이차변동성

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 이차 교차 변동성 (공변동)
3. 유한 변동 과정
4. 이토 과정 (Itô Processes)
5. 세미마팅게일 (Semimartingales)
6. 마팅게일 (Martingales)
참조

1. 개요

이차변동성은 확률 과정의 변동성을 측정하는 개념으로, 확률 과정의 제곱 차이의 극한으로 정의된다. 두 확률 과정의 공변동성은 이차 교차 변동성이라고도 하며, 두 과정의 차이 곱의 극한으로 정의된다. 유한 변동 과정을 포함한 다양한 확률 과정에서 이차변동성이 존재하며, 이토 과정, 세미마팅게일, 마팅게일 등 확률 미적분학의 중요한 개념과 관련되어 사용된다.

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이차변동성
일반 정보
분야	확률론
하위 분야	확률 과정
정의	확률 과정의 표본 경로에 대한 변동의 측정
관련 개념	이토 보조정리, 이토 적분, 마팅게일
이차 변동 (Quadratic variation)
정의	실수 값 확률 과정 {Xt, t ∈ [0, T]}의 이차 변동은 다음과 같이 정의된다: [X]T = plim Σ(Xti+1 - Xti)^2
표기법	[X]T 또는 <X, X>T
설명	여기서 plim은 확률적 극한을 나타내며, 합은 구간 [0, T]의 분할에 대한 것이다.
특징	이차 변동은 확률 과정의 변동성을 측정하는 데 사용되며, 특히 금융 수학에서 자산 가격의 변동성을 모델링하는 데 유용하다.
이차 공변동 (Quadratic covariation)
정의	두 개의 실수 값 확률 과정 {Xt, t ∈ [0, T]}와 {Yt, t ∈ [0, T]}의 이차 공변동은 다음과 같이 정의된다: [X, Y]T = plim Σ(Xti+1 - Xti)(Yti+1 - Yti)
표기법	[X, Y]T 또는 <X, Y>T
설명	여기서 plim은 확률적 극한을 나타내며, 합은 구간 [0, T]의 분할에 대한 것이다.
특징	이차 공변동은 두 확률 과정 간의 상관 관계를 측정하는 데 사용되며, 포트폴리오 관리 및 위험 관리에서 중요한 역할을 한다.
이차 변동성 (이차 변동, Quadratic variation)
로마자 표기	icha byeondong
정의	확률 과정의 샘플 함수의 변동을 특성화하는 방법
영어	quadratic variation
관련 항목	이토 레마, 이토 적분, 마팅게일
표기
표기법 1	[M]t
표기법 2	<M,M>t
설명	M은 국소 마팅게일을 나타낸다.
조건	M0 = 0
정의	M의 이차 변동은 증가하는 확률 과정이다.
참고
관련 항목	유한 변동

2. 정의

확률공간 $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 에서 정의되고 시간 지수 $t$ 가 0 이상의 실수인 실수 값을 갖는 확률 과정 $X_t$ 가 있다고 가정하자. 이 과정의 이차 변동성은 $[X]_t$ 로 표기하며, 다음과 같이 정의된다.

: $[X]_t=\lim_{\Vert P\Vert\rightarrow 0}\sum_{k=1}^n(X_{t_k}-X_{t_{k-1}})^2$

여기서 $P$ 는 구간 [0,t]의 분할을 나타내고, 분할 $P$ 의 노름 $\Vert P\Vert$ 은 메쉬이다. 이 극한은 존재할 경우 확률 수렴으로 정의된다.

주어진 정의의 의미에서 유한한 이차 변동성을 갖는 과정이 존재할 수 있으며, 그 경로는 그럼에도 불구하고 모든 $t>0$ 에 대해 고전적인 의미에서 모든 분할에 대한 합의 상한을 취함으로써 거의 확실하게 무한한 1-변동을 가질 수 있다. 이는 특히 브라운 운동의 경우에 해당한다.

이차 변동성은 $\langle X \rangle_t$ 또는 $\langle X,X \rangle_t$ 로도 표기된다.

2. 1. 이차 교차 변동성 (공변동)

두 확률 과정

X_{t}

,

Y_{t}

의 '''이차 교차 변동성'''(quadratic cross-variance) 또는 '''공변동'''(covariation), '''상호 분산'''은 다음과 같이 정의된다.

:

[X,Y]_t = \lim_{\Vert P\Vert \to 0}\sum_{k=1}^{n}\left(X_{t_k}-X_{t_{k-1}}\right)\left(Y_{t_k}-Y_{t_{k-1}}\right)

여기서

P

는 구간

[0,t]

의 분할을 나타내고,

\Vert P\Vert

는 분할

P

의 메쉬이다. 이 극한은 존재할 경우 확률 수렴으로 정의된다.

이차 교차 변동성은 분극 항등식을 사용하여 이차 변동성으로 표현될 수 있다.

:

[X,Y]_t=\frac{1}{2}([X+Y]_t-[X]_t-[Y]_t).

3. 유한 변동 과정

확률 과정 $X$ 가 모든 유한한 시간 구간에서 유계 변동(Bounded Variation)을 가질 때 (확률 1로), 이 과정을 유한 변동 과정이라고 한다. 이러한 과정은 흔하게 찾아볼 수 있으며, 특히 모든 연속적으로 미분 가능한 함수는 유한 변동 과정에 해당한다. 모든 연속적인 유한 변동 과정의 이차 변동은 항상 존재하며, 그 값은 0이다.

이 성질은 불연속적인 과정에도 확장될 수 있다. 모든 càdlàg 유한 변동 과정 $X$ 의 이차 변동은 과정 $X$ 가 불연속적으로 변하는 지점(점프)들의 제곱의 합과 같다. 더 정확하게 표현하면, 시간 $t$ 에서 과정 $X_t$ 의 좌극한을 $X_{t-}$ 로 나타내고, 시간 $t$ 에서의 $X$ 의 점프 크기를 $\Delta X_t = X_t - X_{t-}$ 로 정의할 때, 이차 변동 $[X]_t$ 는 다음과 같이 계산된다.

: $[X]_t=\sum_{0$

연속적인 유한 변동 과정의 이차 변동이 0이라는 사실은 다음 부등식을 통해 확인할 수 있다. 여기서, $P$ 는 구간 $[0,t]$ 를 나누는 분할이고, $V_t(X)$ 는 구간 $[0,t]$ 에서 $X$ 의 총 변동(total variation)이다.

: $\begin{align}\sum_{k=1}^n(X_{t_k}-X_{t_{k-1}})^2&\le\max_{k\le n}|X_{t_k}-X_{t_{k-1}}|\sum_{k=1}^n|X_{t_k}-X_{t_{k-1}}|\\&\le\max_$

4. 이토 과정 (Itô Processes)

표준 브라운 운동

B

의 이차 변동성은 존재하며,

[B]_t=t

로 주어진다. 다만, 이 극한은 각 경로마다 성립하는 것이 아니라

L^2

공간에서의 수렴을 의미한다. 이러한 개념은 이토 과정으로 일반화될 수 있으며, 이토 적분으로 표현될 수 있다.

이토 과정

X_t

는 다음과 같이 정의된다.

:

\begin{align}X_t &= X_0 + \int_0^t\sigma_s\,dB_s + \int_0^t\mu_s\,d[B]_s \\&= X_0 + \int_0^t\sigma_s\,dB_s + \int_0^t\mu_s\,ds,\end{align}

여기서

B

는 브라운 운동이다. 이 이토 과정의 이차 변동성은 다음과 같이 계산된다.

:

[X]_t=\int_0^t\sigma_s^2\,ds.

5. 세미마팅게일 (Semimartingales)

모든 세미마팅게일의 이차 변동성과 이차 공변동성은 존재함을 보일 수 있다. 이는 이토의 보조정리에 나타나며, 이토 적분에 대한 연쇄 법칙의 일반화로서 확률 미적분학 이론의 중요한 부분을 형성한다. 이차 공변동성은 또한 부분적분 공식

: $X_tY_t=X_0Y_0+\int_0^tX_{s-}\,dY_s + \int_0^tY_{s-}\,dX_s+[X,Y]_t,$

에 나타나며, $[X,Y]$ 를 계산하는 데 사용할 수 있다.

또는 이를 다음과 같이 확률 미분 방정식으로 쓸 수 있다.

: $\,d(X_tY_t)=X_{t-}\,dY_t + Y_{t-}\,dX_t+\,dX_t \,dY_t,$

여기서 $\,dX_t \,dY_t=\,d[X,Y]_t$ 이다.

6. 마팅게일 (Martingales)

모든 càdlàg 마팅게일과 국소 마팅게일은 이차 변동성이 잘 정의되어 있다. 이는 이러한 과정들이 세미마팅게일의 한 예이기 때문이다.

일반적으로 국소 제곱 적분 가능한 마팅게일 $M$ 의 이차 변동 $[M]$ 은 $M^2 - [M]$ 이 국소 마팅게일이 되도록 하는, 0에서 시작하는 유일한 우연속 증가 과정으로 정의될 수 있다. 이때 이차 변동의 점프(jump)는 $\Delta [M] = \Delta M^2$ 를 만족한다. (Karandikar–Rao (2014)는 확률 미적분을 사용하지 않고 $[M]$ 의 존재를 증명했다.)

제곱 적분 가능 마팅게일과 관련하여 유용한 결과 중 하나는 이토 등거리(Itô isometry)이다. 이는 이토 적분의 분산을 계산하는 데 사용된다.

: $\operatorname{E}\left(\left(\int_0^t H\,dM\right)^2\right) = \operatorname{E}\left(\int_0^tH^2\,d[M]\right).$

이 등식은 $M$ 이 càdlàg 제곱 적분 가능한 마팅게일이고, $H$ 가 유계인 예측 가능한 과정일 때 성립하며, 이토 적분을 구성하는 데 자주 활용된다.

또 다른 중요한 결과는 Burkholder–Davis–Gundy 부등식이다. 이 부등식은 이차 변동성을 이용하여 마팅게일의 최댓값에 대한 상한과 하한을 제공한다. 0에서 시작하는 국소 마팅게일 $M$ 에 대해, 시간 $t$ 까지의 최댓값을 $M_t*=\operatorname{sup}_{s\in[0,t]} |M_s|$ 로 표기할 때, 임의의 실수 $p \geq 1$ 에 대해 다음 부등식이 성립한다.

: $c_p\operatorname{E}([M]_t^{p/2})\le \operatorname{E}((M^*_t)^p)\le C_p\operatorname{E}([M]_t^{p/2}).$

여기서 $c_p$ 와 $C_p$ ( $c_p < C_p$ )는 $p$ 의 값에만 의존하는 상수이며, 마팅게일 $M$ 이나 시간 $t$ 에는 영향을 받지 않는다. 만약 $M$ 이 연속적인 국소 마팅게일이라면, 이 부등식은 모든 $p>0$ 에 대해 성립한다.

국소 제곱 적분 가능한 마팅게일에는 예측 가능한 이차 변동이라는 또 다른 과정이 사용되기도 한다. 이는 $\langle M_t \rangle$ 로 표기하며, $M^2 - \langle M \rangle$ 이 국소 마팅게일이 되도록 하는, 0에서 시작하는 유일한 우연속 증가 예측 가능한 과정으로 정의된다. 이 과정의 존재는 Doob–Meyer 분해 정리로부터 유도된다. 만약 마팅게일이 연속적이라면, 예측 가능한 이차 변동은 일반적인 이차 변동 $[M]$ 과 동일하다.

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