제곱평균제곱근

3. 여러 파형에서의 RMS

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주기 함수의 경우 일반적으로 적분 구간을 주기의 정수배로 하여 계산한다. 예를 들어 $x(t)\; =\; \backslash sin(\backslash omega\; t)$에 대해서는 주기를 $\backslash tau\; =\; \backslash frac\{2\backslash pi\}\{\backslash omega\}$로 나타내고, 다음과 같이 계산한다.

:$\backslash operatorname\{RMS\}[\backslash sin\; \backslash omega\; t]$

= \sqrt{\frac{1}{\tau} \int_0^{\tau} \sin^2 \omega t \, dt}

= \sqrt{\frac{1}{\tau} \int_0^{\tau} \frac{1-\cos 2\omega t}{2} \, dt}

= \frac{1}{\sqrt{2}}

마찬가지로 삼각함수의 합에 대해 적절한 주기 $\backslash tau$를 사용하면, 다음과 같이 된다.

:$\backslash begin\{align\}$

\operatorname{RMS}\left[\sum_n c_n \sin \omega_n t \right]

&= \sqrt{\frac{1}{\tau} \int_0^{\tau} \left(\sum_n c_n \sin \omega_n t \right)^2\, dt} \\

&= \sqrt{\frac{1}{\tau} \sum_{m,n} \int_0^{\tau}

c_m c_n \sin(\omega_m t)\sin(\omega_n t)\, dt} \\

&= \sqrt {\frac{1}{\tau} \sum_{m,n} \int_0^{\tau}

c_m c_n \frac{\cos(\omega_m t - \omega_n t) - \cos(\omega_m t + \omega_n t)}{2} \, dt} \\

&= \sqrt{\frac{1}{2} \sum_n (c_n)^2}

\end{align}

비대각 성분은 적분하면 0이 되므로(직교), 대각 성분의 적분만 남는다.

서로 직교하는 파형들의 조합으로 만들어진 파형의 RMS 값은 각 파형의 RMS 값의 제곱의 합의 제곱근으로 계산된다.

:$\backslash text\{RMS\}\_\backslash text\{Total\}\; =\backslash sqrt\{\backslash text\{RMS\}\_1^2\; +\; \backslash text\{RMS\}\_2^2\; +\; \backslash cdots\; +\; \backslash text\{RMS\}\_n^2\}$

완벽하게 양의 상관관계가 있거나 서로 "위상이 일치하는" 파형의 경우, RMS 값이 직접적으로 합산된다.

3. 1. 사인파

여기서,

• ''y''는 변위,
• ''t''는 시간,
• ''f''는 주파수,
• ''A''는 진폭(피크 값)이다.

3. 2. 구형파

3. 3. 삼각파

3. 4. 톱니파

3. 5. 펄스파

3. 6. 파형 조합

4. 응용

전기공학에서는 전압과 전류의 이차평균을 써서 평균 전력을 구할 수 있는데, 이 때 각 이차평균값을 전압과 전류의 실효값이라 한다.^[6] 교류 전류의 실효값(RMS)은 저항 부하에서 같은 전력을 소모하는 직류 전류의 값과 같다.^[1]

RMS 전압과 RMS 전류를 곱하면 평균 전력을 구할 수 있다.

대한민국에서는 가정용 교류 전압의 RMS 값으로 220V를 사용하며, 이는 안정적인 전력 공급의 기반이 된다.

파형 조합의 실효값의 특수한 경우는 다음과 같다.

:$\backslash text\{RMS\}\_\backslash text\{AC+DC\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash text\{V\}\_\backslash text\{DC\}^2\; +\; \backslash text\{RMS\}\_\backslash text\{AC\}^2\}$

여기서 $\backslash text\{V\}\_\backslash text\{DC\}$는 신호의 직류(또는 평균) 성분을 나타내고, $\backslash text\{RMS\}\_\backslash text\{AC\}$는 신호의 교류 성분을 나타낸다.

전기공학에서는 시간에 따라 변하는 전압 또는 전류의 평균 전력을 계산하는 데 RMS 값이 사용된다. 전기 기술자는 종종 저항 R에 의해 소산되는 전력 P를 알아야 한다. 저항에 일정한 전류 I가 흐를 때 전력은 다음과 같이 주어진다.

:P = I^2 R

하지만 전류가 시간에 따라 변하는 함수 I(t)인 경우, 이 공식을 확장해야 한다. 주기적 함수의 경우, 시간에 따라 소산되는 평균 전력을 계산할 수 있다.

:P_Avg = ( I(t)^2R )_Avg = ( I(t)^2 )_Avg R = I_RMS^2R

따라서 함수 I(t)의 RMS 값 I_RMS는 전류 I(t)의 시간 평균 전력 소산과 동일한 전력 소산을 생성하는 일정한 전류이다. 평균 전력은 시간에 따라 변하는 전압 V(t)의 경우에도 동일한 방법으로 찾을 수 있으며, RMS 값은 V_RMS이다.

:P_Avg = V_RMS^2 / R

이 방정식은 사인파 또는 톱니파 형태와 같은 모든 주기적 파형에 사용할 수 있으므로 지정된 부하에 전달되는 평균 전력을 계산할 수 있다.

두 방정식의 제곱근을 취하고 서로 곱하면 전력은 다음과 같이 계산된다.

:P_Avg = V_RMS I_RMS

두 유도 모두 전압과 전류가 비례한다는 것(즉, 부하 R은 순수 저항성임)에 의존한다. 반응성 부하는 교류 전력 항목에서 설명한다.

일반적인 교류의 경우, RMS 값은 다음과 같이 계산할 수 있다. I_p를 피크 전류로 정의하면 다음과 같다.

:I_RMS = √(1 / (T₂ - T₁) * ∫(T₁에서 T₂까지) [I_p sin(ωt)]^2 dt)

여기서 t는 시간이고 ω는 각속도(ω = 2π/T, T는 파의 주기)이다. 삼각 항등식을 사용하여 계산하면 다음과 같다.

:I_RMS = I_p / √2

비슷한 분석을 통해 사인파 전압에 대한 유사한 방정식을 얻을 수 있다.

:V_RMS = V_p / √2

여기서 I_P는 피크 전류를 나타내고 V_P는 피크 전압을 나타낸다.

전력 계산에 유용하기 때문에 전원 콘센트의 전압은 거의 항상 RMS 값으로 표시된다. 예를 들어 미국의 주전원 전압의 피크 값은 약 120 × √2, 즉 약 170볼트이다.

"RMS 전력"이라는 용어는 때때로 "평균 전력"의 동의어로 사용되기도 한다. 오디오 전력 측정 및 그 단점에 대한 논의는 오디오 전력을 참조한다.

물리학에서 기체 분자의 평균제곱근 속력은 평균 제곱 속력의 제곱근으로 정의된다. 이상 기체의 평균제곱근 속력은 다음 방정식을 사용하여 계산된다.

:$v\_\backslash text\{RMS\}\; =\; \backslash sqrt\{3RT\; \backslash over\; M\}$

여기서 ''R''은 기체 상수(8.314 J/(mol·K))를 나타내고, ''T''는 켈빈 단위의 기체 온도이며, ''M''은 몰당 킬로그램 단위의 기체의 몰 질량이다. 물리학에서 속력은 속도의 스칼라 크기로 정의된다. 정지해 있는 기체의 경우, 분자의 평균 속도는 분자의 평균 속도가 0이라도 수천 km/h에 달할 수 있다.

이론적 예측에서 얻은 데이터 집합과 어떤 물리량의 실제 측정에서 얻은 데이터 집합을 비교할 때, 두 데이터 집합의 쌍별 차이의 제곱평균제곱근(RMS)은 오차가 평균적으로 0에서 얼마나 떨어져 있는지를 측정하는 데 사용될 수 있다. 쌍별 차이의 절댓값의 평균은 차이의 변동성을 측정하는 데 유용한 척도가 될 수 있다. 그러나 차이의 제곱평균제곱근이 일반적으로 선호되는 척도인데, 아마도 수학적 관례와 다른 공식과의 호환성 때문일 것이다. 제곱평균제곱근 편차는 측정값과 예측값의 차이를 나타내는 데 사용된다.

4. 1. 전기 공학

4. 1. 1. 전압

4. 1. 2. 전류

4. 1. 3. 평균 전력

4. 2. 속력

4. 3. 오차 분석

5. 다른 통계량과의 관계

표준 편차 $\backslash sigma\_x=(x-\backslash overline\{x\})\_\backslash text\{rms\}$는 모집단 또는 파형 $x$의 산술 평균 $\backslash bar\{x\}$로부터의 RMS 편차이다. 이들은 $x$의 RMS 값과 다음과 같은 관계를 갖는다.^[7]

:$\backslash sigma\_x^2\; =\; \backslash overline\{(x-\backslash overline\{x\})^2\}\; =\; x\_\backslash text\{rms\}^2\; -\; \backslash overline\{x\}^2$.

이로부터 RMS 값은 항상 평균보다 크거나 같다는 것을 알 수 있다. 왜냐하면 RMS는 제곱 편차(오차)를 포함하기 때문이다.

물리학자들은 입력 신호의 평균이 0이라고 가정할 수 있을 때, 즉 주어진 기준선 또는 적합으로부터 신호의 제곱 평균 편차의 제곱근을 나타낼 때, 표준 편차의 동의어로 "제곱 평균 제곱근"이라는 용어를 자주 사용한다.^[8][9] 이것은 전기 기술자들이 신호의 "AC 전용" RMS를 계산하는 데 유용하다. 표준 편차는 0이 아닌 평균에 대한 신호의 변동의 RMS이므로, 직류 성분이 제거된다(즉, 평균 신호가 0이면 RMS(신호) = stdev(신호)).

변량 에 대해 기댓값 이 정해진다면, 그 값의 기댓값으로부터의 편차 의 제곱근평균(RMS, root mean square) 을 구할 수 있다. 이 편차의 제곱근평균은 의 표준편차 }}와 같다.

:$\backslash sigma\_x\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{1\}\{n\}\; \backslash textstyle\backslash sum\backslash limits\_\{i=1\}^n\; \backslash left(x\_i\; -\; \backslash langle\; x\; \backslash rangle\; \backslash right)^2\}$

= \operatorname{RMS}[x-\langle x\rangle]

또한, 제곱편차 }}를 전개하면, 편차의 제곱근평균은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$

\operatorname{RMS}[x-\langle x\rangle]

&= \sqrt{\frac{1}{n} \textstyle\sum\limits_{i=1}^n \left(x_i - \langle x \rangle \right)^2} \\

&= \sqrt{\frac{1}{n} \textstyle\sum\limits_{i=1}^n {x_i}^2 - 2\langle x \rangle \dfrac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_i + \langle x \rangle^2} \\

&= \sqrt{\left(\operatorname{RMS}[x] \right)^2 - \langle x \rangle^2}

\end{align}

단, 마지막에서 기댓값 이 }}의 평균값 }}과 같다는 것을 사용했다.

:$\backslash langle\; x\; \backslash rangle\; =\; \backslash bar\; x\; =\; \backslash frac\{1\}\{n\}\; \backslash textstyle\backslash sum\backslash limits\_\{i=1\}^n\; x\_i$

이때 다음 관계가 성립한다.

:$\backslash left(\backslash operatorname\{RMS\}[x]\; \backslash right)^2\; =\; \{\backslash sigma\_x\}^2\; +\; \backslash langle\; x\; \backslash rangle^2$

기댓값 이 }}의 산술평균 }}과 같은 것은 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어 }}를 의 각 회의 측정값이라고 하면, 그 표본평균 }}은 기댓값 으로부터 어느 정도의 오차를 가진 값이 된다. 실험에서는 참값을 알 수 없으므로, 기댓값 대신 측정값의 표본평균 }}이 사용되고, 표준편차는 측정값의 평균값으로부터의 불편분산의 제곱근으로 추정된다. 불편하지 않은 단순한 표본표준편차는 제곱근평균의 형태로 표현되지만, 불편표본표준편차 }}는 그것과 다르다.

:$\backslash operatorname\{RMS\}[x-\backslash bar\{x\}]\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{1\}\{n\}\; \backslash textstyle\backslash sum\backslash limits\_\{i=1\}^n\; (x-\backslash bar\{x\})^2\}\; \backslash neq\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{1\}\{n-1\}\; \backslash textstyle\backslash sum\backslash limits\_\{i=1\}^n\; (x-\backslash bar\{x\})^2\}\; =\; u\_x$

단순한 표본표준편차에서는 분산의 중심이 기댓값이 아니라 표본평균이기 때문에, 이것은 참값으로부터의 오차를 평가하지 않는다.

이것들이 거의 동등하다고 말할 수 있는 것은, 측정 정밀도에 비해 충분히 많은 횟수 측정을 했을 경우뿐이다.

5. 1. 표준 편차

5. 2. 주파수 영역

참조

_[1] 서적 A Dictionary of Physics (6 ed.) https://www.oxfordre[...] Oxford University Press
_[2] 서적 Calculus Made Easy https://books.google[...] Macmillan International Higher Education 2020-07-05
_[3] 서적 Probability, Statistics and Other Frightening Stuff https://books.google[...] Routledge 2020-07-05
_[4] 학술지 Determining the Effective or RMS Voltage of Various Waveforms without Calculus http://tiij.org/issu[...] 2007-09-01
_[5] 웹사이트 How to Derive the RMS Value of Pulse and Square Waveforms https://masteringele[...] 2015-01-21
_[6] 웹사이트 Make Better AC RMS Measurements with your Digital Multimeter https://literature.c[...] 2019-01-15
_[7] 서적 Digital signal transmission Cambridge University Press
_[8] 백과사전 Root-Mean-Square https://mathworld.wo[...]
_[9] 웹사이트 ROOT, TH1:GetRMS http://root.cern.ch/[...] 2013-07-18