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칸토어 교점 정리

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목차

1. 개요

칸토어 교점 정리는 위상 공간에서 콤팩트 집합, 닫힌 집합 또는 완비 거리 공간의 집합들의 교집합에 대한 정리이다. 이 정리는 콤팩트 닫힌 집합들의 하향 집합의 교집합이 공집합일 조건, 유한 교차성을 만족하는 닫힌 집합족의 교집합, 그리고 완비 거리 공간에서 지름이 0으로 수렴하는 닫힌 중첩 집합의 교집합에 대한 내용을 포함한다. 특히, 실해석학에서는 닫힌 유계 집합의 감소 수열에 대한 칸토어 교점 정리가 성립하며, 칸토어 집합이 비어 있지 않음을 증명하는 데 사용된다. 이 정리는 게오르크 칸토어가 증명했다.

2. 정의

위상 공간 X 속의 콤팩트 닫힌집합들로 구성된 하향 집합 \mathcal K가 주어졌다고 하자. '''칸토어 교점 정리'''에 따르면, \textstyle\bigcap\mathcal K=\varnothing인 것은 \mathcal K\ni\varnothing인 것과 동치이다.[1]

2. 1. 하강 열 형태

위상 공간 X 안의 콤팩트 닫힌집합들의 하강 열

:K_0 \supseteq K_1 \supseteq K_2 \supseteq \cdots

은 하향 집합을 이룬다. 따라서 칸토어 교점 정리에 따라, 만약 모든 K_i가 공집합이 아니라면 이들의 교집합 \textstyle\bigcap_{i=0}^\infty K_i 역시 공집합이 아니다.[1] 만약 X가 하우스도르프 공간이라면 모든 콤팩트 집합은 닫힌집합이므로, '닫힌집합'이라는 조건을 생략할 수 있다.

구체적으로, 다음과 같은 정리가 성립한다.

'''정리.''' 위상 공간 S가 주어졌다고 하자. S의 비어 있지 않은 닫힌 콤팩트 부분 집합들의 감소하는 열 (C_k)_{k \geq 0}이 다음 조건을 만족한다고 가정하자.

:C_0 \supset C_1 \supset \cdots \supset C_n \supset C_{n+1} \supset \cdots

그러면 이들의 교집합은 공집합이 아니다.

:\bigcap_{k = 0}^\infty C_k \neq \emptyset

만약 S가 하우스도르프 공간이라면, 모든 콤팩트 부분 집합은 닫힌 집합이므로 '닫힌' 조건을 생략할 수 있다.

'''증명.''' 귀류법을 사용하여 교집합 {\textstyle \bigcap_{k = 0}^\infty C_k}이 공집합(\emptyset)이라고 가정하자. 각 k \ge 0에 대해 U_k = C_0 \setminus C_k라고 정의하자. 그러면 {\textstyle \bigcup_{k = 0}^\infty U_k} = C_0 \setminus {\textstyle \bigcap_{k = 0}^\infty C_k}이다. 가정에 의해 교집합이 공집합이므로, {\textstyle \bigcup_{k = 0}^\infty U_k} = C_0가 성립한다.

각각의 C_k는 S에서 닫힌 집합이고, 따라서 C_0 안에서도 상대적으로 닫힌 집합이다. 그러므로 U_k는 C_k의 C_0 안에서의 여집합이므로, C_0 안에서 열린 집합이다. 즉, \{U_k \mid k \geq 0\}는 C_0의 열린 덮개이다.

C_0는 콤팩트 집합이므로, 이 열린 덮개는 유한 부분 덮개 \{U_{k_1}, U_{k_2}, \ldots, U_{k_m}\}를 가진다. 여기서 M = \max\{k_1, k_2, \dots, k_m\}라고 하자. 집합 C_k들이 C_0 \supset C_1 \supset \cdots 와 같이 포함 관계를 가지므로, 여집합들 사이에는 U_1 \subset U_2 \subset \cdots 와 같은 포함 관계가 성립한다. 따라서 유한 부분 덮개의 합집합은 {\textstyle \bigcup_{i = 1}^m U_{k_i}} = U_M이 된다.

결과적으로 C_0 = {\textstyle \bigcup_{i = 1}^m U_{k_i}} = U_M 이다. 그런데 U_M = C_0 \setminus C_M 이므로, 이는 C_M = \emptyset 임을 의미한다. 이는 처음 가정에서 모든 C_k가 비어 있지 않은 집합이라는 조건과 모순된다. 따라서 초기 가정인 교집합이 공집합이라는 것이 거짓이며, 교집합은 공집합이 아니다. ∎

2. 2. 유한 교차성 형태

약간 다른 형태로, 집합 X 속의 부분 집합들의 족 \mathcal S\subseteq\mathcal P(X)이 다음 조건을 만족시킨다면 유한 교차성(finite intersection property|eng)을 만족시킨다고 한다.

  • 임의의 유한 부분 집합 S_1,S_2,\dots,S_n\in\mathcal S에 대하여, S_1\cap S_2\cap\cdots\cap S_n\ne\varnothing


위상 공간 X에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • X는 콤팩트 공간이다.
  • X 속의 임의의 닫힌집합들의 족 \mathcal S가 유한 교차성을 만족시킨다면, \textstyle\bigcap\mathcal S\ne\varnothing이다.


'''정리.''' S를 위상 공간이라고 하자. S의 비어 있지 않은 닫힌 콤팩트 집합의 감소하는 중첩 수열은 비어 있지 않은 교집합을 가진다. 즉, (C_k)_{k \geq 0}가 다음을 만족하는 S의 비어 있지 않은 닫힌 콤팩트 부분 집합의 수열이라고 가정하면

:C_0 \supset C_1 \supset \cdots \supset C_n \supset C_{n+1} \supset \cdots,

다음이 성립한다.

:\bigcap_{k = 0}^\infty C_k \neq \emptyset.

S의 모든 콤팩트 집합이 닫힌집합인 경우, 예를 들어 S가 하우스도르프 공간인 경우, 닫힘 조건을 생략할 수 있다.

'''증명.''' 귀류법에 의해 {\textstyle \bigcap_{k = 0}^\infty C_k}=\emptyset이라고 가정하자. 각 k에 대해 U_k=C_0\setminus C_k라고 하자. {\textstyle \bigcup_{k = 0}^\infty U_k}=C_0\setminus {\textstyle \bigcap_{k = 0}^\infty C_k}이고 {\textstyle \bigcap_{k = 0}^\infty C_k}=\emptyset이므로, {\textstyle \bigcup_{k = 0}^\infty U_k}=C_0이다. C_k는 S에 대해 닫혀 있으며 따라서 C_0에 대해서도 닫혀 있으므로, U_k, 즉 C_0에서의 집합 여집합은 C_0에 대해 열려 있다.

C_0\subset S가 콤팩트이고 \{U_k \vert k \geq 0\}가 C_0의 열린 덮개이므로 유한 부분 덮개 \{U_{k_1}, U_{k_2}, \ldots, U_{k_m}\}를 추출할 수 있다. M=\max_{1\leq i\leq m} {k_i}라고 하자. 그러면 {\textstyle \bigcup_{i = 1}^m U_{k_i}}=U_M인데, 이는 (C_k)_{k \geq 0}가 감소하는 수열이라는 가정에 의해 U_1\subset U_2\subset\cdots\subset U_n\subset U_{n+1}\cdots이기 때문이다. 결과적으로 C_0={\textstyle \bigcup_{i = 1}^m U_{k_i}} = U_M이다. 그러나 그러면 C_M=C_0\setminus U_M=\emptyset이 되어 C_M이 비어 있지 않다는 가정에 모순이다.

3. 차분한 공간

호프만-미슬러브 정리로부터, 칸토어 교점 정리의 차분한 공간 형태를 유도할 수 있다. 차분한 공간 X 속에서, 콤팩트 포화 집합들로 구성된 하향 집합 \mathcal K가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.[2][3]


  • \textstyle\bigcap\mathcal K 역시 콤팩트 포화 집합이다.
  • 만약 U\subseteq X가 열린집합이며, \textstyle\bigcap\mathcal K\subseteq U라면, K\subseteq U인 K\in\mathcal K가 존재한다.
  • 만약 \textstyle\bigcap\mathcal K=\varnothing라면, \mathcal K\ni\varnothing이다.


T1 공간의 모든 부분 집합은 포화 집합이다. 따라서, 차분한 T1 공간의 경우 포화 집합 조건을 생략하여도 좋다.

4. 실수 공간에서의 칸토어 교점 정리

실해석학에서 칸토어 교점 정리는 실수 집합 \mathbb{R}의 부분 집합에 대해 특별한 형태로 적용된다. 일반적인 위상 공간에서의 정리가 '닫힌 유한 집합'의 수열을 다루는 것과 달리, 실수 공간에서는 집합의 '유한성' 조건 대신 '유계성' 조건이 사용된다.

구체적으로, 이 정리는 비어 있지 않고, 닫혀 있으며 유계인 \mathbb{R}의 부분 집합들로 이루어진 감소하는 중첩 수열 (C_k)_{k \geq 0}은 항상 비어 있지 않은 교집합을 갖는다는 내용을 담고 있다. 만약 수열 (C_k)_{k \geq 0}가 다음 조건을 만족한다고 가정하면,

:C_0 \supset C_1 \supset \cdots \supset C_n \supset C_{n+1} \supset \cdots,

여기서 각 C_k는 \mathbb{R}의 비어 있지 않은, 닫혀 있고 유계인 부분 집합이다. 그러면 다음 결론이 성립한다.

:\bigcap_{k = 0}^\infty C_k \neq \emptyset.

4. 1. 일반화

실해석학에서 칸토어 교점 정리는 실수 집합 \mathbb{R}의 폐집합이면서 유계 집합인 부분 집합들에 대해 중요한 결과를 제공한다. 이 정리에 따르면, 비어 있지 않고, 닫혀 있으며 유계인 \mathbb{R}의 부분 집합들로 이루어진 감소하는 중첩 수열 (C_k)_{k \geq 0}은 항상 비어 있지 않은 교집합을 갖는다.

이 내용은 하이네-보렐 정리를 통해 일반적인 위상수학적 명제로부터 유도될 수 있다. 하이네-보렐 정리는 실수의 부분 집합이 콤팩트할 필요충분조건은 그 집합이 닫혀 있고 유계인 것이라고 말한다. 그러나 칸토어 교점 정리는 종종 하이네-보렐 정리를 증명하는 데 사용되는 보조 정리이므로, 별도의 증명이 필요하다.

칸토어 교점 정리에서 '폐집합'과 '유계' 조건은 필수적이다. 예를 들어, 각 C_k를 폐구간 [0, 1/k]으로 정의하면, 이 집합들은 닫혀 있고 유계이며 감소하는 중첩 수열을 이룬다. 이들의 교집합은 \bigcap_{k=1}^\infty [0, 1/k] = \{0\}으로, 비어 있지 않다. 반면, 열린 구간 수열 C_k = (0, 1/k) (유계이지만 열린 집합)이나 닫힌 구간 수열 C_k = [k, \infty) (닫혀 있지만 유계가 아님)는 모두 교집합이 공집합 \emptyset이 된다. 이 예시들은 모두 집합들이 적절히 중첩(properly nested)된 경우이다.

칸토어 교점 정리는 실수 n개로 이루어진 벡터 공간인 \mathbf{R}^n으로 일반화될 수 있다. 즉, \mathbf{R}^n의 비어 있지 않고, 닫혀 있으며 유계인 부분 집합들의 감소하는 중첩 수열은 비어 있지 않은 교집합을 갖는다.

하지만 이 정리는 임의의 거리 공간으로 일반화되지는 않는다. 예를 들어, 유리수의 공간 \mathbb{Q}에서 집합 C_k = [\sqrt{2}, \sqrt{2}+1/k] \cap \mathbb{Q}를 생각해보자. 각 C_k는 유리수 공간 내에서 닫혀 있고 유계이지만, 이들의 교집합은 공집합이다. 왜냐하면 교집합에 속해야 할 유일한 실수인 \sqrt{2}가 유리수가 아니기 때문이다. 이는 유리수 집합 \mathbb{Q}가 완비가 아니며 콤팩트하지 않기 때문에 발생하는 현상으로, 칸토어 교점 정리의 일반적인 위상수학적 형태나 완비 거리 공간에서의 변형과는 모순되지 않는다.

칸토어 교점 정리의 간단한 따름 정리 중 하나는 칸토어 집합이 비어 있지 않다는 것이다. 칸토어 집합은 [0, 1] 구간에서 시작하여 각 단계에서 가운데 1/3을 제거하는 방식으로 만들어지는 점들의 집합으로, 각 단계의 집합은 유한 개의 서로소인 폐구간들의 합집합으로 표현된다. 이 집합들은 비어 있지 않고, 닫혀 있으며 유계인 감소하는 중첩 수열을 이루므로, 칸토어 교점 정리에 의해 그 교집합인 칸토어 집합은 비어 있지 않다. 실제로 칸토어 집합은 비가산 무한 개의 점을 포함한다.

'''정리.''' ''(C_k)_{k \geq 0}를 다음 조건을 만족하는 \mathbb{R}의 비어 있지 않고, 닫혀 있으며 유계인 부분 집합들의 수열이라고 하자.''

:C_0 \supset C_1 \supset \cdots C_n \supset C_{n+1} \cdots.

''그러면,''

:\bigcap_{k = 0}^\infty C_k \neq \emptyset.

''증명.'' 각 집합 C_k는 비어 있지 않고, 닫혀 있으며 아래로 유계이므로 최소 상계 성질에 의해 최소 원소 x_k = \inf C_k를 갖는다 (그리고 C_k가 닫혀 있으므로 x_k \in C_k이다). 모든 k에 대해 C_{k+1} \subset C_k이므로, x_{k+1} \in C_{k+1} \subset C_k이다. 따라서 x_k는 C_k의 하계이므로 x_k \le x_{k+1}이다. 즉, 수열 (x_k)_{k \geq 0}는 단조 증가 수열이다. 또한, 모든 k에 대해 x_k \in C_k \subset C_0이므로, 수열 (x_k)는 C_0에 포함되고, C_0가 유계이므로 위로 유계이다. 단조 수렴 정리에 의해, 이 수열은 어떤 실수 x로 수렴한다:

:x = \lim_{k\to \infty} x_k.

이제 임의의 고정된 k에 대해, 모든 j \geq k에 대해 x_j \in C_j \subset C_k이다. 즉, 수열 (x_j)_{j \geq k}는 C_k에 포함된다. C_k는 닫힌 집합이므로, 그 수열의 극한인 x도 C_k에 속해야 한다 (x \in C_k). k는 임의로 선택되었으므로, x는 모든 C_k에 속한다. 따라서 x는 교집합 {\textstyle \bigcap_{k = 0}^\infty C_k}의 원소이며, 이 교집합은 비어 있지 않다. ∎

5. 완비 거리 공간

완비 거리 공간에서 칸토어 교점 정리의 다음과 같은 변형이 성립한다.

'''정리.''' ''X가 완비 거리 공간이고, (C_k)_{k \geq 1}이 지름이 0으로 수렴하는, 공집합이 아닌 닫힌 중첩 집합의 수열이라고 하자.''

:\lim_{k\to\infty} \operatorname{diam}(C_k) = 0,

''여기서 \operatorname{diam}(C_k)는 다음과 같이 정의된다.''

:\operatorname{diam}(C_k) = \sup\{d(x,y) \mid x,y\in C_k\}.

''그러면 C_k의 교집합은 정확히 한 점을 포함한다.''

:\bigcap_{k=1}^\infty C_k = \{x\}

''어떤 x \in X에 대해.''

''증명 (개요).'' 지름이 0으로 수렴하므로, C_k의 교집합의 지름은 0이며, 따라서 공집합이거나 단일 점으로 구성된다. 따라서 공집합이 아님을 보이는 것으로 충분하다. 각 k에 대해 x_k\in C_k를 선택한다. C_k의 지름이 0으로 수렴하고 C_k가 중첩되므로, (x_k)는 코시 수열을 이룬다. 거리 공간 X가 완비이므로 이 코시 수열은 어떤 점 x로 수렴한다. 각 C_k는 닫혀 있으며, x는 C_k의 수열의 극한이므로 x는 C_k에 속해야 한다. 이것은 모든 k에 대해 참이며, 따라서 C_k의 교집합은 x를 포함해야 한다. ∎

이 정리의 역도 참이다: X가 지름이 0으로 수렴하는 공집합이 아닌 닫힌 중첩 집합의 임의의 집합의 교집합이 공집합이 아닌 속성을 갖는 거리 공간이면, X는 완비 거리 공간이다. (이것을 증명하기 위해, (x_k)_{k \geq 1}을 X에서 코시 수열이라고 하고, C_k를 이 수열의 꼬리 (x_j)_{j \geq k}의 폐포라고 하자.)

6. 역사

독일의 수학자 게오르크 칸토어가 증명하였다. 칸토어 집합은 이 정리를 사용하여 공집합이 아님을 보일 수 있다.

참조

[1] 서적 Topological dynamical systems: an introduction to the dynamics of continuous mappings https://web.archive.[...] 2014
[2] 논문 A direct proof of the Hofmann-Mislove theorem 1994
[3] 논문 Nonclassical techniques for models of computation http://topology.nipi[...] 1999


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