반단순환

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 분류
5. 예시
- 5.1. 복소수 행렬 대수
- 5.2. 마슈케 정리
6. 역사
참조

1. 개요

반단순환은 환의 한 종류로, 여러 가지 동치 조건을 만족하는 환을 의미한다. 예를 들어, 스스로에 대한 왼쪽 또는 오른쪽 가군으로서 반단순 가군이거나, 모든 짧은 완전열이 분할 완전열인 경우, 또는 모든 왼쪽/오른쪽 가군이 반단순 가군인 경우 등이 있다. 반단순환은 왼쪽 및 오른쪽 아르틴 환이며, 반원시환이기도 하다.

반단순환은 유한 개의 단순환의 직접곱으로 나타낼 수 있으며, 특히 아르틴-웨더번 정리에 의해 유한 개의 나눗셈환 위의 행렬환들의 직접곱과 동형임이 밝혀졌다. 가환환의 경우, 반단순환은 아르틴 축소환이며, 유한 개의 체들의 직접곱과 같다. 반단순환은 호몰로지 대수적으로도 특징지어지며, 유한 차원 반단순 대수의 구조는 단순 대수의 데카르트 곱으로 표현된다.

역사적으로, 반단순환 개념은 선형대수학과 군론의 관계에서 비롯되었으며, 조르당, 클라인, 프로베니우스, 마슈케, 웨더번, 뇌터, 아르틴 등의 수학자들에 의해 발전되었다. 마슈케 정리는 유한군의 군환이 반단순환임을 보였고, 웨더번과 아르틴은 반단순환의 구조를 밝히는 데 기여했다.

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환론 - 뇌터 환
뇌터 환은 환론에서 아이디얼의 특정 조건을 만족하는 환을 지칭하며, 가환환의 경우 왼쪽, 오른쪽, 양쪽 뇌터 환의 개념이 일치하지만 비가환환의 경우 구별해야 하고, 힐베르트 기저 정리에 따라 뇌터 환 $R$ 에 대해 다항식환 $R[X]$ 역시 뇌터 환이 된다.
환론 - 다항식환
다항식환은 환을 계수로 하는 다항식들의 집합으로, 덧셈과 곱셈 연산에 대해 환을 이루며, 계수환이 체일 경우 유클리드 정역이 되고 대수기하학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.

반단순환

2. 정의

환 $R$에 대해 다음 조건들은 서로 동치이며, 이 조건들을 만족하는 환을 '''반단순환'''이라고 정의한다.

스스로에 대한 왼쪽 가군으로서 반단순 가군이다.
스스로에 대한 오른쪽 가군으로서 반단순 가군이다.
$R$의 왼쪽 가군들의 범주 $R\text{-Mod}$에서, 모든 짧은 완전열은 분할 완전열이다.
$R$의 오른쪽 가군들의 범주 $\text{Mod-}R$에서, 모든 짧은 완전열은 분할 완전열이다.
$R$ 위의 모든 왼쪽 가군이 반단순 가군이다.
$R$ 위의 모든 오른쪽 가군이 반단순 가군이다.
왼쪽 아르틴 환이며, 반원시환이다.^[6]
오른쪽 아르틴 환이며, 반원시환이다.^[6]
유한 개의 아르틴 단순환들의 직접곱이다. (단순환의 경우, 왼쪽 아르틴 조건과 오른쪽 아르틴 조건이 서로 동치이다.)
('''아르틴-웨더번 정리''') 유한 개의 나눗셈환들 $D_1,\dots,D_k$에 대한 직접곱 $\textstyle\prod_i\operatorname{Mat}(n_i;D_i)$과 동형이다. Artin–Wedderburn theorem^영어

3. 성질

모든 반단순환은 왼쪽 아르틴 환이며, 오른쪽 아르틴 환이며, 왼쪽 뇌터 환이며, 오른쪽 뇌터 환이며, 반원시환이다.^[26] 또한, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

반단순환	⇒	반원시환	⇒	반소환
\|		⇑		⇑
단순환	⇒	좌·우 원시환	⇒	소환

만약 (왼쪽 또는 오른쪽) 아르틴 환의 조건을 가정하면, 이 함의 관계는 다음과 같이 단순해진다.^[26]

반단순환	⇔	아르틴 반원시환	⇔	아르틴 반소환
\|		⇑
아르틴 단순환	⇔	아르틴 원시환	⇔	아르틴 소환

단순환에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

반단순환이다.
왼쪽 아르틴 환이다.
오른쪽 아르틴 환이다.

특히, 반단순환이 아닌 단순환이 존재한다.

가환환에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

반단순환이다.
아르틴 축소환이다.
유한 개의 체들의 직접곱이다.

유한 개의 반단순환들의 직접곱은 반단순환이다.

4. 분류

아르틴-웨더번 정리에 따르면, 반단순환은 유한 개의 나눗셈환 위의 행렬환들의 직접곱과 동형이다.^[27] 즉, 반단순환 $R$ 은 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $R\cong\prod_{i=1}^k\operatorname{Mat}(n_i;\operatorname{End}(_RM_i)^{\operatorname{op}})$

여기서 $\operatorname{End}(_RM_i)^{\operatorname{op}}$ 는 슈어 보조정리에 의해 나눗셈환이다.

조지프 웨더번의 정리는 체 $k$ 위의 유한 차원 반단순 대수를 완전히 분류한다. 이러한 대수는 유한 곱 $\prod M_{n_i}(D_i)$ 에 동형이며, 여기서 $n_i$ 는 자연수이고, $D_i$ 는 $k$ 위의 나눗셈 대수이며, $M_{n_i}(D_i)$ 는 $D_i$ 위의 $n_i \times n_i$ 행렬의 대수이다. 이 곱은 인수의 순열까지 유일하다.^[1]

이 정리는 나중에 에밀 아르틴에 의해 반단순환으로 일반화되었으며, 이를 웨더번-아르틴 정리라고 부른다.

'''아르틴-웨더번 정리'''. ''A''를 환으로 한다. 다음은 동치이다.

''A''는 반단순이다.
''A''는 ''M''_''n''₁(''D''₁) × ... × ''M''_{''n''_''p''}(''D''_''p'')와 동형이다. 단, ''n''₁, ..., ''n''_''p'' > 0은 정수이고, ''D''₁, ..., ''D''_p는 (가환일 필요는 없는) 체이다.
''A''는 End_''D''₁(''E''₁) × ... × End_{''D''_''p''}(''E''_''p'')와 동형이다. 단, ''D''₁, ..., ''D''_p는 체이고 ''E''₁, ..., ''E''_p는 각각 ''D''₁, ..., ''D''_p 위의 0이 아닌 유한 차원 벡터 공간이다.

5. 예시

영환은 반단순환이다.
모든 체는 반단순환이다.
단순환이 반단순환이 되는 조건은 아르틴 환인 조건과 동치이다.^[2]^[3] 예를 들어, ''D''가 체이고 ''E''가 ''D'' 상의 벡터 공간이며 차원 ''n''이 0이 아니고 유한하다면, 환 End_''D''''E''와 ''M''_''n''(''D'')는 단순 아르틴 환이므로 반단순환이다.
반단순환의 반대환은 반단순환이다.
유한 개의 반단순환(특히 체)의 직적은 반단순환이다. 예를 들어, ''V''가 ''K''-벡터 공간이고 φ가 ''m''개의 고유값으로 대각화 가능한 ''V''의 자기 준동형 사상이라면, φ로 생성된 ''K''-대수환은 ''K^m''에 동형이므로 반단순환이다.
반단순환의 양쪽 아이디얼에 의한 잉여환은 반단순환이다.
''A''를 반단순환, ''M''을 유한형 ''A''-가군이라고 하자. 이 때, ''A''-가군 ''M''의 자기 준동형환은 반단순환이다.
''n''을 양의 정수라고 하자. 잉여환 '''Z'''/(''n'')이 반단순환인 것은 ''n''이 제곱 인수를 갖지 않을 때이다.^[4]
''f''를 체 ''K''상의 상수가 아닌 일변수 다항식이라고 하자. 잉여환 ''K''[''X'']/(''f'')가 반단순환인 것은 ''f''가 제곱 인수를 갖지 않는 (서로소인 기약 다항식의 곱인) 경우이다.^[5]
마슈케 정리에 따르면 유한군 $G$와 체 $K$에 대해, $\operatorname{char}K\nmid|G|$라고 하면, 군환 $K[G]$는 반단순환이다.

5. 1. 복소수 행렬 대수

자연수

n

이 주어졌을 때, 복소수체 위의

n\times n

행렬 대수

:

\mathcal A\subseteq\operatorname{Mat}(n,n;\mathbb C)=\operatorname{End}_{\mathbb C}(\mathbb C^n)

가 다음 조건을 만족하면,

:

\mathcal A=\{A^*\colon A\in\mathcal A\}

\mathcal A

는 반단순 대수이다. (

(-)^*

는 에르미트 수반이다.)

'''증명:'''

\mathcal A

는 유한 차원 복소수 결합 대수이므로, 아르틴 환이다. 따라서

\mathcal A

가 반원시환(즉, 제이컵슨 근기가

\{0\}

임)임을 보이면 충분하다.

임의의

M\in\sqrt{\mathcal A}

라고 하자. 그러면,

#

\mathcal A

가 유한 차원 결합 대수이므로, 제이컵슨 근기

\operatorname{rad}(\mathcal A)

는 멱영 아이디얼이다.

# 따라서

(M^*M)^k=0

인 양의 정수

k\in\mathbb Z^+

가 존재한다.

# 그런데

M^*M

은 양의 준정부호 행렬이며, 따라서

M^*M=0

이다.

# 이에 따라, 임의의

v\in\mathbb C^n

에 대하여

\|Mv\|^2=v^*M^*Mv=0

이며, 즉

Mv=0

이다.

# 따라서

M=0

이다.

체 위의 대수(algebra)의 제이콥슨 근기는 모든 단순 왼쪽 모듈을 소멸시키는 모든 원소로 구성된 아이디얼이다. 이 근기는 모든 멱영 아이디얼을 포함하며, 대수가 유한 차원인 경우, 근기 자체는 멱영 아이디얼이다. 이때 유한 차원 대수는 근기가 영원소만 포함하는 경우 ''반단순''이라고 한다.^[1]

대수 ''A''가 ''단순''하다는 것은 적절한 아이디얼이 없고 ''A''² = {''ab'' | ''a'', ''b'' ∈ ''A''} ≠ {0}인 경우이다. 용어에서 알 수 있듯이, 단순 대수는 반단순이다. 단순 대수 ''A''의 가능한 유일한 아이디얼은 ''A''와 {0}이다. 따라서 ''A''가 단순하면 ''A''는 멱영이 아니다. ''A''²가 ''A''의 아이디얼이고 ''A''가 단순하므로, ''A''² = ''A''이다. 귀납법에 의해 모든 양의 정수 ''n''에 대해 ''Aⁿ'' = ''A''이며, 즉 ''A''는 멱영이 아니다.^[1]

복소수를 엔트리로 갖는 ''n'' × ''n'' 행렬의 모든 자기 수반 부분 대수 ''A''는 반단순이다. Rad(''A'')를 ''A''의 근기라고 하자. 행렬 ''M''이 Rad(''A'')에 속한다고 가정하자. 그러면 ''M*M''은 ''A''의 어떤 멱영 아이디얼에 속하며, 따라서 (''M*M'')''^k'' = 0 for some positive integer ''k''이다. ''M*M''의 양의 반정부호성에 의해, 이는 ''M*M'' = 0을 의미한다. 따라서 ''M x''는 모든 ''x''에 대해 영벡터이며, 즉 ''M'' = 0이다.^[1]

5. 2. 마슈케 정리

유한군 $G$와 체 $K$에 대해, $\operatorname{char}K\nmid|G|$라고 하자. (즉, $G$의 크기는 $K$의 표수를 소인수로 갖지 않는다.) 그렇다면 군환 $K[G]$를 정의할 수 있다. 이는 유한 차원 $K$-벡터 공간이므로 자명하게 왼쪽 아르틴 환이자 오른쪽 아르틴 환이다. '''마슈케 정리'''(Maschke’s theorem^영어)에 따르면, 군환 $K[G]$는 반단순환이다. 이는 하인리히 마슈케(Heinrich Maschke^영어, 1853~1908)가 증명하였다.^[28]^[29]

마슈케 정리는 유한군의 표현론에 관한 정리이지만, 유한군의 군환의 반단순성의 관점에서 해석할 수 있다.

'''마슈케 정리'''. 유한군 $G$의 가환체 $K$ 위의 군환 $K[G]$는 $K$의 표수가 $G$의 차수를 나누지 않으면 반단순환이다.

$K[G]$-단순 가군은 본질적으로 $G$의 기약 표현이며, 이는 (유한군 $G$에 대해) 정칙 표현의 부분 표현과 동치이므로, 동형의 차이를 제외하고 유한 개밖에 없으며, 이들은 모두 유한 차원이다.

6. 역사

반단순환 개념은 여러 수학자가 다양하게 정의했는데, 환이 아르틴 환이면서 단위원을 가질 경우 일반적으로 이 정의들은 서로 동등하다.^[6] 일부 수학자들은 반원시환을 반단순환으로 정의하기도 하고, 단순환의 부분 직적을 반단순환으로 보기도 한다. 단위원을 갖지 않는 환에 대한 반단순성 개념도 존재한다.

1850년 제임스 실베스터^[8]와 아서 케일리는 행렬 개념을 발전시켜 군, 특히 갈루아 군과 행렬군 연구의 새 지평을 열었다. 초기에는 유한한 경우만 다루어졌으나, 군 동형에 의해 생성된 자기 준동형의 다원환이라는 새로운 구조가 등장했다.

카미유 조르당은 케일리와 함께 이 분야를 연구하여 1869년에 조르당-횔더 정리를 통해 유한군의 분해열 존재를 증명했다.^[9] 오토 횔더는 20년 후 이 분해열의 유일성을 증명했다. 조르당은 선형대수학을 통해 유한 차원에서 자기 준동형을 연구했고, 1870년에는 조르당 표준형을 발표하여 유한 소체에 적용했다.^[10]

게오르크 프로베니우스는 리하르트 데데킨트와의 서신 교환을 통해^[13] 유한군과 행렬 표현의 분해에 관심을 가졌고, 1897년 표현과 가군 사이의 관계를 밝혀 군을 '선형화'하여 가군으로 만들었다.^[14] 하인리히 마슈케(Heinrich Maschke)는 그의 이름을 딴 정리를 통해^[15] 반단순 가군의 구성 원소를 결정했다.

윌리엄 번사이드는 프로베니우스의 접근을 채택, 1897년 유한군에 관한 저서 초판에서^[16] 체가 대수적으로 닫힌 경우 유한 차원 벡터 공간의 자기 준동형 집합이 단순환임을 밝혔다. 레오나드 E. 딕슨은 1896년 박사 학위 논문에서 임의 유한체 위 선형군으로서 갈루아군을 연구, 1901년 모든 유한 가환체가 소체의 갈루아 확대임을 증명했다.^[17]

엘리 카르탕은 1894년 학위 논문에서^[18] 리 대수를 연구하며 복소수체 위 단순 및 반단순환 구조를 다루었다. 조지프 웨더번은 1907년 논문에서^[19] 카르탕의 결과를 임의 체 위 환으로 일반화했다.

조지프 웨더번은 1908년에 근기에 대한 환과 반단순 환을 포함하는 분류를 제안했지만, 완전한 증명은 하지 못했다.^[20] 에미 뇌터는 비가환 환 이론과 아이디얼 이론을 발전시키고,^[22] 단순 다중 환과 기약 아이디얼, 뇌터 환 이론을 정립했다.^[21]

에밀 아르틴은 뇌터가 제시한 아이디얼의 강쇄 조건을 연구, 1927년 정리의 최종 형태를 제시했다.^[23] 홉킨스-레비츠키 정리는 1939년에 강쇄 조건만으로 충분함을 보였고,^[24] 네이선 제이콥슨은 근기 개념을 도입, 반단순 환 연구에 기여했다.^[25]

6. 1. 기원

제임스 실베스터^[8]와 아서 케일리는 1850년에 행렬의 개념을 발전시켰다. 이는 군, 특히 갈루아 군과 새로운 방향인 행렬군 연구를 가능하게 했다. 처음에는 유한한 경우만 연구되었지만, 군 동형에 의해 생성된 자기 준동형의 다원환이라는 새로운 구조가 나타났다.

카미유 조르당은 케일리와 함께 이 분야의 전문가였으며, 1869년에 조르당-횔더 정리라는 유한군의 분해열의 존재를 증명했다^[9]. 그러한 열의 유일성은 20년 후 오토 횔더에 의해 증명되었다. 이 정리는 가환환론의 기원 중 하나가 되었다. 갈루아 군의 해석은 선형대수학에서도 관점을 제공하며, 조르당은 이 대수를 통해 유한 차원에서 자기 준동형을 연구했고, 그 구조에 대한 깊고 최종적인 이해를 가능하게 했다. 이 결과는 1870년에 출판되었으며^[10], 조르당 표준형이라는 이름으로 알려져 있으며, 유한 소체에 적용된다.

조르당의 작업은 군, 갈루아, 그리고 선형대수학 이론의 참고서가 되었으며, 선형군을 통한 군의 해석과 대수의 구조가 가군과 선형대수의 용어에서 교육에 풍부함을 증명한다.

6. 2. 군론

게오르크 프로베니우스는 리하르트 데데킨트와의 서신 교환을 통해^[13] 유한군, 특히 당시 'déterminant de groupe'라고 불렸고 지금은 사라진 행렬 표현의 분해 개념에 관심을 가졌다. 이 편지는 Représentations d'un groupe fini|유한군의 표현^프랑스어의 기원이다.^[14] 1897년, 그는 표현(벡터 공간에 선형적으로 작용하는 군)과 가군(환이 그 공간에 작용하는 것) 사이의 관계를 파악했다. 군은 '선형화'되어 가군이 되었다. 군 위의 가군의 구조와 동치인 구조를 갖는 가군 위의 모든 진보는 표현론, 따라서 군론을 진보시키는 주제이다.

하인리히 마슈케(Heinrich Maschke)는 펠릭스 클라인의 제자였지만, 그의 이름을 딴 정리를 증명한 최초의 인물이다.^[15] 이 정리는 이 유형의 가군을 구성하는 원소를 결정한다. 그것은 반단순이며, 정수 환과 같은 유클리드 환과 강력한 유사성을 갖는다. 반단순 가군은 유한 개만 존재하는 차이에서 소수와 약간 대응하는 반단순 가군의 열로 분해된다.

6. 3. 다원환의 구조

''K''를 가환체로 하고, ''A''를 ''K''상의 유한 차원 반단순 다원환으로 한다. ''K''가 완전체(예: 표수 0의 체, 대수적으로 닫힌 체, 유한체)이면 임의의 부분체 ''L''에 대해, ''A''의 ''K''에서 ''L''로의 계수 확대를 통해 얻어지는 ''L''-다원환

L \otimes_K A

는 반단순이다. 일반적인 체 ''K''에 대해서는 이와 같지 않지만, 그럴 경우 ''A''는 '''분리적'''이라고 한다. 따라서, ''K''가 완전체라면 ''A''는 분리적이다.

''A''를 유한 차원 반단순 ''K''-다원환이라고 하자. 이 때, ''A''의 각 단순 성분 ''A''₁, ..., ''A''_''p''는 유한 차원 단순 ''K''-다원환이며, ''A''는 ''K''-다원환으로서 ''A''₁ × ... × ''A''_''p''와 동형이다. 따라서 반단순 ''K''-다원환은 동형의 차이를 제외하면, 유한 차원 단순 ''K''-다원환의 유한 개 직적에 지나지 않는다.

''A''가 ''M''_''n''₁(''D''₁) × ... × ''M''_{''n''_''p''}(''D''_''p'')의 형태이거나 또는 ''A'' = End_''D''₁(''E''₁) × ... × End_{''D''_''p''}(''E''_''p'')의 형태라면, ''K''는 ''D''_''i''의 중심 부분체이며, ''D''_''i''의 ''K'' 위의 차원은 유한이다. 반대로, 모든 유한 차원 반단순 ''K''-다원환은 이 형태이다.

''K''가 대수적 폐체이면, ''A''는 동형의 차이를 제외하고, ''M''_''n''₁(''K'') × ... × ''M''_{''n''_''p''}(''K'')의 형태이다. 더 나아가, ''A''의 중심은 ''K''^''p''와 동형이다.

반단순환의 구조는 점점 더 중심적인 역할을 한다. 표현의 경우, 이는 임의의 벡터 공간 상이 아닌 자기 자신 위의 군의 선형 확장의 작용에 대응한다. 다른 분야의 수학에서도 이 개념의 사용이 자연스럽게 나타난다. 갈루아 확대는 유사한 구조를 가지며, 체론은 이 대상의 연구를 전제로 한다. 리에 의해 발전된 연속군은 반단순 환의 구조를 가진 접공간을 각 점에 부여한다. 20세기 초, 이 주제는 이 개념을 연구하는 다양한 수학자들에게 주요 관심사가 되었다. 환은 가군 구조도 가지므로 가군의 분해 정리를 적용할 수 있다.

윌리엄 번사이드는 프로베니우스의 접근 방식을 즉시 받아들였다. 선형군 아래에 있는 환의 구조의 중요성을 간과하지 않았다. 그는 1897년, 유한군에 관한 그의 참고 문헌 초판^[16]에서 최초의 결과를 확립했다. 체가 대수적으로 닫힌 경우, 유한 차원 벡터 공간의 자기 준동형의 집합은 단순환이다. 이후 초등적인 예들이 밝혀졌다.

레오나드 E. 딕슨은 1896년에 임의의 유한체 위의 선형군으로서의 갈루아군에 대한 박사 학위 논문을 썼고, 조르당의 결과를 일반화했다. 그는 모든 유한 가환체가 소체의 갈루아 확대임을 증명했다. 이는 1901년에 유럽에서 출판되었다^[17]。 기저의 구조는 반단순환의 구조이다. 갈루아의 접근 방식은 가환체의 연구만 허용하지만, 반단순환은 비가환체의 연구도 허용한다. 딕슨은 체의 일반 이론을 발전시켰고, 비가환체의 많은 예를 발견했다. 이 시점부터 두 이론, 즉 갈루아 이론과 체론의 분리가 시작되었다.

엘리 카르탕은 1894년에 지지했던 그의 학위 논문^[18]에서 리 대수에 관심을 가졌다. 복소수체 상의 단순 및 반단순환의 구조는 모두 거기에서 다루어진다. 조지프 웨더번과 함께 그는 이 환의 일반적인 구조를 연구했다. 카르탕은 복소수의 경우에 대해 반단순환의 구조를 밝혔다. 1907년 웨더번은 그의 논문^[19]을 출판했다. 그는 카르탕의 결과를 현재 초복소수라고 불리는 임의의 체 위의 환으로 일반화했다. 이 일반화는 중요한데, 이전에 언급된 응용의 모든 예가 사체를 사용했기 때문이다.

6. 4. 환의 구조

웨더번의 정리는 체가 *a priori* 비가환적일지라도 모든 단순 다중 환에 대해 '자연스러운' 체가 존재한다는 것을 보여준다. 따라서 정리는 환의 용어로 표현되어야 한다. 웨더번은 1908년에 근기에 대한 환과 반단순 환을 포함하는 분류를 제안했지만, 완전하게 증명하지는 못했다.^[20] 이 분해는 이후 반세기 동안 환 이론의 기본이 되었다.

이 분야 연구의 거장은 에미 뇌터이다. 그녀는 현대 환론의 어머니로 종종 여겨진다.^[21] 그녀는 비가환 환의 이론을 발전시키고 아이디얼의 일반론을 기초했다.^[22] 단순 다중 환과 대응하는 기약 아이디얼의 개념, 또한 아이디얼의 모든 진정한 승쇄가 유한한 환(지금은 뇌터 환이라고 불림)의 이론이 발전했다.

에밀 아르틴은 뇌터가 도입한 아이디얼의 모든 진정한 강쇄가 유한한 환의 경우를 특별히 연구했다. 길이가 유한한 반단순 환은 아르틴 환이자 뇌터 환이다. 1927년, 아르틴은 정리의 최종 형태를 찾았다.^[23] 선형 형식화 없이 정리는 그것을 극대 범위로 이끌었고, 비가환 다중 환의 중요한 결과가 되었다. 환의 큰 클래스는 임의의 체 위의 결합 다중 환의 곱에 동형이다.

정리는 최종적이었지만, 역은 미해결 상태로 남아있었다. 아르틴 환이자 뇌터 환인 다른 환의 어떤 클래스가 정리를 만족할까? 첫 번째 답은 1939년 홉킨스-레비츠키 정리에 의해 주어졌다. Charles Hopkins^[24]와 야코프 레비츠키는 강쇄 조건만 필요하다는 것을 증명했다. 그럼에도 불구하고 진정한 획기적인^[25] 발전은 조건을 찾은 네이선 제이콥슨의 연구이다. 근기의 개념이 생각되었고, 그것은 지금은 반단순 환 연구에 필수적이다.

참조

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_[2] 문서
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_[15] 저널 Beweis des Satzes, dass diejenigen endlichen linearen Substitutionesgruppen, in welchen einige durchgehends verschwindende Coefficienten auftenen intransitiv sind
_[16] 문서 The Theory of Groups of Finite Order "[[Cambridge University Press]]"
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_[18] 문서 Sur la structure des groupes de transformations finis et continus Paris, Librairie Vuibert
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_[22] 저널 Ideal Theorie in Ringbereichen
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_[24] 문서 Rings with minimal condition for left ideals
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_[28] 저널 Ueber den arithmetischen Charakter der Coefficienten der Substitutionen endlicher linearer Substitutionsgruppen http://resolver.sub.[...] 1898
_[29] 저널 Beweis des Satzes, dass diejenigen endlichen linearen Substitutionsgruppen, in welchen einige durchgehends verschwindende Coefficienten auftreten, intransitiv sind http://resolver.sub.[...] 1899

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