정수적 원소

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1. 개요

정수적 원소는 가환환 S의 부분환 R⊆S와 S의 원소 s에 대해 정의되며, s가 R의 S에 대한 정수적 원소라는 것은 특정 조건들이 동치일 때를 의미한다. 정수적 폐포는 R에 대한 정수적 원소들의 집합이며, 정수적으로 닫힌 가환환은 그 전분수환 내에서 정수적 폐포가 자기 자신인 환을 의미한다. 정수적 원소는 환론, 대수기하학, 대수적 수론 등 다양한 분야에서 중요한 개념으로 활용된다. 코언-사이던버그 정리, 크룰-아키즈키 정리, 모리-나가타 정리 등은 정수적 원소와 관련된 중요한 정리들이다.

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정수적 원소
일반 정보
수학 분야	가환대수학
정의	어떤 환의 확대환에서, 주어진 환의 모든 원소를 계수로 하는 모닉 다항식의 근이 되는 원소
관련 개념	정수적 폐포, 뇌터 정규화 정리
관련 정보
참고	정수적 원소는 대수적 수의 일반화이다.

2. 정의

가환환(commutative ring) 및 정역(integral domain)에서 사용되는 주요 개념은 다음과 같다.

'''정수적 원소'''(integral element): 주어진 환에서 특정 조건을 만족하는 원소.
'''정수적 확대'''(integral extension): 모든 원소가 정수적 원소인 환의 확대.
'''정수적 폐포'''(integral closure): 주어진 환에서 정수적 원소들의 집합.
'''정수적으로 닫힌 가환환'''(integrally closed commutative ring): 자신의 정수적 폐포와 같은 가환환.
'''도수'''(conductor): 주어진 환과 그 부분환 사이의 관계를 나타내는 아이디얼(ideal).

이 개념들은 대수적 정수론(algebraic number theory)과 가환대수학(commutative algebra)에서 중요하게 다루어진다.

2. 1. 정수적 원소

가환환

S

의 부분환

R\subseteq S

및

s\in S

에 대하여,

s

를

R

의

S

에 대한 '''정수적 원소'''라고 하는 것은 다음 조건들이 서로 동치이기 때문이다.

$p(s)=0$ 인 일계수 다항식 $p\in R[x]$ 가 존재한다.
$R$ 와 $\{s\}$ 로 생성되는 부분환 $R[s]$ 는 $R$ 의 유한 생성 가군이다.
$R[s]\subseteq\tilde R$ 이며 $R$ -유한 생성 가군을 이루는 부분환 $\tilde R\subseteq S$ 가 존재한다.
$sM\subseteq M$ 이며 $\operatorname{Ann}_S(M)\cap R[s]=\{0\}$ 인 $R$ -유한 생성 가군 $M$ 이 존재한다.

여기서

$R[s]=\operatorname{eval}_{x\mapsto s}(S[x])=\{p(s)\colon p\in S[x]\}\subseteq S$ 이다.
$\operatorname{Ann}_S(M)=\{a\in S\colon aM=\{0_M\}\}$ 은 $M$ 의 소멸자이다.

B

를 환이라고 하고,

A \subset B

를

B

의 부분환이라고 하자.

B

의 원소

b

가 다음을 만족하는 경우,

A

에 대해 '''정수적'''이라고 한다. 어떤

n \geq 1

에 대해,

A

에

a_0,\ a_1, \ \dots,\ a_{n-1}

이 존재하여

:

b^n + a_{n-1} b^{n-1} + \cdots + a_1 b + a_0 = 0

^[1]

''B''를 환이라고 하고, ''A''를 ''B''의 부분환이라고 하자. ''B''의 원소 ''b''에 대해 다음 조건들은 동치이다.^[2]

:(i) ''b''는 ''A'' 위에서 정수적이다.

:(ii) ''A''와 ''b''에 의해 생성된 ''B''의 부분환 ''A''[''b'']는 유한 생성 ''A''-가군이다.

:(iii) ''A''[''b'']를 포함하고 유한 생성 ''A''-가군인 ''B''의 부분환 ''C''가 존재한다.

:(iv) ''M''이 ''A''-가군으로 유한 생성되고 충실한 ''A''[''b'']-가군인 ''M''이 존재한다.

''B''를 환으로 하고, ''A''를 그 부분환으로 한다. 이때 ''B''의 원소 ''b''에 대해 다음은 동치이다.^[4]

''b''는 ''A'' 상 정수이다.
부분환 ''A''[''b''] ⊆ ''B''는 ''A''-가군으로 유한 생성된다.
''A''[''b'']는 유한 생성 ''A''-가군인 부분환 ''C'' ⊆ ''B''에 포함된다.
충실한 ''A''[''b'']-가군 ''M''으로 ''A'' 상 유한 생성인 것이 존재한다.
유한 생성 부분 ''A''-가군 ''M'' ⊆ ''B''가 존재하고, ''bM'' ⊆ ''M''이며, ''M''의 ''B''에서의 영화 아이디얼은 0이다.

2. 2. 정수적 확대

''B''를 환, ''A''를 그 부분환이라고 하자. ''B''의 모든 원소가 ''A'' 위에서 정수적일 때, ''B''는 ''A'' 위에서 '''정수적'''이라고 하거나, ''B''는 ''A''의 '''정수 확대'''라고 한다.^[1]

이는 다음 조건을 만족하는 자연수 ''n'' ≥ 1과 ''A''의 원소 ''a''₀, …, ''a''_''n''-1이 존재한다는 것을 의미한다.^[1]

:

b^n + a_{n-1} b^{n-1} + \dotsb + a_1 b + a_0 = 0

(여기서 ''b'' ∈ ''B'')

2. 3. 정수적 폐포

가환환

S

의 부분환

R\subseteq S

에 대한 '''정수적 폐포'''(整數的閉包, integral closure^영어)는

R

에 대한 정수적 원소들의 집합이다. 이는

S

의 부분환을 이룬다.^[14]

환

B

와

B

의 부분환

A \subset B

에 대해,

A

에 대해 정수적인

B

의 원소들의 집합을

A

의

B

에서의 '''정수적 폐포'''라고 한다. 어떤 부분환

A

의

B

에서의 정수 폐포는 그 자체로

B

의 부분환이며

A

를 포함한다.^[14]

만약

A_i

가 환

B_i

(

1 \le i \le n

)의 부분환이라면,

\prod A_i

의

\prod B_i

에서의 정수적 폐포는

\prod {A_i}'

인데, 여기서

{A_i}'

는

A_i

의

B_i

에서의 정수적 폐포이다.^[15]

아이디얼의 정수적 폐포라는 개념도 있다. 아이디얼

I \subset R

의 정수적 폐포는 일반적으로

\overline I

로 표기하며, 다음의 단항 다항식의 근

r

(

r \in R

)의 집합이다.

:

x^n + a_{1} x^{n-1} + \cdots + a_{n-1} x^1 + a_n

(

a_i \in I^i

)^[17]^[18]

2. 4. 정수적으로 닫힌 가환환

가환환

S

의 전분수환

\operatorname{Frac}S

가

S

의 부분환일 때,

\operatorname{Frac}S

속에서

S

의 정수적 폐포가

S

라면,

S

를 '''정수적으로 닫힌 가환환'''(integrally closed commutative ring^영어)이라고 한다.^[6]

만약

A

가

B

에서

A

의 정수적 폐포이면,

A

는

B

에서 '''정수적으로 닫혀 있다'''고 한다. 만약

B

가

A

의 전체 분수환(예:

A

가 정역일 때의 분수체)이면, "

B

에서"라는 수식어를 생략하고 단순히 "

A

의 정수적 폐포"라고 하거나 "

A

는 정수적으로 닫혀 있다"라고 말하기도 한다.^[6] 예를 들어, 정수환

\mathcal{O}_K

는 체

K

에서 정수적으로 닫혀 있다.^[6]

2. 5. 도수

가환환

S

의 부분환

R \subseteq S

이 주어졌을 때,

R

-가군

S/R

의 소멸자

\operatorname{Ann}_R(S/R) \subseteq R

를

R

의

S

속의 '''도수'''(conductor|콘덕터^영어, Führer|퓌러^de, conducteur|콩뒤크퇴르^프랑스어)

\mathfrak{f}(S/R)

라고 한다.^[33]

:

\mathfrak{f}(S/R) = \operatorname{Ann}_R(S/R) = \{ r \in R \colon rS \subseteq R \}

이는 소멸자이므로

R

의 아이디얼을 이루며,

R

의 아이디얼이자

S

의 아이디얼이 되는 가장 큰 집합이다.

환 ''B''의 부분환 ''A''에 대해 ''B''가 ''A''에 대해 정수적이라고 하면, ''A''-가군 ''B''/''A''의 소멸자를 ''A''에서 ''B''의 ''도체''라고 부른다. 이 개념은 대수적 정수론에서 유래되었으므로, 도체는

\mathfrak{f} = \mathfrak{f}(B/A)

로 표기한다. 구체적으로,

\mathfrak{f}

는

aB \subset A

를 만족하는 ''A''의 원소 ''a''로 구성된다. 이는 ''B''의 아이디얼이기도 한 ''A''의 가장 큰 아이디얼이다.^[21] ''S''가 ''A''의 곱셈 닫힌 부분집합이라면, 다음이 성립한다.

:

S^{-1}\mathfrak{f}(B/A) = \mathfrak{f}(S^{-1}B/S^{-1}A)

.

''B''가 ''A''의 전체 분수 환의 부분환이라면, 다음이 성립한다.

:

\mathfrak{f}(B/A)=\operatorname{Hom}_A(B, A)

.

예를 들어, ''k''를 체라고 하고,

A = k[t^2, t^3] \subset B = k[t]

라고 하면, ''B''는

k(t)

에서 ''A''의 정수적 폐포이다. ''A''에서 ''B''의 도체는 아이디얼

(t^2, t^3)A

이다. 더 일반적으로,

A = kt^a, t^b

의 도체는 ''a'', ''b''가 서로 소일 때

(t^c, t^{c+1}, \dots)A

이며,

c = (a-1)(b-1)

이다.^[22]

3. 예시

유리수체 '''Q'''에서 정수환 '''Z''' 상에서 정수인 원소는 정수뿐이다. 즉, '''Z'''는 '''Q'''에 대한 '''Z'''의 정폐포이다.
가우스 정수, 즉 $a + b \sqrt{-1}$ ( $a, b \in \mathbf{Z}$ ) 형태의 복소수는 '''Z''' 상에서 정수이다. $\mathbf{Z}[\sqrt{-1}]$ 는 $\mathbf{Q}(\sqrt{-1})$ 에 대한 '''Z'''의 정폐포이다.
'''Z'''의 $\mathbf{Q}(\sqrt{5})$ 에 대한 정폐포는 $a+b(1 + \sqrt{5})/2$ ( $a$ , $b$ 는 정수) 형태의 원소로 구성된다. 이 예와 바로 앞의 예는 이차 정수의 예이다.

3. 1. 대수적 수론

대수적 수론에서 정수적 폐포는

K/\mathbb{Q}

(또는

L/\mathbb{Q}_p

)에 대한 대수적 확대의 정수환을 정의하는 데 기본적인 개념이다.

1의 거듭제곱근 ζ에 대해, 원분체 '''Q'''(ζ)에서 '''Z'''의 정폐포는 '''Z'''[ζ]이다.^[30]
복소수체 '''C'''에서 '''Z'''의 정폐포는 대수적 정수의 환이다.^[30]
체 ''k''의 대수적 폐포 $\overline{k}$ 에 대해, 다항식 환 $\overline{k}[x_1, \dots, x_n]$ 은 $k[x_1, \dots, x_n]$ 상에서 정수이다.
유한군 ''G''가 환 ''A''에 작용할 때, ''A''는 ''G''에 의해 고정되는 원소의 집합 ''A^G'' (불변환) 상에서 정수이다.
임의의 환에서 1의 거듭제곱근과 멱영원은 '''Z''' 상에서 정수이다.
환 ''R''과 ''R''을 포함하는 환에서의 단위 원 ''u''에 대해,^[31]
''u''⁻¹이 ''R'' 상에서 정수인 것은 ''u''⁻¹ ∈ ''R''[''u'']일 때, 그리고 그 때에만 해당한다.
$R[u] \cap R[u^{-1}]$ 은 ''R'' 상에서 정수이다.
형식적 멱급수 환 '''C'''''x''의, 로랑 급수체 '''C'''((''x''))의 유한 차수 확대에서의 정폐포는 $\mathbf{C}x^{1/n}$ 형태이다(cf. 퓌죄 급수).
정규 사영 다양체 ''X''의 제차 좌표환의 정폐포는 단면 환(ring of sections)이다.^[32]

:

\bigoplus\nolimits_{n \ge 0} \operatorname{H}^0(X, \mathcal{O}_X(n))

3. 1. 1. 정수의 정수적 폐포

정수는 '''Q'''에서 정수환 '''Z'''에 대해 정수적인 유일한 원소이다. 다시 말해, '''Z'''는 '''Q'''에서 '''Z'''의 정수적 폐포이다.^[30]

3. 1. 2. 이차 확장

가우스 정수는

a + b \sqrt{-1}

(

a, b \in \mathbf{Z}

) 형태의 복소수이며, '''Z'''에 대해 정수적이다.

\mathbf{Z}[\sqrt{-1}]

는

\mathbf{Q}(\sqrt{-1})

에서 '''Z'''의 정수 폐포이며,

\mathcal{O}_{\mathbb{Q}[i]}

로 표기된다.

'''Z'''의

\mathbf{Q}(\sqrt{5})

에서의 정수 폐포는 다음과 같다.

:

\mathcal{O}_{\mathbb{Q}[\sqrt{5}]} = \mathbb{Z}\!\left[ \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right]

이 예시와 앞의 예시는 이차 정수의 예시이다. 이차 확장

\mathbb{Q}(\sqrt{d})

의 정수 폐포는 임의의 원소

a + b \sqrt{d}

의 최소 다항식을 구성하고, 다항식이 정수 계수를 가질 수 있는 수론적 기준을 찾는 것으로 찾을 수 있다. 이 분석은 이차 확장 문서에서 찾을 수 있다.

3. 1. 3. 1의 거듭제곱근

ζ를 1의 거듭제곱근이라고 하면, '''Q'''(ζ) 원분체에서 '''Z'''의 정수적 폐포는 '''Z'''[ζ]이다.^[2] 이는 최소 다항식과 아이젠슈타인 판정법을 사용하여 찾을 수 있다.^[30]

3. 1. 4. 대수적 정수환

복소수체 '''C'''에서 '''Z'''의 정수적 폐포는 대수적 정수의 환이라고 불린다.^[30]

3. 2. 대수기하학

기하학에서, 정수적 폐포는 정규화 및 정규 스킴과 밀접하게 관련되어 있다. 이는 코드 차원 1의 특이점을 해결하는 과정을 제공하므로 특이점 해소의 첫 번째 단계이다.

예를 들어, $\mathbb{C}[x,y,z]/(xy)$ 의 정수적 폐포는 링 $\mathbb{C}[x,z] \times \mathbb{C}[y,z]$ 인데, 기하학적으로 첫 번째 링은 $xz$ -평면과 $yz$ -평면의 합집합에 해당하기 때문이다. 이들은 $z$ -축을 따라 코드 차원 1의 특이점을 가지며, 여기서 교차한다.
유한군 ''G''가 링 ''A''에 작용한다고 하면, ''A''는 ''G''에 의해 고정된 원소 집합인 ''A''^''G'' 위에서 정수적이다. 불변환을 참조한다.
''R''을 링, ''u''를 ''R''을 포함하는 링의 단위라고 하면,^[3]
''u''⁻¹은 ''u''⁻¹ ∈ ''R''[''u'']일 때와 그 때만 ''R'' 위에서 정수적이다.
$R[u] \cap R[u^{-1}]$ 은 ''R'' 위에서 정수적이다.
정규 사영 대수다양체 ''X''의 동차 좌표환의 정수적 폐포는 단면환이다.^[4]

::

\bigoplus_{n \ge 0} \operatorname{H}^0(X, \mathcal{O}_X(n)).

3. 3. 대수학

임의의 환에서 1의 거듭제곱근, 멱영원, 멱등원은 '''Z''' 위에서 정수적이다.

\overline{k}

가 체 ''k''의 대수적 폐포이면,

\overline{k}[x_1, \dots, x_n]

은

k[x_1, \dots, x_n]

에 대해 정수적이다. 유한군 ''G''가 환 ''A''에 작용한다고 할 때, ''A''는 ''G''에 의해 고정되는 원소의 집합 ''A^G'' (불변환) 상에서 정수이다.

4. 성질

''B''를 환, ''A''를 ''B''의 부분환이라고 하자. ''B''의 원소 ''b''가 ''A'' 위에서 정수적이라는 것은 다음 조건들과 동치이다.^[1]

(i) ''b''는 ''A'' 위에서 정수적이다.
(ii) ''A''와 ''b''에 의해 생성된 ''B''의 부분환 ''A''[''b'']는 유한 생성 ''A''-가군이다.
(iii) ''A''[''b'']를 포함하고 유한 생성 ''A''-가군인 ''B''의 부분환 ''C''가 존재한다.
(iv) ''M''이 ''A''-가군으로 유한 생성되고 충실한 ''A''[''b'']-가군인 ''M''이 존재한다.

이러한 동치 조건은 케일리-해밀턴 정리의 변형을 통해 증명될 수 있으며, (iv) ⇒ (i)를 증명하는 데 사용된다. 나카야마 보조정리 또한 이 정리로부터 유도된다.^[1]

4. 1. 정수적 폐포의 환 구조

위의 네 가지 동치 명제로부터, ''B''의 원소 집합은 ''A''를 포함하는 ''B''의 부분환을 형성한다.^[5] 만약 ''x'', ''y''가 ''A''에 대해 정수적인 ''B''의 원소라면, x + y, xy, -x는 A[x]A[y]를 안정화시키므로 ''A''에 대해 정수적이며, 이는 ''A'' 위에서 유한하게 생성된 가군이며 0에 의해서만 소멸된다.^[5] 이 환을 ''A''의 ''B''에서의 '''정수적 폐포'''라고 부른다.

4. 2. 정수성의 추이성

C를 B를 포함하는 환이라 하고 c ∈ C라 하자. 만약 c가 ''B''에 대해 정수적이고 ''B''가 A에 대해 정수적이라면, c는 A에 대해 정수적이다. 특히, C 자체가 ''B''에 대해 정수적이고 ''B''가 A에 대해 정수적이라면, C 또한 A에 대해 정수적이다.

4. 3. 분수체에서 정수적으로 닫힘

정역

S

에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이다.

정수적으로 닫힌 가환환이다.
임의의 소 아이디얼 $\mathfrak p\in\operatorname{Spec}S$ 에 대하여, 국소화 $S_{\mathfrak p}$ 는 정수적으로 닫힌 국소환이다.
임의의 극대 아이디얼 $\mathfrak m\subseteq S$ 에 대하여, $S_{\mathfrak m}$ 은 정수적으로 닫힌 국소환이다.

뇌터 정역

R

에 대하여 다음 두 조건들이 서로 동치이다.

정수적으로 닫힌 가환환이다.
다음 두 조건이 성립한다.
* $R$ 는 높이가 1인 소 아이디얼 $\mathfrak p$ 들에 대한 국소화 $R_{\mathfrak p}\subseteq\operatorname{Frac}R$ 들의 (분수체 $\operatorname{Frac}R$ 속에서의) 교집합이다.
*: $R=\bigcap_{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R}^{\operatorname{ht}\mathfrak p=1}R_{\mathfrak p}\subseteq\operatorname{Frac}R$
* 임의의 높이가 1인 소 아이디얼 $\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R$ 에 대하여, $R_{\mathfrak p}$ 는 이산 값매김환이다.

크룰 차원이 1인 뇌터 국소 정역

(R,\mathfrak m)

에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

$R$ 는 정수적으로 닫힌 가환환이다.
$\mathfrak m$ 은 주 아이디얼이다.
$R$ 는 이산 값매김환이다.
$R$ 는 데데킨트 정역이다.
$R$ 는 정칙 국소환이다.

만약

A

가 ''

B

''에서

A

의 정수적 폐포이면, ''A''는 ''

B

''에서 '''정수적으로 닫혀 있다'''고 한다. 만약

B

가

A

의 전체 분수환(예:

A

가 정역일 때의 분수체)이면, "in

B

"라는 수식어를 생략하고 단순히 "

A

의 정수적 폐포"라고 하거나 "

A

는 정수적으로 닫혀 있다"라고 말하기도 한다.^[6] 예를 들어, 정수환

\mathcal{O}_K

는 체

K

에서 정수적으로 닫혀 있다.

4. 3. 1. 정수적으로 닫힌 정역과의 추이성

C를 B를 포함하는 환이라 하고 c ∈ C라 하자. 만약 c가 ''B''에 대해 정수적이고 ''B''가 A에 대해 정수적이라면, c는 A에 대해 정수적이다. 특히, C 자체가 ''B''에 대해 정수적이고 ''B''가 A에 대해 정수적이라면, C 또한 A에 대해 정수적이다.^[1]

A를 분수체 K를 갖는 정역이라 하고, A'를 K의 대수적 확대 L에서의 A의 정수적 폐포라고 하자. 그러면 A'의 분수체는 L이다. 특히, A'는 정수적으로 닫힌 정역이다.^[1]

4. 4. 유한 조건과의 관계

''B''를 환, ''A''를 ''B''의 부분환이라고 하자. ''B''의 원소 ''b''에 대해 다음 조건들은 동치이다.^[1]

(i) ''b''는 ''A'' 위에서 정수적이다.
(ii) ''A''와 ''b''에 의해 생성된 ''B''의 부분환 ''A''[''b'']는 유한 생성 ''A''-가군이다.
(iii) ''A''[''b'']를 포함하고 유한 생성 ''A''-가군인 ''B''의 부분환 ''C''가 존재한다.
(iv) ''M''이 ''A''-가군으로 유한 생성되고 충실한 ''A''[''b'']-가군인 ''M''이 존재한다.

이것의 일반적인 증명은 행렬식에 대한 케일리-해밀턴 정리의 다음 변형을 사용한다.^[1]

'''정리''' ''u''를 ''n''개의 원소에 의해 생성된 ''A''-가군 ''M''의 자기 준동형 사상이라고 하고,

u(M) \subset IM

이 되는 ''A''의 아이디얼을 ''I''라고 하자. 그러면 다음과 같은 관계가 성립한다.

::

u^n + a_1 u^{n-1} + \cdots + a_{n-1} u + a_n = 0, \, a_i \in I^i.

이 정리는 (''I'' = ''A''이고 ''u''는 ''b''에 의한 곱셈) (iv) ⇒ (i)를 주고 나머지는 쉽다. 나카야마 보조정리 또한 이 정리의 즉각적인 결과이다.^[1]

f:A \to B

가 환 준동형 사상이라면,

B

가

f(A)

에 대해 정수적일 때

f

가 '''정수적'''이라고 한다. 마찬가지로,

f

가 '''유한'''(

B

가 유한 생성

A

-가군)하거나 '''유한 유형'''(

B

가 유한 생성

A

-대수)이라고 말한다. 이러한 관점에서 다음과 같은 관계가 성립한다.^[1]

:

f

가 유한일 필요충분조건은

f

가 정수적이고 유한 유형인 것이다.

더 구체적으로 말하면,^[1]

:

B

가 유한 생성

A

-가군일 필요충분조건은

B

가

A

에 대해 정수적인 유한 개수의 원소에 의해

A

-대수로 생성되는 것이다.

4. 5. 코언-사이던버그 정리

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

가환환 $S$
$S$ 의 부분환 $R\subseteq S$ . 또한, $S$ 의 모든 원소는 $R$ -정수적 원소이다.
$R$ -소 아이디얼들의 사슬 $(\mathfrak p_i)_{1\le i\le k}$ 및 $S$ -소 아이디얼들의 사슬 $(\mathfrak q_i)_{m\le i\le n}$ ( $1\le m\le n\le k$ ). 또한, $m\le i\le n$ 에 대하여 $\mathfrak q_i\mid\mathfrak p_i$ 이다. 즉, $\mathfrak q_i\cap R=\mathfrak p_i$ 이다.

:

\begin{matrix}    &&&&\mathfrak q_m\subseteq\cdots\subseteq\mathfrak q_n&&&&&\qquad\subseteq S\\    \mathfrak p_1&\subseteq\cdots\subseteq&\mathfrak p_{m-1}&\subseteq&\mathfrak p_m\subseteq\cdots\subseteq\mathfrak p_n&\subseteq&\mathfrak p_{n+1}&\subseteq\cdots\subseteq&\mathfrak p_k&\qquad\subseteq R    \end{matrix}

또한, 다음 두 조건 가운데 하나가 성립한다고 하자.

$S$ 는 정역이며, $R$ 는 ( $\operatorname{Frac}R$ 속에서) 정수적으로 닫힌 정역이다.
$m=1$ 이다.

그렇다면, '''코언-사이던버그 정리'''(Cohen–Seidenberg theorem^영어)에 따르면, 다음이 성립한다.

$\mathfrak q_i\mid\mathfrak p_i\forall 1\le i\le k$ 가 되게 소 아이디얼 사슬 $\{\mathfrak q_i\}$ 를 연장시킬 수 있다. 즉, 다음이 성립하는 $S$ -소 아이디얼 $\{\mathfrak q_i\}_{i\in\{1,\dots,m-1,n+1,\dots,k}\}$ 가 존재한다.

:

\begin{matrix}    \exists\mathfrak q_1&\subseteq\cdots\subseteq&\exists\mathfrak q_{m-1}&\subseteq&\mathfrak q_m\subseteq\cdots\subseteq\mathfrak q_n&\subseteq&\exists\mathfrak q_{n+1}&\subseteq\cdots\subseteq&\exists\mathfrak q_k&\qquad\subseteq S\\    \mathfrak p_1&\subseteq\cdots\subseteq&\mathfrak p_{m-1}&\subseteq&\mathfrak p_m\subseteq\cdots\subseteq\mathfrak p_n&\subseteq&\mathfrak p_{n+1}&\subseteq\cdots\subseteq&\mathfrak p_k&\qquad\subseteq R    \end{matrix}

여기서

\mathfrak q_i\mid\mathfrak p_i

라는 것은

(\mathfrak q_i)\cap R=\mathfrak p_i

임을 뜻한다.

즉, 정수적 확대에 대하여 소 아이디얼의 사슬을 위로 연장할 수 있으며(going up^영어), 추가 조건 아래 소 아이디얼의 사슬을 아래로도 연장할 수 있다(going down^영어).

정수적 확대 ''A'' ⊆ ''B''는 상승 성질, 위에 놓임 성질, 그리고 비교불가능성 성질을 갖는다(Cohen–Seidenberg 정리). 구체적으로, ''A''에 있는 소 아이디얼의 사슬

\mathfrak{p}_1 \subset \cdots \subset \mathfrak{p}_n

이 주어지면,

\mathfrak{p}_i = \mathfrak{p}'_i \cap A

를 만족하는 ''B''에 있는

\mathfrak{p}'_1 \subset \cdots \subset \mathfrak{p}'_n

이 존재한다(상승 및 위에 놓임). 또한, 포함 관계를 갖는 서로 다른 두 개의 소 아이디얼은 같은 소 아이디얼로 축소될 수 없다(비교불가능성). 특히, ''A''와 ''B''의 크룰 차원은 같다. 게다가, ''A''가 정수적으로 닫힌 정역이면 하강이 성립한다.

일반적으로, 상승은 위에 놓임을 함의한다.^[7] 따라서, "상승"은 "상승"과 "위에 놓임"을 의미한다.

''A'', ''B''가 ''B''가 ''A''에 대해 정수적인 정역일 때, ''A''는 ''B''가 체일 필요충분조건이다. 따름정리로, 다음을 얻는다. ''B''의 소 아이디얼

\mathfrak{q}

가 주어지면,

\mathfrak{q}

가 ''B''의 극대 아이디얼일 필요충분조건은

\mathfrak{q} \cap A

가 ''A''의 극대 아이디얼인 것이다. 또 다른 따름정리: ''L''/''K''가 대수적 확대이면, ''K''를 포함하는 ''L''의 임의의 부분환은 체이다.

4. 6. 크룰-아키즈키 정리

크룰 차원이 1인 뇌터 환의 정수적 폐포에 대한 정리인 크룰-아키즈키 정리는 다음과 같다.

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

$R$ 는 크룰 차원이 1인 가환 뇌터 축소환이다. $K=\operatorname{Frac}R$ 는 그 전분수환이다.
$L$ 은 가환환이며, 단사 함수인 환 준동형 $\iota\colon K\hookrightarrow L$ 이 주어져 있다. 또한, 덧셈 몫군 $L/K$ 는 유한군이다.
$S\subseteq L$ 은 $R$ 의 $L$ 속의 정수적 폐포이다.

크룰-아키즈키 정리 (Krull–Akizuki theorem^영어)에 따르면, 다음이 성립한다.^[7]

$S$ 역시 크룰 차원이 1인 가환 뇌터 환이다.
$S$ 의 임의의 아이디얼 $\mathfrak a\subseteq S$ 에 대하여, 만약 $\mathfrak a$ 가 영 아이디얼이 아니라면, 덧셈 몫군 $(S/\mathfrak a)/(R/(R\cap\mathfrak a))$ 는 유한군이다. (그러나 덧셈 몫군 $S/R$ 는 유한군이 아닐 수 있다. 즉, 이는 $\mathfrak a$ 가 영 아이디얼일 때 성립하지 못할 수 있다.)
만약 $R$ 가 추가로 데데킨트 정역이라면, $S$ 역시 데데킨트 정역이다.

분수체의 유한 확대 내 데데킨트 정역의 정수적 폐포는 데데킨트 정역이며, 특히 노에터 환이다. 이것은 크룰-아키즈키 정리의 결과이다.^[23]

4. 7. 모리-나가타 정리

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

$R$ 는 가환 뇌터 축소환이다. $K=\operatorname{Frac}R$ 는 그 전분수환이다.
$S$ 는 $R$ 의 $K$ 속의 정수적 폐포이다.
$R$ 는 $n$ 개의 극소 소 아이디얼(소 아이디얼들의 포함 관계에 대한 극소 원소, 즉 높이가 0인 소 아이디얼)들을 갖는다.

'''모리-나가타 정리'''([森]-[永田]定理, Mori–Nagata theorem^영어)에 따르면, 다음이 성립한다.^[23]

$S$ 는 $n$ 개의 크룰 정역들의 직접곱이다.

이는 크룰-아키즈키 정리의 고차원 가환환에 대한 부분적 일반화이다.

5. 관련 개념

정역 $R$ 및 그 분수체 $K=\operatorname{Frac}R$ 가 주어졌다고 하자. $K$ -단위 결합 대수 $A$ 에 대하여, $A$ 속의 $R$ -'''정환'''(整環, order^영어, Ordnung^de) $\mathcal o\subseteq A$ 는 다음 조건들을 만족시키는 $A$ 의 부분환이다.

$\mathcal o$ 는 $K$ -단위 결합 대수이다.
$\mathcal o$ 는 $R$ -자유 가군이다. (즉, $R$ -격자를 이룬다.)
$K\mathcal o=A$ 이다.

A

속의

R

-정환들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합을 이룬다.

A

가 가환환일 때,

A

속의

R

-정환

\mathcal o\subset A

의 모든 원소는

R

-정수적 원소이다. 따라서 최대

R

-정환이 존재하며, 이는

R

의

A

속의 정수적 폐포이다. (이는

A

가 비가환환일 때 성립하지 않는다. 이 경우 모든 정환은 극대 정환에 속하지만, 최대 정환은 일반적으로 존재하지 않는다.)

5. 1. 나가타 환

뇌터 가환환

R

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 뇌터 가환환을 '''나가타 환'''이라고 한다.^[34]

임의의 소 아이디얼 $\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R$ 에 대하여, 몫환 $R/\mathfrak p$ 는 N-2환이다.
임의의 정역 $S$ 및 환 준동형 $R\to S$ 에 대하여, 만약 이를 통하여 $S$ 가 $R$ -유한 생성 가군을 이룬다면, $S$ 는 N-2환이다.

5. 2. 정환

정역

R

및 그 분수체

K=\operatorname{Frac}R

가 주어졌다고 하자.

K

-단위 결합 대수

A

에 대하여,

A

속의

R

-'''정환'''(整環, order^영어, Ordnung^de)

\mathcal o\subseteq A

는 다음 조건들을 만족시키는

A

의 부분환이다.

$\mathcal o$ 는 $K$ -단위 결합 대수이다.
$\mathcal o$ 는 $R$ -자유 가군이다. (즉, $R$ -격자를 이룬다.)
$K\mathcal o=A$ 이다.

A

속의

R

-정환들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합을 이룬다.

A

가 가환환일 때,

A

속의

R

-정환

\mathcal o\subset A

의 모든 원소는

R

-정수적 원소이다. 따라서, 최대

R

-정환이 존재하며, 이는

R

의

A

속의 정수적 폐포이다. (이는

A

가 비가환환일 때 성립하지 않는다. 이 경우 모든 정환은 극대 정환에 속하지만, 최대 정환은 일반적으로 존재하지 않는다.)

6. 역사

어빈 솔 코언과 에이브러햄 사이던버그(Abraham Seidenberg|에이브러햄 사이던버그^영어, 1916~1988)가 코언-사이던버그 정리를 증명하였다.

볼프강 크룰과 아키즈키 야스오(秋月康夫|아키즈키 야스오^일본어, 1902~1984)가 크룰-아키즈키 정리를 증명하였다.

모리 요시로(森誉四郎|모리 요시로^일본어)^[35]와 나가타 마사요시^[36] 가 모리-나가타 정리를 증명하였다.

참조

_[1] 문서 The above equation is sometimes called an integral equation and ''b'' is said to be integrally dependent on ''A'' (as opposed to [[algebraic dependent]]).
_[2] 간행물 2020
_[3] 간행물 1974
_[4] 간행물 1977
_[5] 문서 This proof is due to Dedekind (Milne, ANT). Alternatively, one can use symmetric polynomials to show integral elements form a ring. (loc cit.)
_[6] 간행물 Chapter 2 2006
_[7] 간행물 1974
_[8] 간행물 2006
_[9] 간행물 1970
_[10] 간행물 2006
_[11] 간행물 1994
_[12] 웹사이트 Section 32.14 (05JW): Universally closed morphisms—The Stacks project https://stacks.math.[...] 2020-05-11
_[13] 서적 Computational Introduction to Algebraic Number Theory https://wstein.org/b[...]
_[14] 간행물 An exercise in 1994
_[15] 간행물 2006
_[16] 문서 Proof: Let $\phi: B \to B[t]$ be a ring homomorphism such that $\phi(b_n) = b_n t^n$ if $b_n$ is homogeneous of degree ''n''. The integral closure of $A[t]$ in $B[t]$ is $A'[t]$ , where $A'$ is the integral closure of ''A'' in ''B''. If ''b'' in ''B'' is integral over ''A'', then $\phi(b)$ is integral over $A[t]$ ; i.e., it is in $A'[t]$ . That is, each coefficient $b_n$ in the polynomial $\phi(b)$ is in ''A''.
_[17] 간행물 Exercise 4.14 in 1995
_[18] 간행물 Definition 1.1.1 in 2006
_[19] 간행물 Exercise 4.15 in 1995
_[20] 간행물 Remark 1.1.3 in 2006
_[21] 간행물 Chapter 12 of 2006
_[22] 간행물 2006
_[23] 간행물 2006
_[24] 간행물 1994
_[25] 간행물 1977
_[26] 간행물 2006
_[27] 간행물 1970
_[28] 서적 Chapter 4 of Reid.
_[29] 웹사이트 Math 711: Lecture of September 7, 2007 http://www.math.lsa.[...] 2007-09-07
_[30] 간행물 ANT
_[31] 문서 1.2. Exercise 4.
_[32] 간행물 1977
_[33] 서적 Algebraic number theory Springer-Verlag 1999
_[34] 서적 Commutative Ring Theory Cambridge University Press 1989-06
_[35] 저널 On the integral closure of an integral domain http://projecteuclid[...] 1953
_[36] 저널 On the derived normal rings of Noetherian integral domains http://projecteuclid[...]

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