코쥘 쌍대성

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
5. 역사
참조

1. 개요

코쥘 쌍대성은 이차 오퍼라드와 그 위의 대수를 통해 정의되며, 대수적 구조 간의 관계를 설명하는 개념이다. 체 위의 등급 벡터 공간, 이차 오퍼라드, 쌍대 오퍼라드, 이차 대수 및 이차 초대수 개념을 포함하며, 특히 코쥘 대수를 사용하여 공식화된다. 코쥘 쌍대성은 이차 오퍼라드에 대한 이차 대수와 이차 초대수 간의 일대일 대응을 보여주며, 베일린슨, 긴즈버그, 쇠르게르에 의해 연구되었다. 코쥘 쌍대성은 호모토피 대수, L∞-대수 개념과 연결되며, 결합 대수, 가환 대수, 리 대수와 같은 오퍼라드의 쌍대성을 통해 다양한 수학적 구조 간의 관계를 설명한다.

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코쥘 쌍대성
개요
분야	수학, 추상대수학
하위 분야	호몰로지 대수학
역사적 맥락
기원	호몰로지 대수학의 발전과 함께 나타남
개발 동기	대수적 구조 간의 쌍대성 관계 이해
주요 개념
핵심 내용	어떤 대수적 대상과 그 쌍대 대상 사이의 관계를 연구하는 이론
주요 대상	코쥘 대수 코쥘 쌍대성 2차 대수 연산자
연관 분야	표현론 대수적 위상수학 기하학
응용
활용 분야	기하학적 표현론 매듭 이론 공간의 양자장론
관련 개념
관련 개념	쌍대성, 호몰로지 대수학, 대수적 구조

2. 정의

코쥘 쌍대성은 알렉산더 베일린슨, 빅토르 긴즈버그, 볼프강 쇠르게르^[4]가 다루었으며, 코쥘 대수 개념을 사용하여 공식화할 수 있다. 코쥘 대수의 예시는 유한 차원 벡터 공간 위의 대칭 대수 $S(V)$ 이다.

일반적으로 코쥘 대수는 이차 대수이며, 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있다.

: $A = T(V) / R,$

여기서 $T(V)$ 는 유한 차원 벡터 공간 위의 텐서 대수이고, $R$ 는 $T^2(V) = V \otimes V$ 의 부분 모듈이다. 그러면 ''코쥘 쌍대''는 이차 쌍대와 일치한다.

: $A^! := T(V^*) / R'$

여기서 $V^*$ 는 ('k'-선형) 쌍대이고 $R' \subset V^* \otimes V^*$ 는 ''R''의 원소(즉, ''A''의 관계)에 의해 소멸되는 원소로 구성된다. $A=S(V)$ 의 코쥘 쌍대는 $A^! = \Lambda(V^*)$ 로 주어지며, 이는 ''V''의 쌍대 위의 외대수이다.

일반적으로 코쥘 대수의 쌍대는 다시 코쥘 대수이다. 그것의 반대환은 기본 필드 ''k''를 ''A''-가군으로 생각할 때 자기-확장의 등급환으로 주어진다.

: $(A^!)^{\text{opp}} = \operatorname{Ext}^*_A(k, k).$

긴즈버그(Ginzburg)와 카프라노프(Kapranov)는 코쥘 쌍대성 개념을 확장하여, 이차 오퍼라드 개념을 도입하고 이러한 오퍼라드의 이차 쌍대성을 정의했다.^[9] 오퍼라드는 대략적으로 모든 ''n''에 대해 ''n''항 연산의 객체로 구성된 대수적 구조이다. 오퍼라드 위의 대수는 이러한 ''n''항 연산이 작용하는 객체이다. 예를 들어, 결합적 오퍼라드의 대수는 결합 대수(비가환환, 비가환 등급환, 미분 등급환)이다. 가환 오퍼라드 위의 대수는 가환 대수(가환환, 등급환, 미분 등급환)이다. 리 오퍼라드의 대수는 리 대수이다. 결합 오퍼라드는 자기 쌍대적이고, 가환 오퍼라드와 리 오퍼라드는 이 쌍대성 하에서 서로 대응된다.

오퍼라드에 대한 코쥘 쌍대성은 쌍대 오퍼라드 위의 대수 사이의 동치 관계를 나타낸다. 결합 대수의 특수한 경우는 위에서 언급한 함수 $A \mapsto A^!$ 를 다시 돌려준다.

2. 1. 등급 벡터 공간의 대칭 모노이드 범주

체

K

위의 정수 등급 벡터 공간의 범주

\operatorname{grVect}_K

는 텐서곱

:

(V\otimes W)_n = \bigoplus_{i+j=n}V_i\otimes W_i

에 의해 모노이드 범주를 이룬다. 이 범주에는 다음과 같은 두 가지 대칭 모노이드 범주 구조를 줄 수 있다.^[10]

:

\iota^+\colon V\otimes W\to W\otimes V

:

\iota^+\colon v\otimes w\mapsto w\otimes v

:

\iota^-\colon V\otimes W\to W\otimes V

:

\iota^-\colon v\otimes w\mapsto (-)^{\deg v\deg w}w\otimes v

이 두 대칭 모노이드 범주는 각각

\operatorname{grVect}_K^\pm

으로 표기한다.^[10]

2. 2. 이차 오퍼라드

체

K

와 반단순 결합 대수

A

, 그리고

(A, A^{\otimes_K 2})

-쌍가군

E

와

E

위의 대합

\sigma

가 주어졌을 때, 이차 오퍼라드는 이항 연산만으로 생성되는 자유 오퍼라드의 몫 오퍼라드로 정의된다.^[4]^[9]

:

E(2) = E

:

E(n) = 0 \qquad\forall n\ge3

위의 식을 통해 자유 오퍼라드

\operatorname{Free}(E)

를 구성할 수 있으며,

:

\operatorname{Free}(E)(3) = \operatorname{Ind}_{\operatorname{Sym}(2)}^{\operatorname{Sym}(3)}(E\otimes_AE)

이다. 이때, 자유 오퍼라드

\operatorname{Free}(E)

의 몫 오퍼라드

R\subseteq \operatorname{Free}(E)(3)

를 이차 오퍼라드

\mathcal P(A,E,R)

라고 한다.

2. 3. 쌍대 오퍼라드

오퍼라드

\mathcal P(A,E,R)

가 주어졌다고 하자.

A

-쌍대 가군

E^\vee = \operatorname{hom}_A(E,A)

를 생각하자.

\mathcal P(A,E,R)

의 '''쌍대 오퍼라드'''는 다음과 같다.

:

\mathcal P(A,E,R)^! = \mathcal P(A^{\operatorname{op}},E^\vee, R^\perp)

여기서

:

R^\perp = \{\phi \in E^\vee \colon \phi(r) =0 \qquad\forall r\in R\}

는

R

의 직교 여공간이다.^[9]

2. 4. 이차 대수와 이차 초대수

이차 오퍼라드

\mathcal P=\mathcal P(A,E,R)

가 주어졌을 때,

\operatorname{grVect}_K^+

를 사용하면 '''

\mathcal P

-이차 대수''',

\operatorname{grVect}_K^-

를 사용하면 '''

\mathcal P

-이차 초대수'''라고 한다.^[4]^[9]

2. 5. 코쥘 오퍼라드

이차 오퍼라드

\mathcal P=\mathcal P(A,E,R)

위의 대수

B

에 대하여, 일종의 호몰로지 이론을 정의할 수 있다.^[10] 만약 모든 자유

\mathcal P

-대수의 고차 (즉, 1차 이상) 호몰로지가 자명하다면,

\mathcal P

를 '''코쥘 오퍼라드'''(Koszul operad^영어)라고 한다.^[10]

코쥘 오퍼라드

\mathcal P

의 경우, '''호모토피

\mathcal P

-대수'''(homotopy

\mathcal P

-algebra^영어)의 개념을 정의할 수 있다.^[10]

3. 성질

코쥘 쌍대성은 이차 오퍼라드에서 $\mathcal P$ -이차 대수와 $\mathcal P^!$ -이차 초대수, $\mathcal P^!$ -이차 대수와 $\mathcal P$ -이차 초대수 사이에 일대일 대응이 존재한다는 성질이다.^[4]

알렉산더 베일린슨, 빅토르 긴즈버그, 볼프강 쇠르게르가 코쥘 대수 개념을 통해 연구를 진행했으며, 긴즈버그와 카프라노프는 이차 오퍼라드 개념을 도입하고 그 이차 쌍대성을 정의하여 코쥘 쌍대성 개념을 확장했다.^[9]

호모토피 대수에서도 코쥘 쌍대성이 성립하며, 특정 조건에서 두 집합 사이에 일대일 대응이 존재한다.^[5]

3. 1. 이차 오퍼라드의 구조

체

K

와 반단순

K

-결합 대수

A

(

A

는 아르틴 환이며,

A

의 제이컵슨 근기는 0)가 주어졌다고 하자. 또한,

(A,A^{\otimes_K2})

-쌍가군

E

(즉,

A\otimes_KA^{\operatorname{op}}\otimes_K A^{\operatorname{op}}

-왼쪽 가군)와

E

위의 대합

\sigma\colon E\to E

가 주어졌다고 하자. 이때, 대합은

\sigma(a\cdot e\cdot b\otimes_K c)=a\cdot\sigma(e)\cdot b\otimes_Kc\qquad(a,b,c\in A,\;e\in E)

를 만족해야 한다.

이러한 데이터들을 바탕으로, 자유 오퍼라드

\operatorname{Free}(E)

를 구성할 수 있다.

\operatorname{Free}(E)

는

E(2) = E

이고

E(n) = 0 \qquad\forall n\ge3

인 성분들로 생성된다. 즉, 이항 연산만으로 생성된다.

이제,

R\subseteq \operatorname{Free}(E)(3)

에 대한 몫 오퍼라드를 '''이차 오퍼라드'''

\mathcal P(A,E,R)

라고 정의한다.

이차 오퍼라드

\mathcal P(A,E,R)

의 낮은 차수 성분은 다음과 같다.^[10]

$\mathcal P(A,E,R)(1) = A$
$\mathcal P(A,E,R)(2) = E$

또한, 3차 성분에 대하여 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

:

0\to R\to \operatorname{Free}(E)(3) \to \mathcal P(A,E,R)(3) \to 0

3. 2. 코쥘 쌍대성

이차 오퍼라드

\mathcal P = \mathcal P(A, E, R)

가 주어졌을 때,

\mathcal P

-이차 대수와

\mathcal P^!

-이차 초대수,

\mathcal P^!

-이차 대수와

\mathcal P

-이차 초대수 사이에는 일대일 대응이 존재한다. 이를 '''코쥘 쌍대성'''이라고 한다.^[4]

\mathcal P

-이차 대수는 대칭 모노이드 범주

\operatorname{grVect}_K^+

위의 자유 대수를 사용하여 정의되며,

\mathcal P

-이차 초대수는

\operatorname{grVect}_K^-

위의 자유 대수를 사용하여 정의된다.

코쥘 쌍대성은 알렉산더 베일린슨, 빅토르 긴즈버그, 볼프강 쇠르게르가 연구했으며, 코쥘 대수 개념을 통해 공식화할 수 있다. 코쥘 대수의 예시로는 유한 차원 벡터 공간 위의 대칭 대수

S(V)

가 있다.

일반적으로 코쥘 대수는 다음과 같은 형태의 이차 대수로 표현된다.

:

A = T(V) / R

여기서

T(V)

는 유한 차원 벡터 공간 위의 텐서 대수이고,

R

는

T^2(V) = V \otimes V

의 부분 모듈이다. 이때 코쥘 쌍대는 다음과 같이 이차 쌍대와 일치한다.

:

A^! := T(V^*) / R'

여기서

V^*

는

V

의 쌍대 공간이고,

R' \subset V^* \otimes V^*

는

R

의 원소에 의해 소멸되는 원소들로 구성된다. 예를 들어

A=S(V)

의 코쥘 쌍대는

A^! = \Lambda(V^*)

이며, 이는

V

의 쌍대 공간 위의 외대수이다.

코쥘 대수의 반대환은 기본 필드

k

를

A

-가군으로 생각할 때 자기-확장의 등급환으로 주어진다.

:

(A^!)^{\text{opp}} = \operatorname{Ext}^*_A(k, k)

만약 대수

A

가 코쥘 대수라면, 유도 범주에 속하는 등급

A

-가군과

A^!

-가군의 특정 부분 범주 사이에 동치 관계가 존재한다.

긴즈버그(Ginzburg)와 카프라노프(Kapranov)는 코쥘 쌍대성 개념을 확장하여 이차 오퍼라드 개념을 도입하고, 이러한 오퍼라드의 이차 쌍대성을 정의했다.^[9] 오퍼라드는 모든

n

에 대해

n

항 연산의 객체로 구성된 대수적 구조이며, 오퍼라드 위의 대수는 이러한

n

항 연산이 작용하는 객체이다. 예를 들어 결합적 오퍼라드의 대수는 결합 대수이고, 가환 오퍼라드 위의 대수는 가환 대수이며, 리 오퍼라드의 대수는 리 대수이다.

오퍼라드에 대한 코쥘 쌍대성은 쌍대 오퍼라드 위의 대수 사이의 동치 관계를 나타내며, 결합 대수의 경우 위에서 언급한

A \mapsto A^!

를 다시 얻는다.

3. 3. 호모토피 코쥘 쌍대성

코쥘 쌍대성에 따르면, 이차 오퍼라드

\mathcal P

에 대하여, 다음과 같은 일대일 대응이 존재한다.

$\mathcal P$ -이차 대수 $\leftrightarrow$ $\mathcal P^!$ -이차 초대수
$\mathcal P^!$ -이차 대수 $\leftrightarrow$ $\mathcal P$ -이차 초대수

호모토피 대수에 대하여 다음과 같은 코쥘 쌍대성이 성립한다. 임의의 등급

(A,K,A)

-쌍가군

:

V = \bigoplus_n V_n

:

\dim_KV_n < \infty\qquad\forall n

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 두 집합 사이의 표준적인 일대일 대응이 존재한다.

$V_\bullet$ 위의 호모토피 $\mathcal P$ -대수 구조
$V$ 의 (등급별) 쌍대 공간 $\textstyle V^*=\bigoplus_nV_n^*$ 의 현수(suspension^영어) 위의 $\mathcal P^!$ -자유 대수 $\operatorname{Free}_{\mathcal P^!}(A^*[1])$ 위의, 등급 +1의, 다음 두 조건을 만족시키는 연산 $\mathrm d\colon \operatorname{Free}_{\mathcal P^!}(A^*[1])\to \operatorname{Free}_{\mathcal P^!}(A^*[1])$
(멱영성) $\mathrm d^2 = 0$
(곱 규칙) $\mathrm d\mu(a,b) = \mu(\mathrm da,b) + (-)^{\deg a}\mu(a,\mathrm db)\qquad\forall \mu\in\mathcal P(2),\;a,b\in\operatorname{Free}_{\mathcal P^!}(A^*[1])$

A

와

A^!

의 유도 범주의 특정 하위 범주로 가는 대신, 호모토피 범주의 특정 몫 사이의 동치를 얻는 것이 가능하다.^[5] 일반적으로 이러한 몫은 유도 범주보다 크며, 비순환 복합체의 범주의 일부 하위 범주를 인수 분해하여 얻기 때문이지만, 모든 모듈 복합체가 경계 조건을 부과할 필요 없이 범주의 일부 요소를 결정한다는 장점이 있다. 다른 재구성으로

A

의 유도 범주와 코대수

(A^!)^*

의 '코유도' 범주 사이의 동치가 제공된다.

4. 예

결합 대수의 오퍼라드 $\operatorname{Ass}$ , 가환 결합 대수의 오퍼라드 $\operatorname{Com}$ , 리 대수의 오퍼라드 $\operatorname{Lie}$ 는 모두 이차 오퍼라드이다. 이들은 다음과 같이 주어진다.^[4]

오퍼라드	$\operatorname{Ass}$	$\operatorname{Com}$	$\operatorname{Lie}$
$A$	$K$	$K$	$K$
$E$	$\operatorname{Span}_K\{x_1x_2,x_2x_1\}$	$\operatorname{Span}_K\{x_1x_2\}$	$\operatorname{Span}_K\{[x_1,x_2]\}$
$\dim_KE$	2	1	1
$\sigma$	$x_1x_2\mapsto x_2x_1$	$\operatorname{id}$	$-1$
$\operatorname{Free}(E)(3)$	$\bigoplus_{\sigma\in\operatorname{Sym}(3)}\operatorname{Span}_K\{(x_{\sigma(1)}x_{\sigma(2)})x_{\sigma(3)},(x_{\sigma(1)}(x_{\sigma(2)}x_{\sigma(3)})\}$	$\operatorname{Span}_K\{x(yz),y(zx),z(xy)\}$	$\operatorname{Span}_K\{[x,[y,z]],[y,[z,x]],[z,[x,y]]\}$
$\dim_K\operatorname{Free}(E)(3)$	12	3	3
$R$	$\bigoplus_{\sigma\in\operatorname{Sym}(3)}\operatorname{Span}_K\{(x_{\sigma(1)}x_{\sigma(2)})x_{\sigma(3)}-x_{\sigma(1)}(x_{\sigma(2)}x_{\sigma(3)})\}$	$\operatorname{Span}_K\{x(yz)-y(xz),x(yz)-z(xy)\}$	$\operatorname{Span}_K\{[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]\}$
$\dim_KR$	6	2	1

이들의 코쥘 쌍대 오퍼라드는 각각 다음과 같다.^[4]

$\operatorname{Com}^! = \operatorname{Lie}$
$\operatorname{Lie}^! = \operatorname{Com}$
$\operatorname{Ass}^! = \operatorname{Ass}$

이에 따라, 다음과 같은 동치가 존재한다.

$\operatorname{Ass}$ -대수는 $\operatorname{Ass}$ -초대수와 동치이다.
$\operatorname{Com}$ -대수 (가환 $K$ -결합 대수)는 $\operatorname{Lie}$ -초대수(등급 리 초대수)와 동치이다.
$\operatorname{Com}$ -초대수 (등급 가환 $K$ -결합 대수)는 $\operatorname{Lie}$ -대수 (즉, 등급 $K$ -리 대수)와 동치이다.

4. 1. 이차 결합 대수 / 이차 결합 초대수

결합 오퍼라드

\operatorname{Ass}

위의 이차 대수와 이차 초대수의 개념은 모노이드 범주 구조만으로 정의되며, 대칭 모노이드 범주 구조는 필요하지 않다. 따라서,

\operatorname{Ass}

위의 이차 대수와 이차 초대수의 개념은 서로 동치이다.

이 경우, 이차 대수는 임의의 벡터 공간

:

V=\bigoplus_{i\in\mathbb Z}V_i

으로 생성되는 텐서 대수

:

\operatorname T(V)

및

:

R \subseteq V\otimes V

에 대한 몫 대수

:

\operatorname T(V)/(R)

이다. (여기서

V\setminus\{0\}

는 등급 1을 갖는다.)

코쥘 쌍대 대수는

:

R^\perp = \{\phi \in (V^*)^{\otimes_K2}\colon \phi(r) = 0\;\forall r\in R\} \subseteq (V^*)^{\otimes_K2}

에 대한 몫

:

\operatorname T(V^*)/(R^\perp)

이다. 여기서

V^*

는

V

의 쌍대 공간이다.

이것은 장루이 코쥘이 발견한 고전적인 코쥘 쌍대성이다.

특히,

:

R_\pm(V)=\{u\otimes v\mp v\otimes u\colon u,v\in V\}

인 경우를 생각하면,

:

(R_\pm (V))^\perp = R_\mp(V^*)

이다. 따라서,

:

\operatorname{Sym}(V)^! = \bigwedge(V^*)

:

\bigwedge(V)^! = \operatorname{Sym}(V^*)

이다. 즉, 코쥘 쌍대성은 대칭 대수와 외대수 사이의 쌍대성을 정의한다.

4. 2. 이차 가환 대수 / 이차 리 초대수

가환 오퍼라드

\operatorname{Com}

위의 이차 대수는 벡터 공간

V

로 생성되는 대칭 대수

:

\operatorname{Sym}(V)

및

:

R \subseteq \operatorname{Sym}^2(V)

에 대한 몫

:

B=\operatorname{Sym}(V)/R

이다. 이는 가환환이다.^[10]

이에 대응되는 쌍대 초대수는 다음과 같다.^[10] 우선, 이 대수

B

를 결합 대수로 여겨, 그 코쥘 쌍대 대수

B^!

를 정의할 수 있다. 그렇다면, 이는 표준적으로 등급 가환 호프 대수의 구조를 가지며, 따라서 어떤 정수 등급 리 초대수

\mathfrak b

의 보편 포락 대수로 표현된다.

:

B^! \cong \operatorname U(\mathfrak b)

이 등급 리 초대수는

\operatorname{Lie}

오퍼라드 위의 이차 초대수를 이룬다. 특히, 이는 등급 1의 원소만으로 생성된다.

4. 3. 이차 가환 초대수 / 이차 리 대수

리 대수

\mathfrak g

가 주어졌을 때, 그 보편 포락 대수

\operatorname U(\mathfrak g)

를 결합 대수로 여겨 코쥘 쌍대 대수

\operatorname U(\mathfrak g)^!

를 취할 수 있다. 이는 등급 1의 생성원들로 생성되는 등급 가환 등급 대수이다.

\operatorname{Com}

위의 이차 초대수는 어떤 외대수

\bigwedge(V)

의 몫 대수

\bigwedge(V)/R

(

R\subseteq \bigwedge^2(V)

)이다. 완전열

R^\perp \subseteq \bigwedge^2(V^*)

이므로, 이는

V^*

로 생성되는 자유 리 대수의 리 대수 아이디얼을 생성한다. 따라서, 그 몫 리 대수를 취할 수 있으며, 이는 정수 등급을 갖는다. 이는

\operatorname{Com}

-이차 초대수에 대응하는

\operatorname{Lie}

-이차 대수이다.

긴즈버그(Ginzburg)와 카프라노프(Kapranov)는 이차 오퍼라드의 개념을 도입하고 이러한 오퍼라드의 이차 쌍대성을 정의하여 코쥘 쌍대성의 개념을 확장했다.^[9] 오퍼라드는 모든 ''n''에 대해 ''n''항 연산의 객체로 구성된 대수적 구조이다. 오퍼라드 위의 대수는 이러한 ''n''항 연산이 작용하는 객체이다. 예를 들어, 결합적 오퍼라드의 대수는 결합 대수(비가환환, 비가환 등급환, 미분 등급환)이다. 가환 오퍼라드 위의 대수는 가환 대수(가환환, 등급환, 미분 등급환)이다. 리 오퍼라드의 대수는 리 대수이다. 결합 오퍼라드는 자기 쌍대적이고, 가환 오퍼라드와 리 오퍼라드는 이 쌍대성 하에서 서로 대응된다.

오퍼라드에 대한 코쥘 쌍대성은 쌍대 오퍼라드 위의 대수 사이의 동치 관계를 나타낸다. 결합 대수의 특수한 경우는 위에서 언급한 함수

A \mapsto A^!

를 돌려준다.

4. 4. L∞-대수

L∞-대수는 Lie 오퍼라드 위의 호모토피 대수 구조이며, 자유 등급 가환 대수 위의 미분 연산으로 주어진다.^[1]

5. 역사

장루이 코쥘의 이름을 땄다. 코쥘 쌍대성의 오퍼라드를 통한 공식화는 빅토르 긴즈부르크(Виктор Гинзбург^ru)와 미하일 카프라노프(Михаил Капранов^ru)가 1994년에 도입하였다.^[10]

코쥘 쌍대성은 알렉산더 베일린슨, 빅토르 긴즈버그, 볼프강 쇠르게르^[4]에 의해 다뤄졌으며, 코쥘 대수의 개념을 사용하여 공식화할 수 있다.

참조

_[1] 웹사이트 Koszul algebras and Koszul duality http://sbseminar.wor[...] Ben Webster 2007-11-01
_[2] 논문 Equivariant cohomology, Koszul duality, and the localization theorem 1998
_[3] 서적 Algebraic bundles over $P^n$ and problems of linear algebra 1978
_[4] 논문 Koszul duality patterns in representation theory 1996
_[5] 간행물 Koszul duality and equivalences of categories http://www.ams.org/t[...] 2006-01-01
_[6] 서적 On DG-modules over the de Rham complex and the vanishing cycles functor Springer, Berlin 1991
_[7] 간행물 Two kinds of derived categories, Koszul duality, and comodule-contramodule correspondence. 2011
_[8] 서적 Degeneration of abelian varieties. Springer-Verlag, Berlin 1990
_[9] 논문 Koszul duality for operads. 1994
_[10] 저널

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