에우제니오 칼라비

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1. 개요
2. 생애
3. 연구 업적
4. 주요 출판물
참조

1. 개요

에우제니오 칼라비는 1923년 이탈리아 밀라노에서 태어난 이탈리아계 미국인 수학자이다. 그는 1950년 프린스턴 대학교에서 박사 학위를 받았으며, 미분 기하학 분야에 기여했다. 칼라비는 칼라비-야우 다양체의 존재를 예측한 칼라비 추측을 제기했으며, 칼라비 흐름과 극단적 켈러 계량의 개념을 도입했다. 그는 미국 국립 과학 아카데미 회원이었으며, 르로이 P. 스틸 상을 수상했고, 2023년 100세의 나이로 사망했다.

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에우제니오 칼라비 - [인물]에 관한 문서
기본 정보
칼라비 (1960년대)
출생일	1923년 5월 11일
출생지	이탈리아 왕국 밀라노
사망일	2023년 9월 25일
사망지	미국 펜실베이니아주 브린모어
국적	미국
분야	미분기하학
학력
모교	매사추세츠 공과대학교 프린스턴 대학교
박사 지도교수	살로몬 보흐너
박사 학위 제자	슈슝 천
학위 논문 제목	Kähler 다양체의 등거리 복소 해석적 매장
학위 논문 URL	학위 논문
학위 년도	1950년
경력
직장	펜실베이니아 대학교 미네소타 대학교 루이지애나 주립 대학교
업적
주요 업적	칼라비 추측 칼라비-야우 다양체 칼라비 흐름 칼라비 삼각형 칼라비-에크만 다양체
수상
수상 내역	르로이 P. 스틸 상 (1991년) 퍼트넘 펠로우 (1946년)

2. 생애

이탈리아 밀라노의 이탈리아 유대인 가정에서 태어났으나,^[1] 1938년 이탈리아 인종법 제정 이후 파시즘 정권의 박해를 피해 1939년 미국으로 이주했다.^[2]^[3] 매사추세츠 공과대학교(MIT)에서 학부 과정을 마쳤고,^[3]^[4] 프린스턴 대학교에서 1950년 살로몬 보흐너의 지도로 박사 학위를 취득했다.^[5]^[30]

박사 학위 취득 후 루이지애나 주립 대학교, 미네소타 대학교, 펜실베이니아 대학교 등에서 교수로 재직하며 미분 기하학, 특히 복소 미분 기하학 분야에서 중요한 연구 업적을 남겼다. 1991년에는 이러한 공로를 인정받아 미국 수학회로부터 르로이 P. 스틸 상을 수상했으며, 2012년에는 미국 수학회 펠로우로 선정되었다.^[31] 2021년에는 이탈리아 공화국 공로 훈장 사령관장을 받았다.

2023년 9월 25일, 100세의 나이로 브린 마(Bryn Mawr)의 자택에서 사망했다.^[33]

2. 1. 초기 생애 및 교육

1923년 5월 11일, 이탈리아 밀라노의 이탈리아 유대인 가정에서 태어났다.^[1] 그의 누이는 언론인 툴리아 체비 칼라비였다. 1938년, 이탈리아 인종법의 영향으로 가족과 함께 이탈리아를 떠나 1939년 미국에 도착했다.^[2]^[3]

1939년 가을, 16세의 나이로 매사추세츠 공과대학교(MIT)에 입학하여 화학 공학을 공부하기 시작했다. 그러나 1943년 미국 군대에 징집되어 제2차 세계 대전에 참전하면서 학업이 중단되었다.^[3] 1946년 제대한 후, G.I. Bill의 지원을 받아 MIT에서 학사 학위를 마쳤으며, 같은 해 푸트넘 펠로우(Putnam Fellow)로 선정되었다.^[3]^[4]

이후 수학으로 전공을 바꾸어 1947년 일리노이 대학교 어배너-섐페인에서 석사 학위를 받았고, 1950년 프린스턴 대학교에서 철학 박사(Ph.D.) 학위를 취득했다. 그의 박사 학위 논문은 "Isometric Complex Analytic Imbeddings of Kähler Manifolds^eng"이었으며, 지도 교수는 잘로몬 보흐너였다.^[5]

2. 2. 학술 경력

이탈리아 밀라노에서 태어나 미국으로 이주한 칼라비는 1946년 매사추세츠 공과대학교에서 학사 학위를 취득했으며, 같은 해 Putnam Fellow^영어로 선정되었다. 이후 1950년 프린스턴 대학교에서 살로몬 보흐너 교수의 지도로 박사 학위(Ph.D.)를 받았다.^[30]

박사 학위 취득 후, 칼라비는 여러 대학에서 교수로 활동하며 학문적 경력을 쌓았다. 1951년부터 1955년까지 루이지애나 주립 대학교에서 조교수를 지냈고, 1955년 미네소타 대학교로 옮겨 1960년 정교수가 되었다. 1964년에는 펜실베이니아 대학교 수학과 교수로 부임했으며, 1967년 한스 라데마허 교수의 은퇴 후 1968년부터 Thomas A. Scott Professorship of Mathematics|토마스 A. 스콧 수학 석좌 교수^영어직을 맡았다. 1994년 명예 교수가 되었으며, 2014년에는 펜실베이니아 대학교로부터 명예 이학 박사 학위를 수여받았다.

칼라비는 그의 학문적 업적을 인정받아 다수의 영예를 안았다. 1982년 미국 국립 과학 아카데미 회원으로 선출되었으며, 1991년에는 전역 미분 기하학, 특히 복소 미분 기하학 분야에 대한 근본적인 연구 성과를 인정받아 미국 수학회로부터 르로이 P. 스틸 상을 수상했다. 2012년에는 미국 수학회 펠로우로 선정되었고,^[31] 2021년에는 이탈리아 공화국 공로 훈장 사령관장을 받았다.

주요 학력 및 경력 요약
구분	연도	내용	기관
학력	1946년	학사 학위 취득, Putnam Fellow^영어 선정	매사추세츠 공과대학교
	1950년	박사 학위 (Ph.D.) 취득	프린스턴 대학교
	2014년	명예 이학 박사 학위 수여	펜실베이니아 대학교
경력	1951년 ~ 1955년	조교수	루이지애나 주립 대학교
	1955년 ~ 1964년	교수 (1960년부터 정교수)	미네소타 대학교
	1964년 ~ 1994년	수학과 교수	펜실베이니아 대학교
	1968년 ~ 1994년	Thomas A. Scott Professorship of Mathematics\|토마스 A. 스콧 수학 석좌 교수^영어	펜실베이니아 대학교
	1994년 ~ 2023년	명예 교수	펜실베이니아 대학교
수상 및 영예	1982년	미국 국립 과학 아카데미 회원 선출
	1991년	미국 수학회 르로이 P. 스틸 상 수상
	2012년	미국 수학회 펠로우 선출^[31]
	2021년	이탈리아 공화국 공로 훈장 사령관장 수훈

2. 3. 개인사

1946년 매사추세츠 공과대학교 학부생 시절 Putnam Fellow^eng를 수상했다. 1950년 프린스턴 대학교에서 살로몬 보흐너의 지도로 박사 학위(Ph.D.)를 취득했다^[30].

1951년부터 1955년까지 루이지애나 주립 대학교에서 조교수로 재직했으며, 1955년 미네소타 대학교로 옮겨 1960년 정교수가 되었다. 1964년에는 펜실베이니아 대학교 수학과 교수로 합류했다. 1968년 한스 라데마허의 은퇴 이후, 펜실베이니아 대학교의 Thomas A. Scott Professorship of Mathematics^eng(토마스 A. 스콧 수학 석좌 교수)로 임명되었다. 1994년 명예 교수가 되었으며, 2014년에는 같은 대학교로부터 명예 이학 박사 학위를 받았다.

1982년 미국 국립 과학 아카데미 회원으로 선출되었다. 1991년에는 "전역 미분 기하학, 특히 복소 미분 기하학에 대한 근본적인 연구"로 미국 수학회로부터 르로이 P. 스틸 상을 수상했다. 이 연구는 "이 분야의 지형을 근본적으로 변화시켰다"는 평가를 받았다. 2012년 미국 수학회 펠로우로 선출되었다^[31]. 2021년 이탈리아 공화국 공로 훈장 사령관 훈장을 받았다.

1952년 줄리아나 세그레와 결혼하여 아들 하나와 딸 하나를 두었다. 2023년 5월에 100세를 맞이했으며^[32], 같은 해 9월 25일 브린 마(Bryn Mawr) 자택에서 100세의 나이로 사망했다^[33].

3. 연구 업적

칼라비는 미분 기하학 분야에서 폭넓은 연구를 수행하며 중요한 업적을 남겼다. 그의 연구는 Kähler 기하학, 기하 해석학, 일반 미분 기하학 등 다양한 영역에 걸쳐 있으며, 각 분야에서의 구체적인 기여는 하위 섹션에서 자세히 다룬다.

여기서는 하위 섹션에서 상세히 다루지 않는 그의 다른 주요 기여들을 간략히 소개한다. 칼라비는 맥스웰 로젠리히트와 함께 긴 직선의 정칙 버전을 구성했으며, 공간 형태의 모듈러스 공간을 연구했다. 또한 주어진 미분 형식이 조화 형식이 되도록 하는 계량을 찾을 수 있는 조건을 규명했고, 아핀 기하학에 관한 다양한 연구도 수행했다.

2021년 그의 전집에 대한 논평에서 칼라비는 "볼록형의 부적절한 아핀 초구와 K. 쇨겐스의 정리의 일반화"를 자신이 "가장 자랑스럽다"고 생각하는 논문으로 언급했다. 그의 주요 업적인 칼라비 추측, 칼라비 흐름, 라플라스 비교 정리, 칼라비-에크만 다양체 등에 대한 자세한 내용은 해당 하위 섹션에서 다룬다.

3. 1. Kähler 기하학

칼라비는 미분 기하학 분야, 특히 Kähler 계량 연구에 중요한 기여를 했다.

1954년 국제 수학자 회의에서 칼라비는 Kähler 계량의 Ricci 곡률을 특정 형태로 지정할 수 있다는 정리를 발표했다. 하지만 나중에 그는 자신의 증명에 사용된 연속성 방법에 결함이 있음을 발견했고, 이 문제는 이후 칼라비 추측으로 알려지게 되었다. 1957년, 칼라비는 추측을 명제로 제시하는 논문을 발표했으나, 증명은 불완전했다. 그는 문제의 해가 유일하게 정의된다는 것은 완전히 증명했지만, 해의 존재 문제는 특정 편미분 방정식에 대한 a priori 추정을 설정하는 문제로 귀결시키는 데 그쳤다.

1970년대에 슁퉁 야우는 칼라비 추측을 연구하기 시작했고, 수년간의 노력 끝에 마침내 추측을 증명하는 데 성공했다. 이 증명은 대수 기하학 분야에서 몇 가지 중요한 결과를 이끌어냈다. 특히, Ricci 곡률이 0인 Kähler 계량이 여러 복소 다양체 상에 존재함을 보였는데, 이는 현재 ''칼라비-야우 계량''으로 알려져 있다. 이 칼라비-야우 계량은 1980년대 이후 끈 이론 연구에서 핵심적인 역할을 하게 되었다.^[13]^[14]^[15]

1982년 칼라비는 스칼라 곡률이 일정한 Kähler 계량을 찾는 방법으로 칼라비 흐름이라는 기하학적 흐름을 제안했다. 더 나아가 그는 극단적 Kähler 계량이라는 개념을 도입했고, 이러한 계량들이 ''칼라비 함수''의 엄격한 전역 최소값을 제공하며, 일정한 스칼라 곡률을 갖는 계량 역시 전역 최소값임을 증명했다 (1985). 이후 칼라비는 첸슈시옹과 함께 마부치 토시키가 도입한 계량을 연구하여, 칼라비 흐름이 임의의 두 Kähler 계량 사이의 마부치 거리를 줄인다는 것을 보였다 (2002). 또한 그들은 마부치 계량이 Kähler 계량 공간에 비음수 곡률을 갖는 알렉산드로프 공간 구조를 부여한다는 것을 증명했다. 이 연구의 기술적 어려움 중 하나는 무한 차원 공간에서의 측지선이 낮은 미분 가능성을 가질 수 있다는 점이었다.^[13]

칼라비의 또 다른 잘 알려진 업적으로는 곡률이 아래로 유계인 에르미트 벡터 다발의 전체 공간에 완전한 Kähler 계량을 구성하는 방법이 있다 (1979). 만약 기저 공간이 완전한 Kähler-Einstein 다양체이고 벡터 다발이 랭크 1이며 일정한 곡률을 갖는다면, 전체 공간에서 완전한 Kähler-Einstein 계량을 얻을 수 있다. 특히 복소 공간 형태의 코탄젠트 다발의 경우, 이 구성을 통해 hyperkähler 계량을 얻는다. 에구치-핸슨 공간은 칼라비 구성의 특별한 예시 중 하나이다.^[13]

3. 2. 기하 해석학

칼라비는 미분 기하학 분야에 여러 중요한 기여를 남겼다. 그가 "가장 자랑스럽다"고 언급한 논문은 "볼록형의 부적절한 아핀 초구와 K. 쇨겐스의 정리의 일반화"이다. 다른 주요 기여로는 맥스웰 로젠리히트와 함께 긴 직선의 정칙 버전을 구성한 것, 공간 형태의 모듈러스 공간 연구, 주어진 미분 형식이 조화적이 되도록 하는 계량을 찾을 수 있는 조건 규명, 그리고 아핀 기하학에 관한 다양한 연구 등이 있다.

칼라비는 리만 기하학에서 리만 계량에 적용된 라플라스-벨트라미 연산자를 리치 곡률과 관련시키는 라플라스 비교 정리를 발견했다. 당시 리만 거리 함수는 모든 점에서 미분 가능하지 않아 정리의 전역적 버전을 만드는 데 어려움이 있었는데, 칼라비는 이를 해결하기 위해 나중에 마이클 G. 크랜달과 피에르-루이 리옹이 소개한 점성 해 개념보다 앞선, 미분 부등식의 일반화된 개념을 사용했다. 그는 에버하르트 호프의 강한 최대 원리를 자신의 일반화된 해 개념으로 확장했고, 이를 라플라스 비교 정리에 적용하여 조셉 켈러와 로버트 오서먼의 결과를 리만 다양체로 확장하는 데 성공했다. 이후 청샤우옌과 야우싱퉁 등은 최대 원리의 다른 활용법을 통해 이 결과를 더욱 발전시켰다.^[13]^[16]^[17]

최소 곡면에 대한 고전적인 베른슈타인 문제와 유사하게, 칼라비는 최대 곡면에 대한 문제를 연구하여 저차원에서 이 문제에 대한 해답을 제시했다. 이 문제에 대한 완전한 해답은 나중에 청과 야우가 발견했는데, 그들은 칼라비가 리만 거리 함수의 미분 불가능성을 해결하기 위해 고안한 칼라비 트릭을 사용했다. 또한 칼라비는 유클리드 공간 전체에서 정의되고 우변이 1인 몽주-앙페르 방정식의 볼록 해를 연구했다. 이 문제는 이전에 콘라트 외르겐스가 두 변수 함수에 대해 연구하여 모든 해가 2차 다항식임을 증명한 바 있다. 칼라비는 이 문제를 아핀 기하학의 문제로 해석하고 라플라스 비교 정리에 대한 자신의 연구를 적용하여 외르겐스의 결과를 일부 고차원으로 확장했다. 이 문제는 나중에 알렉세이 포고렐로프에 의해 완전히 해결되었으며, 이 결과는 일반적으로 Jörgens-Calabi-Pogorelov 정리로 알려져 있다.^[18]

칼라비는 아핀 구 연구에도 기여했는데, 그는 아핀 구를 르장드르 변환이 특정 몽주-앙페르 방정식을 만족하는 곡면으로 처음 특징지었다. 그는 외르겐스 정리를 확장할 때 사용했던 방법을 적용하여 완전 아핀 타원 초구를 분류하는 데 성공했다. 이 분야에서도 청과 야우가 추가적인 결과를 얻었다.^[18]^[19]

3. 3. 미분 기하학

칼라비는 미분 기하학 분야에 여러 중요한 기여를 남겼다. 맥스웰 로젠리히트와 함께 긴 직선의 정칙 버전을 구성하고, 공간 형태의 모듈러스 공간을 연구했으며, 주어진 미분 형식이 조화적이 되도록 하는 리만 계량을 찾을 수 있는 경우를 특성화했다. 또한 아핀 기하학에 관한 다양한 연구를 수행했다. 칼라비 본인은 2021년 자신의 전집에 대한 논평에서 "볼록형의 부적절한 아핀 초구와 K. 쇨겐스의 정리의 일반화"를 자신이 "가장 자랑스럽다"고 생각하는 논문으로 꼽았다.

1953년 칼라비는 베노 에크만과 함께 칼라비-에크만 다양체를 발견했다. 이 다양체는 어떠한 켈러 다양체 구조도 허용하지 않는 단일 연결 복소 다양체라는 점에서 주목받는다.^[20]^[21]

고다이라 쿠니히코의 연구에 영감을 받아, 칼라비는 에두아르도 베센티니와 함께 카르탕 영역의 콤팩트 정칙 몫의 무한소 강성 문제를 연구했다. 그들은 보흐너 공식과 층 코호몰로지에 대한 고다이라의 이론을 활용하여 고차원 경우의 강성을 증명했다. 이 연구는 이후 조지 모스토우와 그리고리 마굴리스의 연구에 영향을 미쳤는데, 이들은 칼라비와 베센티니의 무한소 강성 결과와 아틀 셀베르그, 앙드레 베유의 관련 연구를 바탕으로 전역 강성 정리를 확립했다.^[22]

칼라비는 로렌스 마르쿠스와 함께 로렌츠 다양체에서 양의 곡률을 가진 공간 형식의 문제를 다루었다. 조셉 A. 울프가 "매우 놀랍다"고 평가한 그들의 결과는, 이러한 공간 형식의 기본군이 유한해야 하며, 해당 드 시터 공간 시공간의 등거리 변환군(방향 보존 조건 하에서)이 적도 구면에 등거리 변환으로 충실하게 작용함을 보였다. 이를 통해 그들은 로렌츠 다양체에서의 공간 형식 문제를 양의 곡률을 가진 리만 다양체의 공간 형식 문제로 환원시켰다.^[23]^[24]

1950년대 존 포브스 내시 주니어의 연구는 등거리 매립 문제의 유연성을 보여주었다. 칼라비는 박사 학위 논문에서 공간 형식으로의 정칙 등거리 매립이라는 특수한 경우를 다루었다. 그는 이러한 매립이 내재적 기하학과 주변 공간 형식의 곡률에 의해 완전히 결정된다는 놀라운 결과를 증명했다. 또한, 켈러 퍼텐셜(Kähler potential)로부터 정의되고 리만 거리 함수를 모방하는 국소 함수인 '이뇨 함수'(''diastatic function'')를 도입하여 매립의 존재 문제를 연구했다. 칼라비는 정칙 등거리 매립이 이뇨 함수를 보존해야 함을 보였고, 이를 통해 정칙 등거리 매립의 국소적 존재에 대한 기준을 제시했다.^[21]

후에 칼라비는 둥근 구면 안의 2차원 극소 곡면 (고차원)을 연구했다. 그는 위상적으로 구인 극소 곡면의 면적은 이산적인 값들만 가질 수 있으며, 곡면 자체는 특정 에르미트 대칭 공간의 유리 곡선으로 분류될 수 있음을 증명했다.^[25]^[26]^[27]

4. 주요 출판물

칼라비는 50편 미만의 연구 논문을 저술했다. 주요 논문은 다음과 같다.

Calabi, Eugenio. "복소 다양체의 등거리 매입(Isometric imbedding of complex manifolds)". ''Annals of Mathematics'', Second Series, vol. 58, no. 1 (1953), pp. 1–23. doi:10.2307/1969817. JSTOR 1969817. MR 0057000. Zbl 0051.13103.
Calabi, Eugenio; Eckmann, Beno. "대수적이지 않은 콤팩트 복소 다양체의 한 부류(A class of compact, complex manifolds which are not algebraic)". ''Annals of Mathematics'', Second Series, vol. 58, no. 3 (1953), pp. 494–500. doi:10.2307/1969750. JSTOR 1969750. MR 0057539. Zbl 0051.40304.
Calabi, E. "켈러 계량의 공간(The space of Kähler metrics)". In: Gerretsen, Johan C. H.; De Groot, Johannes (eds.). ''국제 수학자 회의록, 1954년. 2권(Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1954. Volume II)''. 암스테르담: North-Holland Publishing Co., 1954, pp. 206–207.
Calabi, Eugenio. "소멸하는 정규 등급을 가진 켈러 다양체에 관하여(On Kähler manifolds with vanishing canonical class)". In: Fox, R. H. (ed.). ''대수 기하학과 위상수학: S. 레프셰츠를 기리는 심포지엄(Algebraic Geometry and Topology: A symposium in honor of S. Lefschetz)''. 프린스턴, 뉴저지: Princeton University Press, 1957, pp. 78–89. doi:10.1515/9781400879915-006. ISBN 9781400879915. MR 0085583. Zbl 0080.15002.
Calabi, E. "E. 호프의 최대 원리의 확장과 리만 기하학에의 적용(An extension of E. Hopf's maximum principle with an application to Riemannian geometry)". ''Duke Mathematical Journal'', vol. 25 (1958), pp. 45–56. doi:10.1215/S0012-7094-58-02505-5. MR 0092069. Zbl 0079.11801. (정오표: doi:10.1215/S0012-7094-59-02672-9)
Calabi, Eugenio. "볼록 유형의 부적절한 아핀 초구와 K. 뢰르겐스의 정리의 일반화(Improper affine hyperspheres of convex type and a generalization of a theorem by K. Jörgens)". ''Michigan Mathematical Journal'', vol. 5, no. 2 (1958), pp. 105–126. doi:10.1307/mmj/1028998055. MR 0106487. Zbl 0113.30104.
Calabi, Eugenio; Vesentini, Edoardo. "콤팩트, 국소적으로 대칭인 켈러 다양체에 관하여(On compact, locally symmetric Kähler manifolds)". ''Annals of Mathematics'', Second Series, vol. 71, no. 3 (1960), pp. 472–507. doi:10.2307/1969939. JSTOR 1969939. MR 0111058. Zbl 0100.36002.
Calabi, E.; Markus, L. "상대론적 공간 형태(Relativistic space forms)". ''Annals of Mathematics'', Second Series, vol. 75, no. 1 (1962), pp. 63–76. doi:10.2307/1970419. JSTOR 1970419. MR 0133789. Zbl 0101.21804.
Calabi, Eugenio. "유클리드 구에 있는 곡면의 최소 매입(Minimal immersions of surfaces in Euclidean spheres)". ''Journal of Differential Geometry'', vol. 1, no. 1–2 (1967), pp. 111–125. doi:10.4310/jdg/1214427884. MR 0233294. Zbl 0171.20504.
Calabi, Eugenio. "몇몇 비선형 방정식에 대한 베른슈타인 문제의 예(Examples of Bernstein problems for some nonlinear equations)". In: Chern, Shiing-Shen; Smale, Stephen (eds.). ''전역 분석(Global Analysis)'', Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol. 15. 프로비던스, 로드아일랜드: American Mathematical Society, 1970, pp. 223–230. doi:10.1090/pspum/015. ISBN 9780821814154. MR 0264210. Zbl 0211.12801.
Calabi, Eugenio. "완전한 아핀 초구. I(Complete affine hyperspheres. I)". ''Symposia Mathematica'', vol. X. 런던: Academic Press, 1972, pp. 19–38. MR 0365607. Zbl 0252.53008.
Calabi, E. "Métriques kählériennes et fibrés holomorphes|켈러 계량과 정칙 다발^프랑스어". ''Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure'', Quatrième Série, vol. 12, no. 2 (1979), pp. 269–294. doi:10.24033/asens.1367. MR 0543218. Zbl 0431.53056.
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칼라비의 전집은 2021년에 출판되었다.

Calabi, Eugenio. ''전집(Collected Works)''. Edited by Bourguignon, Jean-Pierre; Chen, Xiuxiong; Donaldson, Simon. 베를린: Springer, 2021. ISBN 978-3-662-62133-2. Zbl 1457.32001.

참조

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