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가공할 헛소리

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목차

1. 개요

가공할 헛소리는 괴물군과 모듈러 함수, 특히 j-불변량 사이의 관계를 탐구하는 수학 이론이다. 1970년대 존 맥케이가 j-불변량의 푸리에 급수 계수가 괴물군의 기약 표현 차원과 관련이 있다는 것을 발견하면서 시작되었다. 콘웨이와 노턴은 이 관계를 확장하여 맥케이-톰슨 급수를 계산했고, 보처즈는 문샤인 모듈을 구성하여 이 추측을 증명, 필즈상을 수상했다. 가공할 헛소리는 괴물군뿐만 아니라 다른 산재군과 모듈러 함수 사이의 관계를 탐구하는 일반화된 가공할 헛소리 이론으로 발전했다. 이 이론은 끈 이론, 등각장론, 양자 중력 등 수리물리학과 연관되어 연구되고 있으며, 마티외 문샤인과 같은 관련 현상도 존재한다.

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가공할 헛소리

2. 역사

가공할 헛소리의 역사는 1970년대 후반 존 맥케이의 관찰에서 시작되어, 콘웨이와 노턴의 추측, 프렌켈, 레포스키, 뮤르만의 문샤인 모듈 구성, 그리고 보처즈의 증명으로 이어진다.

1978년, 존 맥케이는 j-불변량의 푸리에 급수에서 처음 몇 항의 계수가 괴물군의 기약 표현의 차원과 관련이 있다는 것을 발견했다.

이후 콘웨이와 노턴은 맥케이의 관찰을 바탕으로 괴물군의 각 원소에 대해 맥케이-톰슨 급수를 정의하고, 이 급수가 특정 모듈러 함수의 푸리에 급수 전개와 일치한다는 가설(컨웨이-노턴 추측)을 제시했다.

1980년대에 프렌켈, 레포스키, 뮤르만은 정점 연산자 대수를 사용하여 문샤인 모듈을 구성하고, 이 모듈의 자기 동형 사상군이 괴물군임을 보였다.

1992년, 보처즈는 일반화된 카츠-무디 대수와 끈 이론을 이용하여 콘웨이-노턴 추측을 증명하였다. 이 공로로 그는 1998년 필즈상을 수상했다.[9]

2. 1. 매케이의 관찰 (1978년)

1978년, 존 맥케이는 정규화된 J-불변량의 푸리에 급수 처음 몇 항의 계수가 몬스터 그룹 ''M''의 r_n 기약 표현 차원의 선형 결합으로 표현될 수 있음을 발견했다. (단, 계수는 음이 아닌 작은 정수이다.) J-불변량은 다음과 같다.

:J(\tau) = \frac{1} + 744 + 196884{q} + 21493760{q}^2 + 864299970{q}^3 + 20245856256{q}^4 + \cdots

여기서 {q} = e^{2\pi i\tau}이며, ''τ''는 반 주기 비이다. ''M''의 기약 표현 차원 r_n = 1, 196883, 21296876, 842609326, 18538750076, 19360062527, 293553734298, ... 일 때, 다음과 같은 관계가 성립한다.

:\begin{align}

1 & = r_1 \\

196884 & = r_1 + r_2 \\

21493760 & = r_1 + r_2 + r_3 \\

864299970 & = 2r_1 + 2r_2 + r_3 + r_4 \\

20245856256 & = 3r_1 + 3r_2 + r_3 + 2r_4 + r_5 = 2r_1+ 3r_2 + 2r_3 + r_4 + r_6\\

333202640600 & = 5r_1 + 5r_2 + 2r_3 + 3r_4 + 2r_5 + r_7 = 4r_1 + 5r_2 + 3r_3 + 2r_4 + r_5 + r_6 + r_7\\

\end{align}

좌변은 j(\tau)의 계수이고, 우변의 정수 r_n은 몬스터 그룹 ''M''의 기약 표현 차원이다. (단, r_1 - r_3 + r_4 + r_5 - r_6 = 0과 같이 r_n 사이에 여러 선형 관계가 있으므로, 위 표현은 유일하지 않다.)

맥케이는 ''J''의 계수가 ''M''의 자연 발생적인 무한 차원 등급 표현의 힐베르트-푸앵카레 급수 차원이며, 낮은 차수 항들이 위와 같이 기약 표현으로 분해된다는 증거로 보았다. 그는 이 관찰을 존 G. 톰슨에게 알렸고, 톰슨은 등급 차원이 항등원의 등급 trace이므로, ''M''의 항등원이 아닌 원소 ''g''에 대한 등급 trace도 흥미로울 것이라고 제안했다.

2. 2. 콘웨이-노턴 추측 (1979년)

존 호턴 콘웨이와 사이먼 노턴은 존 맥케이의 관찰을 확장하여, 괴물군의 각 원소에 대해 대응되는 맥케이-톰슨 급수가 존재하고, 이 급수들이 특정 모듈러 함수의 푸리에 급수 전개와 일치한다는 가설을 제시했다.[4] 즉, 괴물군의 각 원소 ''g''에 대해 맥케이-톰슨 급수 ''T''''g''가 존재하고, ''G''''g''가 ''T''''g''를 고정하는 SL2('''R''')의 부분군이라면, 복소 평면의 상반 평면을 ''G''''g''로 나눈 몫이 유한 개의 점이 제거된 구면이 되며, ''T''''g''는 이 구면에 대한 유리형 함수의 체를 생성한다는 것이다.

컨웨이와 노턴은 이 계산을 바탕으로 하우프트모듈 목록을 작성하고, 등급별 흔적 ''T''''g''가 정확히 해당 목록에 있는 함수의 푸리에 급수와 같은 M의 무한 차원 등급 표현이 존재한다고 추측했다.

2. 3. 문샤인 모듈 구성 (1980년대)

이고르 프렌켈, 제임스 레포스키, 아르네 뮤르만은 정점 연산자 대수를 이용하여 문샤인 모듈 V^\natural을 구성하였다.[4] 이들은 두 가지 주요 도구를 사용했는데, 첫 번째는 랭크 24의 리치 격자 ''L''에 대한 격자 정점 연산자 대수 ''V''''L''의 구성이다. 물리학 용어로는 토러스 '''R'''24/''L'' 상에 콤팩트화된 보손 끈 이론의 카이랄 대수이다. 두 번째 도구는 오비폴드 구성으로, 몫 오비폴드에서 전파되는 보손 끈을 설명한다. 프렌켈-레포스키-뫼르망의 구성은 등각장론에 오비폴드가 처음 등장한 사례였다. 이들은 문샤인 모듈의 자기 동형 사상군이 괴물군 ''M''임을 보였다.[8]

2. 4. 보처즈의 증명 (1992년)

리처드 보처즈는 일반화된 카츠-무디 대수와 끈 이론의 결과를 이용하여 콘웨이-노턴 추측을 증명하였다.[9] 이 업적으로 보처즈는 1998년 필즈상을 수상하였다.[9]

보처즈의 증명은 다음과 같은 주요 단계로 이루어져 있다.

1. 정점 연산자 대수 V에서 시작한다. 이 대수는 자기 동형에 의한 M(몬스터 군)의 작용과 차수 차원 j를 가진다. 이것은 문샤인 가군에 의해 얻어지며, 몬스터 정점 대수 또는 몬스터 VOA라고 불린다.

2. 리 대수 \mathfrak{m}을 양자화 함자를 사용하여 V로부터 구성한다. 이 리 대수는 자기 동형에 의한 몬스터 작용을 갖는 일반화된 카츠-무디 대수이다. 끈 이론의 고다드-손의 "노고스트" 정리를 사용하면, 근의 중복도가 j의 계수임을 알 수 있다.

3. 고이케-노턴-자기에 무한 곱 등식을 사용하여 생성자와 관계로부터 일반 카츠-무디 리 대수를 구축한다. 이 등식은 ''j''에 헤케 연산자를 적용하면 ''j''의 다항식이 유도된다는 것을 이용하여 증명된다.

4. 근의 중복도를 비교함으로써, 두 리 대수가 동형임을 알 수 있다. 특히 \mathfrak{m}에 대한 바일 분모 공식(Weyl denominator formula)은 정확히 고이케-노턴-자기에 등식과 일치한다.

5. 리 대수 호몰로지와 아담스 연산자를 사용함으로써, 각 원소에 대해 꼬인 분모 공식을 제공한다. 이러한 등식은 고이케-노턴-자기에 등식을 ''j''에 연결하는 것과 거의 같은 방식으로, 매카이-톰슨 급수 Tg에 연결된다.

6. 꼬인 분모 공식으로부터 Tg의 계수에 대한 재귀적인 관계식이 유도된다. 이러한 관계식은 처음 7개의 항이 컨웨이와 노턴에 의해 주어진 함수와 일치하는 것을 확인하는 것만으로도 충분히 강력하다.

이러한 방식으로 증명이 완성되었다.[9] 보처즈는 훗날 "문샤인 추측을 증명했을 때, 나는 마치 달을 뛰어넘는 듯한 춤을 추는 기분이었다."라고 회상했다.[10]

3. 주요 내용

j-불변량의 푸리에 급수는 q=\exp(2\pi i\tau)를 사용하여 표현하면 다음과 같다.

:j(\tau) = \frac1q + 744 + 196884 q^1 + 21493760 q^2 + 864299970 q^3 + 20245856256 q^4 + 333202640600q^5+\cdots

이 계수들은 괴물군의 기약 표현의 차원과 관계가 있는데, 이 관계가 바로 '가공할 헛소리'이다. 예를 들어, 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\begin{align}

1 & = 1 \\

196884 & = 196883 + 1 \\

21493760 & = 21296876 + 196883 + 1 \\

864299970 & = 842609326 + 21296876 + 2\cdot 196883 + 2\cdot 1 \\

20245856256&=18538750076+2\cdot842609326+21296876+3\cdot196883+3\cdot1\\

&=19360062527+842609326+2\cdot21296876+3\cdot196883+2\cdot1\\

333202640600 & =293553734298+2\cdot 18538750076+3\cdot 842609326+2\cdot 21296876+5\cdot 196883+5\cdot 1\\

& =293553734298+19360062527+ 18538750076+2\cdot 842609326+3\cdot 21296876+5\cdot 196883+4\cdot 1\\

4252023300096 & =3879214937598+293553734298+4\cdot 18538750076+6\cdot842609326+2\cdot21296876+7\cdot196883+7\cdot 1 \\

& {}\,\,\, \vdots

\end{align}



리처드 보처즈는 리치 격자(Leech lattice)에 축소화한 보손 끈 이론을 사용하여 이 관계를 설명했고, 이론물리학과 대수적 정수론의 연관성을 보여주는 등각장론(conformal field theory) 연구로 필즈상을 수상했다.[17]

콘웨이와 노턴의 추측 증명은 다음과 같은 단계로 이루어진다.

1. 불변 쌍선형 형식을 갖는 정점 연산자 대수 ''V''에서 시작한다. (프렌켈-레포스키-머먼의 문샤인 모듈 구성)

2. 리 대수 \mathfrak{m}(몬스터 리 대수)를 ''V''로부터 구성한다. (일반화된 카츠-무디 대수)

3. 헤케 연산자를 ''J''에 적용하여 생성자와 관계에 의해 일반화된 카츠-무디 리 대수를 구성한다. (코이케-노턴-자기에 무한 곱 등식)

4. 근 중복도를 비교하여 두 리 대수가 동형임을 확인하고, \mathfrak{m}에 대한 바일 분모 공식이 코이케-노턴-자기에 등식과 일치함을 보인다.

5. 리 대수 호몰로지와 아담스 연산을 사용하여 꼬인 분모 등식을 유도한다.

6. 꼬인 분모 등식은 맥케이-톰슨 급수 ''T''g의 계수에 대한 재귀 관계를 나타내며, 이를 통해 콘웨이와 노턴의 후보 함수가 증명된다.

보처즈는 문샤인 추측을 증명했을 때 매우 기뻤다고 회고했다.[17] 최근 연구에서는 증명의 마지막 단계가 단순화되기도 했다.

1979년, 콘웨이와 노턴은 몬스터 군뿐 아니라 다른 군에서도 유사한 현상이 나타날 수 있다고 제안했다. 1980년 라리사 퀸은 산재군의 기약 표현 조합으로 많은 Hauptmoduln의 전개를 구성할 수 있음을 보였다. 1987년 노턴은 이를 바탕으로 일반화된 문샤인 추측을 공식화했다.

1978년, 존 매케이(John McKay)는 j-불변량 푸리에 전개의 처음 몇 개 항 계수가 몬스터군 M의 기약 표현 차원의 선형 결합으로 나타낼 수 있음을 발견했다.[19] 존 톰슨은 이러한 표현에서 M의 비자명원 g의 차수 트레이스가 주목할 만한 대상이 된다고 제안했다.

콘웨이와 노턴은 맥케이-톰슨 급수 Tg를 계산하여 트레이스 전부가 Hauptmodul의 전개로 나타나는 것을 발견했다. 이들은 Hauptmodul 목록을 작성하고, M의 무한 차원 차수 표현의 존재를 예상했다(컨웨이-노턴 추측).

1980년, 올리버 아킨 등은 컴퓨터 계산으로 j의 계수를 M의 표현으로 분해하여 차수 표현의 존재를 보였다. 이고르 프렌켈(Igor Frenkel) 등은 문샤인 가군 V^\natural을 구체적으로 구성하고, 이 벡터 공간이 꼭짓점 연산자 대수(vertex operator algebra) 구조를 가지며, 그 자기 동형군이 M과 일치함을 보였다.

3. 1. 괴물군 (Monster Group)

괴물군(Monster Group)은 가장 큰 산재군(sporadic group)으로, 그 크기는 약 8 x 1053에 달한다. 괴물군은 유한 단순군의 분류에서 예외적인 위치를 차지하며, 그 구조와 표현론은 매우 복잡하다. 1970년대에 존 매케이는 괴물군의 가장 작은 충실한 복소수 표현의 차수(196883)가 모듈러 함수와 관련된 특정 수열의 계수(196884)보다 정확히 1 작다는 것을 발견했고, 이를 콘웨이에게 말했을 때 콘웨이는 "헛소리"라고 답했는데, 여기서 "가공할 헛소리"라는 용어가 유래했다.[17]

존 톰슨은 몬스터 군의 크기를 나누는 소인수(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59, 71)와 특정 모듈러 군에 관련된 리만 곡면의 종수가 0이 되는 소수들이 일치한다는 앤드루 오그의 발견을 듣고, 이를 설명하는 사람에게 잭 다니엘스 위스키 한 병을 주겠다고 제안한 일화가 있다.[19]
한국의 수학자들은 괴물군을 비롯한 산재군의 연구에 적극적으로 참여하고 있으며, 특히 이 군의 조합론적, 기하학적 성질에 대한 연구가 활발하다.

3. 2. j-불변량 (j-invariant)

j-불변량은 타원 곡선의 동형류를 분류하는 모듈러 함수이다. j-불변량은 푸리에 급수로 전개될 수 있으며, 그 계수들은 정수이다.

q=\exp(2\pi i\tau)를 사용하여 j-불변량의 푸리에 급수를 표현하면 다음과 같다.

:j(\tau) = \frac1q + 744 + 196884 q^1 + 21493760 q^2 + 864299970 q^3 + 20245856256 q^4 + 333202640600q^5+\cdots

이 급수의 계수들은 괴물군의 기약 표현들의 차원과 일정한 관계를 가지는데, 이 관계를 가공할 헛소리라고 한다. 예를 들어, 196884는 196883 + 1로, 21493760은 21296876 + 196883 + 1로 표현될 수 있다.

이러한 관계는 리처드 보처즈가 리치 격자(Leech lattice)를 축소화한 보손 끈 이론을 통해 설명하였고, 이론물리학과 대수적 정수론의 깊은 연관성을 보여주는 등각장론(conformal field theory) 연구로 필즈상을 수상하였다.

콘웨이와 노턴의 추측 증명은 다음과 같은 주요 단계로 이루어져 있다.

1. 불변 쌍선형 형식을 갖는 정점 연산자 대수 ''V''에서 시작한다.

2. 리 대수 \mathfrak{m}(몬스터 리 대수)를 ''V''로부터 구성한다.

3. 헤케 연산자를 ''J''에 적용하여 생성자와 관계에 의해 일반화된 카츠-무디 리 대수를 구성한다.

4. 근 중복도를 비교하여 두 리 대수가 동형임을 확인하고, \mathfrak{m}에 대한 바일 분모 공식이 코이케-노턴-자기에 등식과 일치함을 보인다.

5. 리 대수 호몰로지와 아담스 연산을 사용하여 꼬인 분모 등식을 유도한다.

6. 꼬인 분모 등식이 맥케이-톰슨 급수 ''T''g의 계수에 대한 재귀 관계를 암시하며, 이 관계를 통해 콘웨이와 노턴의 후보 함수가 증명된다.

보처즈는 문샤인 추측을 증명했을 때 매우 기뻤다고 회고했다. 최근 연구에서는 증명의 마지막 단계가 단순화되기도 했다.

1970년대에 장-피에르 세르, 앤드루 오그, 존 G. 톰슨은 SL2('''R''')의 부분군으로 쌍곡 평면을 나눈 결과, 특정 소수 ''p''에 대해 리만 곡면의 종수가 0이 됨을 발견했다. 이 소수들은 몬스터군의 크기의 소인수와 일치했으며, 오그는 이 사실을 설명하는 사람에게 잭 다니엘스 위스키 한 병을 제공하겠다고 제안했다.[19]

"몬스트러스 문샤인(monstrous moonshine)"이라는 용어는 콘웨이가 명명했는데, 이는 j-불변량의 계수와 몬스터 군의 차원 사이의 관계가 믿기 어려울 정도로 기묘하다는 의미를 담고 있다.[17]

3. 3. 맥케이-톰슨 급수 (McKay-Thompson Series)

맥케이-톰슨 급수는 괴물군의 각 원소에 대응되는 모듈러 함수이다.[19] 이 급수들은 Hauptmodul의 성질을 가지며, j-불변량과 밀접하게 관련되어 있다. 맥케이-톰슨 급수는 가공할 헛소리 이론의 핵심적인 구성 요소이다.

콘웨이와 노턴의 추측 증명에는 맥케이-톰슨 급수에 대한 꼬인 분모 등식이 사용되었다.[17] 이 등식은 코이케-노턴-자기에 등식이 ''J''와 관련된 방식과 매우 유사하게 맥케이-톰슨 급수 ''T''g와 관련이 있다. 꼬인 분모 등식은 ''T''g의 계수에 대한 재귀 관계를 나타낸다.

3. 4. 문샤인 모듈 (Moonshine Module)

프렌켈, 레포스키, 뫼르만은 문샤인 모듈을 구성하기 위해 다음 두 가지 주요 도구를 사용하였다.

# 랭크 24의 리치 격자 ''L''에 대한 격자 정점 연산자 대수 ''V''''L'' 구성. 이는 보손 끈 이론을 원환면 '''R'''24/''L''에 콤팩트화한 카이랄 대수에 해당한다.

# 오비폴드 구성. 이는 몫 오비폴드에서 전파되는 보손 끈을 설명한다. 리치 격자의 –1 대합에 부착된 ''V''''L''에 대한 대합 ''h''가 있고, ''h''를 올리는 대합을 상속하는 기약 ''h''-꼬임 ''V''''L''-가군이 존재한다. 문샤인 모듈은 ''V''''L''과 꼬임 모듈의 직접 합에서 ''h''의 고정점 부분 공간을 취하여 얻어진다.

이들은 정점 연산자 대수로서 문샤인 모듈의 자기 동형 사상 군이 괴물군 ''M''임을 보였다. 또한, 부분군 21+24.''Co''1의 원소들의 등급별 추적이 컨웨이와 노턴이 예측한 함수와 일치한다는 것을 확인했다.[8]

4. 일반화된 가공할 헛소리

존 콘웨이와 사이먼 노턴은 1979년 논문에서 가공할 헛소리 가설이 괴물군뿐만 아니라 다른 산재군에서도 유사한 현상이 나타날 수 있다고 제안했다.[23] 1980년 라리사 퀸 등은 산재군의 차원을 단순하게 조합하여 많은 하우프트모듈의 전개(매케이-톰슨 급수 Tg)를 구성할 수 있음을 발견했다.

1987년, 노턴은 퀸의 결과와 자신의 계산을 결합하여 일반화된 가공할 헛소리 추측을 공식화했다. 이 추측은 아직 완전히 해결되지 않았지만, 여러 산재군에 대한 증거가 발견되었다.

다음은 산재군과 관련된 하우프트모듈의 전개(매케이-톰슨 급수) Tg 목록이다.

Tg산재군관련 군
T1A괴물군 M
T2A아기 괴물군 F2
T2B콘웨이 군
T3A피셔 군 Fi23, Fi24
T3C톰프슨 군 Th = F3
T4A콘웨이 군
T4A맥클로플린 군 McL
T5A하라다-노턴 군 HN = F5
T6A피셔 군 Fi22
T6B스즈키 산재군 Suz
T7A헬트 군 He = F7
T10A히그먼-심스 군 HS



1988년, 딕슨, 긴스파그, 하비는 일반화된 가공할 헛소리 추측에 대한 물리적 해석을 제시했다.[12] 그들은 벡터 공간 ''V''(''g'')를 몬스터 대칭을 가진 등각장론의 꼬인 섹터로, 함수 ''f''(''g'', ''h'', τ)를 꼬인 경계 조건을 따라 접합하여 토러스를 형성하는 종수 1 분할 함수로 해석했다.

5. 수학 및 물리학과의 연관성

가공할 헛소리는 정수론, 군론, 조합론, 수리물리학 등 다양한 분야를 연결하는 다리 역할을 한다.

리처드 보처즈는 리치 격자(Leech lattice)를 축소화한 보손 끈 이론을 사용하여 가공할 헛소리의 관계를 설명했고, 등각장론(conformal field theory) 연구로 필즈상을 수상했다. 이는 이론물리학이 대수적 정수론과 깊은 관련이 있을 수 있음을 보여준다.[9][10]

에드워드 위튼은 AdS/CFT 대응을 통해 (2+1)차원 반 드지터 공간의 순수 양자 중력과 임계 정칙 CFT 사이의 쌍대성이 유도된다는 것을 제시했다.[13] 그는 최대 음의 우주 상수를 갖는 AdS 공간에서의 중력이 중심 전하 ''c=24''인 정칙 CFT의 AdS/CFT 쌍대이며, 해당 CFT의 분배 함수가 정확히 ''j''-744 (문샤인 가군의 차수화된 지표)라고 제안했다. 그러나 이와 관련된 여러 후속 연구들은 현재 추측에 가깝다.[14][15][16]

5. 1. 정수론

j-불변량의 푸리에 급수는 q=\exp(2\pi i\tau)를 사용하여 다음과 같이 표현된다.

:j(\tau) = \frac1q + 744 + 196884 q^1 + 21493760 q^2 + 864299970 q^3 + 20245856256 q^4 + 333202640600q^5+\cdots

이 급수의 계수들은 가장 큰 예외적 유한 단순군인 괴물군의 기약 표현들의 차원과 일정한 관계를 갖는다.

:

\begin{align}

1 & = 1 \\

196884 & = 196883 + 1 \\

21493760 & = 21296876 + 196883 + 1 \\

864299970 & = 842609326 + 21296876 + 2\cdot 196883 + 2\cdot 1 \\

20245856256&=18538750076+2\cdot842609326+21296876+3\cdot196883+3\cdot1\\

&=19360062527+842609326+2\cdot21296876+3\cdot196883+2\cdot1\\

333202640600 & =293553734298+2\cdot 18538750076+3\cdot 842609326+2\cdot 21296876+5\cdot 196883+5\cdot 1\\

& =293553734298+19360062527+ 18538750076+2\cdot 842609326+3\cdot 21296876+5\cdot 196883+4\cdot 1\\

4252023300096 & =3879214937598+293553734298+4\cdot 18538750076+6\cdot842609326+2\cdot21296876+7\cdot196883+7\cdot1 \\

& {}\,\,\, \vdots

\end{align}



이러한 관계를 가공할 헛소리라고 부른다.

리처드 보처즈는 리치 격자(Leech lattice)에 축소화한 보손 끈 이론을 사용하여 이 관계를 설명하였다. 그는 이론물리학과 대수적 정수론 사이의 깊은 연관성을 보여주는 등각장론(conformal field theory) 연구를 통해 필즈상을 수상하였다. 이 연구는 가공할 헛소리가 꼭지점 연산자 대수와도 관련이 있음을 보여준다.

5. 2. 군론

괴물군을 비롯한 유한 단순군의 분류와 표현론은 가공할 헛소리의 중요한 배경이다.[23] j-불변량의 푸리에 급수 계수들이 가장 큰 예외적 유한 단순군인 괴물군의 기약 표현들의 차원과 일정한 수치에서 서로 관계있음을 보여주는 연결고리가 바로 가공할 헛소리이다.

1979년 존 콘웨이와 사이먼 노턴은 가공할 헛소리 가설이 괴물군에 국한되지 않고 다른 산재군에서도 비슷한 현상이 발견될 수 있다고 제안했다.[23]

이후 리처드 보처즈는 리치 격자(Leech lattice)에 축소화한 보손 끈 이론을 통해 이 관계를 설명했고, 이론물리학과 대수적 정수론의 깊은 연관을 보여주는 등각장론(conformal field theory) 연구로 필즈상을 수상하였다.

한국의 군론 연구자들은 가공할 헛소리 현상을 통해 유한군의 새로운 성질을 발견하고, 이를 다른 분야에 응용하는 연구를 진행하고 있다.

5. 3. 조합론

j-불변량의 푸리에 급수는 q=\exp(2\pi i\tau)를 사용하여 표현하면 다음과 같다.

:j(\tau) = \frac1q + 744 + 196884 q^1 + 21493760 q^2 + 864299970 q^3 + 20245856256 q^4 + 333202640600q^5+\cdots

이 계수들은 가장 큰 예외적 유한 단순군인 괴물군의 기약 표현들의 차원과 일정한 수치에서 서로 관계있음을 보여주는 연결고리이다.

:

\begin{align}

1 & = 1 \\

196884 & = 196883 + 1 \\

21493760 & = 21296876 + 196883 + 1 \\

864299970 & = 842609326 + 21296876 + 2\cdot 196883 + 2\cdot 1 \\

20245856256&=18538750076+2\cdot842609326+21296876+3\cdot196883+3\cdot1\\

&=19360062527+842609326+2\cdot21296876+3\cdot196883+2\cdot1\\

333202640600 & =293553734298+2\cdot 18538750076+3\cdot 842609326+2\cdot 21296876+5\cdot 196883+5\cdot 1\\

& =293553734298+19360062527+ 18538750076+2\cdot 842609326+3\cdot 21296876+5\cdot 196883+4\cdot 1\\

4252023300096 & =3879214937598+293553734298+4\cdot 18538750076+6\cdot842609326+2\cdot21296876+7\cdot196883+7\cdot1 \\

& {}\,\,\, \vdots

\end{align}



이 관계를 가공할 헛소리라고 한다.

리처드 보처즈는 리치 격자(Leech lattice)에 축소화한 보손 끈 이론을 통해 이 관계를 설명하였고, 이론물리학과 대수적 정수론이 꼭지점 연산자 대수에서처럼 서로 깊은 연관이 있을 수 있음을 보여주는 등각장론(conformal field theory) 연구로 필즈상을 수상하였다.

5. 4. 수리물리학

리처드 보처즈는 리치 격자를 축소화(콤팩트화)한 보손 끈 이론을 사용해 가공할 헛소리 관계를 설명했고, 등각장론 연구로 필즈상을 수상했다. 이는 이론물리학이 대수적 정수론과 깊은 관련이 있을 수 있음을 보여준다.

에드워드 위튼은 AdS/CFT 대응을 통해 (2 + 1)차원 반 드 시터 공간의 순수 양자 중력과 극한 홀로모픽 CFT 사이의 이중성을 제안했다.[13]

5. 4. 1. 끈 이론과 등각장론

리처드 보처즈는 리치 격자(Leech lattice)를 축소화(콤팩트화)한 보손 끈 이론을 사용하여 가공할 헛소리의 관계를 설명하였다. 이는 이론물리학이 대수적 정수론과 깊은 연관이 있을 수 있음을 보여주는 등각장론(conformal field theory) 연구로, 필즈상 수상에 기여하였다.

프렌켈-레포스키-뫼르망은 문샤인 모듈 구성을 위해 두 가지 주요 도구를 사용하였다.

# 랭크 ''n''의 짝수 격자 ''L''에 대한 격자 정점 연산자 대수 ''V''''L'' 구성: 보손 끈 이론을 원환면 '''R'''''n''/''L''에 콤팩트화(compactification)한 카이랄 대수이다. 이는 ''n''차원 발진기 표현과 ''L''의 군환의 텐서곱으로 묘사될 수 있다. 여기서 ''L''은 랭크 24를 갖는 리치 격자이다.

# 오비폴드 구성: 몫 오비폴드에서 전파되는 보손 끈을 설명한다. 프렌켈-레포스키-뫼르망의 구성은 등각장론에 처음 등장한 오비폴드였다. 리치 격자의 –1 대합에 부착된 ''V''''L''에 대한 대합 ''h''가 있고, ''h''를 올리는 대합을 상속하는 기약 ''h''-꼬임 ''V''''L''-가군이 있다. 문샤인 모듈은 ''V''''L''과 꼬임 모듈의 직접 합에서 ''h''의 고정점 부분 공간을 취하여 얻는다.

프렌켈, 레포스키, 뫼르망은 정점 연산자 대수로서의 문샤인 모듈의 자기 동형 사상 군이 괴물군 ''M''임을 보였다. 또한, 부분군 21+24.''Co''1의 원소들의 등급별 추적이 컨웨이와 노턴이 예측한 함수와 일치한다는 것을 확인했다.[8]

5. 4. 2. 양자 중력

E. 위튼은 AdS/CFT 대응이 (2 + 1)차원 반 드 시터 공간의 순수 양자 중력과 극한 홀로모픽 CFT 사이의 이중성을 낳는다고 제안했다.[13] (2 + 1)차원 순수 중력은 국소적 자유도를 갖지 않지만, 우주 상수가 음수일 때는 BTZ 블랙홀 해의 존재로 인해 이론에 비자명한 내용이 있다. G. 횬이 도입한 극한 CFT는 저에너지에서 비라소로 기본장이 없다는 특징을 가지며, 문샤인 모듈이 그 예시 중 하나이다.

위튼은 최대한 음의 우주 상수를 갖는 AdS 공간에서의 중력이 중심 전하 ''c=24''인 홀로모픽 CFT와 AdS/CFT 이중성을 가지며, CFT의 분할 함수는 정확히 ''j''-744, 즉 문샤인 모듈의 등급별 캐릭터라는 제안을 했다.[13] 그는 문샤인 모듈이 중심 전하 24와 캐릭터 ''j''-744를 갖는 유일한 홀로모픽 VOA라는 프렌켈-레포스키-뫼르망의 추측을 가정하여, 최대한 음의 우주 상수를 갖는 순수 중력이 몬스터 CFT와 이중성을 갖는다고 결론 내렸다.

위튼의 제안에서 비라소로 기본장은 블랙홀 생성 연산자에 대응한다. 그는 일관성 검증으로, 큰 질량 극한에서 주어진 블랙홀 질량에 대한 베켄슈타인-호킹 반고전적 엔트로피 추정치가 문샤인 모듈에서 해당 비라소로 기본 다중도의 로그와 일치한다는 것을 발견했다. 낮은 질량 영역에서 엔트로피에 작은 양자 보정이 있는데, 예를 들어 가장 낮은 에너지 기본장은 ln영어(196883) ~ 12.19를 생성하는 반면, 베켄슈타인-호킹 추정치는 4 ~ 12.57을 제공한다.

이후 연구에서 위튼의 제안은 정교해졌다. 위튼은 더 큰 우주 상수를 갖는 극한 CFT가 최소 사례와 매우 유사한 몬스터 대칭을 가질 수 있다고 추측했지만, 이는 가이오토와 횬의 독립적인 연구에 의해 빠르게 기각되었다. 맬로니와 위튼의 연구는[14] 순수 양자 중력이 복잡한 안장의 미묘한 속성이 유리하게 작용하지 않는 한, 분할 함수와 관련된 일부 일관성 검사를 충족하지 않을 수 있음을 시사했다. 그러나 리-송-스트로민저[15]는 만쇼트가 2007년에 제안한 카이랄 양자 중력 이론이 몬스터 CFT의 카이랄 부분, 즉 몬스터 정점 대수와 이중성을 가지면서 더 나은 안정성 속성을 가질 수 있다고 제안했다. 던컨-프렌켈[16]은 en을 사용하여 (2 + 1)차원 중력 분할 함수를 생성함으로써, 전역 토러스 동종 기하학에 대한 정규화된 합으로 맥케이-톰슨 계열을 생성함으로써 이 이중성에 대한 추가 증거를 제시했다. 또한, 그들은 몬스터의 원소로 매개변수화된 꼬인 카이랄 중력 이론의 패밀리의 존재를 추측하며, 일반화된 문샤인 및 중력 인스턴톤과의 연결을 시사했다. 현재, 이러한 모든 아이디어는 3차원 양자 중력이 엄격한 수학적 기반을 가지고 있지 않기 때문에 다소 추측에 가깝다.

6. 마티외 문샤인 (Mathieu Moonshine)

2010년, 에구치 토오루, 오오구리 히로시, 타치카와 유지는 K3 곡면의 타원 속이 초등각 대수의 지표로 분해될 수 있으며, 슈퍼 비라소로 대수의 질량이 있는 상태의 다중도는 마티외 군 M24의 기약 표현의 간단한 조합으로 나타난다는 것을 관찰했다.[5] 이는 M24 대칭을 갖는 K3 표적을 가진 시그마 모형 등각 장론이 존재함을 시사한다. 그러나 Mukai-Kondo 분류에 따르면, 이 군의 심플렉틱 자기 동형 사상에 의한 K3 곡면 상의 충실한 작용은 없으며, Gaberdiel–Hohenegger–Volpato의 연구에 따르면,[6] K3 시그마 모형 등각 장론 상의 충실한 작용도 없으므로, 기본 힐베르트 공간 상의 작용의 출현은 여전히 미스터리로 남아있다.

청은 M24의 비자명 원소의 다중도 함수와 등급 추적이 모두 모의 모듈 형식을 형성한다고 제안했다. 2012년, Gannon은 다중도 중 첫 번째를 제외한 모든 다중도가 M24의 표현의 음이 아닌 선형 결합의 정수 조합임을 증명했고, Gaberdiel–Persson–Ronellenfitsch–Volpato는 일반화된 moonshine 함수의 모든 유사체를 계산하여,[7] Mathieu moonshine 뒤에 어떤 종류의 정칙 등각 장론의 유사체가 있음을 강력하게 시사했다. 또한 같은 해, Cheng, Duncan 및 하비는 모의 모듈 형식의 집합이 니메이어 격자에 연결되는 엄브랄 문샤인 현상의 수치적 증거를 수집했다. ''A''124 격자의 특수한 경우는 Mathieu Moonshine을 생성하지만, 일반적으로 이 현상은 아직 기하학적 해석을 가지고 있지 않다.

참조

[1] 문서 A short introduction to Monstrous Moonshine 2019-01-24
[2] 논문 Monstrous Moonshine 1979
[3] 뉴스 Mathematicians Chase Moonshine’s Shadow https://www.quantama[...] 2015-03-12
[4] 서적 Atlas of finite groups : maximal subgroups and ordinary characters for simple groups https://www.worldcat[...] Clarendon Press 1985
[5] 문서 Notes on the K3 surface and the Mathieu group M24 2011
[6] 간행물 Symmetries of K3 sigma models 2012
[7] 간행물 Generalized Mathieu Moonshine 2013
[8] 문서 1988
[9] 문서 1992
[10] 서적 King of Infinite Space: Donald Coxeter, the Man Who Saved Geometry https://books.google[...] Bloomsbury Publishing USA
[11] 문서 1979
[12] 문서 1989
[13] 문서 2007
[14] 문서 2007
[15] 문서 2008
[16] 문서 2009
[17] 웹사이트 World Wide Words: Moonshine http://www.worldwide[...]
[18] 문서 与えられた正の整数 r に対し、モジュラ群 Γ0(r) は次のように定義される。
[19] 문서 1974
[20] 웹사이트 (한 장의 지식 수학: 한 장의 지식 시리즈 (공)저: 폴 글렌디닝) https://books.google[...]
[21] 웹사이트 OEIS에서 A014708 시퀀스
[22] 논문 Monstrous Moonshine https://doi.org/10.1[...] 1979-10-01
[23] 웹사이트 Monstrous Moonshine http://citeseerx.ist[...]


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