모듈러 산술

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1. 개요

모듈러 산술은 정수를 특정 정수(법)로 나눈 나머지를 이용한 산술 체계이다. 두 정수가 법에 대해 합동이라는 것은 그 차이가 법의 배수인 경우를 의미하며, 이는 동치 관계를 형성한다. 모듈러 산술은 덧셈, 뺄셈, 곱셈 연산과 호환되며, 컴퓨터 과학, 암호학, 수론 등 다양한 분야에 응용된다. 특히, RSA, 디피-헬만과 같은 공개 키 암호화 시스템과 ISBN, IBAN과 같은 일련 번호의 오류 검출에 활용된다. 가우스는 합동 산술을 체계화하여 정수론 발전에 기여했으며, 19세기 이후 추상대수학 등 다양한 분야로 확장되었다.

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모듈러 산술

2. 정의

$n\in\mathbb Z$ 이 2 이상의 정수라고 하자. 정수환 $\mathbb Z$ 의 주 아이디얼 $(n)$ 에 대한 몫환 $\mathbb Z/(n)$ 의 원소들은 $\{0,1,\dots,n-1\}$ 과 일대일 대응하며, 이는 정수를 $n$ 으로 나눈 나머지로 생각할 수 있다. 즉, 환 준동형

: $\phi_n\colon\mathbb Z\to\mathbb Z/(n)$

을, 정수를 $n$ 에 대한 나머지로 대응시키는 함수로 여길 수 있다.

임의의 두 정수 $a,b\in\mathbb Z$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건이 성립하면 $a$ 와 $b$ 가 '''법 $n$ 에 대하여 합동'''(congruent modulo $n$ ^영어)이라고 한다.

$a=b+kn$ 인 정수 $k\in\mathbb Z$ 가 존재한다.
$\phi_n(a)=\phi_n(b)\in\mathbb Z/(n)$ 이다. 즉, $a$ 와 $b$ 는 $\mathbb Z/(n)$ 의 같은 동치류에 속한다.

이는 기호로는

:

a\equiv b\pmod n

이라고 한다. 정수의 합동은 동치 관계를 이룬다.

예를 들어 12를 법으로 할 때,

:

38 \equiv 14 \pmod {12}

가 성립하는데, 그 이유는 38과 14를 12로 나눈 나머지가 2로 같기 때문이다. 이는 38 - 14 = 24 = 2 × 12 와 같이 12의 배수로 표현되는 것과 동치이다.

합동의 정의는 음수 값에도 적용된다. 예를 들어,

:

\begin{align}2 &\equiv -3 \pmod 5\\

8 &\equiv 7 \pmod 5\\
3 &\equiv -8 \pmod 5.

\end{align}

2. 1. 합동 관계

congruent modulo ''n''|모듈로 합동^영어이라고 불리는 합동 관계는 덧셈, 뺄셈, 곱셈 연산과 호환되는 동치 관계이다.^[1]

정수 이 주어졌을 때, 이를 '''법'''이라고 부르며, 두 정수 와 는 이 두 수의 차이를 나누는 수, 즉 다음을 만족하는 정수 가 존재하면 '''을 법으로 하는 합동'''이라고 한다.

: .

을 법으로 하는 합동은 다음과 같이 표기한다.

: .

괄호는 이 오른쪽 항()뿐만 아니라 전체 방정식에 적용된다는 것을 의미한다.

합동 관계는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

: ,

이는 유클리드 나눗셈과의 관계를 명시적으로 보여준다.

을 법으로 하는 합동은 으로의 나눗셈 가능성에 의해 정의되고, 은 정수 링의 단위이기 때문에, 어떤 수가 으로 나누어 떨어지는 것은 정확히 으로 나누어 떨어지는 것과 같다.

이는 모든 0이 아닌 정수 을 법으로 사용할 수 있음을 의미한다.

합동 관계는 다음의 모든 동치 관계 조건을 만족한다.

반사율:
대칭성: 이면 이다.
추이성: 만약 이고 이면, 이다.

만약 이고 이거나, 이면:^[1]

(덧셈과의 호환성)
(뺄셈과의 호환성)
(곱셈과의 호환성)

3. 성질

합동 관계는 동치 관계의 모든 조건을 만족한다.^[1]

반사율:
대칭성: 이면 이다.
추이성: 이고 이면, 이다.

이고 이거나, 이면:^[1]

임의의 정수 에 대해 (평행이동과의 호환성)
임의의 정수 에 대해 (스케일링과의 호환성)
임의의 정수 에 대해
(덧셈과의 호환성)
(뺄셈과의 호환성)
(곱셈과의 호환성)
임의의 음이 아닌 정수 에 대해 (지수 연산과의 호환성)
정수 계수를 갖는 임의의 다항식 에 대해 (다항식 평가와의 호환성)

이면, 일반적으로 은 거짓이다. 하지만 다음은 참이다.

이고, 가 과 서로소이면 이다. ( 는 오일러의 토션트 함수)

공통 항의 소거에는 다음과 같은 규칙이 있다.

이고, 가 임의의 정수이면, 이다.
이고 가 과 서로소이면, 이다.
이고 이면, 이다.

마지막 규칙은 모듈러 산술을 나눗셈으로 이동하는 데 사용될 수 있다. 가 를 나누면, 이다.

모듈러 곱셈 역원은 다음 규칙에 의해 정의된다.

존재성: 정수 가 존재하여 가 성립하는 것은 가 과 서로소일 때뿐이다. 이 정수 는 모듈로 의 의 ''모듈러 곱셈 역원''이라고 불린다.
이고 가 존재하면, 이다 (곱셈 역원과의 호환성 및 일 때 모듈로 의 유일성).
이고 가 과 서로소이면, 이 선형 합동식의 해는 로 주어진다.

곱셈 역원 는 베주 방정식 을 , 에 대해 풀어서 확장된 유클리드 알고리즘을 사용하여 효율적으로 계산할 수 있다.

특히, 가 소수이면, 인 모든 에 대해 는 와 서로소이다. 따라서 0 모듈로 에 합동이 아닌 모든 에 대해 곱셈 역원이 존재한다.

합동 관계의 몇 가지 더 진보된 속성은 다음과 같다.

페르마의 소정리: 가 소수이고 를 나누지 않으면, 이다.
오일러의 정리: 와 이 서로소이면, 이다. 여기서 는 오일러의 피 함수이다.
페르마의 소정리의 간단한 결과로, 가 소수이면, 는 의 곱셈 역원이다. 더 일반적으로, 오일러의 정리에서 와 이 서로소이면, 이다. 따라서 이면, 이다.
또 다른 간단한 결과는 이면, 이다. 단, 가 과 서로소인 경우에 한한다. ( 는 오일러의 피 함수)
윌슨의 정리: 가 소수일 필요충분 조건은 이다.
중국인의 나머지 정리: 임의의 , 와 서로소인 , 에 대해, 이고 인 유일한 가 존재한다. 실제로, 이다. 여기서 은 의 법 에 대한 역원이고 은 의 법 에 대한 역원이다.
라그랑주의 정리: 가 소수이고 가 정수 계수를 갖는 다항식이며 가 의 약수가 아니면, 합동식 는 최대 개의 서로 합동하지 않은 해를 갖는다.
법 에 대한 원시 근: 숫자 는 과 서로소인 모든 정수 에 대해 가 되는 정수 가 존재하면 법 에 대한 원시 근이다. 법 에 대한 원시 근은 이 , , 또는 일 때 존재한다. 여기서 는 홀수 소수이고 는 양의 정수이다. 법 에 대한 원시 근이 존재하면, 정확히 개의 이러한 원시 근이 있다. ( 는 오일러의 피 함수)
2차 잉여: 정수 는 어떤 정수 에 대해 가 존재하면 법 에 대한 2차 잉여이다. 오일러의 기준에 따르면, 가 홀수 소수이고 가 의 배수가 아니면, 는 인 경우에만 법 에 대한 2차 잉여이다.

3. 1. 기본 성질

합동 관계는 다음의 모든 동치 관계 조건을 만족한다.^[1]

반사율:
대칭성: 이면 이다.
추이성: 만약 이고 이면, 이다.

만약 이고 이거나, 이면:

임의의 정수 에 대해 (평행이동과의 호환성)
임의의 정수 에 대해 (스케일링과의 호환성)
임의의 정수 에 대해
(덧셈과의 호환성)
(뺄셈과의 호환성)
(곱셈과의 호환성)
임의의 음이 아닌 정수 에 대해 (지수 연산과의 호환성)
임의의 다항식 에 대해 정수 계수가 있는 (다항식 평가와의 호환성)

3. 2. 덧셈 · 뺄셈 · 곱셈

\mathbb Z/(n)

은 가환환이므로, 덧셈, 뺄셈, 곱셈을 정의할 수 있다. 덧셈과 곱셈은 결합 법칙과 교환 법칙을 따르며, 분배 법칙도 성립한다.

정수

m \ge 1

이 주어졌을 때, 이를 '법'이라고 부른다. 두 정수

a

와

b

에 대해,

m

이 두 수의 차이를 나누면, 즉 다음을 만족하는 정수

k

가 존재하면,

a

와

b

는 '

m

을 법으로 하는 합동'이라고 한다.

:

a - b = k m

.

m

을 법으로 하는 합동은 합동 관계라고 하며, 이는 덧셈, 뺄셈, 곱셈 연산과 호환되는 동치 관계이다.

m

을 법으로 하는 합동은 다음과 같이 표기한다.

:

a \equiv b \pmod m

.

이 합동 관계는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:

a = k m + b

이는 유클리드 나눗셈과의 관계를 보여준다. 여기서

b

는

a

를

m

으로 나눈 나머지가 아니어도 된다. 대신,

a \equiv b \pmod m

은

a

와

b

가

m

으로 나눌 때 같은 나머지를 갖는다는 것을 의미한다. 즉,

:

a = p m + r

,

:

b = q m + r

여기서

0 \le r < m

은 공통 나머지이다.

3. 3. 나눗셈

모듈러 산술에서 나눗셈은 일반적인 체와 달리 항상 정의되지는 않는다. 하지만, 특정한 조건 아래에서는 나눗셈과 유사한 연산을 정의할 수 있다.

법이 소수인 경우: 법 $n$이 소수이면, $\mathbb{Z}/(n)$은 체가 된다. 이 경우 0을 제외한 모든 원소는 곱셈에 대한 역원을 가지므로, 나눗셈이 가능하다.
법이 합성수이고 서로소인 경우: 법 $n$이 합성수일 때는, $n$과 서로소인 수만이 가역원이 되어 역수를 정의할 수 있다. 오일러의 정리에 따르면, $a$가 $n$과 서로소일 때, $a^{\phi(n)}\equiv 1 \pmod n$이 성립한다. 여기서 $\phi$는 오일러 피 함수이다. 즉, $n$개의 합동류 중 $\phi(n)$개만이 가역원이며, 가역원 $a$의 역원은 $a^{\phi(n)-1}$이다.

예를 들어, 법 4에 대한 최소 잉여계는 {0, 1, 2, 3}이다. 이 중 1과 3은 4와 서로소이므로 가역원이다. 1의 역원은 1이고, 3의 역원은 3이다. (3 * 3 = 9 ≡ 1 (mod 4)).

3. 3. 1. 홀수 소수의 거듭제곱

2가 아닌 소수

p

에 대하여,

\mathbb Z/(p^k)

의 가역원들은 총

\phi(p^k)=p^{k-1}(p-1)

개가 있으며 (

\phi

는 오일러 피 함수)^[1], 그 가역원군은 순환군이다.

:

(\mathbb Z/(p^k))^\times\cong Z_{\phi(p^k)}

^[1]

3. 3. 2. 2의 거듭제곱

k>1

에 대하여,

\mathbb Z/(2^k)

의 가역원군은 다음과 같다.

:

(\mathbb Z/(2^k))^\times\cong Z_2\times Z_{2^{k-2}}

3. 3. 3. 일반적 합성수

일반적인 합성수의 경우, 가역원군은 중국인의 나머지 정리에 따라 다음과 같이 분해된다.

:

\left(\mathbb Z/\left(\prod_pp^{n_p}\right)\right)^\times\cong\prod_p(\mathbb Z/(p^{n_p}))^\times

^[27]

3. 4. 중국인의 나머지 정리

중국인의 나머지 정리에 따르면, ''n''의 소인수 분해가 다음과 같을 때,

:

n=\prod_pp^{n_p}

다음과 같은 가환환의 동형이 존재한다.

:

\mathbb Z/(n)\cong\prod_p\mathbb Z/(p^{n_p})

즉, 두 개 이상의 소인수를 갖는 수에 대한 모듈러 산술은 그 소인수들(의 거듭제곱)에 대한 합동류들을 성분별로 취급하는 것과 같다.

3. 5. 오일러의 정리

modulo^영어 을 법으로 하는 각 잉여류는 그 구성원 중 하나로 표현될 수 있지만, 일반적으로 각 잉여류는 해당 잉여류에 속하는 가장 작은 음이 아닌 정수로 표현한다.^[2] 서로 다른 잉여류의 두 구성원은 을 법으로 할 때 서로 합동이 아니다. 게다가 모든 정수는 을 법으로 하는 단 하나의 잉여류에 속한다.^[3]

디리클레는 서로소인 정수 , 과 양의 정수를 넘나드는 변수 에 대해 의 형태로 쓸 수 있는 수에 주목했고, 이러한 수의 세계에서 소수가 실제로 무수히 존재함을 보이려 시도했다. 그러한 문제에 대해 합동 산술은 유효한 도구이며, 이는 즉 잉여류에서 소수 전체가 이루는 집합의 농도를 아는 것과 같다.

디리클레는 법 에 관해 가역원 전체가 이루는 군 (환 의 단위군, 즉 기약 합동류군 ))을 생각하고, 그 군에서 영이 아닌 복소수 전체가 이루는 곱셈군으로의 군 준동형 (즉, 군의 원소 , 에 대해 를 만족하는 사상) 전체가 이루는 집합에 대해 조사했다. 이러한 사상을 디리클레 지표라고 한다. 디리클레 지표는 개 존재하며, 두 지표의 곱은 또한 하나의 지표이며, 곱셈표를 쓰면 이는 기약 합동류군의 것과 완전히 똑같아진다.

3. 6. 페르마의 소정리

페르마의 소정리는 오일러의 정리의 특수한 경우로, 법이 소수일 때 성립한다.^[2]^[3]^[4]

3. 7. 윌슨의 정리

현대적인 용어로 말하자면, 합동 산술은 유클리드 환의 몫의 개념으로 정식화할 수 있다. 이 개념은 동치 관계의 개념에 의해, 많은 대수적 구조에 대해 일반화된다. 환론에서는 아이디얼이 정규 부분군의 역할을 하며, 합동 산술을 포함하는 더 넓은 문맥에서 사용되는 몫환의 개념이 정식화된다.

3. 8. 라그랑주의 정리 (정수론)

가환환에 계수를 갖는 다항식환은 나눗셈이 가능하므로, 합동 산술을 생각할 수 있다. 갈루아 이론의 출발점은 다항식을 기약 다항식(이것이 수의 경우의 소수에 해당)으로 나눈 합동류의 집합을 체계적으로 다루는 데 있다^[31]. 이들 집합은 오늘날 대수적 확대라고 불린다.

3. 9. 법 n에 대한 원시근

법 ''n''에 대한 원시근은 ''n''과 서로소인 모든 정수를 거듭제곱으로 표현할 수 있는 수이다.

3. 10. 2차 잉여

주어진 원본 소스에는 '2차 잉여'에 대한 직접적인 설명이 없으므로, 요약에 있는 내용은 이 섹션에 포함될 수 없다. 따라서 원본 소스에서 '2차 잉여'와 관련된 내용을 찾을 수 없기 때문에, 이 섹션에는 작성할 내용이 없다.

4. 잉여계

법 ''m''에 대한 잉여류는 ''m''으로 나눈 나머지가 같은 정수들의 집합이다. 예를 들어 ''m'' = 5인 경우, 잉여류는 다음과 같이 5개가 존재한다.

{..., -10, -5, 0, 5, 10, ...}
{..., -9, -4, 1, 6, 11, ...}
{..., -8, -3, 2, 7, 12, ...}
{..., -7, -2, 3, 8, 13, ...}
{..., -6, -1, 4, 9, 14, ...}

이러한 잉여류들의 집합은 법 ''m'' 정수환이라고 하며,

\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}

,

\mathbb{Z}/m

, 또는

\mathbb{Z}_m

으로 표기한다.^[6] 법 ''m'' 정수환은 덧셈, 뺄셈, 곱셈 연산에 대해 가환환을 이룬다.

$\overline{a}_m + \overline{b}_m = \overline{(a + b)}_m$
$\overline{a}_m - \overline{b}_m = \overline{(a - b)}_m$
$\overline{a}_m \overline{b}_m = \overline{(a b)}_m$

예를 들어, 24시간제에서 12시 + 21시는 33시가 아니라 9시가 되는 것처럼,

\mathbb{Z}/24\mathbb{Z}

에서는

\overline{12}_{24} + \overline{21}_{24} = \overline{33}_{24}= \overline{9}_{24}

가 된다.

법 ''m'' 정수환은 ''m''이 소수일 때 체가 된다.

4. 1. 완전 잉여계

법 ''m''에 대한 완전 잉여계는 각 잉여류의 대표를 정확히 하나씩 포함하는 집합이다.

4. 2. 최소 잉여계

Modular arithmetic^영어에서, 주어진 정수 m에 대한 모든 합동류의 집합을 법 m 정수환이라고 하며,

\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}

,

\mathbb{Z}/m

, 또는

\mathbb{Z}_m

로 표기한다.^[6] m > 0 에 대해 다음이 성립한다.

:

\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} = \left\{ \overline{a}_m \mid a \in \mathbb{Z}\right\} = \left\{ \overline{0}_m, \overline{1}_m, \overline{2}_m,\ldots, \overline{m{-}1}_m \right\}.

이때, 집합 {0, 1, 2, ..., m-1}은 최소 잉여계이다.

4. 3. 기약 잉여계

오일러 피 함수

φ(m)

가 주어졌을 때,

m

과 서로소이고 법

m

에 대해 서로 합동이 아닌

φ(m)

개의 정수의 집합을 '''법

m

에 대한 기약 잉여계'''라고 한다.^[5] 예를 들어, 집합

\{5, 15\}

는 법 4에 대한 기약 잉여계의 한 예시이다.

5. 아이디얼

Z/(n)에서도 정수환의 경우와 마찬가지로 아이디얼, 소 아이디얼 및 극대 아이디얼의 개념을 정의할 수 있다.

Z/(n)의 아이디얼은 모두 n의 약수에 의하여 생성되는 주 아이디얼이다. 즉, (d) (d|n)의 꼴이다.

이 아이디얼들 가운데, 소 아이디얼인 것은 d가 소수인 경우이다. 즉, Z/(n)의 소 아이디얼은 n의 소인수들의 주 아이디얼들이다. Z/(n)에서 극대 아이디얼의 개념과 소 아이디얼의 개념은 서로 일치한다. 즉, 모든 극대 아이디얼은 소 아이디얼이며, 모든 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다.

6. 역사

합동 산술은 고대부터 그 개념이 알려져 있었으나, 19세기 가우스에 의해 체계적으로 정립되었다.

6. 1. 유럽의 정수론 발전

정수론의 발전에 큰 영향을 준 피에르 드 페르마(1607 - 1665)는 합동 산술의 기초가 되는 잉여를 갖는 나눗셈을 사용했다.^[12] 그는 페르마의 대정리, 두 제곱수의 합 정리, 페르마의 소정리 등 여러 정리를 제시했다.^[12]

18세기 레온하르트 오일러는 페르마가 제시한 문제들을 해결하며, 페르마 수가 항상 소수가 되는 것은 아님을 증명했다.^[17] 또한 제곱 잉여의 상호 법칙을 연구했다.

6. 2. 가우스의 공헌

19세기 초, 가우스(1777 - 1855)는 이전까지 수학자들이 사용하던 복잡한 방법 대신, 단순한 원리를 도입하여 합동 산술을 체계화했다. 가우스는 1796년 3월 30일에 정십칠각형의 작도 가능성을 증명하였고, 1801년에는 《Disquisitiones Arithmeticae》(『산술 연구』)를 저술하여 '''수학의 황제'''라는 별명을 얻었다.^[20]

가우스는 정수 계수 다항식을 사용하여 정수 개념을 확장해, 오늘날 가우스 정수라고 불리는 수의 집합을 고안했다. 가우스의 합동 산술은 제곱 잉여의 상호 법칙 증명 등 정수론 발전에 큰 영향을 미쳤다.

6. 3. 19세기 이후의 발전

디리클레는 디리클레 지표 개념을 도입하여 해석적 정수론의 기초를 다졌고,^[22] 산술 급수 정리를 증명했는데, 이는 합동 산술의 정점으로 평가받는다.^[22] 야코비는 디리클레의 업적을 "인류 통찰력의 정점"이라고 평가했다.^[23]

이후 합동 산술은 대수적 정수론, 해석적 정수론 등 새로운 분야로 발전해 나갔다.^[26]

7. 응용

모듈러 산술은 수론, 군론, 환론, 매듭 이론, 추상대수학 등 순수 수학의 여러 분야와 컴퓨터 대수학, 화학, 시각 및 음악 예술과 같은 응용 수학 분야에서 널리 사용된다.^[9]

컴퓨터 대수학에서 모듈러 산술은 중간 계산 및 데이터에서 정수 계수의 크기를 제한하고, 다항식 인수분해, 다항식 최대공약수, 정수 및 유리수에 대한 선형대수, 그뢰브너 기저 알고리즘의 효율적인 구현에 사용되며, 오일러의 거듭제곱 합 추측을 반증하는 데에도 사용되었다.^[9]

분수를 모든 밑 b의 순환 소수로 바꿀 때 나눗셈을 사용하는 것은 분모 모듈로 b의 모듈러 곱셈과 같다. 예를 들어 십진법에서는 b = 10이다.

7. 1. 암호학

모듈러 산술은 암호학에서 공개 키 시스템(예: RSA, 디피-헬만)의 기초가 되며, 유한체를 제공하여 타원 곡선 암호의 기초가 된다. 또한 고급 암호화 표준(AES), 국제 데이터 암호화 알고리즘(IDEA), RC4 등 다양한 대칭 키 알고리즘에도 사용된다.^[9] RSA와 디피-헬만은 모듈러 지수승을 사용한다.

7. 2. 정보 이론

모듈러 산술은 오류 검출 및 정정 부호, 체크섬 계산 등에 사용된다. 국제 표준 도서 번호(ISBN), 국제 은행 계좌 번호(IBAN), CAS 등록 번호 등에서 오류 검출을 위해 활용된다.^[9]

7. 3. 컴퓨터 과학

모듈러 산술은 비트 연산 및 고정 너비, 순환 자료 구조와 관련된 연산에 적용된다. 많은 프로그래밍 언어 및 계산기에서 구현된 모듈로 연산은 이 맥락에서 자주 사용되는 모듈러 산술의 응용이다. 논리 연산자 XOR은 2비트를 모듈로 2로 더한다.^[9]

7. 4. 기타

음악에서 모듈로 12 산술은 12 평균율 시스템에 사용되며, 옥타브와 이명동음의 동일성이 나타난다. (예: 1:2 또는 2:1 비율의 음은 같고, C-샤프는 D-플랫과 같다고 본다.)^[9]

9의 보수 방법은 십진 산술 계산을 빠르게 확인하는 데 사용된다. 이는 모듈로 9의 모듈러 산술과 10 ≡ 1 (mod 9)라는 성질을 이용한다.^[9]

모듈로 7 산술은 주어진 날짜의 요일을 구하는 알고리즘에 쓰인다. 특히, 젤러의 합동과 둠스데이 알고리즘은 모듈로 7 산술을 많이 사용한다.^[9]

모듈러 산술은 법률 (예: 할당), 경제학 (예: 게임 이론) 등 사회 과학 분야에서도 응용되며, 비례 분할 및 자원 할당이 중요한 부분을 차지한다.^[9]

8. 계산 복잡도

선형 합동식 시스템은 가우스 소거법의 한 형태로 다항 시간 안에 풀 수 있으며, 자세한 내용은 선형 합동식 정리를 참조하면 된다. 몽고메리 리덕션과 같은 알고리즘은 곱셈 및 모듈러 m와 같은 간단한 산술 연산을 큰 수에서 효율적으로 수행할 수 있도록 한다.

이산 로그 또는 이차 합동식을 찾는 것과 같은 일부 연산은 정수 인수분해만큼 어려운 것으로 보이며, 따라서 암호학 및 암호화 알고리즘의 시작점이 된다. 이러한 문제는 NP-중간일 수 있다.

비선형 모듈러 산술 방정식을 푸는 것은 NP-완전이다.^[10]

참조

_[1] 서적 the Art of Problem Solving AoPS Incorporated
_[2] 웹사이트 Modular Arithmetic https://mathworld.wo[...] 2020-08-12
_[3] 문서
_[4] 문서
_[5] 문서
_[6] 문서 ring (mathematics)
_[7] 웹사이트 2.3: Integers Modulo n https://math.librete[...] 2013-11-16
_[8] 서적 Discrete Mathematics and Combinatorics https://books.google[...]
_[9] 웹사이트 Euler's sum of powers conjecture https://rosettacode.[...] 2020-11-11
_[10] 서적 Computers and Intractability, a Guide to the Theory of NP-Completeness https://archive.org/[...] W. H. Freeman
_[11] 서적 数学入門
_[12] 문서 Correspondance 1657-01-03
_[13] 문서 Correspondance Marin de Mersenne 1640-12-25
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