm T^*M

:\sharp\colon \mathrm T^*M\to\mathrm TM

여기서 \sharp는 \flat의 역함수 관계에 있다. 즉, 두 연산을 연속으로 적용하면 원래대로 돌아온다.

:\sharp\circ\flat = \operatorname{id}_{\mathrm TM}

:\flat\circ\sharp = \operatorname{id}_{\mathrm T^*M}

이 기호들을 사용하여 벡터장 X를 1차 미분 형식 X^\flat으로 변환하거나, 반대로 1차 미분 형식 \alpha를 벡터장 \alpha^\sharp으로 변환할 수 있다. 이는 다음과 같이 표기한다.

:\Gamma(\mathrm TM)\ni X \mapsto X^\flat \in \Gamma(\mathrm T^*M)

:\Gamma(\mathrm T^*M)\ni \alpha \mapsto \alpha^\sharp \in \Gamma(\mathrm TM)

2. 2. 벡터장과 1차 미분 형식의 대응

매끄러운 다양체 M의 '''음악 동형'''은 그 접다발 \mathrm{T}M과 공변접다발 \mathrm{T}^*M 사이의 벡터 다발 동형 사상이다. 이는 보통 기호로 다음과 같이 표기된다.

:\flat\colon \mathrm{T}M \to \mathrm{T}^*M

:\sharp\colon \mathrm{T}^*M \to \mathrm{T}M

:\sharp \circ \flat = \operatorname{id}_{\mathrm{T}M}

:\flat \circ \sharp = \operatorname{id}_{\mathrm{T}^*M}

이 동형 사상을 사용하여, 벡터장을 1차 미분 형식(코벡터장)에 대응시키거나, 반대로 1차 미분 형식을 벡터장에 대응시킬 수 있다. 이는 다음과 같이 표기된다.

:\Gamma(\mathrm{T}M) \ni X \mapsto X^\flat \in \Gamma(\mathrm{T}^*M)

:\Gamma(\mathrm{T}^*M) \ni \alpha \mapsto \alpha^\sharp \in \Gamma(\mathrm{T}M)

특히, (M, g)를 (유사-)리만 다양체라고 하자. 각 점 p \in M에서, 리만 계량 g_p는 접공간 \mathrm{T}_p M에 대한 비퇴화 쌍선형 형식이다. v \in \mathrm{T}_p M가 접벡터이면, 그의 '플랫(flat)' 연산 v^\flat는 다음과 같이 정의되는 \mathrm{T}_p^*M의 코벡터이다.

: v^\flat = g_p(v, \cdot)

이 사상은 점 p를 보존하는 매끄러운 사상이므로, 매끄러운 벡터 다발의 사상 \flat : \mathrm{T}M \to \mathrm{T}^*M을 정의한다.

계량 g가 비퇴화이기 때문에, 사상 \flat는 각 점에서 역함수 \sharp를 가지며, 이를 '샤프(sharp)' 연산이라고 한다. 샤프 연산은 임의의 코벡터 \alpha \in \mathrm{T}_p^*M와 접벡터 v \in \mathrm{T}_p M에 대해 다음을 만족시키는 유일한 벡터 \alpha^\sharp \in \mathrm{T}_p M를 대응시킨다.

: g_p(\alpha^\sharp, v) = \alpha(v)

샤프 연산 역시 매끄러운 벡터 다발 사상 \sharp : \mathrm{T}^*M \to \mathrm{T}M을 정의한다.

플랫(\flat)과 샤프(\sharp)는 서로 역함수 관계에 있는 동형 사상이므로, 다양체 M의 각 점 p에서 접공간 \mathrm{T}_p M과 공변접공간 \mathrm{T}_p^*M 사이에 벡터 공간 동형을 제공한다.

이 플랫과 샤프 연산은 각 점에 적용하여 벡터장과 코벡터장(1차 미분 형식의 장)에도 자연스럽게 확장된다. 벡터장 X와 코벡터장 \omega에 대해 다음과 같이 정의된다.

: X^\flat = g(X, \cdot)

: g(\omega^\sharp, X) = \omega(X)

3. 성질

음악 동형은 미분기하학에서 접다발과 여접다발 사이의 중요한 관계를 나타내는 수학적 도구로, 여러 가지 중요한 성질을 가진다.

음악 동형은 매끄러운 다양체 위에 리만 계량이나 심플렉틱 형식과 같은 추가적인 구조가 주어졌을 때 자연스럽게 정의된다. 일반적으로 준 리만 다양체 또는 준 심플렉틱 다양체 구조가 주어지면, 해당 구조를 이용하여 접다발과 여접다발 사이에 표준적인 동형사상, 즉 음악 동형을 정의할 수 있다. 반대로, 음악 동형이 주어지면 이를 통해 다양체 위에 쌍선형 형식을 정의하고, 이로부터 준 리만 구조나 준 심플렉틱 구조를 유도할 수 있다.

음악 동형은 항상 존재하지만, 다양체 위에 주어진 구조(예: 리만 계량)에 의존하기 때문에 일반적으로 유일하지는 않다. 또한, 음악 동형의 개념은 텐서 곱 다발이나 외대수 다발로 자연스럽게 확장될 수 있으며, 더 일반적으로는 번들 계량이 주어진 벡터 다발과 그 쌍대 벡터 다발 사이에서도 정의될 수 있다.

3. 1. 존재와 유일성

임의의 매끄러운 다양체에서, 음악 동형은 항상 존재하지만, 일반적으로 유일하지 않다. (사실, 임의의 매끄러운 다양체 위에는 항상 리만 다양체의 구조를 줄 수 있다.)

선형대수학에서, 유한 차원 벡터 공간은 그 쌍대 공간과 동형이지만, 표준적으로 동형은 아니다. 반면에, 비퇴화 쌍선형 형식 \langle\cdot,\cdot\rangle을 갖춘 유한 차원 벡터 공간 V는 그 쌍대 공간과 표준적으로 동형이다. 표준 동형사상 V \to V^*는 다음과 같다.

: v \mapsto \langle v, \cdot \rangle.

\langle\cdot,\cdot\rangle의 비퇴화성은 정확히 위의 사상이 동형사상임을 의미한다.

예를 들어 V = \mathbb R^n이고, \langle\cdot,\cdot\rangle가 점 곱인 경우가 있다.

음악적 동형사상은 (의사-)리만 다양체 (M,g)의 접다발과 여접다발에 대한 이 동형사상과 그 역의 전역적 버전이다. 이것들은 임의의 점 ''p''에서 내적 g_p를 갖춘 ''M''의 ''p''에서의 접공간에 적용된 위의 동형사상인 벡터 다발의 표준 동형사상이다.

모든 파라콤팩트 다양체는 (비표준적으로) 리만 계량을 가질 수 있기 때문에, 음악적 동형사상은 파라콤팩트 다양체의 벡터 다발이 (비표준적으로) 그 쌍대 공간과 동형임을 보여준다.

3. 2. 리만 구조 및 심플렉틱 구조와의 관계

음악 동형이 주어지면, 다양체 M의 각 점 x에서의 접공간 \mathrm T_xM 위에 다음과 같은 쌍선형 형식 B가 자연스럽게 정의된다.

:B(-,-) \colon \mathrm T_xM\otimes\mathrm T_xM \to \mathbb R

:B(X,Y) = \langle X^\flat,Y\rangle

여기서 X, Y는 접벡터이고 \langle-,-\rangle는 코벡터와 벡터 사이의 자연스러운 쌍(페어링)을 나타낸다. 즉, 코벡터 X^\flat에 벡터 Y를 대입한 값이다.

이 쌍선형 형식 B는 일반적으로 대칭적이지 않으며, 다음과 같이 대칭 성분 g와 반대칭 성분 \omega로 분해될 수 있다.

:g(X,Y) = \frac{B(X,Y)+B(Y,X)}2

:\omega(X,Y) = \frac{B(X,Y)-B(Y,X)}2

만약 반대칭 성분 \omega가 0, 즉 \omega = 0이라면, 쌍선형 형식 B는 대칭적이 되고, 이 대칭 성분 g는 다양체 M 위에 준 리만 다양체 구조를 정의한다. 반대로 대칭 성분 g가 0, 즉 g=0이라면, 쌍선형 형식 B는 반대칭적이 되고, 이 반대칭 성분 \omega는 M 위에 '''준 심플렉틱 다양체'''(almost symplectic manifold영어) 구조를 정의한다. 만약 추가적으로 \omega의 외미분이 0, 즉 \mathrm d\omega = 0이라면, 이는 심플렉틱 다양체 구조가 된다.

역으로, 준 리만 다양체 (M,g)가 주어지면, 리만 계량 g를 이용하여 음악 동형 \flat과 그 역 \sharp를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:\flat \colon \mathrm TM\to\mathrm T^*M

:\flat|_x \colon v \mapsto g(v,-)\qquad(x\in M,\;v\in\mathrm T_xM)

:\sharp \colon \mathrm T^*M\to\mathrm TM

:\sharp|_x \colon \phi \mapsto g_x^{-1}(\phi)\qquad(x\in M,\;\phi\in\mathrm T_x^*M)

여기서 g(v,-)는 벡터 w를 g(v,w)로 보내는 코벡터를 의미하며, g_x^{-1}는 g_x가 유도하는 \mathrm T_x^*M과 \mathrm T_xM 사이의 동형사상을 나타낸다. 리만 계량 g는 비퇴화이므로 이러한 동형사상이 항상 존재한다.

마찬가지로, 준 심플렉틱 다양체 (M,\omega)가 주어지면, 심플렉틱 형식 \omega를 이용하여 음악 동형 \flat을 다음과 같이 정의할 수 있다.

:\flat \colon \mathrm TM\to\mathrm T^*M

:\flat|_x \colon v \mapsto \omega(v,-)\qquad(x\in M,\;v\in\mathrm T_xM)

여기서 \omega(v,-)는 벡터 w를 \omega(v,w)로 보내는 코벡터이다. 심플렉틱 형식 \omega는 정의상 비퇴화이므로, 이 경우에도 \flat은 동형사상이 된다.

3. 3. 텐서 곱으로의 확장

음악적 동형 사상은 다음 텐서 곱 묶음으로 확장될 수 있다.

\bigotimes ^k {\rm T} M, \qquad \bigotimes ^k {\rm T}^* M .

어떤 지수를 올리거나 내려야 하는지 명확히 표시해야 한다. 예를 들어, (0, 2)-텐서 필드 ''X'' = ''X''ij ei ⊗ ej 를 생각해 보자. 두 번째 지수를 올리면 다음과 같은 (1, 1)-텐서 필드를 얻는다.

X^\sharp = g^{jk} X_{ij} \, {\rm e}^i \otimes {\rm e}_k .

3. 4. 외대수에서의 확장

외대수의 맥락에서, 음표 연산자의 확장은 ⋀''V''와 그 이중 공간 ⋀∗''V''에서 정의될 수 있으며, 이는 약간의 표기 남용과 함께 동일하게 표시될 수 있으며, 다시 상호 역수이다.

\flat : {\bigwedge} V \to {\bigwedge}^* V , \qquad \sharp : {\bigwedge}^* V \to {\bigwedge} V ,

다음과 같이 정의된다.

(X \wedge \ldots \wedge Z)^\flat = X^\flat \wedge \ldots \wedge Z^\flat , \qquad

(\alpha \wedge \ldots \wedge \gamma)^\sharp = \alpha^\sharp \wedge \ldots \wedge \gamma^\sharp .

이 확장에서, ♭ 연산자는 ''p''-벡터를 ''p''-코벡터에 매핑하고 ♯ 연산자는 ''p''-코벡터를 ''p''-벡터에 매핑한다. 완전 반대칭 텐서의 모든 지수는 동시에 올리거나 내리므로, 지수를 표시할 필요가 없다.

Y^\sharp = ( Y_{i \dots k} \mathbf{e}^i \otimes \dots \otimes \mathbf{e}^k)^\sharp = g^{ir} \dots g^{kt} \, Y_{i \dots k} \, \mathbf{e}_r \otimes \dots \otimes \mathbf{e}_t .

3. 5. 벡터 다발과 번들 계량

더 일반적으로, 음악적 동형사상은 번들 계량이 부여된 벡터 다발과 그 쌍대 벡터 다발 사이에서 항상 존재한다.

4. 틀(frame)에서의 표현

접다발 TM에 대한 이동 접선 틀을 \{\mathbf{e}_i\}라 하고, 이에 대한 쌍대 기저인 여접다발 T^*M의 코틀을 \{\mathbf{e}^i\}라고 하자. 유사 리만 계량 g는 대칭이고 비퇴화인 2차 공변 텐서장으로, 이 코틀을 사용하여 아인슈타인 표기법으로 다음과 같이 국소적으로 표현할 수 있다.

g = g_{ij} \mathbf{e}^i \otimes \mathbf{e}^j

이 틀을 이용하여 벡터장 X = X^i \mathbf{e}_i의 플랫(flat) 연산, 즉 지표 내리기는 다음과 같이 표현된다. 먼저 벡터장의 공변 성분 X_j를 X_j = g_{ij} X^i로 정의하면, 플랫 연산의 결과인 코벡터장은 다음과 같다.

X^\flat = g_{ij} X^i \mathbf{e}^j = X_j \mathbf{e}^j

마찬가지로, 코벡터장 \omega = \omega_i \mathbf{e}^i의 샤프(sharp) 연산, 즉 지표 올리기는 다음과 같이 표현된다. 역 계량 텐서의 성분을 g^{ij} (이는 g_{ij}를 성분으로 하는 행렬의 역행렬 성분이다)라 하고, 코벡터장의 반변 성분 \omega^j를 \omega^j = g^{ij} \omega_i로 정의하면, 샤프 연산의 결과인 벡터장은 다음과 같다.

\omega^\sharp = g^{ij} \omega_i \mathbf{e}_j = \omega^j \mathbf{e}_j

4. 1. 지표 올리기와 내리기

벡터장의 플랫(flat) 연산은 계량 텐서 g를 이용하여 벡터장을 코벡터장으로 변환하는 과정이다. 이는 각 점 p의 접공간 T_p M에 있는 벡터 v에 대해, T_p M의 임의의 벡터 w에 대하여 다음을 만족하는 코벡터 v^\flat \in T_p^* M를 찾는 것과 같다.

v^\flat(w) = g_p(v, w)

이 연산은 벡터장의 지표를 아래로 내리는 것처럼 보여 지표 내리기(lowering an index)라고도 불린다.

국소 좌표계를 이용하여 더 자세히 살펴보면, 접다발 TM의 국소 틀 \{\mathbf{e}_i\}과 그 쌍대 기저인 여접다발 T^*M의 국소 틀 \{\mathbf{e}^i\}를 고려할 수 있다. 아인슈타인 표기법을 사용하면, 계량 텐서는 g = g_{ij} \mathbf{e}^i \otimes \mathbf{e}^j로, 벡터장 X는 X = X^i \mathbf{e}_i로 표현된다. 이때 벡터장 X의 플랫 X^\flat는 다음과 같이 계산된다.

X^\flat = g(X, \cdot) = g_{ij} X^i \mathbf{e}^j

여기서 X_j = g_{ij} X^i로 정의하면 X^\flat = X_j \mathbf{e}^j가 된다. 이는 벡터장의 성분 X^i(윗첨자 지표)가 코벡터장의 성분 X_j(아랫첨자 지표)로 변환되었음을 의미하며, 이것이 '지표 내리기'라고 불리는 이유이다.

반대로, 코벡터장의 샤프(sharp) 연산은 계량 텐서의 역 g^{-1}(성분 g^{ij})를 사용하여 코벡터장을 벡터장으로 변환하는 과정이다. 코벡터 \alpha \in T_p^* M의 샤프 \alpha^\sharp \in T_p M는 모든 벡터 v \in T_p M에 대해 다음 등식을 만족하는 유일한 벡터이다.

g_p(\alpha^\sharp, v) = \alpha(v)

이 연산은 코벡터장의 지표를 위로 올리는 것처럼 보여 지표 올리기(raising an index)라고도 불린다.

국소 좌표계에서 코벡터장 \omega = \omega_i \mathbf{e}^i의 샤프 \omega^\sharp는 다음과 같이 계산된다.

\omega^\sharp = g^{ij} \omega_i \mathbf{e}_j

여기서 \omega^j = g^{ij} \omega_i로 정의하면 \omega^\sharp = \omega^j \mathbf{e}_j가 된다. 이는 코벡터장의 성분 \omega_i(아랫첨자 지표)가 벡터장의 성분 \omega^j(윗첨자 지표)로 변환되었음을 의미하며, 이것이 '지표 올리기'라고 불리는 이유이다.

플랫 연산(\flat)과 샤프 연산(\sharp)은 서로 역함수 관계에 있다. 즉, 임의의 벡터장 X에 대해 (X^\flat)^\sharp = X이고, 임의의 코벡터장 \omega에 대해 (\omega^\sharp)^\flat = \omega이다. 따라서 계량 텐서 g는 각 점 p에서 접공간 T_p M과 여접공간 T_p^* M 사이의 동형사상을 정의하며, 이는 전체 다양체 M에 걸쳐 벡터 다발 TM과 T^*M 사이의 벡터 다발 동형사상으로 확장된다.

5. 텐서의 대각합

유형 (0, 2) 텐서장 X = X_{ij} \mathbf{e}^i \otimes \mathbf{e}^j가 주어졌을 때, 계량 텐서 g를 이용한 X의 대각합(trace|트레이스eng)은 음악 동형을 통해 얻은 (1, 1) 텐서 X^\sharp의 대각합으로 정의된다.

:\operatorname{tr}_g ( X ) := \operatorname{tr} ( X^\sharp )

여기서 X^\sharp는 g^{jk} X_{ij} \, \mathbf{e}^i \otimes \mathbf{e}_k 와 같이 표현되며, 이 텐서의 대각합을 계산하면 다음과 같다.

:\operatorname{tr} ( X^\sharp ) = \operatorname{tr} ( g^{jk} X_{ij} \, \mathbf{e}^i \otimes \mathbf{e}_k ) = g^{ij} X_{ij}

결과적으로, 계량 텐서 g를 통한 X의 대각합은 g^{ij} X_{ij}로 주어진다. 이는 아인슈타인 표기법에 따라 위아래로 반복되는 지수 i와 j에 대해 합산한 값이다.

이 대각합의 정의는 계량 텐서 g가 대칭적이기 때문에, 텐서의 지수를 올리는 방식(어떤 지수를 올릴지)에 관계없이 유일하게 결정된다.

6. 역사

마르셀 베르제(1968년)


‘음악 동형’이라는 용어는 마르셀 베르제가 1971년에 이미 사용하였다.[1]

‘음악 동형’이라는 용어 및 그 기호는 일종의 말장난에서 유래했다. 물리학에서는 보통 벡터장(접다발의 단면)을 윗첨자를 사용하여 나타내고, 1차 미분 형식(공변접다발의 단면)을 아랫첨자를 사용하여 표기하는 관습이 있다. 그런데 물리학과 달리 수학에서는 보통 이러한 첨자 표기법을 잘 사용하지 않으며, 다른 표기법이 필요했다. 이에 따라, 접다발을 공변접다발에 대응시키는 것은 첨자를 “올리는” 것이므로, 음악의 올림표(♯)를 사용하여 표기하며, 반대로 공변접다발을 접다발에 대응시키는 것은 첨자를 “내리는” 것이므로, 음악의 내림표(♭)를 사용하여 표기한다. 이 두 기호가 음악에서 유래하였으므로 이러한 벡터 다발 동형 사상에 ‘음악 동형’이라는 이름이 붙었다.


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