칼라비 추측
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1. 개요
칼라비 추측은 복소 콤팩트 다양체에 켈러 계량이 존재한다는 추측으로, 칼라비는 이를 복소 몽주-앙페르 유형의 편미분 방정식으로 변환하여 해의 유일성을 보였다. 야우는 연속성 방법을 사용하여 이 방정식의 해를 구성함으로써 칼라비 추측을 증명했으며, 해의 도함수에 대한 사전 평가를 증명하는 것이 핵심이었다. 칼라비는 해의 유일성을 증명하고, 가능한 해의 집합이 열린 집합임을 보였으며, 야우는 해의 집합이 닫힌 집합임을 증명했다. 칼라비 추측은 켈러-아인슈타인 계량의 존재와 관련이 있으며, 음의 천 류와 0의 천 류에 대해서는 증명되었지만, 양의 천 류에 대해서는 반례가 존재한다.
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2. 칼라비 추측의 증명 개요
칼라비는 칼라비 추측을 복소 몽주-앙페르 방정식 유형의 비선형 편미분 방정식으로 변환하고, 이 방정식이 최대 하나의 해를 갖는다는 것을 보여주어, 요구되는 켈러 계량의 유일성을 확립했다.[1]
야우는 연속성 방법을 사용하여 이 방정식의 해를 구성함으로써 칼라비 추측을 증명했다. 이는 먼저 더 쉬운 방정식을 풀고, 쉬운 방정식의 해가 어려운 방정식의 해로 연속적으로 변형될 수 있음을 보이는 것을 포함한다. 야우의 해에서 가장 어려운 부분은 해의 도함수에 대한 특정 사전 추정을 증명하는 것이다.[1]
2. 1. 칼라비 추측을 미분방정식으로 변환
-보조정리에 의해, 같은 드람 코호몰로지 클래스에 있는 다른 켈러 형식은 다음과 같은 형태를 갖는다.[1]:
여기서 는 위의 어떤 매끄러운 함수이며, 상수를 더하는 것을 제외하고는 유일하다.[1] 따라서 칼라비 추측은 다음 문제와 동등하다.[1]
:를 평균값이 1인 위의 양의 매끄러운 함수라고 하자. 그러면 매끄러운 실수 함수 가 존재한다.[1]
::
:그리고 는 상수를 더하는 것을 제외하고는 유일하다.[1]
이것은 단일 함수 에 대한 복소 몽주-앙페르 방정식 유형의 방정식이다.[1] 최고차항에서 비선형이므로 풀기 특히 어려운 편미분 방정식이다.[1] 일 때 풀기 쉬운데, 이 해이기 때문이다.[1] 연속 방법의 아이디어는 이 방정식을 풀 수 있는 의 집합이 열려 있고 닫혀 있음을 보여줌으로써 모든 에 대해 풀 수 있음을 보이는 것이다.[1] 이 방정식을 풀 수 있는 의 집합이 비어 있지 않고, 모든 의 집합이 연결되어 있으므로, 이것은 모든 에 대해 이 방정식을 풀 수 있음을 보여준다.[1]
2. 2. 해의 유일성
이 성립하면 φ1과 φ2는 상수만큼만 다르다는 것을 보이면 해의 유일성이 증명된다. (따라서 평균값을 0으로 정규화하면 같아야 한다.) 칼라비는 다음 식의 평균값이 0 이하인 식으로 주어짐을 보여 이를 증명했다.:
이는 명백히 0 이상이므로 0이어야 하며, 따라서
:
이므로 φ1과 φ2는 상수만큼만 달라야 한다.
2. 3. F의 집합이 열린 집합이다.
가능한 ''F''들의 집합이 열려 있다는 것을 증명하는 것은 (평균값이 1인 매끄러운 함수 집합에서) 어떤 ''F''에 대한 방정식을 풀 수 있다면 충분히 가까운 ''F''에 대해서도 방정식을 푸는 것이 가능하다는 것을 보여주는 것이다. 칼라비는 바나흐 공간에 대한 음함수 정리를 사용하여 이를 증명했다. 이를 적용하기 위한 주요 단계는 위의 미분 연산자의 ''선형화''가 가역적임을 보여주는 것이다.[1]2. 4. F의 집합이 닫힌 집합이다.
''F''가 가능한 함수 φ의 상의 폐포에 속한다고 가정한다. 이는 함수 φ1, φ2, ...의 수열이 존재하여, 해당 함수에 대응하는 ''F''1, ''F''2, ...가 ''F''로 수렴한다는 것을 의미한다. 문제는 φ의 부분 수열이 해 φ로 수렴함을 보이는 것이다. 이를 위해 야우는 함수 φ''i''와 그 고계 도함수에 대한 사전 제한을 log(''f''''i'')의 고계 도함수로 표현하여 찾는다. 이러한 제한을 찾는 데에는 이전 추정보다 약간씩 개선된 일련의 어려운 추정 과정이 필요하다. 야우가 얻은 제한은 함수 φ''i''가 모두 적절한 함수 바나흐 공간의 콤팩트 부분 집합에 속한다는 것을 보여주기에 충분하며, 따라서 수렴하는 부분 수열을 찾을 수 있다.[1]이 부분 수열은 상이 ''F''인 함수 φ로 수렴하며, 이는 가능한 상 ''F''의 집합이 닫혀 있음을 보여준다.[1]
3. 켈러-아인슈타인 계량
콤팩트 켈러 다양체가 음, 영, 양의 제1 천 류를 가질 때, 상수배를 제외하고 천 류에 대응하는 켈러-아인슈타인 계량을 켈러 계량으로서 가진다는 추측이 있다. 이 추측은 칼라비 추측과 밀접하게 관련되어 있다. 음의 천 류에 대한 증명은 1976년 티에리 오뱅(Thierry Aubin영어)과 야우싱퉁에 의해 이루어졌다. 천 류가 0일 때는 야우싱퉁이 증명하였다.
제1 천 류가 양인 경우, 야우싱퉁은 2점에서 블로우업된 complex projective plane|복소 사영 평면영어은 켈러-아인슈타인 계량을 갖지 않는다는 것을 증명했다. 이는 양의 경우의 반례가 된다. 또한, 켈러-아인슈타인 계량이 존재해도 유일하게 결정되지 않는다는 것도 증명되었다. 양의 제1 천 류에 대해서는 더 많은 결과가 있는데, 켈러-아인슈타인 계량이 존재하기 위한 필요 조건으로는 정칙 벡터장의 리 대수가 환원적일 것 등이 있다. 야우싱퉁은 양의 제1 천 류에 대해 켈러 다양체가 켈러-아인슈타인 계량을 갖는 것과, 기하학적 불변식론의 의미에서 켈러 다양체가 안정적인 것이 동치임을 추측했다.
복소 곡면의 경우, 강 티안이 연구하였다. 양의 천 류를 갖는 복소 곡면은 2개의 사영 직선(분명히 켈러-아인슈타인 계량을 갖는다)의 곱 또는 일반적인 위치에 있는 많아도 8개의 점이 블로우업된 사영 평면이다. 일반적인 위치란, 일직선상에 3개의 점이 놓이지 않고, 이차 곡선 위에 6개의 점이 놓이지 않는다는 것을 의미한다. 사영 평면은 켈러-아인슈타인 계량을 가지고 있으며, 1개 또는 2개의 점에서 블로우업된 사영 평면은 정칙 벡터장의 리 대수가 환원적이지 않으므로 켈러-아인슈타인 계량을 갖지 않는다. 강 티안은 일반적인 위치에 있는 3, 4, 5, 6, 7, 8개의 점에서 블로우업된 사영 평면은 켈러-아인슈타인 계량을 갖는다는 것을 보였다.
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