콘웨이군 (수학)

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1. 개요
2. 역사
3. 리치 격자와 콘웨이 군
- 3.1. 단항 부분군 N
- 3.2. 부분 격자 군
4. 다른 산재군과의 관계
5. 일반화된 가공할 헛소리
참조

1. 개요

콘웨이 군은 24차원 유클리드 공간의 리치 격자의 대칭성을 나타내는 군으로, 존 콘웨이가 존 리치와 존 G. 톰프슨과 함께 연구하여 발견했다. 가장 큰 콘웨이 군 Co₁은 8,315,553,613,086,720,000의 위수를 갖는 단순군이며, Co₂, Co₃와 같은 다른 콘웨이 군도 존재한다. 콘웨이 군은 다른 산재군들과 관련이 있으며, 가공할 헛소리와도 연관된다.

2. 역사

1964년경 존 리치는 고차원 유클리드 공간에서의 조밀한 구 채우기 문제를 연구하던 중, 훗날 리치 격자라고 불리게 되는 24차원 격자를 발견했다. 리치는 이 격자의 대칭군이 흥미로운 단순군을 포함할 가능성이 있다고 생각했지만, 군론 전문가의 도움이 필요하다고 느꼈다. 여러 수학자에게 도움을 구한 끝에, 존 콘웨이가 이 문제에 참여하기로 했다. 존 톰프슨 역시 군의 위수를 알게 된다면 관심을 가질 것이라고 언급했다. 콘웨이는 연구에 오랜 시간이 걸릴 것으로 예상했지만, 몇 차례의 논의를 통해 예상보다 빠르게 결과를 얻을 수 있었다.

한편, 에른스트 비트는 자신이 1940년에 이미 리치 격자를 발견했으며, 그 자기동형군 Co₀의 위수까지 계산했다고 주장하기도 했다.

3. 리치 격자와 콘웨이 군

리치 격자(Λ)는 1964년경 존 리치가 고차원 유클리드 공간에서의 조밀한 구 채우기 문제를 연구하던 중 발견한 24차원 격자이다. 리치는 이 격자의 대칭군이 흥미로운 단순군과 관련이 있을 것으로 생각하고 군론 전문가의 도움을 구했으며, 존 호턴 콘웨이가 이 문제에 함께 참여했다. 존 그리그스 톰프슨은 군의 위수를 계산하면 의미가 있을 것이라고 제안했고, 콘웨이는 예상보다 빠르게 연구 결과를 얻을 수 있었다.

콘웨이 군은 리치 격자의 대칭성을 나타내는 군들을 말한다. 가장 큰 콘웨이 군 Co₀는 리치 격자의 전체 자기동형군이다. 이의 부분군인 Co₁은 리치 격자의 회전 대칭만을 포함하는 군으로, 그 위수는 8,315,553,613,086,720,000이며 단순군이다. 다른 주요 콘웨이 군으로는 특정 벡터의 안정자군인 Co₂와 Co₃가 있다. Co₂는 (−3, 1²³) 형태의 벡터를 고정시키는 군으로 위수는 42,305,421,312,000이며, Co₃는 (5, 1²³) 형태의 벡터를 고정시키는 군으로 위수는 495,766,656,000이다. 이들 군에 대한 자세한 구조는 하위 섹션에서 다룬다.

한편, 에른스트 비트는 자신이 1940년에 이미 리치 격자를 발견했으며, 그 자기동형군 Co₀의 위수까지 계산했다고 주장하기도 했다.

3. 1. 단항 부분군 N

콘웨이는 Co₀에 대한 조사를 '''N'''이라고 이름 붙인 부분군에서 시작했다. 이 부분군 N은 확장된 이진 골레이 코드의 holomorph(대각 성분이 1 또는 -1인 대각 행렬)와 M₂₄(순열 행렬)로 구성된다. 그 구조는 다음과 같이 표현된다: '''N''' ≈ 2¹²:M₂₄.

이진 골레이 코드의 표준 표현 방식은 24개의 좌표를 배열하여, 4개의 6개 블록(사중체, tetrad)이 섹스텟을 형성하도록 한다.

Co₀의 행렬들은 직교 행렬이다. 즉, 내적을 보존하며, 각 행렬의 역행렬은 전치 행렬과 같다. 또한 Co₀에는 행렬식이 −1인 행렬이 존재하지 않는다.

리치 격자 Λ는 특정 유형 2 벡터들의 집합 Λ₂에 의해 생성되는 '''Z'''-가군으로 정의될 수 있다. 이 Λ₂는 군 N의 작용 아래에서 크기가 각각 1104, 97152, 98304인 세 개의 궤도로 나뉜다. Λ₂의 전체 크기는 |Λ₂| = 196,560 = 2⁴⋅3³⋅5⋅7⋅13이다. 콘웨이는 Co₀가 Λ₂에 대해 추이적으로 작용할 것이라 강하게 추측했고, 실제로 단항이 아니면서 정수 행렬도 아닌 새로운 행렬을 발견했다.

예시로 다음과 같은 4x4 행렬 ''η''를 생각할 수 있다.

:

\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 &  -1 & -1 & -1 \\

1 & 1 & -1 & -1 \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -1 & -1 & 1

\end{pmatrix}

이 ''η''와 −''η''를 홀수 개 사용하여 6개의 블록 합으로 행렬 ''ζ''를 정의할 수 있다.^[1]^[2] ''ζ''는 대칭 행렬이면서 직교 행렬이므로 대합이다. 이 행렬은 N의 작용 하에서 서로 다른 궤도에 속한 벡터들을 교환하는 역할을 한다.

Co₀의 위수(|Co₀|)를 계산하기 위해 유형 4 벡터의 집합인 Λ₄를 고려하는 것이 유용하다. 모든 유형 4 벡터는 2Λ를 법으로 하여 서로 합동인 48개의 벡터 중 하나이며, 이들은 24개의 직교 쌍 {''v'', –''v''}으로 나뉜다. 이 48개 벡터의 집합을 '''프레임''' 또는 '''십자'''라고 부른다. 군 N은 (±8, 0²³) 형태의 벡터 48개로 이루어진 표준 프레임을 하나의 궤도로 가진다. 특정 프레임을 고정시키는 부분군은 N의 켤레류이다. N에서 골레이 부호와 동형인 2¹² 크기의 부분군은 프레임 벡터들의 부호를 바꾸는 방식으로 작용하고, M₂₄는 프레임을 이루는 24개의 벡터 쌍을 순열하는 방식으로 작용한다.

Co₀는 Λ₄에 대해 추이적으로 작용한다는 것을 보일 수 있다. 콘웨이는 N의 위수 |N| = 2¹²|M₂₄|에 프레임의 수(|Λ₄|/48 = 8,252,375 = 3⁶⋅5³⋅7⋅13)를 곱하여 Co₀의 위수를 계산했다. 이 계산은 N을 포함하는 Co₀의 "임의의" 부분군의 위수를 제공하며, 이를 통해 N이 Co₀의 극대 부분군이고 Co₀의 2-실로우 부분군을 포함한다는 것을 알 수 있다. 또한 N은 모든 성분이 정수인 행렬들로 구성된 Co₀ 내의 부분군이기도 하다.

리치 격자 Λ는 (±8, 0²³) 형태의 벡터를 포함하므로, Co₀는 모든 성분의 분모가 8의 약수인 유리수 행렬들로 구성된다.

3. 2. 부분 격자 군

콘웨이와 톰프슨은 1969년 회의록에 설명된 네 개의 산재군이 Co₀의 부분군 또는 부분군의 몫과 동형임을 발견했다.

콘웨이는 점을 접두사로 붙인 점과 부분공간의 안정자에 대한 표기법을 사용했다. Co₀ 및 Co₁인 .0 및 .1은 예외이다. 정수 ''n'' ≥ 2에 대해 .n은 리치 격자에서 유형 ''n''인 점의 안정자를 나타낸다.

콘웨이는 원점을 정점으로 하는 삼각형으로 정의된 평면의 안정자를 명명했다. .hkl을 유형 ''h'', ''k'' 및 ''l''의 모서리(정점의 차이)가 있는 삼각형의 점별 안정자라고 하자. 이러한 삼각형은 h-k-l 삼각형이라고 한다. 가장 단순한 경우에 Co₀는 문제에서의 점 또는 삼각형에 전이적이고 안정자 군은 켤레의 차이를 무시하고 정의된다.

콘웨이는 .322를 매클로플린 군 McL (위수 898,128,000)과, .332를 히그먼-심스 군 HS (위수 44,352,000)와 동일시했으며, 이 두 그룹 모두 당시에 최근 발견된 것이었다.

다음은 일부 부분 격자 군의 표이다.^[3]^[4]

이름	차수	구조	예시 정점
•2	2¹⁸ 3⁶ 5³ 7 11 23	Co₂	(−3, 1²³)
•3	2¹⁰ 3⁷ 5³ 7 11 23	Co₃	(5, 1²³)
•4	2¹⁸ 3² 5 7 11 23	2¹¹:M₂₃	(8, 0²³)
•222	2¹⁵ 3⁶ 5 7 11	PSU₆(2) ≈ Fi₂₁	(4, −4, 0²²), (0, −4, 4, 0²¹)
•322	2⁷ 3⁶ 5³ 7 11	McL	(5, 1²³),(4, 4, 0²²)
•332	2⁹ 3² 5³ 7 11	HS	(5, 1²³), (4, −4, 0²²)
•333	2⁴ 3⁷ 5 11	3⁵:M₁₁	(5, 1²³), (0, 2¹², 0¹¹)
•422	2¹⁷ 3² 5 7 11	2¹⁰:M₂₂	(8, 0²³), (4, 4, 0²²)
•432	2⁷ 3² 5 7 11 23	M₂₃	(8, 0²³), (5, 1²³)
•433	2¹⁰ 3² 5 7	2⁴.A₈	(8, 0²³), (4, 2⁷, −2, 0¹⁵)
•442	2¹² 3² 5 7	2¹⁺⁸.A₇	(8, 0²³), (6, −2⁷, 0¹⁶)
•443	2⁷ 3² 5 7	M₂₁:2 ≈ PSL₃(4):2	(8, 0²³), (5, −3, −3, 1²¹)

4. 다른 산재군과의 관계

두 개의 산재군은 리치 격자 구조의 안정자(stabilizer)의 몫(quotient)으로 정의할 수 있다. 실수 벡터 공간 '''R'''²⁴를 복소 벡터 공간 '''C'''¹²로 보고, 리치 격자 Λ를 아이젠슈타인 정수 계수 격자 $\mathbf{Z}\left[e^{\frac{2}{3}\pi i}\right]^{12}$ 로 식별하면, 복소 구조를 보존하는 리치 격자의 자기동형군을 위수 6인 복소 스칼라 행렬 그룹으로 나눈 몫으로 '''스즈키 군''' Suz (위수 448,345,497,600)를 얻는다. 이 군은 1968년 스즈키 미치오가 발견했다.

비슷한 방식으로, 리치 격자 Λ의 사원수 자기동형군 그룹을 위수 2인 스칼라 그룹 {±1}으로 나눈 몫으로 '''홀-얀코 군''' J₂ (위수 604,800)를 얻는다.

콘웨이 군들과 위에서 설명된 스즈키 군, 홀-얀코 군을 포함한 총 일곱 개의 단순군은 로버트 그리이스가 'Happy Family'의 2세대라고 부른 그룹을 형성한다. 이는 괴물군 내부에 부분군으로 포함되는 20개의 산재 단순군 그룹의 일부이다. 이 2세대 군들 중 일부는 '1세대'로 불리는 다섯 개의 마티외 군 중 적어도 일부를 부분군으로 포함한다.

5. 일반화된 가공할 헛소리

콘웨이와 사이먼 노턴(Simon Norton)은 1979년 논문에서 가공할 헛소리(Monstrous Moonshine) 현상이 괴물군에만 국한되지 않고 다른 산재군에도 나타날 수 있다고 제안했다. 이후 라리사 퀸(Larissa Queen)과 다른 연구자들은 산재군의 차원의 단순한 조합으로부터 많은 하우프트모듈(Hauptmoduln)의 전개를 구성할 수 있음을 발견했다.

콘웨이 군의 경우, 관련된 맥케이-톰슨 급수(McKay-Thompson series)는 다음과 같다.

$T_{2A}(\tau)$ = {1, 0, 276, −2048, 11202, −49152, ...} (OEIS A007246)
$T_{4A}(\tau)$ = {1, 0, 276, 2048, 11202, 49152, ...} (OEIS A097340)

이 중

T_{4A}(\tau)

와 관련된 함수

j_{4A}(\tau)

는 다음과 같이 정의되며, 상수항은 24이다.

:

\begin{align}j_{4A}(\tau)&= T_{4A}(\tau) + 24 \\&= \left(\frac{\eta^2(2\tau)}{\eta(\tau)\,\eta(4\tau)}\right)^{24} \\&= \left(\left(\frac{\eta(\tau)}{\eta(4\tau)}\right)^4 + 4^2 \left(\frac{\eta(4\tau)}{\eta(\tau)}\right)^4\right)^2 \\&= \frac{1}{q} + 24 + 276q + 2048q^2 + 11202q^3 + 49152q^4 + \dots\end{align}

여기서 ''η''(''τ'')는 데데킨트 에타 함수이다.

참조

_[1] 서적
_[2] 서적
_[3] 서적
_[4] 서적
_[5] 서적
_[6] 서적

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