제곱

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1. 개요
2. 실수에서의 제곱
- 2.1. 정의 및 성질
- 2.2. 기하학적 의미
3. 추상대수학과 정수론에서의 제곱
- 3.1. 정의 및 성질
- 3.2. 정수의 제곱
4. 복소수에서의 제곱
- 4.1. 정의 및 성질
- 4.2. 기하학적 의미
5. 행렬의 제곱
6. 기타 응용
7. 한국의 관점
참조

1. 개요

제곱은 주어진 수나 식을 자기 자신과 곱하는 수학 연산이다. 실수, 복소수, 행렬 등 다양한 수 체계에서 정의되며, 기하학적 의미, 추상대수학적 성질, 그리고 물리학, 통계학 등 다양한 분야에서의 응용을 갖는다. 제곱 함수는 양수의 순서를 보존하고, 음이 아닌 실수의 제곱은 음이 아닌 수이다. 한국의 수학 교육과정에서도 중요한 개념으로 다루어지며, 이공계 분야에서 널리 활용된다.

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제곱
제곱
정의	어떤 수 x를 두 번 곱하는 연산 (x ⋅ x)
다른 표현	x²
관련 용어	거듭제곱 제곱근
대수적 성질
음수의 제곱	음수 (-x)의 제곱은 양수이다. 1 = x² = (−x)²
다항식	(x + 1)² = x² + 2x + 1

2. 실수에서의 제곱

제곱 연산은 실수에서 정의되는 제곱 함수(자승 함수)로 나타낼 수 있다.

제곱 함수는 포물선 모양을 띄며, 다음과 같은 성질을 갖는다.

제곱은 자연수, 정수, 실수, 복소수에 대해 닫혀 있다. 즉, 이들 수의 제곱은 각각 자연수, 정수, 실수, 복소수가 된다.
0만이 제곱하여 0이 된다.

:

x ^ 2 = 0 \Leftrightarrow x = 0

2. 1. 정의 및 성질

제곱 연산은 제곱 함수 또는 자승 함수라고 불리는 실수 함수를 정의한다. 이 함수의 정의역은 전체 실수선이고, 치역은 음이 아닌 실수들의 집합이다.

제곱 함수는 양수의 순서를 보존한다. 즉, 더 큰 수는 더 큰 제곱 값을 갖는다. 다시 말해, 제곱은 구간 에서 단조 함수이다. 음의 수에 대해, 절댓값이 큰 수는 더 큰 제곱 값을 가지므로, 제곱은 에서 단조 감소 함수이다. 따라서 0은 제곱 함수의 (전역) 최솟값이다. 어떤 수 의 제곱 이 보다 작으려면(즉, ), 일 때, 즉 가 열린 구간 에 속할 때만 가능하다. 이는 정수의 제곱이 원래의 수 보다 결코 작을 수 없음을 의미한다.

모든 양의 실수는 정확히 두 수의 제곱이며, 그 중 하나는 엄격히 양수이고 다른 하나는 엄격히 음수이다. 0은 단 하나의 수, 자기 자신의 제곱이다. 이러한 이유로 음이 아닌 실수에 그 제곱이 원래의 수인 음이 아닌 수를 대응시키는 제곱근 함수를 정의할 수 있다.

모든 실수의 제곱은 음이 아닌 수이므로, 실수 체계 내에서는 음수의 제곱근을 구할 수 없다. 음수에 대한 제곱근이 없다는 사실은 허수 단위 를 가정함으로써 실수 체계를 복소수로 확장하는 데 사용될 수 있는데, 이는 -1의 제곱근 중 하나이다.

"모든 음이 아닌 실수는 제곱이다"라는 성질은 실수 닫힌 체의 개념으로 일반화되었으며, 이는 모든 음이 아닌 원소가 제곱이고 모든 홀수 차수 다항식이 근을 갖는 순서체이다. 실수 닫힌 체는 대수적 성질에 의해 실수 체와 구별될 수 없다.

제곱에 대한 전용 표기법은 없으며, 곱셈 표기법이나 거듭제곱 표기법이 사용된다. 예를 들어, 수 의 제곱은 또는 로 표기한다.

제곱의 성질은 다음과 같다.

제곱은 자연수, 정수, 실수, 복소수에 대해 닫혀 있다.
곱과 몫의 제곱은 제곱의 곱과 몫이다.

:

:

지수 함수의 제곱은 원래 수의 2배의 지수 함수이다. 양의 실수의 제곱의 로그는 로그의 2배이다.

:

:

합의 제곱은 이항 계수를 계수로 갖는 다항식으로 표현된다.

:

복소수의 제곱은 절댓값도 제곱이 되고, 편각은 2배가 된다.

:

: 유도:

0만이 제곱하여 0이 된다.

:

반수의 제곱은 원래 수의 제곱과 같다. 즉, 함수로서의 제곱 (이차 함수)은 짝함수이다.

:

실수의 제곱은 음이 아닌 실수이다. 또한 0만이 제곱이 0이 되므로, 0 이외의 실수의 제곱은 양의 실수이다.

: (등호는 인 경우에만)

제곱근의 정의에 따라, 제곱근의 제곱은 원래 수이다. 단, 제곱의 제곱근은 (0이 아닌 제곱근은 2개이므로) 원래 수와는 한정되지 않는다.

:

단위 함수를 적분하면 제곱의 반이 된다.

:

2. 2. 기하학적 의미

제곱 함수의 이름은 넓이의 정의에서 그 중요성을 보여준다. 변의 길이가 l^영어인 정사각형의 넓이가 l^영어²와 같다는 사실에서 유래한다. 넓이는 크기에 따라 이차적으로 달라진다. 즉, n^영어배 더 큰 도형의 넓이는 n^영어²배 더 커진다. 이는 평면뿐만 아니라 3차원에서의 넓이에도 적용된다. 예를 들어, 구의 표면적은 반지름의 제곱에 비례하며, 이는 중력과 같은 물리적 힘의 세기가 거리에 따라 어떻게 달라지는지를 설명하는 역제곱 법칙에 의해 물리적으로 나타난다.

제곱 함수는 피타고라스 정리와 그 일반화인 평행사변형 법칙을 통해 거리와 관련이 있다. 유클리드 기하학적 거리는 매끄러운 함수가 아니다. 고정된 점으로부터의 거리의 3차원 그래프는 원뿔을 형성하며, 원뿔의 꼭짓점에서 매끄럽지 않은 점을 갖는다. 그러나 그래프가 포물면인 거리의 제곱(d^영어² 또는 r^영어²로 표시)은 매끄럽고 해석 함수이다.

유클리드 벡터와 자기 자신과의 내적은 길이의 제곱과 같다: '''v'''⋅'''v''' = v². 이는 내적을 통해 선형 공간에서 이차 형식으로 더욱 일반화된다. 역학에서의 관성 텐서는 이차 형식의 한 예이다. 이는 관성 모멘트와 크기(길이) 사이의 이차적 관계를 보여준다.

3. 추상대수학과 정수론에서의 제곱

제곱 함수는 임의의 체 또는 환에서 정의되며, 이 함수의 결괏값을 '제곱'이라고 부르고, 제곱의 역상은 제곱근이라고 부른다.

제곱은 홀수 소수를 법으로 하는 숫자들로 형성된 유한체 '''Z'''/''p'''''Z'''에서 특히 중요하다. 이 체의 0이 아닌 원소가 '''Z'''/''p'''''Z'''에서 제곱이면 이차 잉여라고 부르고, 그렇지 않으면 이차 비잉여라고 부른다. 0은 제곱이지만 이차 잉여로 간주되지 않는다.

L. E. 딕슨은 사원수에서 팔원수를 두 배로 생성하기 위해 제곱 함수가 "합성을 허용하는 형식"이라고 언급했고, A. A. 알버트는 이를 공식화하여 케일리-딕슨 구성을 일반화하였다. 제곱 함수 ''z''²는 결합 대수 $\mathbb{C}$ 의 "노름"이며, 항등 함수는 케일리-딕슨 구성을 시작하여 쌍복소수, 쌍사원수 및 쌍팔원수 결합 대수로 이어진다.

3. 1. 정의 및 성질

제곱 함수는 임의의 체 또는 환에서 정의된다. 이 함수의 이미지에 있는 원소를 ''제곱''이라고 부르고, 제곱의 역상은 ''제곱근''이라고 부른다.

제곱 개념은 홀수 소수를 법으로 하는 숫자들로 형성된 유한체 '''Z'''/''p'''''Z'''에서 특히 중요하다. 이 체의 0이 아닌 원소는 '''Z'''/''p'''''Z'''에서 제곱이면 이차 잉여라고 부르고, 그렇지 않으면 이차 비잉여라고 부른다. 0은 제곱이지만 이차 잉여로 간주되지 않는다. 이러한 유형의 모든 유한체는 정확히 (''p'' − 1)/2개의 이차 잉여와 (''p'' − 1)/2개의 이차 비잉여를 갖는다. 이차 잉여는 곱셈 하에서 군을 형성한다. 이차 잉여의 속성은 수론에서 널리 사용된다.

더 일반적으로, 환에서 제곱 함수는 때때로 환을 분류하는 데 사용되는 다른 속성을 가질 수 있다.

0은 일부 0이 아닌 원소의 제곱일 수 있다. 0이 아닌 원소의 제곱이 절대로 0이 아닌 가환환을 축약환이라고 부른다. 더 일반적으로, 가환환에서 근기 아이디얼은 x² ∈ I 가 x ∈ I 를 의미하는 아이디얼 I이다. 두 개념 모두 대수기하학에서 힐베르트 영점 정리 때문에 중요하다.

자신의 제곱과 같은 환의 원소를 멱등원이라고 부른다. 임의의 환에서 0과 1은 멱등원이다. 체와 더 일반적으로 정역에는 다른 멱등원이 없다. 그러나 정수 모듈로 n의 환은 2^''k''개의 멱등원을 가지며, 여기서 k는 n의 서로 다른 소인수의 개수이다. 모든 원소가 자신의 제곱과 같은 (모든 원소가 멱등원인) 가환환을 부울 환이라고 부른다. 컴퓨터 과학의 예로는 곱셈 연산으로 비트 단위 AND를, 덧셈 연산으로 비트 단위 XOR을 사용하는 원소가 이진수인 환이 있다.

전순서환에서 x² ≥ 0는 모든 x에 대해 성립한다. 또한, x² = 0은 정확히 x = 0일 때 성립한다.

2가 가역인 초가환 대수에서, 임의의 ''홀수'' 원소의 제곱은 0이다.

만약 ''A''가 가환 반군이라면 다음이 성립한다.

:(xy)² = xyxy = xxyy = x²y²

이차 형식의 언어로, 이 등식은 제곱 함수가 "합성을 허용하는 형식"이라고 말한다. 사실, 제곱 함수는 합성을 허용하는 다른 이차 형식이 구성되는 기반이다. 이 절차는 L. E. Dickson에 의해 사원수에서 팔원수를 두 배로 생성하기 위해 도입되었다. 두 배 절차는 A. A. Albert에 의해 공식화되었으며, 실수 체 ℝ과 제곱 함수로 시작하여 이를 두 배로 하여 이차 형식 x² + y²를 갖는 복소수 체를 얻고, 다시 두 배로 하여 사원수를 얻었다. 두 배 절차는 케일리-딕슨 구성이라고 부르며, 대합을 갖는 체 ''F'' 위에 2ⁿ차원의 대수를 형성하도록 일반화되었다.

제곱 함수 z²는 결합 대수 ℂ의 "노름"이며, 여기서 항등 함수는 케일리-딕슨 구성을 시작하여 쌍복소수, 쌍사원수 및 쌍팔원수 결합 대수로 이어지는 사소한 대합을 형성한다.

제곱에 대한 전용 표기법은 없으며, 곱셈 표기법이나 거듭제곱 표기법이 사용된다. 예를 들어, 수 x의 제곱은 xx 또는 x²로 표기한다.

제곱은 자연수, 정수, 실수, 복소수에 대해 닫혀 있다. 즉, 자연수의 제곱은 자연수, 정수의 제곱은 정수, 실수의 제곱은 실수, 복소수의 제곱은 복소수이다.^[1]
곱과 몫의 제곱은 제곱의 곱과 몫이다.^[1]
:(xy)² = x²y²^[1]
:()² = ^[1]
지수 함수의 제곱은 원래 수의 2배의 지수 함수이다. 양의 실수의 제곱의 로그는 로그의 2배이다.^[1]
:(a^x)² = a^2x^[1]
:log x² = 2 log x^[1]
합의 제곱은 이항 계수를 계수로 갖는 다항식으로 표현된다.^[1]
:(x + y)² = x^ky^2-k = x² + 2xy + y²^[1]
복소수의 제곱은 절댓값도 제곱이 되고, 편각은 2배가 된다.^[1]
:|z²| = |z|², arg z² = 2 arg z^[1]
: 유도: { a (cos θ + i sin θ) }² = (a e^{i θ})² = a²e^{i ⋅ 2θ} = a² (cos 2θ + i sin 2θ)^[1]
0만이 제곱하여 0이 된다.^[1]
:x² = 0 ⇔ x = 0^[1]

3. 2. 정수의 제곱

자연수의 제곱은 제곱수라고 불린다.

4. 복소수에서의 제곱

복소수에서 제곱 함수 $z\to z^2$ 는 0이 아닌 각 복소수가 정확히 두 개의 제곱근을 갖는다는 점에서 이중 덮개이다.

복소수의 절댓값 제곱은 '''절댓값 제곱''', '''제곱 모듈러스''', 또는 '''제곱 크기'''라고 불린다.^[1] 이는 복소수와 그 켤레 복소수의 곱이며, 복소수의 실수부와 허수부의 제곱의 합과 같다. 복소수의 절댓값 제곱은 항상 음이 아닌 실수이며, 복소수가 0일 때에만 0이다. 절댓값보다 계산하기 쉬우며(제곱근 없음), 매끄러운 실수 값 함수이다. 이러한 두 가지 특성 때문에 절댓값 제곱은 명시적인 계산과 수학적 분석 방법(예: 최적화 또는 적분)이 관련된 경우 종종 절댓값보다 선호된다.

복소 벡터의 경우, 점 곱은 켤레 전치를 포함하여 정의될 수 있으며, 이로 인해 ''제곱 노름''이 발생한다.

4. 1. 정의 및 성질

복소수에서 제곱 함수

z\to z^2

는 0이 아닌 각 복소수가 정확히 두 개의 제곱근을 갖는다는 점에서 이중 덮개이다.

복소수의 절댓값 제곱은 '''절댓값 제곱''', '''제곱 모듈러스''', 또는 '''제곱 크기'''라고 불린다.^[1] 이는 복소수와 그 켤레 복소수의 곱이며, 복소수의 실수부와 허수부의 제곱의 합과 같다. 복소수의 절댓값 제곱은 항상 음이 아닌 실수이며, 복소수가 0일 때에만 0이다. 절댓값보다 계산하기 쉬우며(제곱근 없음), 매끄러운 실수 값 함수이다. 이러한 두 가지 특성 때문에 절댓값 제곱은 명시적인 계산과 수학적 분석 방법(예: 최적화 또는 적분)이 관련된 경우 종종 절댓값보다 선호된다.

복소 벡터의 경우, 점 곱은 켤레 전치를 포함하여 정의될 수 있으며, 이로 인해 ''제곱 노름''이 발생한다. 제곱에 대한 전용 표기법은 없으며, 곱셈 표기법이나 거듭제곱 표기법이 사용된다.

제곱은 자연수, 정수, 실수, 복소수에 대해 닫혀 있다. 즉, 자연수의 제곱은 자연수, 정수의 제곱은 정수, 실수의 제곱은 실수, 복소수의 제곱은 복소수이다.
곱과 몫의 제곱은 제곱의 곱과 몫이다.
$(xy) ^ 2 = x^2 y^2\,$
$\left ( \frac x y \right ) ^ 2 = \frac{ x^2 }{ y^2 }$
지수 함수의 제곱은 원래 수의 2배의 지수 함수이다. 양의 실수의 제곱의 로그는 로그의 2배이다.
$(a ^ x)^ 2 = a ^ {2x} \,$
$\log x^2 = 2 \log x \,$
합의 제곱은 이항 계수를 계수로 갖는 다항식으로 표현된다.
$(x + y)^ 2 = \sum_{k=0}^2 {2 \choose k} x^k y^{2-k} = x^2 + 2xy + y^2 \,$
복소수의 제곱은 절댓값도 제곱이 되고, 편각은 2배가 된다.
$|z^2| = |z|^2, \quad \arg z^2 = 2 \arg z$
유도: $\left\{ a (\cos \theta + i \sin \theta) \right\} ^2 = \left(a e^{i \theta}\right)^2 = a^2 e^{i \cdot 2 \theta} = a ^ 2 (\cos 2\theta + i \sin 2\theta)\,$
0만이 제곱하여 0이 된다.
$x ^ 2 = 0 \Leftrightarrow x = 0$

4. 2. 기하학적 의미

복소 평면에서 제곱 연산은 원점을 중심으로 하는 회전과 확대를 결합한 변환으로 볼 수 있다. 복소수에서 제곱 함수

z\to z^2

는 각 0이 아닌 복소수가 정확히 두 개의 제곱근을 갖는다는 점에서 이중 덮개이다.^[1]

5. 행렬의 제곱

행렬의 제곱은 자기 자신과의 곱으로 정의된다. 단, 행렬의 곱셈에서는 왼쪽 피연산자의 열의 수와 오른쪽 피연산자의 행의 수가 일치해야 하므로, 행렬의 제곱은 정사각 행렬에 대해서만 정의할 수 있다.

제곱하여 0이 되는 것은 0뿐인데 반해, 제곱하여 영행렬이 되는 것은 영행렬에 한정되지 않는다. 임의의 수 ''x'', ''y''에 대해

: $\begin{pmatrix} xy & y^2 \\ -x^2 & -xy \end{pmatrix} ^ 2 = O$

가 성립한다. 영행렬에 무엇을 곱해도 영행렬이므로, 이 형태의 행렬은 제곱뿐 아니라 2 이상의 거듭제곱을 해도 영행렬이 된다.

6. 기타 응용

제곱은 통계학과 확률론에서 일련의 값 또는 확률 변수의 표준 편차를 결정하는 데 사용된다. 각 값의 집합의 평균 $\overline{x}$ 으로부터의 편차는 차이 $x_i - \overline{x}$ 로 정의된다. 이러한 편차를 제곱한 다음, 새로운 숫자 집합(각 숫자는 양수)의 평균을 구한다. 이 평균이 분산이며, 분산의 제곱근이 표준 편차이다.

물리학에서 제곱은 다음과 같은 물리량에 사용된다.

물리량	설명
운동 에너지	속도에 대한 이차 의존성을 갖는다.
비에너지	제곱 속도 차원량이다.

후크의 법칙이 성립하는 경우, 에너지는 변위의 제곱에 비례한다.
초기 속도가 0인 등가속도 운동에서는 이동 거리는 경과 시간의 제곱에 비례한다.

대부분의 프로세서는 제곱 전용 명령을 가지고 있지 않으며, 제곱은 곱셈 명령으로 실현된다. 수학적으로 제곱은 지수가 2인 멱함수를 사용하여 계산하거나, 단순히 정의대로 곱셈을 수행해도 결과는 같다. 그러나 전자는 지수 함수와 로그 함수를 계산해야 하는 반면, 후자는 1회의 곱셈만으로 끝난다. 계산 속도를 중요하게 생각하여 제곱 계산을 수행할 기회가 많기 때문에, 멱 계산에서 제곱으로 대체될 수 있는 부분은 가능한 한 단순한 곱셈을 하도록 구현하는 것이 바람직하다. 이러한 이유로 계산 속도의 최적화를 위해 멱함수 자체의 구현이나 멱함수를 포함하는 프로그램의 컴파일러 구현에서 "수 의 지수 2의 멱승"은 "수 와 자신의 곱셈"으로 대체되는 경우가 많다.

7. 한국의 관점

제곱은 한국의 교육, 과학 기술, 산업 등 다양한 분야에서 중요한 개념으로 다루어진다. 한국의 수학 교육과정에서는 제곱근, 피타고라스 정리, 이차방정식 등 제곱과 관련된 개념을 체계적으로 학습하며, 이는 과학적 사고력 함양의 기초가 된다. 한국의 이공계 분야에서는 제곱 연산이 물리 현상 모델링, 데이터 분석, 공학적 설계 등 다양한 분야에 응용된다.

참조

_[1] 웹사이트 Absolute Square https://mathworld.wo[...]
_[2] 서적 改訂増補和英英和語林集成 http://www.meijigaku[...] 丸善商社書店

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