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최대 절댓값 원리

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목차

1. 개요

최대 절댓값 원리는 복소해석학에서 정칙 함수의 절댓값이 극대점을 가질 수 없다는 원리이다. 이 원리에 따르면, 상수 함수가 아닌 정칙 함수 f가 열린 집합 D에서 정의될 때, |f|는 D의 내부에서 최댓값을 가질 수 없다. 이 원리는 유계 영역에서 연속 함수로 확장되며, |f|의 최댓값은 D의 경계에서 나타난다. 최대 절댓값 원리는 개방 사상 정리와 밀접한 관련이 있으며, 코시 적분 공식, 조화 함수, 가우스 평균값 정리 등을 사용하여 증명할 수 있다. 이 원리는 대수학의 기본 정리, 슈바르츠 보조정리 등 다양한 복소해석학의 정리들을 증명하는 데 사용되며, 열 방정식의 물리적 해석과도 관련이 있다.

2. 정의

연결 열린집합 D\subseteq\mathbb C에 정의된 정칙 함수 f\colon D\to\mathbb C가 상수 함수가 아니라고 하자. '''최대 절댓값 원리'''에 따르면, |f|는 D에서 극대점을 가지지 않는다.[2] 즉, 임의의 z\in D 및 근방 N\ni z에 대하여, 다음이 성립한다.

:|f(z)|<\sup_{z'\in N\cap D}|f(z')|

이는 비상수 정칙 함수가 열린 집합을 열린 집합으로 사상한다는 개방 사상 정리의 특별한 경우이다. |f|가 z에서 국소 최댓값을 가지면, z의 충분히 작은 열린 근방의 이미지는 열린 집합이 될 수 없으므로 f는 상수 함수이다.

복소 평면 \mathbb{C}의 연결된 열린 집합 D에서 정의되고 복소수 값을 갖는 정칙 함수 f에 대해, |f(z_0)|\ge |f(z)|가 D의 점 z_0의 어떤 근방에 있는 모든 z에 대해 성립한다면, f는 D에서 상수 함수이다.

2. 1. 유계 영역에서의 최대 절댓값 원리

유계 연결 열린집합 D\subseteq\mathbb C에 정의된 연속 함수 f\colon\operatorname{cl}D\to\mathbb C가 D에서 정칙 함수이며, 상수 함수가 아니라고 하자. 그렇다면, |f|의 모든 최댓값은 D의 경계점에 존재한다.[2] 즉, 임의의 z\in D에 대하여, 다음이 성립한다.

:|f(z)|<\sup_{z'\in\partial D}|f(z')|

이는 경계점이 아닌 최댓값은 D에서의 극대점이기 때문이다.

D가 \mathbb{C}의 유계이고, 비어있지 않으며, 연결된 열린 부분집합이라고 가정하고, \overline{D}를 D의 폐포라고 하자. f \colon \overline{D} \to \mathbb{C}가 D에서 정칙인 연속 함수라고 가정하면, |f(z)|는 D의 경계의 어떤 점에서 최댓값을 갖는다.

이는 다음과 같이 유도된다. \overline{D}가 콤팩트하고 비어있지 않으므로, 연속 함수 |f(z)|는 \overline{D}의 어떤 점 z_0에서 최댓값을 갖는다. 만약 z_0가 경계에 있지 않다면, 최대 절댓값 원리에 의해 f는 상수이므로, |f(z)|는 경계의 임의의 점에서도 같은 최댓값을 갖는다.

복소 함수 '''f'''('''z''')가 (열린) 영역 ''D''에서 정칙이고, 상수 함수가 아니라면, ''D''에서 |''f''('''z''')|가 최댓값을 가질 수 없다.

2. 2. 최솟값 원리 (Minimum Modulus Principle)

연결된 열린 집합 D의 정칙함수 f에 대해, D 내의 어떤 점 z_0의 근방 내의 모든 z에 대해 다음이 성립한다면,

:0 < |f(z_0)| \le |f(z)|

그러면 f는 D에서 상수이다.

증명: 1/f에 최대 절댓값 원리를 적용한다.

3. 증명

최대 절댓값 원리는 여러 방법으로 증명할 수 있다.

귀류법한국어을 사용하여 증명할 수 있다. 복소 함수 '''f'''('''z''')가 (열린) 영역 ''D''에서 정칙이고, 상수 함수가 아니라고 가정하자. ''D'' 내의 어떤 점 ''z''0에서 |''f''(''z'')|가 최댓값을 갖는다고 가정하자. ''r''을 양의 실수로 하고, ''Dr'' = {''z'' : | ''z'' - ''z''0 | < ''r'' }, ''Cr'' = {''z'' : | ''z'' - ''z''0 | = ''r'' }로 한다. 즉, ''Cr''는 ''z''0를 중심으로 하는 반지름 ''r''의 원이고, ''Dr''는 그 내부 영역이다. ''r'' 값을 적절히 작게 선택하면, ''Dr'' + ''Cr'' ⊂ ''D''로 만들 수 있다.

코시 적분 공식에 의해 ''Dr'' 내의 임의의 점 ''z''에서 다음이 성립한다.[3]

:f(z)=\frac{1}{2{\pi}i}\oint_{C_r}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}d \zeta

''Cr'' 상에서의 |''f''(''z'')|의 최댓값을 ''M''으로 하면, 다음이 성립한다.

:

\left|f(z_0)\right|

= \left|\frac{1}{2{\pi}i}\oint_{C_r}\frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)}d\zeta\right|



:

\le \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{\left|f(\zeta)\right|}{r}\,r d\theta

= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\left|f(\zeta)\right| d\theta

\le \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} M d\theta = M



가정에 의해 ''M'' ≤ |''f''(''z''0)|이므로, 다음이 성립한다.

:

\left|f(z_0)\right|

= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\left|f(\zeta)\right| d\theta

= M



즉, ''Cr'' 상의 임의의 점 ''ζ''에서 |''f''(''z''0)| = |''f''(''ζ'')|가 성립하게 된다. ''r''을 임의로 작게 해서 생각해도 같은 논법이 성립하므로, ''Dr'' + ''Cr''의 임의의 점 ''z''에서 |''f''(''z''0)| = |''f''(''z'')|가 성립하게 된다.

|''f''(''z''0)| = 0이면, ''f''(''z'')는 ''Dr''에서 항등적으로 0이다. |''f''(''z''0)|가 0이 아니면 ''Dr'' 내의 임의의 점에서 |''f''(''z'')|도 0이 아니므로 다음을 생각할 수 있다.

:

h(z) = \log f(z) = \log |f(z)| + i \arg f(z)



''Dr''에 포함되는 어떤 영역 ''V''를 적절히 선택하면, ''V'' 내에서 ''h''(''z'')를 일가 정칙으로 만들 수 있다.

''V'' 내에서 |''f''(''z'')|는 상수이므로 ''h''(''z'')의 실수부 log |''f''(''z'')|도 상수이다. 이 때문에 코시-리만 방정식으로부터 ''V'' 내에서 다음이 성립한다.

:\frac{dh(z)}{dz} = 0

따라서 ''h''(''z'')의 허수부 arg ''f'' (''z'')도 ''V'' 내에서 상수가 된다. 따라서 ''V'' 내에서 ''f''(''z'')는 상수이다. 일치 정리에 의해, 결국 ''D'' 전체에서 ''f''(''z'')는 상수가 되어, 정리의 가정에 반한다.

이 외에 열린 사상 정리, 조화 함수, 가우스 평균값 정리를 이용한 증명 방법이 있다.

3. 1. 열린 사상 정리를 통한 증명

열린 사상 정리에 의하여,[2] 임의의 `z∈D` 및 근방 `N∋z`에 대하여, `f(N∩D)`는 열린집합이므로, `f(z)`는 `f(N∩D)`의 내부점이다. 따라서, `|f(z')|>|f(z)|`인 `z'∈N∩D`가 존재한다. 즉, `|f(z)|`는 `N∩D`에서의 최댓값이 아니다.

복소 평면 `ℂ`의 연결된 열린 집합 `D`에서 정의되고 복소수 값을 갖는 정칙 함수를 `f`라고 하자. 만약 `z_0`가 `D`의 점이고,

:`|f(z_0)|≥|f(z)|`

가 `z_0`의 어떤 근방에 있는 모든 `z`에 대해 성립한다면, `f`는 `D`에서 상수 함수이다.

이 명제는 비상수 정칙 함수가 열린 집합을 열린 집합으로 사상한다는 개방 사상 정리의 특별한 경우로 볼 수 있다. 즉, `|f|`가 `z`에서 국소 최댓값을 가지면, `z`의 충분히 작은 열린 근방의 이미지는 열린 집합이 될 수 없으므로 `f`는 상수 함수이다.

3. 2. 코시 적분 공식을 통한 증명

귀류법을 사용하여, z\in D가 근방 N\ni z에서 |f|의 최대점이라고 가정하자.[3] \{w\in\mathbb C\colon|w-z|\le r\}\subseteq N인 r>0을 잡자. 코시 적분 공식에 의하여

:f(z)=\frac 1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z+re^{i\theta})\mathrm d\theta

이다. 만약

:|f(z)|>|f(z+re^{i\theta})|

인 \theta\in[0,2\pi)가 존재한다면,

:|f(z)|\le\frac 1{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(z+re^{i\theta})|\mathrm d\theta

에 모순이므로, 임의의 \theta\in[0,2\pi)에 대하여,

:|f(z)|=|f(z+re^{i\theta})|

이다. 따라서 f는 상수 함수이며, 이는 모순이다.

3. 3. 조화 함수를 이용한 증명

복소 평면 \(\mathbb{C}\)의 연결된 열린 집합 \(D\)에서 정의된 정칙 함수 \(f\)를 생각하자. \(z_0\)가 \(D\)의 점이고, \(z_0\)의 어떤 근방에 있는 모든 \(z\)에 대해 \(|f(z_0)| \ge |f(z)|\)가 성립한다고 가정한다.

다음 등식을 이용한다.

:\(\log f(z) = \ln |f(z)| + i\arg f(z)\)

복소 자연로그의 성질에 의해 \(\ln |f(z)|\)는 조화 함수이다. \(z_0\)가 이 함수의 국소 최댓값이므로, 최대 원리에 따라 \(|f(z)|\)는 상수 함수이다. 코시-리만 방정식을 사용하면 \(f'(z) = 0\)임을 보일 수 있고, 따라서 \(f(z)\)도 상수 함수이다.

3. 4. 가우스 평균값 정리를 이용한 증명

가우스 평균값 정리를 사용하면, 겹치는 열린 원반 내의 모든 점이 최댓값과 동일한 값을 갖도록 "강제"할 수 있다. 원반은 중심이 f(z)가 최대화된 값에서 정의 영역 내의 다른 모든 점까지의 다각형 경로를 형성하도록 배치되며, 정의 영역 내에 완전히 포함된다. 따라서 최댓값의 존재는 정의 영역 내의 모든 값이 동일함을 의미하며, 따라서 f(z)는 상수 함수이다.

4. 따름정리 및 응용

최대 절댓값 원리는 다음과 같은 명제들을 증명하는 데 쓰인다.[1]

5. 물리적 해석

열 방정식에서 비롯된 물리적 해석에 따르면, \log | f(z) | 는 조화 함수이므로, 이는 영역 D에서 열 흐름의 정상 상태를 나타낸다. 만약 엄격한 최댓값이 D의 내부에서 얻어진다고 가정하면, 이 최댓값에서의 열은 주변 점들로 분산될 것이고, 이는 이 값이 시스템의 정상 상태를 나타낸다는 가정과 모순된다.

참조

[1] 서적 Functions of One Complex Variable I Springer Science+Business Media, Inc. 1978
[2] 서적 复变函数简明教程 北京大学出版社 2006-02
[3] 서적 Complex Analysis https://archive.org/[...] McGraw-Hill 1979


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