정적 평형 상태

3. 안정성

기계적 평형 상태에 있는 시스템의 중요한 속성은 안정성이다. 안정성은 외부 요인에 의해 평형 상태가 깨졌을 때 원래 상태로 돌아오려는 경향을 의미한다.

둘 이상의 차원을 고려할 때, 서로 다른 방향에서 서로 다른 결과가 나올 수 있다. 예를 들어 ''x''방향으로는 안정적이지만, ''y''방향으로는 불안정할 수 있는데, 이를 안장점이라고 한다. 일반적으로 평형 상태는 모든 방향에서 안정적인 경우에만 안정적이라고 한다.

3. 1. 위치 에너지와 안정성 판별

• 이계도함수 < 0: 위치 에너지가 국소 최댓값으로, 시스템은 불안정 평형 상태이다.
• 이계도함수 > 0: 위치 에너지가 국소 최솟값으로, 시스템은 안정 평형 상태이다.
• 이계도함수 = 0: 상태는 가장 낮은 차수에서는 중립적이며, 작은 변위에도 거의 평형 상태를 유지한다. 테일러 전개를 사용하여 고계도함수를 검사하여 시스템의 정확한 안정성을 조사할 수 있다.

3. 1. 1. 안정 평형

위치 에너지가 국소 최소값에 있는 상태이다. 이것은 안정적인 평형 상태이다. 작은 섭동(외부에서 작용하는 작은 힘)에 대한 반응은 평형 상태를 복원하려는 힘이다. 시스템에 대해 둘 이상의 안정적인 평형 상태가 가능한 경우, 위치 에너지가 절대 최소값보다 높은 평형 상태는 준안정 상태를 나타낸다.

3. 1. 2. 불안정 평형

위치 에너지가 극댓값을 가지는 상태이다. 시스템이 평형 상태에서 임의로 작은 거리만큼 변위되면 시스템의 힘이 더욱 멀리 이동하게 한다.

3. 1. 3. 중립 평형

위치 에너지를 나타내는 함수가 국소적으로 일정할 때, 진정한 중립 평형 상태에서는 에너지가 변하지 않으며 평형 상태는 유한한 폭을 가진다. 이것은 한계적으로 안정적인 상태, 무관심 상태 또는 비안정 평형 상태라고도 한다.

외부 힘이 작용해도 시스템은 새로운 평형 상태를 유지한다.

3. 2. 정적 부정정 시스템

평형 방정식, 즉 힘과 모멘트 평형 조건만으로는 힘과 반력을 결정하기에 불충분한 경우가 있다. 이러한 상황을 ''정정차''라고 한다. 정정차 상황은 종종 표준 평형 방정식 외의 정보를 사용하여 해결할 수 있다.

4. 기계적 평형의 예시

정지된 물체는 정적 평형 상태에 있는데, 이는 기계적 평형의 특수한 경우이다. 움직이는 물체도 평형 상태에 있을 수 있다. 예를 들어 사람이 용수철을 특정 지점까지 눌러 고정하면 압축 하중과 용수철 반력이 같아져 기계적 평형 상태가 된다. 힘을 빼면 용수철은 원래 상태로 돌아간다.^[5] 평면에서 균질하고 볼록한 물체가 정지 평형을 유지하는 최소 개수는 4개이다. 3차원에서는 안정적인 균형점 하나와 불안정한 균형점 하나만으로 물체를 만들 수 있는데, 이를 굄뵈츠라고 한다.^[5]

4. 1. 정적 평형의 예시

4. 2. 동적 평형의 예시

참조

_[1] 서적 Principles of Mechanics https://archive.org/[...] McGraw-Hill
_[2] 서적 Vector Mechanics for Engineers: Statics and Dynamics McGraw-Hill
_[3] 서적 Classical Mechanics https://books.google[...] Courier Dover Publications
_[4] 서적 Engineering Mechanics https://books.google[...] PHI Learning Pvt. Ltd.
_[5] 웹사이트 Mathematics https://gomboc.eu/en[...] 2023-11-12
_[6] 서적 Principles of Mechanics https://archive.org/[...] McGraw-Hill