중복도

3. 대수학에서의 중복도

대수학에서 다항식의 근을 다룰 때, '''중복도'''는 특정 근이 다항식의 인수로 몇 번 나타나는지를 나타내는 중요한 개념이다. 어떤 체 $F$의 계수를 갖는 다항식 $p(x)$에 대해, $a\; \backslash in\; F$가 중복도 $k$의 근이라는 것은, $p(x)$가 $(x-a)^k$ 로 나누어 떨어지지만 $(x-a)^\{k+1\}$ 로는 나누어 떨어지지 않음을 의미한다. 다르게 표현하면, $s(a)\; \backslash neq\; 0$인 다항식 $s(x)$가 존재하여 $p(x)\; =\; (x-a)^k\; s(x)$ 로 나타낼 수 있다는 것이다.

중복도가 1인 근($k=1$)을 '''단순근'''(simple root) 또는 '''단근'''이라고 부르며, 중복도가 2 이상인 근($k\; \backslash ge\; 2$)을 '''중근'''(multiple root)이라고 부른다.

예를 들어, 다항식 $p(x)\; =\; x^3\; +\; 2x^2\; -\; 7x\; +\; 4$는 $p(x)\; =\; (x-1)^2(x+4)$로 인수분해할 수 있다. 이 경우, 근 $1$은 중복도 2인 중근이고, 근 $-4$는 중복도 1인 단순근이다. 근의 중복도는 대수학의 기본 정리와 관련하여 다항식의 구조를 이해하는 데 중요한 역할을 한다.

3. 1. 다항식의 근의 중복도

3. 2. 중근 근처에서 다항식 함수의 거동

• 근의 중복도가 홀수이면, 그래프는 해당 근에서 ''x''축을 교차한다. 단순근은 중복도가 1(홀수)이므로 여기에 해당한다.
• 근의 중복도가 짝수이면, 그래프는 해당 근에서 ''x''축에 접하지만 교차하지 않고 튕겨져 나온다(즉, 접점의 양쪽에서 함수값이 같은 부호를 갖는다).

4. 비선형 방정식 시스템의 해의 중복도

$\backslash mathbf\{f\}(\backslash mathbf\{x\})=\backslash mathbf\{0\}$ 형태의 비선형 방정식 시스템 ($m$개의 방정식과 $n$개의 변수)이 해 $\backslash mathbf\{x\}\_*$를 가질 때, 이 해의 중복도는 해 $\backslash mathbf\{x\}\_*$에서 시스템 $\backslash mathbf\{f\}$의 모든 함수 값을 0으로 만드는 미분 함수들의 집합으로 정의되는 Macaulay 쌍대 공간이라는 벡터 공간의 차원으로 정의된다.^[1] 이 Macaulay 쌍대 공간은 해당 해에서 시스템이 가지는 중복도의 구조를 나타낸다.^[2][3]

이는 단일 변수 방정식 $f(x)=0$의 해 $x\_*$의 중복도 개념을 확장한 것이다. 단일 변수의 경우, 중복도 $k$는 $f(x\_*)=f\text{'}(x\_*)\; =\; \backslash cdots\; =\; f^\{(k-1)\}(x\_*)=0$ 이고 $f^\{(k)\}(x\_*)\backslash neq0$ 를 만족하는 정수 $k$로 정의된다. 이는 $x\_*$에서 $f$를 0으로 만드는 미분 함수 $\backslash partial\_j\; =\; \backslash frac\{1\}\{j!\}\backslash frac\{d^j\}\{dx^j\}$ ($j=0,\; \backslash dots,\; k-1$)들이 생성하는 Macaulay 쌍대 공간의 차원이 $k$라는 의미와 같다.

예를 들어, 다음과 같은 방정식 시스템의 해 $\backslash mathbf\{x\}\_*=(0,0)$를 생각해보자.

$\backslash mathbf\{f\}(\backslash mathbf\{x\})=\backslash left[\backslash begin\{array\}\{c\}\; \backslash sin(x\_1)-x\_2+x\_1^2\; \backslash \backslash \; x\_1-\backslash sin(x\_2)+x\_2^2\; \backslash end\{array\}\backslash right]\; =\; \backslash mathbf\{0\}$

이 해 $\backslash mathbf\{x\}\_*=(0,0)$에서의 Macaulay 쌍대 공간은 다음과 같은 미분 함수들로 생성된다.

$\backslash operatorname\{span\}\; \backslash \{\backslash partial\_\{00\},\; \backslash partial\_\{10\}+\backslash partial\_\{01\},\; -\backslash partial\_\{10\}+\backslash partial\_\{20\}+\backslash partial\_\{11\}+\backslash partial\_\{02\}\backslash \}$

여기서 $\backslash partial\_\{ij\}$는 점 $\backslash mathbf\{x\}\_*=(0,0)$에서 함수에 적용되는 미분 함수 $\backslash frac\{1\}\{i!j!\}\backslash frac\{\backslash partial^\{i+j\}\}\{\backslash partial\; x\_1^i\; \backslash ,\; \backslash partial\; x\_2^j\}$를 나타낸다. 이 공간의 차원은 3이므로, 해 $\backslash mathbf\{x\}\_*=(0,0)$의 중복도는 3이다.

만약 해가 고립점이라면, 그 중복도는 항상 유한한 값을 가진다. 또한, 해의 중복도는 섭동 불변성이라는 중요한 성질을 가진다. 이는 복소 공간에서 중복도 $k$를 가진 해에 아주 작은 변화(섭동)를 주면, 그 해 근처에서 $k$개의 단순 해(중복도 1인 해)들의 묶음이 나타난다는 것을 의미한다. 반대로 생각하면, 시스템의 매개변수가 변함에 따라 여러 개의 단순 해가 합쳐져 중복도를 가진 해를 형성할 수도 있다. 다항식으로 이루어진 시스템의 경우, 여기서 정의된 중복도는 대수기하학에서 다루는 교차 중복도와 동일한 값을 가진다.

5. 교차 중복도 (Intersection Multiplicity)

대수기하학에서 대수다양체의 두 부분다양체가 교차할 때, 그 교차는 여러 개의 기약 다양체의 합집합으로 나타낼 수 있다. 이때 교차를 이루는 각 기약 성분에는 교차 중복도(intersection multiplicity)라는 값이 부여된다. 이 값은 해당 성분의 임의의 일반점 근방에서 국소적으로 어떻게 교차가 이루어지는지를 나타내는 국소적인 값이다.^[1] 따라서 교차 중복도를 정의할 때는 일반성을 잃지 않고 두 아핀 다양체의 교차를 고려하는 것으로 충분하다.

구체적으로, 두 아핀 다양체 ''V''₁과 ''V''₂의 교차에서 나타나는 기약 성분 ''W''가 있을 때, ''W''에서의 교차 중복도는 ''W''의 일반점 ''P'' 근처에서 정의된다. 이 중복도는 교차의 좌표환을 특정 소 아이디얼에서 국소화하여 얻는 국소환의 차원으로 계산된다.^[1] 이 국소환은 아르틴 환이며, 기초 체 위에서 유한 차원 벡터 공간을 이룬다.

교차 중복도의 개념은 베주 정리와 그 일반화를 엄밀하게 설명하는 데 필수적이다.^[1] 또한, 이 개념은 다항식의 근이 갖는 중복도 개념을 대수기하학적으로 일반화한 것으로 볼 수 있다.^[1]

장피에르 세르가 그의 저서 Algèbre locale|알제브르 로칼^프랑스어에서 제시한 이 정의는 교차의 집합론적인 성분(고립된 성분)에 대해서는 잘 작동하지만, 내재 성분(embedded component)의 경우에는 직접 적용하기 어렵다. 이러한 내재적인 경우를 포함하여 더 일반적으로 교차를 다루기 위한 이론은 교차 이론에서 자세히 연구되었다.^[1]

5. 1. 교차 중복도의 정의

5. 2. 다항식의 근의 중복도와의 관계

6. 복소해석학에서의 중복도

복소해석학에서는 함수의 특정 점에서의 성질을 설명하기 위해 중복도 개념을 사용한다. 대표적으로 정칙 함수의 근과 유리형 함수의 영점 및 극점에 대해 중복도를 정의하여 함수의 국소적 거동을 분석한다.^[4]

정칙 함수의 경우, 어떤 점이 근일 때 그 근의 중복도는 함수와 그 도함수들이 그 점에서 0이 되는 정도를 통해 정의된다. 특히 중복도가 1인 근은 단순근이라 한다. 유리형 함수의 경우에는 함수의 테일러 급수를 이용하여 영점 또는 극점의 중복도를 결정할 수 있다.

6. 1. 정칙 함수의 근의 중복도

6. 2. 유리형 함수의 영점과 극점의 중복도

• 만약 ''m'' = ''n'' 이면, 함수 ''f''는 점 ''z''₀에서 0이 아닌 유한한 값을 가진다. 즉, ''z''₀는 ''f''의 영점도 극점도 아니다.
• 만약 ''m'' > ''n'' 이면, 점 ''z''₀는 함수 ''f''의 중복도 ''m'' − ''n''인 영점이다. 이는 분자 ''g''가 분모 ''h''보다 더 빠르게 0에 접근한다는 의미이다.
• 만약 ''m'' < ''n'' 이면, 점 ''z''₀는 함수 ''f''의 중복도 ''n'' − ''m''인 극점이다. 이는 분모 ''h''가 분자 ''g''보다 더 빠르게 0에 접근하여 함수 값이 무한대로 발산한다는 의미이다.

참조

_[1] 서적 Numerically Solving Polynomial Systems with Bertini SIAM 2013
_[2] 논문 Multiple zeros of nonlinear systems 2011
_[3] 서적 The Algebraic Theory of Modular Systems Cambridge Univ. Press 1994, reprint of 1916 original 1916
_[4] 서적 1999