전계 전자 방출

3. 전계 전자 방출의 초기 역사

J.J. 톰슨^[3]이 1897년 전자를 발견하고, 열 방출^[4] 및 광 방출^[5] 연구를 통해 전자가 금속 내부에서 방출될 수 있으며, (인가된 전계가 없는 상태에서) 금속에서 탈출하는 전자는 일함수 장벽을 극복해야 한다는 사실이 밝혀졌다.

릴리엔펠트는 1922년에^[7] 그가 "자동 전자 방출"이라고 부른 효과의 실험적 현상에 대한 최초의 명확한 설명을 영어로 발표했다.

1922년 이후, 밀리컨이 이끄는 캘리포니아 공과대학(캘리포니아주 파사데나)^[10] 그룹과 런던의 제너럴 일렉트릭 컴퍼니의 고슬링 그룹에서 실험적 관심이 증가했다.^[11] 자동 전자 방출을 이해하려는 시도는 실험적인 전류-전압(''i''–''V'') 데이터를 여러 방식으로 플로팅하여 직선 관계를 찾는 것을 포함했다. 전류는 전압에 따라 선형보다 빠르게 증가했지만 log(''i'') 대 ''V'' 유형의 플롯은 직선이 아니었다. 발터 H. 쇼트키^[12]는 1923년에 이 효과가 전계가 감소된 장벽을 넘는 열적 유도 방출 때문일 수 있다고 제안했다. 만약 그렇다면 log(''i'') 대 플롯은 직선이어야 하지만 그렇지 않았다. 또한 쇼트키의 설명은 CFE에서 매우 약한 온도 의존성만 관찰된다는 실험 결과와 일치하지 않았다.

C.C. 로리천^[13](그리고 J. 로버트 오펜하이머도 독립적으로^[14])이 log(''i'') 대 1/''V'' 플롯이 좋은 직선을 나타낸다는 것을 발견했을 때 획기적인 사건이 일어났다. 이 결과는 1928년 초 밀리컨과 로리천에 의해 발표되었고, 파울러와 노르드하임에게 알려졌다.

파울러와 노르드하임의 이론은 CFE가 현재 자유 전자형 상태라고 부르는 금속 전도대에서 전계 유도 터널링에 의한 결과이고, 전자의 상태가 페르미-디랙 통계에 따라 채워진다면 이 둘이 모두 결과로 나타난다고 예측했다.

파울러-노르드하임 연구는 전자 터널링의 존재에 대한 증거로 제시되곤 한다. 파울러-노르드하임 논문의 더 중요한 역할은 조머펠트^[17]가 1927년에 제안한 것처럼 금속 내 전자의 거동에 페르미-디랙 통계가 적용된다는 것을 실험적으로 설득력 있게 증명한 것이었다. 파울러-노르드하임 이론의 성공은 조머펠트의 아이디어의 정확성을 뒷받침하는 데 큰 영향을 미쳤고, 현대 전자 밴드 이론을 확립하는 데 크게 기여했다.^[18]

4. 실제 응용: 과거와 현재

전계 전자 방출은 여러 분야에 응용되어 왔으며, 그 역사와 현재는 다음과 같다.

• 1937년 에르빈 W. 뮐러는 전계 전자 현미경(FEM)을 개발했다.^[23] 이 현미경은 뾰족한 와이어 형태의 전계 방출기를 이용해 물질 표면의 전자 방출 패턴을 높은 배율(10⁵~10⁶)로 관찰하는 장비였다. FEM은 표면 과학의 초기 연구 도구로 활용되었으며,^[24][25] 불균일 촉매,^[26] 표면 확산 등 다양한 표면 현상 연구에 기여했다.
• 1959년 Young과 Mueller는 전계 방출된 전자의 에너지 분포를 측정하는 전계 전자 분광법을 개발했다.^[30] 이 기술은 표면 물리학의 미세한 세부 사항을 밝히는 데 사용되었으며,^[33] 금속 내 전자가 페르미-디랙 통계를 따른다는 사실을 실험적으로 확인하는 데 기여했다.
• 투과 전자 현미경이나 전자빔 리소그래피와 같은 고해상도 전자빔 장치에는 작고 밝으며 안정적인 전자원이 필요하다. 뮬러 이미터 기반 소스는 이러한 조건을 충족하여 1950년대부터 전자총에 활용되기 위한 연구가 진행되었다.^[35][36][37] 1970년 Crewe, Wall, Langmore는 전계 방출 총을 갖춘 주사 전자 현미경으로 개별 원자를 관찰하는 데 성공했다.^[34] 최근에는 탄소 나노튜브(CNT)를 전자총 전계 방출원으로 개발하려는 시도도 이루어지고 있다.^[58][39]
• 1970년대부터 "진공 마이크로일렉트로닉스"(현재는 "진공 나노전자공학")라는 이름으로 대면적 전계 전자 방출원에 대한 연구가 시작되었다. 초기에는 스핀트 어레이^[48]와 Latham emitter^[49][50] 등이 연구되었으며, 이후 다이아몬드 유사 탄소 필름, CNT 등 다양한 재료를 이용한 연구가 진행되었다. 이러한 대면적 전계 방출원은 전자 정보 디스플레이, 마이크로파 발생, X선 발생 등 다양한 분야에 응용될 가능성이 있다.
• 로버트 파울러와 로타 노르트하임의 연구 이후, 전계 전자 방출(CFE)은 진공 파괴 및 전기 방전 현상의 주요 원인 중 하나로 밝혀졌다.^[59] 전극 표면을 둥글게 하고 매끄럽게 하는 등의 방법으로 원치 않는 전계 전자 방출 전류를 줄이는 방법이 사용되고 있다.
• 일부 전자 장치에서는 Fowler-Nordheim 터널링 형태의 장(field) 유도 터널링 프로세스를 통해 전자 전달이 발생한다. 제너 터널링이 그 예시이다.

4. 1. 전계 전자 현미경 및 관련 기초

4. 2. 전계 전자 분광법 (전자 에너지 분석)

4. 3. 전자총 소스로서의 전계 전자 방출기

4. 4. 대면적 전계 방출 소스: 진공 나노전자공학

4. 4. 1. 재료 측면

4. 4. 2. 응용 분야

4. 5. 진공 파괴 및 전기 방전 현상

4. 6. 전자 장치에서의 내부 전자 전달

5. 파울러-노르드하임 터널링

1744년 J.H. 윙클러^[2]가 보고한 전기 방전은 와이어 전극에서 발생한 전계 전자 방출(CFE)에 의해 시작되었을 가능성이 있다.^[2] 그러나, 1897년 J.J. 톰슨^[3]의 전자 발견, 열 방출^[4] 및 광 방출^[5] 연구를 통해 전자가 금속 내부에서 방출될 수 있으며, 일함수 장벽을 극복해야 한다는 사실이 밝혀진 후에야 본격적인 연구가 시작되었다.

1913년에는 전계 유도 방출이 별개의 물리적 효과라는 의심이 있었고,^[6] 1922년 릴리엔펠트는 "자동 전자 방출"이라는 효과에 대한 명확한 설명을 발표했다.^[7] 이후, 밀리컨 그룹^[10]과 제너럴 일렉트릭 컴퍼니의 고슬링 그룹^[11] 등에서 실험적 관심이 증가했다.

초기에는 실험적인 전류-전압(''i''–''V'') 데이터를 다양한 방식으로 플로팅하여 직선 관계를 찾으려 했으나, 발터 H. 쇼트키^[12]가 1923년에 제안한 전계 감소 장벽을 넘는 열적 유도 방출 모델은 실험 결과와 일치하지 않았다.^[12]

1928년 초, C.C. 로리천^[13]과 J. 로버트 오펜하이머^[14]가 log(''i'') 대 1/''V'' 플롯이 직선을 나타낸다는 것을 발견했고, 이는 파울러와 노르드하임에게 알려졌다. 오펜하이머는 전계에 의해 유도된 원자로부터의 전자의 터널링(전계 이온화)이 이러한 의존성을 가질 것이라고 예측했다.^[14]

파울러-노르드하임 이론은 전계 방출 전류의 매우 약한 온도 의존성을 설명하고, 금속 전도대에서 전계 유도 터널링에 의한 결과이며, 전자의 상태가 페르미-디랙 통계에 따라 채워진다고 예측했다. 비록 오펜하이머 이론과 파울러-노르드하임 이론에 초기 오류가 있었지만,^[15] 1929년에 수정되었다.^[16]

1928년까지 벌크 금속에서 CFE의 기원에 대한 기본적인 물리적 이해가 이루어졌고, 최초의 파울러-노르드하임형 방정식이 유도되었다. 파울러-노르드하임 연구는 전자 터널링의 존재에 대한 증거로 제시되기도 하지만, 더 중요한 역할은 금속 내 전자의 거동에 페르미-디랙 통계가 적용된다는 것을 실험적으로 증명한 것이다.^[18] 이는 전자 밴드 이론을 확립하는 데 크게 기여했다. 또한, 파울러-노르드하임 논문은 열적으로 유도된 전자 방출과 전계 유도 방출에 대한 통일된 처리의 물리적 기반을 확립했다.

오펜하이머, 파울러, 노르드하임의 아이디어는 1928년 후반 조지 가모프^[19], 로널드 W. 거니 및 에드워드 콘돈^[20][21]의 핵 방사성 붕괴 (알파 입자 터널링) 이론 개발에 중요한 자극이 되었다.^[22]

5. 1. 개요

5. 2. 운동 에너지

5. 3. 탈출 확률

5. 4. 쇼트키-노르드하임 장벽에 대한 보정 계수

5. 5. 붕괴 폭

6. 총 에너지 분포

자유 전자 모델 유형의 Sommerfeld 자유 전자 모델 내에서 총 에너지 분포를 계산하는 방법을 알아보기 위해 ''P-T 에너지 공간 다이어그램''(P-T="평행-총")을 살펴보자.

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이는 수평 축에 "평행 운동 에너지" ''K''_p를, 수직 축에 총 에너지 ''ε''를 보여준다. 벌크 금속 내부의 전자는 일반적으로 밝게 음영 처리된 영역 내에 있는 ''K''_p와 ''ε'' 값을 갖는다. 이 에너지 공간의 각 요소 d''ε''d''K''_p가 방출체 경계 내부에 입사하는 전자 전류 밀도에 $z\_\{\backslash mathrm\{S\}\}\; f\_\{\backslash mathrm\{FD\}\}\; \backslash mathrm\{d\}\{\backslash it\{\backslash epsilon\}\}\; \backslash mathrm\{d\}\; K\_\{\backslash mathrm\{p\}\}$의 기여를 한다는 것을 보일 수 있다.^[72] 여기서, ''z''_S는 보편 상수(여기서는 ''Sommerfeld 공급 밀도'')이다.

: $z\_\{\backslash mathrm\{S\}\}=4\backslash mathrm\{\backslash pi\}em\; /\; h\_\{\backslash mathrm\{P\}\}^3\; =\; 1.618311\; \backslash times\; 10^\{14\}\; \backslash ,\; \backslash rm\{A\}\; \backslash ,\; m^\{-2\}\; \backslash ,\; eV^\{-2\},$

그리고 $f\_\{\backslash mathrm\{FD\}\}$는 페르미-디랙 통계이다.

: $\backslash ,\; f\_\{\backslash mathrm\{FD\}\; \}\; (\backslash epsilon)\; =\; 1/[1\; +\; \backslash exp(\backslash epsilon\; /\; k\_\{\backslash mathrm\{B\}\; \}T)],$

여기서 ''T''는 열역학적 온도이고 ''k''_B는 볼츠만 상수이다.

이 입사 전류 밀도 요소는 다음과 같은 높이 ''h''의 장벽을 본다.

: $\backslash ,\; h=\backslash phi\; -\; \backslash epsilon\; +\; K\_\{\backslash mathrm\{p\}\; \}$

해당하는 탈출 확률은 D(h,F) 이다. 이는 (대략) 다음과 같은 형태로 확장될 수 있다.^[72]

: $D(h,F)\; \backslash approx\; D\_\{\backslash mathrm\{F\}\}\; \backslash ;\; \backslash exp(\backslash epsilon\; /\; d\_\{\backslash mathrm\{F\}\})\; \backslash ;\; \backslash exp(-K\_\{\backslash mathrm\{p\}\}\; /\; d\_\{\backslash mathrm\{F\}\})\; ,$

여기서 ''D''_F는 국소 일함수 ''φ''와 동일한 비감소 높이의 장벽에 대한 탈출 확률이다. 따라서 요소 d''ε''d''K''_p는 $z\_\{\backslash mathrm\{S\}\}\; f\_\{\backslash mathrm\{FD\}\}\; D\; \backslash mathrm\{d\}\; \{\backslash it\{\backslash epsilon\}\}\; \backslash mathrm\{d\}\; K\_\{\backslash mathrm\{p\}\}$의 기여를 방출 전류 밀도로 만들고, d''ε''의 기본 범위 내의 에너지를 가진 입사 전자가 만드는 총 기여는 다음과 같다.

: $j(\backslash epsilon)\; \backslash mathrm\{d\}\; \backslash epsilon\; =\; z\_\{\backslash mathrm\{S\}\}\; f\_\{\backslash mathrm\{FD\}\}\; \backslash left[\; \backslash int\; D\; \backslash mathrm\{d\}\; K\_\{\backslash mathrm\{p\}\}\; \backslash right]\; \backslash mathrm\{d\}\; \backslash epsilon\; =$

z_{\mathrm{S}} f_{\mathrm{FD}} D_{\mathrm{F}} \exp(\epsilon / d_{\mathrm{F}}) \left[ \int_{0}^{\infty} \exp(-K_{\mathrm{p}} / d_{\mathrm{F}}) \; \mathrm{d} K_{\mathrm{p}} \right] \mathrm{d} \epsilon ,

여기서 적분은 원칙적으로 다이어그램에 표시된 스트립을 따라 이루어지지만, 감쇠 폭 ''d''_F가 페르미 에너지 ''K''_F보다 훨씬 작을 때 (금속의 경우 항상 해당) ∞까지 확장될 수 있다. 적분의 결과는 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $\backslash ,\; j(\backslash epsilon)\; =\; z\_\{\backslash mathrm\{S\}\}\; d\_\{\backslash mathrm\{F\}\}\; D\_\{\backslash mathrm\{F\}\}\; f\_\{\backslash mathrm\{FD\}\}(\backslash epsilon)\; \backslash exp(\backslash epsilon\; /\; d\_\{\backslash mathrm\{F\}\})\; =\; j\_\{\backslash mathrm\{F\}\}\; f\_\{\backslash mathrm\{FD\}\}(\backslash epsilon)\; \backslash exp\; (\backslash epsilon\; /\; d\_\{\backslash mathrm\{F\}\}),$

여기서 $d\_\{\backslash mathrm\{F\}\}$와 $D\_\{\backslash mathrm\{F\}\}$는 국소 일함수 ''φ''와 동일한 비감소 높이 ''h''의 장벽에 적합한 값이며, $j\_\{\backslash mathrm\{F\}\}\; =\; z\_\{\backslash mathrm\{S\}\}\; d\_\{\backslash mathrm\{F\}\}\; D\_\{\backslash mathrm\{F\}\}$는 이 방정식에 의해 정의된다.

주어진 방출기의 경우, 주어진 전계가 적용되면, $j\_\{\backslash mathrm\{F\}\}$는 ''F''에 독립적이므로, 위의 식은 분포의 모양(페르미 준위보다 훨씬 낮은 음수 값에서 ''ε''가 증가함에 따라)이 FD 분포 함수로 곱해진 상승 지수임을 보여준다. 이는 Young에 의해 처음 예측된 친숙한 분포 모양을 생성한다.^[30] 저온에서 $f\_\{\backslash mathrm\{FD\}\}\; (\backslash epsilon)$는 페르미 준위 근처에서 1에서 0으로 급격하게 이동하며, 분포의 FWHM은 다음과 같다.

: $\backslash mathrm\{FWHM\}\; \backslash ,\; =\; d\_\{\backslash mathrm\{F\}\}\; \backslash ln\; (2)\; \backslash approx\; 0.693\; \backslash ,\; d\_\{\backslash mathrm\{F\}\}.$

실험적 CFE 총 에너지 분포가 이러한 기본 모양을 갖는다는 사실은 금속 내의 전자가 페르미-디랙 통계를 따른다는 훌륭한 실험적 확인이다.

7. 냉전계 전자 방출

냉전계 전자 방출(Cold Field Electron Emission, CFE)은 방출체 내 전자가 처음에 내부 열역학적 평형 상태에 있고, 방출되는 대부분의 전자가 방출체의 페르미 준위 근처 전자 상태에서 Fowler–Nordheim 터널링을 통해 탈출하는 특정 통계적 방출 체제이다. 이와 반대로, 쇼트키 방출 체제에서는 대부분의 전자가 페르미 준위보다 훨씬 높은 상태에서 전계에 의해 낮아진 장벽 위로 탈출한다. 적절한 크기의 전기장이 가해지면 많은 고체 및 액체 재료가 CFE 체제에서 전자를 방출할 수 있다.

금속의 경우 CFE 체제는 실온보다 훨씬 높은 온도까지 유지된다. 방출체에 상당한 외부 가열이 필요한 열전자 방출과 같은 다른 전자 방출 체제도 있다. 또한, 내부 전자가 열역학적 평형 상태에 있지 않고 방출 전류가 부분적으로 또는 완전히 방출 영역으로의 전자 공급에 의해 결정되는 방출 체제도 존재한다. 이러한 비평형 방출 과정에서 대부분의 전자가 터널링을 통해 빠져나오면 전계 (전자) 방출이라고 할 수 있지만, 엄밀히 말하면 CFE가 아니며 Fowler–Nordheim형 방정식으로 정확하게 설명되지 않는다.

일부 맥락(예: 우주선 공학)에서는 "전계 방출"이라는 용어가 전자가 아닌 이온의 전계 유도 방출(전계 이온 방출)에 적용되기도 하고, 일부 이론적 맥락에서는 전계 전자 방출과 전계 이온 방출 모두를 포괄하는 용어로 사용되기도 하므로 주의가 필요하다.

역사적으로 전계 전자 방출 현상은 "아에오나 효과", "자동 전자 방출", "냉 방출", "냉음극 방출", "전계 방출", "전계 전자 방출", "전자 전계 방출" 등 다양한 이름으로 불렸다.

7. 1. 파울러-노르드하임형 방정식

8. 파울러-노르드하임 플롯 및 밀리컨-로리천 플롯

Fowler–Nordheim 플롯에서는 ln{''i''/''V''²}의 양이 1/''V''에 대해 플롯된다.^[16] 원래 이론은 이 플롯이 기울기 ''S''_FN의 정확한 직선을 생성할 것이라고 예측했다. ''S''_FN은 ''i''–''V'' 형태의 Fowler–Nordheim 유형 방정식의 지수에 나타나는 매개변수와 관련이 있으며, 다음과 같이 표현된다.^[1]

:$S\_\{\backslash mathrm\{FN\}\}\; =\; \backslash ;\; -\; b\; \{\backslash phi\}^\{3/2\}\; /\; \backslash beta.$

여기서 ''φ''는 일함수, ''β''는 전계 강화 인자를 나타낸다.

하지만 실제 방출기와 장벽의 경우 "기울기 보정 인자" ''σ''_FN을 도입해야 하며, 수정된 공식은 다음과 같다.^[1]

:$S\_\{\backslash mathrm\{FN\}\}\; =\; \backslash ;\; -\; \backslash sigma\_\{\backslash mathrm\{FN\}\}\; b\; \{\backslash phi\}^\{3/2\}\; /\; \backslash beta.$

''σ''_FN의 값은 전압 의존성을 갖는 ''i''(''V'')에 대한 물리적으로 완전한 Fowler–Nordheim 유형 방정식의 모든 매개변수의 영향을 받는다.

현재 중요하게 간주되는 유일한 매개변수는 장벽 모양과 관련된 보정 인자 $\backslash nu\_\{\backslash mathrm\{F\}\}$이며, 잘 확립된 이론이 있는 유일한 장벽은 쇼트키–노르드하임 장벽이다. 이 경우 ''σ''_FN은 ''s''라는 수학적 함수로 주어지며, 이 함수는 크로머 등에 의해 처음으로 올바르게 표로 작성되었다.^[70] 실용적인 방출기 작동을 위해서는 ''s''의 값이 0.9에서 1 범위에 있다는 것이 오랫동안 명확해졌다.

많은 저자들이 기울기 보정 인자를 자세히 고려하지 않고 (사실상) ''σ''_FN = 1로 설정하여, 추정된 ''β'' 및/또는 ''γ'' 값에 체계적인 오류를 발생시킨다.

한편, Millikan–Lauritsen 플롯에서는 ln(''i'')가 1/''V''에 대해 플롯된다. 이 플롯은 1928년에 Millikan과 Lauritsen이 사용한 형태이다. 다음 공식을 통해 ''B'' 값을 근사적으로 결정할 수 있다.

:$B\; =\; \backslash ;\; -\; \backslash mathrm\{d\}\backslash ln\; (i)\; /\; \backslash mathrm\{d\}\; (1/V)\; -\; \backslash kappa\; (1/V).$

여기서 ''B''는 터널링 전자가 보는 특성 장벽의 비감소 높이 ''H''와 관련된 매개변수이고, ''κ''는 경험적 방정식에서 얻을 수 있는 값이다.

Millikan–Lauritsen 플롯을 사용하고 보정 절차를 적용하는 것은 Fowler–Nordheim 플롯 및 기울기 보정 인자를 사용하는 것보다 더 간단하고, 측정된 양을 포함하며, 더 투명하고 이해하기 쉽다는 장점이 있다. 또한, 이 절차는 ''κ''의 값에 영향을 미치는 모든 물리적 효과를 고려하는 반면, Fowler–Nordheim 플롯 보정 절차는 장벽 모양과 관련된 효과만 고려한다.

9. 추가 이론 정보

금속에서 전계 전자 방출(CFE)에 대한 이론은 비교적 쉽게 개발될 수 있지만, 금속 이외의 재료(그리고 원자적으로 날카로운 금속 방출기)의 경우에는 여러 요인으로 인해 더 복잡해진다. 금속은 다음과 같은 특징을 가지기 때문이다.^[32][92]

• 솜머펠트의 자유 전자 이론이 잘 적용된다.
• 표면 상태가 거의 없다.
• 페르미 준위에 높은 상태 밀도를 가져서 외부 전계에 의한 "전계 침투"가 거의 발생하지 않는다.
• 높은 전기 전도도로 인해 방출기 내부 전압 강하가 발생하지 않아 전자가 효과적인 국부 열역학적 평형 상태에 있다.
• 원자 수준의 효과는 무시할 수 있다.

• 자유 전자와 같은 밴드 구조를 가지지 않는다.
• 표면 상태를 가진다.
• 전계 침투 및 밴드 휨의 영향을 받는다.
• 내부 전압 강하와 벌크 밴드 구조의 표면 영역에서 표면 상태 전자 분포의 통계적 분리 현상(모디노스 효과)을 보일 수 있다.

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